TEMA 7 APLICACIONES DE LA DERIVADA

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1 Tma Aplicacions d la drivada Matmáticas CCSSII º Bachillrato 1 TEMA APLICACIONES DE LA DERIVADA RECTA TANGENTE 1 Escrib 0 EJERCICIO 1 : la cuación d la rcta tangnt a la curva f n 0. Ordnada dl punto: f (0) 1 Pndint d la rcta: 1 1 ( ) ( ) Ecuación d la rcta tangnt: y ( 0) y 1 1 (0) 1 EJERCICIO : Halla las cuacions d las rctas tangnts a la curva f () 9 qu son parallas a la rcta y 9. Si son parallas a la rcta y 9, tinn la misma pndint; s dcir, ha d sr: f () ( ) 0 Ordnadas n los puntos:f () 1; f (0) 0 Ecuacions d las rctas tangnts: - En y ( ) y 9 - En 0 y 9 EJERCICIO : Halla la cuación d la rctatangnt a la curva y 6 n l punto d abscisa 0. Ordnada n l punto: y () Pndint d la rcta: y ' 6 Ecuación d la rcta tangnt: y y' y 9 ESTUDIO DE FUNCIONES EJERCICIO : Halla los intrvalos d crciminto y los máimos y mínimos d la función: f 6 9 ' f ( 1) Signo d (): 0 ( 1) ( 1) 9 1 f s crcint n, 0 Tin un máimo n, ; s dcrcint n 5 0, y un mínimo n,. 0,.

2 Tma Aplicacions d la drivada Matmáticas CCSSII º Bachillrato EJERCICIO 5 : Halla los máimos, mínimos y puntos d inflión d la función: f () ( ) Di dónd s crcint, dcrcint, cóncava y conva. Primra drivada: f () 9 f () ( ) 0 Signo d f (): 0 0 f () s crcint n (, 0) (, ); s dcrcint n (0, ). Tin un máimo n (0, 0) y un mínimo n (, 1). Sgunda drivada: f () 1 1 f () Signo d f (): f () s conva n (, 1) y s cóncava n (1, ). Tin un punto d inflión n (1, 6). PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EJERCICIO 6 : La suma d trs númros positivos s 60. El primro más l dobl dl sgundo más l tripl dl trcro suman 10. Halla los númros qu vrifican stas condicions y cuyo producto s máimo. Llamamos al primr númro, y al sgundo y z al trcro. Así, tnmos qu: y z 60, y, z 0 y 60 z z y z 10 y 10 z y 60 z El producto d los trs númros s: P y z z (60 z) z z (60 z) f (z), z > 0 Buscamos z para qu f (z) sa máimo: (z) z (60 z) z () z (60 z z) z (60 z) 10z 6z z 0 (no val, pus ha d sr z 0). z 0 z 0 Vamos qu n z 0 hay un máimo:'(z) 10 1z ; '(0) 10 < 0 hay un máimo Por tanto, l producto s máimo para 0, y 0, z 0. EJERCICIO : Entr todos los triángulos rctángulos d hipotnusa 5 mtros, dtrmina razonadamnt l qu tin ára máima. 5 Ára f, 0 5 Buscamos para qu l ára sa máima: f

3 Tma Aplicacions d la drivada Matmáticas CCSSII º Bachillrato 0 (Como a la izquirda d y 0 a su drcha, n Por tanto, l ára s máima cuando los dos cattos midn 5 (no val) mtros. 5 hay un máimo). EJERCICIO : S dsa construir una piscina d fondo cuadrado, con m d capacidad, d manra qu la suprfici total (d las pards más l fondo) sa mínima. Qué dimnsions db tnr la piscina? Llamamos al lado d la bas y a la altura. El volumn s: V y m y 1 S y f, 0 1 Buscamos > 0 para qu la suprfici sa mínima: La suprfici total (pards más fondo) s: 6 y 56 Vamos qu corrspond al mínimo: ' ; ' 0 En hay un mínimo. Por tanto, la piscina db tnr m d lado d la bas y m d altura. EJERCICIO 9 : En un colctivo s ha obsrvado qu l gasto n cirto producto, G () n uros, stá 00 rlacionado con l salario, n mils d uros, por mdio d la siguint prsión: G 1 Calcula razonadamnt la cuantía dl salario a la qu corrspond l mayor gasto. Cuál s s gasto? 00( 1) (1 ) G', 0 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) G ' 0 Signo d G (): (no val) 1 1 Como G () > 0 a la izquirda d 1 y G () < 0 a su drcha; n 1 hay un máimo. Por tanto, l máimo gasto corrspond a un salario d uros. El gasto n st caso s d G (1) 100 uros.

