ESCUELA PREPARATORÍA OFICIAL No. 16 CÁLCULO DIFERENCIAL CUADERNILLO DE TRABAJO EN CLASE TERCER CUADERNILLLO DE CÁLCULO DIFERENCIAL

Transcripción

1 TERCER CUADERNILLLO DE COMPETENCIAS A DESARROLLAR: 1. Intrprta gráficas d funcions continuas y discontinuas analizando l dominio y contradominio; y argumnta l comportaminto gráfico d la variabl dpndint (y) n los punto (s) d discontinuidad.. Eplica intrprta los valors d una tabla, calcula valors crcanos a un númro y analiza l comportaminto n los valors d la variabl dpndint n problmas d su ntorno social, conómico y natural. 3. Argumnta la solución obtnida d un problma conómico, administrativo, natural o social, mdiant la toría d los límits. 4. Valora l uso d la TIC s n l modlado gráfico y algbraico d los límits para facilitar su intrprtación y simulación n la rsolución d problmas prsnts n su contto. 5. Formula y rsulv problmas, a partir dl cálculo d dominio y contradominio d las funcions algbraicas para dtrminar sus límits, dmostrando su habilidad n la rsolución d problmas algbraicos. 6. Dtrmina límits para funcions racionals, ponncials, logarítmicas y trigonométricas. OBJETOS DE APRENDIZAJE: 1. Los límits: su intrprtación n una tabla, n una gráfica y su aplicación n funcions algbraicas.. El cálculo d límits n funcions algbraicas y trascndnts. 3. Esprando un vrdadro aprndizaj significativo. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Y LIMITE DE FERMAT Antcdnts dl Cálculo: Las matmáticas ist porqu día a día nos ncontramos frnt a llas, sin llas no podríamos hacr la mayoría d nustra rutina, ncsitamos las matmáticas constantmnt, n la scula, n la oficina, cuando vamos a prparar un platillo, tc. En las cincias las matmáticas han tnido un mayor aug porqu rprsntan la bas d todo un conjunto d conocimintos qu l hombr ha ido adquirindo. Pro lo más mistrioso d todo s qu las matmáticas son l único mdio qu tnmos para ntndr l mundo qu nos roda. Cuáls son los bnficios d la Matmáticas n tu vida? El cálculo s la rama d las matmáticas qu s ocupa dl studio d los cambios n las variabls, pndints d curvas, valors máimos y mínimos d funcions, ntr otras la dtrminación d longituds, áras y volúmns. El cálculo s la rama d las matmáticas qu s ocupa dl studio d los cambios n las variabls, pndints d curvas, valors máimos y mínimos d funcions, ntr otras la dtrminación d longituds, áras y volúmns.

2 Actividad 1. En quipos d intgrants, invstiga lo qu s t pid a continuación: 1.- Las aportacions hchas por Nwton y Libniz.(lína dl timpo d matmáticos).-. Cuál s la importancia y aplicacions dl Cálculo? 3.- Invstiga l límit d Frmat (moviminto y pndint d la scant una curva) 4.- Al final s pon frnt al grupo d class. 5.- Elabora una portada para st cuadrnillo. En l studio d la variación, s pudn ncontrar divrsos tipos d problmas qu s rprsntan d difrnts formas, sto s: tablas, gráficas, ntr otras. En un problma important s stablcr la dpndncia d las variabls, s dcir, dtrminar cómo cambia una cantidad cuando varía otra, por jmplo: El timpo qu tarda un automóvil n rcorrr una distancia dtrminada, dpnd d la vlocidad qu llva. El volumn qu hay n un rcipint pusto a la intnsidad dl calor y l timpo qu duraría pusto. Cuando s tin l rgistro numérico d un problma, tal como la vlocidad, furza, prsión tmpratura, s pudn analizar varios aspctos (factors), s pud prdcir l comportaminto futuro, bosqujar una gráfica o bin, si no s tin toda la información dl problma, s pudn dtrminar las condicions inicials n las qu s llvó a cabo Scuncia didáctica: Matrials a utilizar: Hojas milimétricas Pgamnto blanco Rgla o scuadra graduada Hojas blancas Tijras scolars INSTRUCCIONES: A. Dibuja n una hoja milimétrica y localiza n un plano cartsiano los siguints puntos: A(-3,-4) B(3.-4) C(6,0) D(6,5) E(0,5) F((-3, ) G(0,0) H(3,) B. Ahora dbs unir: A con G, A con B, A con F, D con C, D con H, D con E, F con E, F con H, C con G, E con G, B con H y B con C. C. Rcorta lo obtnido y pga sta figura n una hoja n blanco. D. Cunta cuanto cuadros istn n toda la figura E. Calcula su ára y su volumn F. Aplica lo aprndido n la vida ral, con un jmplo práctico.

