REPRESENTACIÓN DE CURVAS

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1 REPRESENTACIÓN DE CURVAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. REPRESENTACIÓN DE CURVAS Función polinómica d sgundo grado. Su gráfica s una parábola. Para rprsntarla basta con halla los puntos d cort a los js l vértic qu s simpr un máimo o un mínimo. Si l coficint d s positivo la parábola s abirta hacia arriba si s ngativo abirta hacia abajo Cuando no istn puntos d cort con l j d abscisas podmos audarnos con una sncilla tabla d valors. Ejmplo Gráfica d = 4 + Puntos d cort a los js: Para = 0, = La función corta al j d ordnadas n l punto (0, ) 4 ± 6 4 ± Para = 0, 4 + = 0 = = = Los puntos d cort al j d abscisas son (, 0) (, 0) Vértic: = 4 + ; = 4 ; = 4 = 0 =. El j d simtría d la parábola s la rcta =. Para =, () = 4. + = V (, ). El vértic s un mínimo a qu la sgunda drivada s positiva. La función s dcrcint n l intrvalo (-, ) crcint n (, + )

2 REPRESENTACIÓN DE CURVAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. Ejmplo. Gráfica = + S trata d una función valor absoluto qu s prsa d la forma siguint: + si + 0 = + = + si + < 0 Para rprsntarla s dibujan las gráficas d = + ; = + Dspués nos qudamos con la part d dibujo situado por ncima dl j d abscisas. Estudio d la primra función: = + Para = 0, =. Corta al j d ordnadas n l punto (0, ) ± 9 8 ± Para = 0, + = 0 = = = Corta al j d abscisas n los puntos (, 0) (, 0) Vértic: = + = ; = 0 = El vértic s l punto ( ) Para =, (. ) = + = V, 4 4 Estudio d la sgunda función: = + Para = 0, = - Corta al j d ordnadas n l punto (0, -) Para = 0, + = 0 = ; = Los puntos d cort con l j d abscisas son los mismos qu ants (, 0) (, 0) Vértic: = + ; = + ; + = 0 = Para =, El vértic s l punto V (, ) ( ) = +. = 4 4 = + La función s dcrcint n los intrvalos (-, ) (/, ) Es crcint n (, /) (, + ).

3 REPRESENTACIÓN DE CURVAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. Funcions polinómicas n gnral S sigun los siguints pasos: Dominio: Dom(f) = R. El dominio d toda función polinómica s simpr R. Puntos d cort con los js d coordnadas. Crciminto dcrciminto. Máimos mínimos Concavidad convidad. Puntos d inflión. Ejmplo. Gráfica d f() = 9 Dominio: El dominio s R; Dom(f) = R Puntos d cort con los js d coordnadas: Para = 0, = 0 Para = 0, 9 = 0 ( 9) = 0 Los puntos d cort son (0, 0), (, 0) (-, 0). = 0 9 = 0 = ± Crciminto dcrciminto: f ( ) = 9 ; = = ± Intrvalos (, ) (, ) (, + ) Signo d la drivada Función Para = Máimo(-, 6 ) ; Para = Mínimo(, 6 ) Concavidad convidad: f ( ) = 6 ; 6 = 0 = 0. Intrvalos (,0) ( 0, + ) Signo d la sgunda drivada - + Función Para = 0, ist punto d inflión (0, 0) (,6 ) = 9 (, 6 )

4 REPRESENTACIÓN DE CURVAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 4 Funcions racionals S sigun los siguints pasos: Dom ( f ) = R los puntos dond l dnominador s Asíntotas Puntos d cort con los js d coordnadas. Crciminto dcrciminto. Máimos mínimos Concavidad convidad. Puntos d inflión. Dominio: { anula} Ejmplo 4 Gráfica d = + Dominio: = 0 = Dom ( f ) = R { } Asíntotas: Vrticals = (A.V.) Horizontals: No ha + + Oblicuas: = m + n ; m = lím = lím = lím = ( ) + + n = lím( m) = lím = = lím ; = (A.O.) Puntos d cort: Para = 0, = -; Para =0, + = 0 (qu no tin sol ral.) Único punto d cort: (-, 0) Crciminto dcrciminto: = ; = 0 = 0 = 0; = ( ) (-, 0) (0, ) (, ) (, + ) Para = 0, máimo Para =, mínimo Concavidad convidad: = ; no s anula nunca. No ha puntos d inflión. ( ) (-, ) - + (, + ) = +

