PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2009 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
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- Aurora Agüero Moya
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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 9 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejrcicio, Opción A Junio, Ejrcicio, Opción B Rsrva, Ejrcicio, Opción A Rsrva, Ejrcicio, Opción B Rsrva, Ejrcicio, Opción A Rsrva, Ejrcicio, Opción B Rsrva, Ejrcicio, Opción A Rsrva, Ejrcicio, Opción B Rsrva 4, Ejrcicio, Opción A Rsrva 4, Ejrcicio, Opción B Sptimbr, Ejrcicio, Opción A Sptimbr, Ejrcicio, Opción B
2 Sa f : la función dfinida por f ( ). a) Esboza la gráfica d f. b) Compruba qu la rcta d cuación y s la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa. c) Calcula l ára dl rcinto limitado por la gráfica d f y la d dicha tangnt. MATEMÁTICAS II. 9. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Lo primro qu hacmos s abrir la función y dibujarla f ( ) si si b) La cuación d la rcta tangnt srá: y f () f '() ( ) f () f '() lugo, sustituyndo, tnmos qu la rcta tangnt s: y ( ) y c) Ára ( ) ( ) d ( ) ( ) d d ( ) d 8 4 u
3 Considra la curva d cuación y. a) Halla la rcta tangnt a la curva n l punto d abscisa. b) Calcula l ára dl rcinto limitado por la curva dada y la rcta y. MATEMÁTICAS II. 9. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN B a) y ( ) y y y ' m y '( ) b) Por lo tanto, l ára pdida srá: 4 7 A d u 4 4 4
4 Considra las funcions f, g: dfinidas por f ( ), g( ) 6 a) Esboza l rcinto limitado por sus gráficas. b) Calcula l ára d dicho rcinto. MATEMÁTICAS II. 9. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) b) A (6 ) d u
5 La rcta tangnt a la gráfica d la función f :, dfinida por f ( ) m n, n l punto(, 6), s paralla a la rcta d cuación y a) Dtrmina las constants m y n. Halla la cuación d dicha rcta tangnt. b) Calcula l ára dl rcinto limitado por la gráfica d la función, la rcta tangnt antrior y l j d ordnadas. MATEMÁTICAS II. 9. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) Calculamos la función drivada: f '( ) m n - Pasa por (, 6) f () 6 m n 6 - Tangnt paralla a y f '() m n Rsolvindo l sistma, tnmos qu: m n f ; 5 ( ) 5 La cuación d la tangnt srá: y 6 ( ) y 5 b) El ára d la rgión pdida s: A ( 5 ) ( 5) d 4 ) d u
6 Sa f : (, ) la función dfinida por f ( ) ln( ), sindo ln la función logaritmo npriano. a) Compruba qu la rcta d cuación y s la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa. b) Calcula l ára dl rcinto limitado por la gráfica d f, l j d abscisas y la rcta tangnt obtnida n l apartado antrior. MATEMÁTICAS II. 9. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) La rcta tangnt n s y f ( ) f '( ) ( ) f( ) f '( ) f '( ) Sustituyndo n la cuación, tnmos, y ( ) y b) El ára d la rgión pdida s: A A A A A ln( ) d ( ln( )) d ln( ) ln( ) u ln( ); du d dv d; v A d u A ( ln( )) d ln( ) u A A A u
7 S considran las funcions f : [, ] y g : dfinidas por f ( ) y g( ) a) Haz un sbozo d sus gráficas b) Calcula l ára dl rcinto limitado por las gráficas d ambas funcions. MATEMÁTICAS II. 9. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) Las dos funcions podmos rprsntarlas hacindo una tabla d valors. b) En l dibujo vmos qu los puntos d cort son l (,) y (,). Lugo, l ára qu nos pidn s: A = d u 9
8 a) Calcula sn d b) San las funcions f, g:, dfinidas por: f ( ) ; g( ) Calcula l ára dl rcinto limitado por sus gráficas. MATEMÁTICAS II. 9. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Calculamos la intgral por parts u ; du d dv sn d; v cos b) sn d cos cos d cos sn C Calculamos los puntos d cort d las dos funcions. y y ; El ára qu nos pidn s: 7 9 A ( ) ( ) d d u 6
9 Las dos gráficas dl dibujo corrspondn a la función f : (, ) dfinida por y a la d su drivada f ':(, ) f ( ) ln( ) a b a) Indica, razonando la rspusta, cuál s la gráfica d f y cuál la d f. b) Calcula l ára d la rgión sombrada. MATEMÁTICAS II. 9. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) Calculamos la función drivada. f ( ) '( ) Vmos qu sta función corta al j X n l punto (,). Lugo la gráfica d f s la (a) y la gráfica d f s la (b) b) Calculamos la intgral por parts: ln d ln d ln C u ln ; du dv d; v d El ára qu nos pidn s: 8ln 8 A ln( ) d ln( ) d ln u
10 San f : y g : las funcions dfinidas por: f ( ) ; g ( ) a) Dtrmina los puntos d cort d las gráficas d f y g. Esboza dichas gráficas. b) Calcula l ára dl rcinto limitado por dichas gráficas. MATEMÁTICAS II. 9. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) si f ( ) si Calculamos los puntos d cort ntr las dos funcions. y y ;. Sólo stá n l intrvalo y y ;. Sólo stá n l intrvalo Lugo, los puntos d cort son: (, ) y (,) b) 7 7 A ( ) d u 6
11 Calcula un númro positivo a, mnor qu 4, para qu l rcinto limitado por la parábola d cuación y y las dos rctas d cuacions 4 y y a, tnga un ára d 8 unidads cuadradas. MATEMÁTICAS II. 9. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN B. A A Calculamos los puntos d cort ntr las dos funcions. y y 4 4 ; A (4 ) d 4 y y a a a ; a a ( ) 4a A a d a a a a a 8 4a a 4a a 4 A A A a
12 La curva y divid al rctángulo d vértics A (,), B (,), C (,) y D (,) n dos rcintos. a) Dibuja dichos rcintos. b) Halla l ára d cada uno d llos MATEMÁTICAS II. 9. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Hacmos l dibujo b) Calculamos l ára d dicho rcintos. Calculamos l punto d cort d la parábola con la rcta y y y El ára dl primr rcinto s: A ( ) d u 6 El ára dl sgundo rcinto s igual al ára dl rctángulo mnos l ára dl primr rcinto: A 6 u
13 Sa f la función dfinida por f( ) Halla la primitiva F d f qu cumpl F(). (Sugrncia: utiliza l cambio d variabl t ). MATEMÁTICAS II. 9. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN B. Como l cambio s t, vamos a calcular cuanto val d: dt t dt d d Sustituyndo, nos quda: dt dt dt F( ) d 4 6 arc sn t C 4 9 4t t t arc sn 6 C Como F() arcsn C C 6 Por lo tanto, F( ) arc sn 6
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