3 SITUACIÓN DIDÁCTICA 1: Los alumnos d la matria d cálculo ralizaran dsan laborar una caja d cartón sin tapa para archivar sus trabajos, a partir d una piza d cartón d dimnsions 60 por 40 cm, cortando cuadrados iguals d longitud n cada una d las squinas y doblando los lados (como s mustra n la figura). Es obvio qu l tamaño d la caja va a variar y va a dpndr dl tamaño d los cuadrados qu rcortmos. Conflicto cognitivo Cuál srá l tamaño más adcuado d los corts para obtnr la caja más grand? Cuál srá l modlo matmático para calcular l ára d la bas d la caja? Cuál srá l modlo matmático para calcular l volumn d la caja? Para cada modlo matmático obtnido, podrías hacr una tabla d valors y construir la gráfica?

4 Utilizando distintos colors, traza la gráfica dl ára y volumn con los datos antriors utilizando la scala qu cras convnint. Actividad. A continuación s mustran jmplos d difrnts tipos d funcions algbraicas y funcions trascndnts con su rspctiva gráfica, solo como rcordatorio; pud sr útil a lo largo dl curso d Cálculo Difrncial. Dspués s t prsnta una actividad dond tndrás qu ralizarla d manra individual y socializarla con l rsto dl grupo para obtnr una conclusión. Funcions algbraica:

5 Funcions trascndnts:

6 Instruccions: En las siguints gráficas, idntifica las coordnadas dond la función adquir l valor más alto (máimo) y l valor mnor (mínimo) y scríblo n l spacio corrspondint.

7 Actividad 3. Trabajar n quipos d intgrants, con una hoja d papl n la cual l largo sa l dobl qu l ancho (puds rcortar la hoja). Dsarrolla l modlo matmático n función dl ancho () para dtrminar l ára y contsta lo qu s t pid postriormnt. REGLAS DE DERIVACION Y APLICACIONES CON CÁLCULO Introducción Cálculo, rama d las matmáticas qu s ocupa dl studio d los incrmntos n las variabls, pndints d curvas, valors máimo y mínimo d funcions y d la dtrminación d longituds, áras y volúmns. Su uso s muy tnso, sobr todo n cincias ingniría, simpr qu haya cantidads qu varín d forma continua. Evolución histórica El cálculo s driva d la antigua gomtría griga. Dmócrito calculó l volumn d pirámids y conos, s cr qu considrándolos formados por un númro

8 infinito d sccions d grosor infinitsimal (infinitamnt pquño), y udoo y arquímds utilizaron l "método d agotaminto" para ncontrar l ára d un círculo con la actitud rqurida mdiant l uso d polígonos inscritos. Sin mbargo, las dificultads para trabajar con númros irracionals y las paradojas d znón d la impidiron formular una toría sistmática dl cálculo. En l siglo vii, francsco b. Cavaliri y vanglista torriclli ampliaron l uso d los infinitsimals, y dscarts y pirr d frmat utilizaron l álgbra para ncontrar l ára y las tangnts (intgración y difrnciación n términos modrnos). Frmat isaac barrow tnían la crtza d qu ambos cálculos staban rlacionados, aunqu furon isaac nwton (hacia 1660) y gottfrid w. Libniz (hacia 1670) quins dmostraron qu son invrsos, lo qu s conoc como torma fundamntal dl cálculo. El dscubriminto d nwton, a partir d su toría d la gravdad, fu antrior al d libniz, pro l rtraso n su publicación aún provoca disputas sobr quién fu l primro. Sin mbargo, trminó por adoptars la notación d libniz. En l siglo viii aumntó considrablmnt l númro d aplicacions dl cálculo, pro l uso imprciso d las cantidads infinitas infinitsimals, así como la intuición gométrica, causaban todavía confusión y controvrsia sobr sus fundamntos. Uno d sus críticos más notabls fu l filósofo irlandés gorg brkly. En l siglo i los analistas matmáticos sustituyron sas vagudads por fundamntos sólidos basados n cantidads finitas: brnhard Bolzano y augustin louis cauchy dfiniron con prcisión los límits y las drivadas; cauchy y brnhard rimann hiciron lo propio con las intgrals, y julius ddkind y karl wirstrass con los númros rals. Por jmplo, s supo qu las funcions difrnciabls son continuas y qu las funcions continuas son intgrabls, aunqu los rcíprocos son falsos. En l siglo, l análisis no convncional, lgitimó l uso d los infinitsimals. Al mismo timpo, la aparición d los ordnadors o computadoras ha incrmntado las aplicacions dl cálculo. Incrmntos