4 Tma Aplicacions d la drivada Matmáticas CCSSII º Bachillrato EJERCICIO 10 : Dividir un sgmnto d 1 mtros n trs parts, dos d las cuals san tals qu una tnga l dobl d longitud qu la otra; d modo qu la suma d las áras d los cuadrados construidos sobr llas sa mínima: Sabmos qu y 1 y 1 La suma d las áras d los cuadrados construidos sobr cada part s: S y 5 (1 ) f () Buscamos, 0 1/, para qu f () sa mínima: f () 10 (1 ) () Vamos qu s trata d un mínimo:f () ; f () > 0 En hay un mínimo. 1 f 0 196; f 0; f 10, 9 Por tanto, la suma d las áras srá mínima cuando m, 6 m, y 5 m (n st caso, dicha suma srá d 0 m ). EJERCICIO 11 : Un granjro dsa vallar un trrno rctangular d pasto adyacnt a un río. El pastizal db tnr m para producir suficint forraj para su ganado. Qué dimnsions tndrá l trrno rctangular d forma qu utilic la mínima cantidad d valla, si l lado qu da al río no ncsita sr vallado? Ára y m y Cantidad d valla ncsaria: f y, 0 Buscamos > 0 qu haga f () mínima: (no val) 00 Vamos qu n 00 hay un mínimo: ' ; ' 00 0 hay un mínimo Por tanto, han d sr: 00 m, y 600 m

5 Tma Aplicacions d la drivada Matmáticas CCSSII º Bachillrato 5 EJERCICIO 1 : La cantidad d agua rcogida n un dtrminado año (n millons d litros) n cirto pantano, como función dl instant d timpo (n mss), vin dada a través d la prsión: 10 f t, 0 t 1 ( t 6) 1 a) En qué instant s obtuvo la cantidad máima d agua? b) Cuál fu sa cantidad máima? 10 ( t 6) 0( t 6) a) f' t [( t 6) 1] [( t 6) 1] f (t) 0 t 6 0 t 6 Signo d f (t): Como f (t) > 0 para t (0, 6) y f (t) < 0 para t (6, 1), n t 6 hay un máimo. f (0) 0, ; f (6) 10 ; f (1) 0, Por tanto, la máima cantidad d agua s obtuvo n l 6 o ms, s dcir, n junio. b) f (6) millons d litros CÁLCULO DE PARÁMETROS EJERCICIO 1 : Halla a, b y c n f() = a + b + c d modo qu f tnga un máimo n = 1 y un mínimo n (,-10/) f() = a + b + c f () = a + b + c Máimo n = 1 f (1)= 0 a + b + c = 0 Mínimo n (,-10/) f() = -10/ a + b + c = -10/ f () = 0 1a + b + c = 0 Rsolvindo l sistma (Por Gauss) obtnmos: a = 1/, b = -/, c = EJERCICIO 1 : Halla a, b y c n f() = a + b + c d forma qu la gráfica d g tnga tangnt horizontal n = 1 y =, y pas por l punto (6,6) f() = a + b + c f () = a + b + c Tangnt horizontal n = 1 f (1) = 0 a + b + c = 0 Tangnt horizontal n = f () = 0 1a + b + c = 0 Pas por l punto (6,6) f(6) = 6 16a + 6b + 6c = 6 Rsolvindo l sistma (Por Gauss) obtnmos: a = 1/, b = -/, c = EJERCICIO 15 : Calcula los coficints d la parábola f() = a + b + c, qu s tangnt a la rcta y = 0 n l punto (,), y qu pasa por l orign d coordnadas. f() = a + b + c f () = a + b Tangnt a la rcta y = n l punto (,) f () = 9a + b + c = f () = 6a + b = Pas por l punto (0,0) f(0) = 0 c = 0 Rsolvindo l sistma (Por Gauss) obtnmos: a = /9, b = /, c = 0