OPCIÓN A. a) Estudiar si A y B tienen inversa y calcularla cuando sea posible (1 punto)

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1 San Blas, 4, ntrplanta OPCIÓN A 4 E.- San A = 3 y B = a) Estudiar si A y B tinn invrsa y calcularla cuando sa posibl ( punto) 0 b) Dtrminar X tal qu AX = B I sindo I = 0 (.5 puntos) a) Una matriz cuadrada tin invrsa si y solo si su dtrminant s distinto d 0 4 dt A = = 3 4 = 0 xist A 3 dt B = = 0 no xist B Calculo la matriz invrsa d A: A = ( adja) ( adja) dt A 3 adja = A = = t 3 4 = b) Dspjo la matriz X: AX = B I A A X = A ( B I ) X = A ( B I ) I X = = = 0 3 E.- Dtrminar la rcta r qu s paralla al plano π x y z = 0 y qu corta prpndicularmnt a la rcta s = = n l punto P (,, ) (.5 puntos) x y 3 z 4 t Como r s paralla al plano, su vctor dirctor r v s prpndicular a n Por otra part sabmos qu r s prpndicular a s con lo qu sus vctors dirctors también lo srán MATEMÁTICAS II. E.B.A.U JUNIO 07

2 San Blas, 4, ntrplanta i j k n n = (,, ) vr vr = n vs vr = = 6,3,3,, vs vs = (,, 4) 4 Ya pudo calcular la rcta qu m pidn: x y z r = = E3.-a) Enunciar l torma d Bolzano intrprtarlo gométricamnt ( punto) 6 4 b)encontrar un intrvalo n l qu P ( x) = x x tnga al mnos una raíz (.5 puntos) a) Sa f ( x ) una función continua n l a b tal qu los signos d f ( a ) intrvalo [, ] y f ( b ) son opustos. Entoncs xist por lo mnos un c ( a, b) tal qu f ( c ) = 0 P x = x x b) Al tratars d un polinomio s continua n cualquir intrvalo qu lija.- P 0 = < 0 [ 0,] P = > Por lo tanto P ( x) = x x tin al mnos una raíz (corta al j OX) n l intrvalo ( 0, ) E4.-a) Calcular la rcta tangnt a la curva f ( x) = 4 x n l punto, ( ) f ( punto) b) Calcular l ára d la rgión dlimitada n l primr cuadrant por la gráfica d la 3 función g ( x) = x y la rcta y = 4x. (.5 puntos) a) Ecuación d la rcta tangnt: y = f ( x ) f ( x )( x x ) 0 En nustro caso: x x0 = f = 4 = 4 y = 4 4 x y = 4x f x = f = = Nota: = MATEMÁTICAS II. E.B.A.U JUNIO 07

3 San Blas, 4, ntrplanta b) En primr lugar calculo los puntos d cort y dibujo las gráficas: 3 x = no stá n l primr cuadrant g ( x) = x 3 3 x = 4x x 4x = x( x 4) = 0 y = 4x x = 0 x = 4 3 x x A = ( 4x x ) dx = 4 = = = 4 u E5.- S lanzan dos dados (con forma cúbica) al air. Cuál s la probabilidad d qu la suma d los puntos sa 8? ( punto) Construimos una tabla d dobl ntrada n la qu aparzcan las puntuacions d ambos dados y su suma. Dspués, basta con aplicar la Ly d Laplac para calcular la probabilidad pdida casos favorabls p( suma = 8) = = casos posibls 5 36 La probabilidad d qu al tirar dos dados, la suma d los puntos sa 8 s dl 3.89% MATEMÁTICAS II. E.B.A.U JUNIO 07