9 Incrmnto d la variabl indpndint. Si s da a la variabl indpndint un valor inicial a y dspus un valor final b, s llama incrmnto d la variabl a al difrncia b a. Notación. El incrmnto d s rprsnta, s dcir, la ltra griga dlta colocada dlant d la variabl. = b - a D sta última igualdad s tin: b = a +. Signo: l incrmnto pud sr positivo, nulo o ngativo, sgún qu, l valor final sa mayor, igual o mnor qu l valor inicial. Ejmplo. 1. Calcular l incrmnto d una vlocidad (v) al pasar d 50 km / h a 95 km / h. v.= = 45 km / h.. En la siguint tabla s mustran algunos jmplos d los incrmntos y signos d algunas variabls. variabl Valor inicial Valor final Incrmnto X 5 3 X U V 3 6 Incrmnto d una función. Sa ahora, una función y = f(). Si varia d a a b, l valor inicial d la función s f(a) y l valor final f(b). La difrncia f(b) f(a) s llama análogamnt incrmnto d la función. notación. S prsa: f() = y = f(b) f(a) = f(a + ) f(a) Signo: como l caso d la variabl indpndint l incrmnto d una función pud sr positivo, nulo o ngativo.

10 Ejmplo. ESCUELA PREPARATORÍA OFICIAL No. 16 Calcular l incrmnto d la función y = 5 3 al pasar : 1) d 3 a 5.5 ) d 5 a 3. 1) valor inicial y = f(3) = 15 3 = 1 valor final y = f( 5.5 ) = = 13.5 y = = 1.5. ) valor inicial y = f(5) = 5 3 = valor final y = f( - 3 ) = = -18 y = -18 = - 40 En la siguint tabla s mustran los incrmntos d algunas funcions para los valors inicials y finals d la variabl indpndint qu s indican: Variabl Función Valor inicial indpn dint d la variabl indpndint. Valor final Valor Valor Incrmnt d la variabl dpndint. inicial final d o d la d la la función función función X X X X X Log Si y sta n función d, tnmos y = f()

11 Cuando rcib un incrmnto, corrspond a la función un incrmnto y. Gráficamnt s prsa así: Sa l punto b (, y ) d una curva cuya cuación s d la forma y = f(): y o a b c y Los incrmntos d y d y son: = ac : y = bc Incrmnto d una función continua, al tndr a cro l incrmnto d la variabl indpndint. Analizarmos mdiant algunos jmplos l comportaminto qu prsnta l incrmnto d una función continua cuando l incrmnto d la variabl indpndint tind a cro.

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13 Actividad 5. Forma quipos d intgrants y contstn la siguint situación. Con un cartón d dimnsions d 0 por 30 cm rspctivamnt para la laboración d una caja (como s propuso n la situación didáctica), un galón d lch vacío y otro llno d arroz. Dibuja cuadrados iguals n las cuatro squinas, (tins la librtad d lgir l tamaño()) dspués s rcortaran cuatro cuadrados n las squinas como s mustra n la figura.