5 REPRESENTACIÓN DE CURVAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 5 Ejmplo 5 Gráfica d = + Dominio: + = 0 = ; No ha solucions rals. El dnominador no s anula nunca. Dom ( ) = R Asíntotas: Vrticals: No ha porqu l dnominador no s anula Horizontals: lím = lugo = s una A.H. + Oblicuas: No ha. Si ha horizontals no ha oblicuas. Puntos d cort: Para = 0, = 0; Para = 0, = 0. Único punto d cort: (0, 0) ( + ). Crciminto dcrciminto: = = ( + ) ( + ) Si hacmos = 0 ntoncs = 0 = 0 Estudiando la drivada n los intrvalos (-, 0) (0, + ) s obtin la siguint tabla (-, 0) (0, + ) Para = 0, Mínimo(0, 0) Concavidad convidad: - + ( + ) ( + ). ( + ) 8 = = 4 ( + ) ( + ) Si hacmos = 0, 6 = 0 = ± (, ) (, ) (, + ) = ( + ) Eistn puntos d inflión para para = = = = +

6 REPRESENTACIÓN DE CURVAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 6 Ejmplo 6 - Gráfica d = + 5 La gráficas d la forma a + b =, sindo c 0, son simpr hipérbolas para rpr- c + d sntarlas podmos omitir l método gnral d rprsntación d funcions racionals. Basta con hallar los puntos d cort las asíntotas. Puntos d cort: Para = 0, = -/5 Para = 0, = 0 = / Los puntos d cort son (0, -/5) (/, 0) Asíntotas: Asíntota vrtical: = -5 Asíntota horizontal: lím = ; = s una asíntota horizontal + 5 Con las dos asíntotas dibujadas aparcn unos nuvos js. La curva ocupará primro trcr cuadrant, o bin sgundo cuarto. Los puntos d cort hallados nos indican los qu hmos d lgir. En st caso, sgundo cuarto. = = 5 = + 5 Obsrvando la gráfica vmos qu simpr s crcint. No ha máimos ni mínimos. Es conva n (-, -5) cóncava n (-5, + ). No ha puntos d inflión porqu aunqu n l punto = -5, pasa d conva a cóncava, dicho punto no s d su dominio.

7 REPRESENTACIÓN DE CURVAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 7 Ejmplo 7 + Gráfica d = Dominio: = 0 = ± Dom ( ) = R, Asíntotas: Vrticals: = ; = + Horizontals: lím = ; = s una A.H. Asíntotas oblicuas no ha. ; { } Puntos d cort: Para = 0, = - Un punto d cort s (0,-) + Para = 0, = 0 + = 0.No ha solución, no ha más puntos d cort. ( ) ( + ) 4 Crciminto dcrciminto: = =. ( ) ( ) Si hacmos = 0, -4 = 0 = 0 Dividindo l dominio por l punto cro studiando l signo d la drivada n los intrvalos (-, -), (-, 0), (0, ) (, + ) s obtinn l siguint rsultado: (-, -) (-, 0) (0, ) (, + ) Para = 0, ist máimo M(0, -) Concavidad convidad: 4( ) ( ) ( 4) 4( ) + 6 = = 4 ( ) ( ) 4 + = ( ) Si hacmos = 0 ntoncs 4 + = 0 qu no tin solución, lugo la sgunda drivada no s anula nunca. No ha puntos d inflión. La tabla qu rflja la concavidad convidad d la curva quda así: (-, -) (-, ) (, + ) = +