4 San Blas, 4, ntrplanta OPCIÓN B E.- a) Discutir l siguint sistma d cuacions sgún los valors dl parámtro λ : x λ y λz = x y z = x y 4z (.5 puntos) b) Rsolvrlo para ( punto) λ = a) Aplico l Torma D Rouché-Frobnius (n un xamn hay qu contarlo) x λ y λz = λ λ x y z = A = x y 4z = 4 A Rango d A: λ λ 0 λ rga = 3 = rga = n. incog : S. C. D. ր dt A = = ( λ) ց 4 = 0 λ = rga < 3: Habrá qu studiarlo λ = A = 4 A rg = rg = = 0 rga = rga = < n. incog : S. C. I F = F 4 4 λ = tnmos un S.C.I. x y z = x y = α x y z = z= α x y z = x y = 4α y = 3 α; x = α x y 4z = x y 4z = 0 y = 3α b) Para x = α sol : y = 3α z = α MATEMÁTICAS II. E.B.A.U JUNIO 07

5 San Blas, 4, ntrplanta E.- Dado l plano 3x y z 0 π = y los puntos ( 0,, ), (,, 3) P Q qu prtncn al plano π, dtrminar la rcta dl plano π qu pasa por l punto mdio ntr P y Q y s prpndicular a la rcta qu un sos puntos. (.5 puntos) El vctor dirctor d la rcta qu m pidn s prpndicular al vctor normal dl plano y al vctor formado por los puntos P y Q, lugo s pud calcular: vr = n PQ P Q Por otro lado, l punto por l qu pasa dicha rcta s: M = i j k n = ( 3,, ) vr = 3 =, 7, 4 PQ = Q P = (,, 3) ( 0,,) = (, 4) (,, ) ( 0,,) (,, 3) P Q M = = = x y z r = = 7 4 La rcta pdida s: (,0, ) 3 x 3x E3.-a) Dado l polinomio P ( x) = x C, hallar C para qu l valor d P ( x ) n 3 su mínimo rlativo sa (.5 puntos) b) Calcular lim x ln x ( punto) x 0 = a) Calculo l mínimo rlativo: P ( x) 0 3x 6x x = P ( x) = = x 3x = 0 3 x = : Para sabr cuál corrspond al mínimo studio l signo d P ( x) Entoncs, 3 3 P = C = C = 3 3 MATEMÁTICAS II. E.B.A.U JUNIO 07

6 San Blas, 4, ntrplanta b) lim x ln x 0 INDETERMINACIÓN TIPO: f ( x) g ( x) x 0 g x f x = = = f ( x) g ( x) ln x x x L Hopital lim x ln x = lim = lim x = lim = lim ( x) = 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x x lijo la qu m intrs x si x E4.-Sa f ( x) = a ln x si x > a) Encontrar a para qu la función sa continua ( punto) f x y las rctas x =, y = b) Hallar l ára d la rgión limitada por la gráfica d (,5 puntos) a) f ( x ) s continua para x < ya qu s un polinomio y para x > por tratars d un logaritmo dntro d su dominio d dfinición ( x > 0). Solo ncsito studiarlo n x = s continua n si y solo si ( ) lim f x x f f x = = x lim f x x x = lim f ( x) f = = 0 lim f ( x) lim( x ) 0 = = a 0 = x x lim f ( x) x lim f ( x) = lim a ln x = a ln = a 0 = a x x b) Calculo los puntos d cort ntr f ( x ) y = ( x ) = x = 0 ln x = x = Vmos qu nos qudan dos áras, lugo l ára total srá su suma: MATEMÁTICAS II. E.B.A.U JUNIO 07

7 San Blas, 4, ntrplanta ( ( ) ) ( ln ) A = x dx x dx 0 A A ( ) 3 x x A = x dx = x x dx = / = 0 = u 3 / A = ln x dx = dx ln xdx = x x ln x x = x x ln x = 4 A = = u 3 3 hcha apart Por parts udv = u v vdu ( ln ) ( ln) u = = drivo u = ln x du = dx ln x dx x ln xdx = ( ln x) x x dx = x ln x dx = x ln x x u dv int gro x dv = dx v = x simplifico E5.-La probabilidad d obtnr cara al lanzar una monda s. Cuál s la probabilidad d sacar 3 caras n trs lanzamintos? p C = Llamamos C al sucso sacar cara al lanzar una monda. Entoncs p( trs caras) = p( C C C ) = p( C) p ( C ) p( C ) = = indpndints 8 La probabilidad d obtnr trs caras n trs lanzamintos s.5% MATEMÁTICAS II. E.B.A.U JUNIO 07