14 Contsta lo siguint: Cuál s l modlo matmático (n función d ) para dtrminar l ára d la figura? Cuál s l modlo matmático dl volumn? Llna la caja con arroz y vacíala n los galons. Compara los volúmns d las difrnts cajas con tus compañros. Qué quipo obtuvo l máimo volumn? Si s utiliza la misma piza d cartón (0 30 cm) Qué dimnsión varia para obtnr los difrnts volúmns d las cajas? Para qué sirvn los valors máimos y mínimos? Los máimos y mínimos d una función d dos variabls nos prmitn mdir las altituds máimas y mínimas sobr la suprfici qu intgra la gráfica d la función (stas altituds son similars a las cotas dl punto más lvado d una colina o dl punto más profundo d una hondonada). Iniciarmos con l cálculo dl máimo y dl mínimo (valors críticos d la función) aplicando l critrio d la primra drivada, dspués nunciarmos (sin dmostrarlo) l torma qu s conoc como l critrio d la sgunda drivada, l cual prmit dtrminar (n cirtos casos) si un punto crítico dtrminado corrspond a un máimo o a un mínimo rlativo. La aplicación d stos procdimintos s obsrva n todas las áras; las cincias naturals, las cincias socials y las cincias actas.

15 EJERCICIO: Una compañía mpacadora d uva d msa ncsita cajas abirtas para almacnar su producto d volumn máimo y s van a construir a partir d un trozo cuadrado d matrial qu tin 4 pulgadas por lado, cortando cuadrados iguals d las squinas y doblando los lados hacia arriba. Dibuja cuadrados iguals n las cuatro squinas, (tins la librtad d lgir l tamaño()) dspués s rcortaran cuatro cuadrados n las squinas como s mustra n la figura. a) Escriba l volumn V como función d b) Complt analíticamnt sis rnglons d una tabla como la qu sigu. (S mustran los dos primros rnglons) Us la tabla para hacr una conjtura acrca dl volumn máimo. c) Aplica l cálculo para hallar l númro crítico d la función dl inciso a y ncuntr l valor máimo.us un mdio para l fcto con l fin d construir la gráfica dl inciso a y vrifiqu l volumn máimo a partir d sa gráfica.

16 MÁXIMOS Y MÍNIMOS, CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA. Estas dfinicions stán basadas n la siguint grafica qu nos mustra cómo cambia la rcta tangnt n un punto mínimo y máimo d la curva:

17 Con stos concptos podmos dducir un método para calcular máimos y mínimos para cualquir función: 1r. paso: S calcula la drivada d la función. do. Paso: S iguala a cro la drivada obtnida y s rsulv la cuación qu la forma, a las solucions obtnidas las llamarmos valors críticos y probabls máimos y mínimos. 3r. paso: S vrifican cada uno d los valors críticos y s calculan los signos d la drivada, mpzando con la sustitución d un valor mnor y dspués, s hac lo mismo para otro valor mayor qu él. Los rsultados numéricos obtnidos NO nos intrsan, solo nos importa calcular l signo rsultant. Por jmplo si primro obtnmos un signo (+) y dspués un signo ( ), ntoncs tnmos un máimo para la función. En caso contrario srá un mínimo. Si l signo no cambia ntoncs la función no tin ni máimo ni mínimo. NOTACION DE LA DERIVADA. Para rprsntar a la drivada para un valor = a, y la función drivada s pudn mplar varias notacions : Notación d cauchy [ df()] a Df() = drivada d f() para = a = función drivada d f(). Si s tin y = f(), la función drivada s simboliza por: d y Qu s l: drivada d y rspcto d.

18 Ejmplos: ESCUELA PREPARATORÍA OFICIAL No [d( 6-7 ) ] = = 4.- [ d ( )] = 5 = 375 Notación d lagrang: Si la función s y = f(), la función drivada s rprsnta por y o por f (), s dcir: y = f () y = f () Ejmplos: 1.- f() = , para = 1 f (1) = 9.- f() = 5, para = 3 f (3) = 6 Notación d libnitz. También rcib l nombr d notación amricana. La drivada d una función y = f(), s simboliza: dy d o df ( ) d Esta notación tin su orign l concpto d la difrncial. Runindo los trs tipos d notación d la drivada d la función, la drivada d una función y = f(), pud sr scrita d la siguint manra. y dy lim 0 Df ( ) D y f ( ) y d df ( ) d