8 REPRESENTACIÓN DE CURVAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 8 Funcions logarítmicas. Los pasos a sguir son los mismos qu n las racionals pro n l dominio hmos d tnr n cunta qu l logaritmo d los númros ngativos no ist. En los límits s cuidará si la tndncia s por la drcha o por la izquirda. Ejmplo 8. Gráfica d = L Dominio: Globalmnt s una función racional, lugo l punto dond s anula l dnominador, = 0, no s d su dominio. Admás, como figura L, ha d sr > o, por tanto, Dom ( ) = (0, + ) Asíntotas: Vrticals: Son aqullos valors qu hacn qu la función tom l valor d, + Cuando 0, lugo = 0 s una asíntota vrtical infrior. L Horizontals: lím = lím = lím = 0, = 0 s una A.H. drcha L Oblicuas: = m + n ; m = lím = lím = lím = lím = 0. No ha Puntos d cort: Para = 0, la función no stá dfinida. Para = 0, L = 0 =. El único punto d cort s (, 0) L Crciminto dcrciminto: = ; Si hacmos = 0 ntoncs L = 0 Es dcir, L = = (0, ) (, + ) L Concavidad convidad: = ; Si hacmos = 0, - + L = 0 ( 0, ), + ) - + Para =, ist máimo M (, ) L = ; = = ist punto d Para inflión (, ) L =

9 REPRESENTACIÓN DE CURVAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 9 Funcions ponncials. S sigun los mismos pasos qu n las racionals. Ejmplo 9. Gráfica d = Dominio: La función dada s l producto d una polinómica (d dominio R) d la ponncial natural (d dominio R), por tanto, Dom() = R Asíntotas: Vrticals: No ha. No ist ningún valor d para l qu la función tom l valor d infinito. Horizontals: lím = + ; lím = lím ( ) = lím = lím = 0, lugo + + = 0 s una asíntota horizontal izquirda. + + si + Oblicuas: = m + n ; m = lím = lím = 0 si - ; No ha. Puntos d cort: Para = 0, = 0; Para = 0, = 0. Único punto d cort (0, 0) Crciminto dcrciminto: = ( + ) ; Si hacmos = 0, ( + ) = 0 = - Los intrvalos d monotonía qudan d la forma siguint: (-,-) (-, + ) - + Para = - ist mínimo. M (, ) Concavidad convidad: = ( + ) ; Si hacmos = 0, ( + ) = 0 = - (-,-) (-, + ) - + Para = - ist punto d inflión I, ( ) = (, )

10 REPRESENTACIÓN DE CURVAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 0 Funcions n gnral. Ejmplo 0. Gráfica d = L Dominio: Por s part d la función logarítmica, no ntran los númros ngativos. Por sr globalmnt racional ha qu liminar dl dominio aqullos valors qu anulan al dnominador, L = 0 = Es dcir, Dom ( ) = (0,) (, + ) Asíntotas: Vrticals: = ; Horizontals: lím = lím = lím = + (No ha) + L + + Oblicuas: lím = lím L = lím = 0 (No ha) L Puntos d cort: Para = 0, la función no stá dfinida. Para = 0, = 0 = 0 L Pro l 0 no prtnc al dominio d la función. No ha puntos d cort. Crciminto dcrciminto: L = ; Si = 0, L = 0 L = (0, ) (, ) ( L) (, + s dcir, =. Para =, mínimo M(, ) Concavidad convidad: L = ; Si = 0, L = 0 L = = ( L) (0, ) (, ) (. + ) Para =, pasa d cóncava a conva pro l punto no s dl dominio d la función. Para = pasa d conva a cóncava. Ha punto d inflión n dicho punto = L

11 REPRESENTACIÓN DE CURVAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. Ejmplo. Gráfica d = + - Dominio: Como no istn las raícs cuadradas d númros ngativos, ha d sr 0 ; Dom ( ) = [, + ) Asíntotas: Vrticals no ha porqu no ist ningún valor d para l cual la función tom d valor d. Horizontals: lím = +. No ha Eist rama parabólica. + Oblicuas: lím = lím = lím lím = 0 = 0. No ha Puntos d cort: Para = 0, no ist la función. Para = 0, = 0 = El único punto d cort s (, 0) Crciminto dcrciminto: = > 0. La función s crcint n todo su dominio. No ha máimos ni mínimos. Concavidad convidad: = =. = ( ) ( ) =. ( ) =. = = 4 ( ) 4 ( ) 4( ) La sgunda drivada no s anula nunca s ngativa para todo valor d >. Por tanto, simpr s cóncava. La gráfica quda d la siguint forma: = +