19 OBTENCION DE LA DERIVADA DE UNA FUNCION. La drivada d una función la podrmos obtnr partindo dsd dos puntos qu son muy smjants, los cuals son: A.- por mdio d la dfinición ( método d los incrmntos o comúnmnt llamado método d los cuatro pasos). b.- por la utilización d los tormas. El primr caso para obtnr la drivada d una función s por mdio d los siguints pasos: A.- método d los cuatro pasos. 1.- s da un incrmnto a la variabl indpndint.- s calcula l incrmnto corrspondint a la función y 3.- s ncuntra l cocint ntr los incrmntos d la variabl indpndint con rspcto a l d la función y qu s: 4.- s calcula l Ejmplos: lim 0 y y. 1.- calcular la drivada d la función y = s da l incrmnto a y obtnmos: +.-s calcula l incrmnto n y, por lo qu s obtin y + y: y + y = 8( + ) = y como: y = = 8 Hacindo la rsta tnmos: y = = 8 y ralizamos l cocint d: 8 y 4.- calculando l limit cuando 0, lim 0 8 Por lo tanto la función drivada d y = 8 s 8 y s pud prsar d la siguint manra: d 8 = 8 y = 8 f () = 8

20 dy d ESCUELA PREPARATORÍA OFICIAL No ncontrar la drivada d y = Primro s da incrmnto a y s tin: -3( +) + 4. S obtin l incrmnto para y y tnmos: y + y, por lo qu : y + y = -3( +) + 4 = () + 4 Por lo qu: y = = hacindo la rsta tnmos: y = = +-6-3( ) 3.-dividindo ntr, nos quda: 4.- finalmnt calculando l limit: y 6 3( ) = = lim 6-6 o 3 Por lo tanto la drivada d la función y = nos quda: y = calcular la drivada d la función: y = 1. Dando l incrmnto a, s tin: ( ).- dando l incrmnto a y, tnmos: y y Pro lo tanto: y + y = ( ) y = Hacindo la rsta, tnmos: y = ( ) - 3.dividindo ntr, tnmos: y ( ) *

21 4.- calculando l limit multipicamos a l limit por uno tnmos: ESCUELA PREPARATORÍA OFICIAL No. 16 y ( ) lim 0 ( ) * ( ) ( ) ralizando las opracions y simplificando términos tnmos: ( ( )) ( ( ( ) ) ) = ( ( ) ) y 1 lim 0 ( ) ) Como 0, tnmos: y lim 0 1 y 1 lim 0 Por lo qu la drivada d y = s y () = 1

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24 EJERCICIOS PARA CLASE. 1.- y = 4.- y = y = y = y = 4 X y = 15

25 7.- y = ( + 3 )( 5 ) ESCUELA PREPARATORÍA OFICIAL No y = y = y = 3 Sgundo caso para obtnr la drivada d una función s por la utilización d los tormas d drivación. Difrnciación s l procso d calcular drivadas. Si una función f s forma al combinar dos funcions u y v, su drivada f s pud obtnr a partir d u, v y sus rspctivas drivadas utilizando rglas sncillas. Por jmplo, la drivada d la suma s la suma d las drivadas, s dcir, si f = u + v (lo qu significa qu f() = u() + v() para todas las ) ntoncs f = u + v. Una rgla similar s aplica para la difrncia: (u - v) = u - v. Si una función s multiplica por una constant, su drivada quda multiplicada por dicha constant, s dcir, (cu) = cu para cualquir constant c. Las rglas para productos y cocints son más omplicadas: si f = u v ntoncs f = u v + u v, y si f = u vu uv ntoncs f = simpr qu v ( ) 0. v v Utilizando stas rglas s pudn drivar funcions complicadas; por jmplo, las drivadas d y 5 son y 5 4, por lo qu la drivada d la función s (3-4 5 ) = (3 ) - (4 5 ) = 3 ( ) - 4 ( 5 ) = 3 () - 4 (5 4 ) = En gnral, la drivada d un polinomio cualquira f() = a 0 + a a n n s f () = a 1 + a na n n-1 ; como caso particular, la drivada d una función constant s 0. Tormas 1.- si y = c y = 0.- si y =... Y = si y =... Y = 4.- si y = c... Y = c

26 5.- si y = n... Y = n n si y = c n... Y = nc n-1 ESCUELA PREPARATORÍA OFICIAL No si y = u v... Y = u v 8.- si y = uv... Y = uv + vu u vu uv 9.- si y =... Y = v v 10.- si y =... Y = 11.- si y = n... Y = n 1 n 1 n 1 Ejmplos: 1.- sa l monomio 5. Encontrar la drivada por las rglas antriors: y = 5 = d( 5 ) aplicando l torma 6, tnmos: y () = d( 5 ) = ( 5 4 ) y () = sa l binomio Calcular la drivada. y = y () = d ( ) = d (4 3 ) d ( 15 ) Aplicando los tormas 6 y 4 rspctivamnt, tnmos: y () = 4 ( 3 ) 15 (1) y ( ) = sa l polinomio Calcular su drivada. y =

27 y ( ) = d ( ) Aplicando los tormas 6,4 y 1, tnmos: Efctuando las opracions indicadas. y () = d (5 4 ) d (5 ) + d (36) d (6) y ()= 5 ( 4 3 ) 5 ( ) + 36 (1 ) 0 y () = sa l polinomio Calcular su drivada. y ( ) = y () = d ( ) y ( )= d ( ) D( ) D(3 ) D( ) aplicamos los tormas 10,11 y y () = ( ) 3 Simplificando las opracions, nos quda: y () = drivar: y() = ( 4 )( ) aplicando l torma d un producto 8, tnmos: y () = ( 4 ) d (6 8 3 ) + (6 8 3 ) d ( 4 ) Efctuando la drivada por l torma 6 y 4, tnmos:

28 Y () = ( 4 ) ( 6 4 ) + (6 8 3 ) ( 8 ) Ralizando las opracions indicadas y simplificando, nos quda: y () = drivar: y = Por l torma dl cocint d funcions 9, tnmos: (4 16) D(4 5) (4 5) D(4 y () = (4 16) Aplicando l torma 6 y 4, nos quda: (4 16)(8 5) (4 y () = (4 16) y ( ) = (4 16) 5)(8) 16) Drivadas d funcions trascndnts, logarítmicas y ponncials. Y = sn u du y () = cos u d Y = cos u Y = tang u Y = cotg u Y = sc u Y = csc u du y () = -sn u d du y () = sc u d du y () = - csc u d du y () = tang u scu d du y () = - csc u ctg u d

29 Y = a u Y = u ESCUELA PREPARATORÍA OFICIAL No. 16 du y () = a u ln a d du y () = u d Y = ln u y () = 1 du u d Ejrcicio 1. Y = 3sn y () = 3 d (sn ) Por l torma d drivación 1. Tnmos: y () = 3 cos Ejrcicio Y = tg + ctg y () = d (tang ) + d (ctg ) Por los tormas d drivación 3 y 4, tnmos: y () = sc + (-csc ) Finalmnt nos quda: y () = sc - csc Ejmplo 3 G() = sn + cos g () = d( sn ) + d (cos ) Aplicamos l torma 8 alg. Y, tnmos: g () =[ (d (sn )) + sn d ( )] + d ( cos ) g () = [ cos + sn (1) ] + (-sn )

30 Simplificando términos, nos quda: ESCUELA PREPARATORÍA OFICIAL No. 16 g () = cos + sn sn g () = cos Ejrcicio 4. F ( ) = 3 sc tang Aplicando los tormas d drivación algbraicos 8, nos quda: f () = 3(sc )d( tang ) + 3 tang d ( sc ) + (sc ) (tang ) d (3) Aplicamos los tormas 3 y 5, tnmos: f () = 3 (sc ) (sc ) + 3(tang ) (sc tang ) + ( sc ) (tang ) ( 0 ) Simplificando: f () = 3 sc tang sc Finalmnt factorizando, tnmos: f () = 3 sc ( sc + tang ) Ejrcicio 5. csct 1 y = csct u Aplicando l torma dl cocint, tnmos: v (csct ) D (csct 1) (csct 1) D (csct ) y () = (csct ) y () = (csct )( csct ctgt ) (csct 1)( csct ctgt ) (csct ) csc t ctgt 4csct ctgt csc y () = (csct ) Simplificando términos smjants, nos quda: t ctgt csct ctgt

31 ELABORÓ: JULIO CRISPÍN JIMÉNEZ RAMÍREZ y ()= ) (csc 5csc t ctgt t Ejrcicio 6. Y = - Y ( ) = d ( - ) Por mdio dl torma 8, tnmos: y ( ) = - d (- ) y () = - (-1) y () = - - Ejrcicio 7. Y = Por l torma dl cocint v u, tnmos: y () = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( D D Por l torma 8, tnmos: y ( ) = ) ( 1)) ( (1) ( ) ( 1)) ( (1) )( ( Simplificando, nos quda: Y () = ) ( ) )( ( ) )( ( Y () = ) ( ) ( ) ( Y () = ) (

32 4 y () = ( ) Ejrcicios propustos. 1.- f(t) =( sn t ) ( tang t ).- f() = 4 cos 3.- f(y) = y 3 y cos y + ysn y + cos y 4.- f() = sn + cos csct f( t ) = csct sc 6.- f ( ) = 7.- f() = (cos + 1 ) ( sn - 1 ) 8.- f() = sn sn 9.- f() = 1 cos 10.- f() = tang f() = ln 1.- f() = + 5 ln f ( ) = ln( sn 3) 14.- g() = cos g() = 4cos - ln 5

33 Drivada d una función compusta. ( rgla d la cadna ). En algunos casos al aplicar las formulas d drivación qu s indican n sguida, y stá n función d por intrmdio d u, d v o d ambas, a sto s la llama función d funcions d d d d ( uv) dv u d ( u ) nu n n1 v du d du d du dv v u d u 3.- d d d v v Si y = u(z) y z = v(), d manra qu y s una función d z y z s una función d, ntoncs y = u(v()), con lo qu y s función d, qu s scrib y = f() dond f s la dy composición d u y v; la rgla d la cadna stablc qu = d dy * dz dz d, o lo qu s lo mismo, f () = u (v()) v (). Por jmplo, si y = z n dond =, Es la constant d la ponnciación, y z = a dond a s una constant cualquira, ntoncs y = a ; dy sgún la tabla, = z dz dy y = a, por lo qu = a a. Muchos problmas s pudn dz d d formular y rsolvr utilizando las drivadas. Por jmplo, sa y la cantidad d matrial radiactivo n una mustra dada n l instant. Sgún la toría y la princia, la cantidad d sustancia radiactiva n la mustra s rduc a una vlocidad proporcional dy a la cantidad rstant, s dcir, = ay con una cirta constant ngativa a. Para d dy hallar y n función d, hay qu ncontrar una función y = f() tal qu d = ay para cualquir. La forma gnral d sta función s y = c a n dond c s una constant. Como 0 = 1, ntoncs y = c para = 0, así s qu c s la cantidad inicial (timpo =0 ) d matrial n la mustra. Como a<0, s tin qu a 0 cuando crc, por lo qu y 0, confirmando qu la mustra s rducirá gradualmnt hasta la nada. Est

34 s un jmplo d caída ponncial qu s mustra n la figura a. Si a s una constant positiva, s obtin la misma solución, Y = c a, pro n st caso cuando l timpo transcurr, la y crc rápidamnt (como hac a si a>0). Esto s un crciminto ponncial qu s mustra n la figura b y qu s pon d manifisto n plosions nuclars. También ocurr n comunidads animals dond la tasa d crciminto s proporcional a la población. Drivadas sucsivas d una funcion. (drivadas d ordn suprior). Es convnint rcordar qu para studios supriors, ntr otros, d máimos y mínimos rlativos, sntido d la concavidad n un punto, y para dtrminar los

35 Puntos d inflión d una curva, s ncsario obtnr las drivadas sucsivas d una función. dy d d d d y d d d dy d d y d s la primra drivada la drivada d la primra drivada s la sgunda drivada, qu s prsa: la drivada d la sgunda drivada s la trcra drivada, qu s 3 d y Eprsa: 3 d asi sucsivamnt, hasta la nésima drivada. Notación: dy d d y d 3 d y y y 3 d y 4 d y 4 d iv y Drivada d funcions implícitas. Como ya s comnto qu istn funcions d forma implícita y d forma plicita. Por jmplo, la función y = (5 ) sta prsada n forma plicita; la misma prsión n forma implícita qudaría d la siguint forma y + = 5. Hmos studiado las formulas para drivar las funcions plicitas, pro sucd a vcs qu dbmos drivar una función implícita porqu no s posibl o rsulta muy

36 complicado dspjar a la y. Esto lo rsolvmos con l método d drivación implícita, qu constituy una aplicación d la drivación d una función d funcions. Procdiminto para drivar una funcion implícita. Primro drivamos término a término y s toma a y como función d. En la prsión dy rsultant s dspja a como s hac n cualquir cuación. d Ejmplo. Driva la función implícita: X + y = 5 Ralizamos la drivación término a término con rspcto a : d d d d ( ) ( y ) y dy d Aplicando las formulas fundamntals, calcular la drivada d divrsas funcions algbraicas. En los siguints jmplos dmostrativos, s prsntan difrnts modlos matmáticos, los cuals s plican paso a paso con l fin d qu l studiant tnga una mayor comprnsión y ntndiminto dl procso; también s ls rcominda l uso y manjo dl formulario, mintras s logra la mmorización d las mismas; por último s ls indica qu n la mayor part d los problmas d los jmplos dados s hac uso d las opracions algbraicas fundamntals. Ejrcicios propustos.

37 1.- y = ESCUELA PREPARATORÍA OFICIAL No y = y = ( 3 ) y = a 5.- y = y = y = 3 9 a 8.- y = a 9.- y = 1 1

38 10.- y = 1 t t ESCUELA PREPARATORÍA OFICIAL No y = y = y = y = 10 3 Caráctr crcint y dcrcint d una funcion. La gráfica d una función continua facilita claramnt dónd o n qu intrvalos la función s crcint, constant o dcrcint; por jmplo, n la figura tnmos qu:

39 dcrcint crcint crcint constant a) D = - hasta = 0, la función s crcint b) D = 0 hasta = 1, la función s dcrcint c) D = 1 hasta = 3, la función s constant d) D = 3 hasta =, la función s crcint. Lo antrior, nos prmit obtnr las siguints dfinicions: Funcion crcint.- una función y = f() s crcint si al aumntar algbraicamnt, también y aumnta, s dcir, la función s crcint n un intrvalo si s crcint n todos los valors dl intrvalo. Funcion dcrcint.- una función y = f() s dcrcint si al aumntar algbraicamnt, la y disminuy, s dcir, la función s dcrcint n un intrvalo si s dcrcint n todos los valors dl intrvalo.

40 jmplos gráficos. ESCUELA PREPARATORÍA OFICIAL No. 16 y y = f() y = f() y y 0 0 función crcint función dcrcint Critrio para indicar l caráctr crcint o dcrcint d una función. Al analizar l comportaminto d una función si s crcint o dcrcint n un intrvalo dado, la drivada d la función s important ya qu si la drivada s positiva, la tangnt forma un ángulo agudo con l j y tin pndint positiva (función crcint); si la drivada s ngativa, la tangnt forma un ángulo obtuso con l j y tin pndint ngativa (función dcrcint); por lo antrior rsulta l siguint critrio para dtrminar si una función s crcint o dcrcint: Una función s crcint cuando su drivada s positiva; s dcrcint cuando su drivada s ngativa. Ejmplos:

41 1.- hallar los intrvalos n los qu y = s crcint o dcrcint. solución: graficando la función dada, tnmos: X Y y = y = y = (3 3) ( 3) Igualando a cro cada uno d los factors d la drivada, tnmos: 3 3 = 0 y 3 = 0 3 = 3 = 3 3 = 3 = 1 y = 3 Por lo qu los intrvalos qu tndrmos qu analizar srán:

42 a) (-, 1 ) b) ( 1, 3) c) (3, ) D (-, 1 ) tomamos un númro ntr l intrvalo = 0 y valuamos a y, rsultando: Por lo tanto y = 3(0) 1 (0) + 9 = 9 y > 0, por lo qu la función s crcint. D ( 1, 3 ) tomando un valor dl intrvalo = y valuando a y, tnmos: Por lo tanto: y = 3() 1() + 9 = y = 3(4) 1() + 9 = y = = -3 y < 0, por lo qu la función s dcrcint. D ( 3, ) tomando un valor dl intrvalo = 5 y valuando a y, tnmos: Por lo tanto: y = 3(5) 1(5) + 9 = y = 3(5) = y = =4 y > 0, por lo qu la función s crcint.

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