LIMITES DE FUNCIONES EN 1D

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1 LIMITES DE FUNCIONES EN D Límits d funcions n D Autor: Patrici Molinàs Mata (pmolinas@uoc.du), José Francisco Martínz Boscá (jmartinzbos@uoc.du) ESQUEMA DE CONTENIDOS Dfinición Límits latrals LÍMITE DE UNA FUNCIÓN n un punto Cálculo dl límit Órdns d magnitud Indtrminacions Infinitésimos quivalnts Rgla d l Hôpital Proycto -Math

2 Límits d funcions n D INTRODUCCIÓN El concpto d límit s uno d los más importants n l análisis matmático. Sobr l concpto d límit rsid la dfinición d continuidad d una función n un punto así como la d drivabilidad d una función n un punto. Es por st motivo, qu ddicarmos un Mathblock ntro a studiar st important concpto. En particular, vamos a dsarrollar suficint dstrza d cálculo como para podr dtrminar, para cualquir función, la istncia dl límit n un punto, s dcir, la istncia d una cantidad ral finita a la qu convrg la función al aproimars a dicho punto, tanto dsd valors supriors como infriors a él. S afirma la istncia dl límit cuando los límits por arriba y por dbajo dl punto considrado arrojan l mismo rsultado numérico. Estos límits rcibn l nombr d límits latrals. Cuando coincidn, l límit ist y su valor s l d los dos límits latrals. Invstigar la istncia d límit conllva fctuar l cálculo plícito d los límits latrals qu muy a mnudo supon rsolvr indtrminacions como por jmplo:. Qué significa? Básicamnt significa qu al buscar l límit d una prsión, si substituimos la variabl por l valor al qu tind, obtnmos algo qu tind a por algo qu tind a. Dpndindo dl grado o la furza con la qu la primra part d la función tind a y la sgunda a, la indtrminación pud arrojar un valor nulo, ral (finito) o infinito. OBJETIVOS DOCENTES Introducir l concpto d límit d una función n un punto. Adquirir los conocimintos ncsarios para l cálculo automático d límits. Conocr l ordn d magnitud d las funcions n su aproimación al infinito. Rconocr los sit tipos d indtrminacions y aplicar métodos d rsolución adcuados para solvntarlos qu incluyn la racionalización, la substitución mdiant infinitésimos quivalnts. CONOCIMIENTOS PREVIOS Con antrioridad a la lctura d st Mathblock, s fundamntal habr ralizado un studio dtallado dl siguint tma: Funcions rals d variabl ral. Asimismo también s muy aconsjabl qu s tnga un conociminto mínimo dl programa Mathcad, qu incluya como calcular límits d funcions. Por lo tanto, rcomndamos qu trabajéis los Mathblocks: Uso básico dl Mathcad n Análisis (I): cálculo simbólico y analítico y Funcions d una variabl, ants d mpzar con ést. Dspués d habr trabajado st Mathblock podéis abordar l d Continuidad n una dimnsión y Drivación. CONCEPTOS FUNDAMENTALES Límit d una función n un punto: dfinición Proycto -Math

3 Límits d funcions n D El concpto d límit d una función n un punto s uno d los más importants dl tma dado qu prmit introducir l concpto d continuidad. Dcimos qu una función f () tin it L n un punto cuando para todo númro positivo, ε, (por pquño qu sa), ε >, simpr s posibl ncontrar otro númro positivo, δ, tal qu si < δ sto implica qu f ( ) L < ε. Intuitivamnt l límit d una función n un punto quival al valor al qu la función tind indpndintmnt dl valor qu tin, a partir d la dfinición, n aqul punto. Así, n cada punto d la rcta ral, tnmos dos límits: uno por la drcha o suprior (aproimando la función hacia a partir d valors ligramnt supriors a ): L f ( ) ( ) y otro por la izquirda o infrior (aproimando la función hacia a partir d valors ligramnt infriors a ): L f ( ). ( ) L y L rcibn l nombr d límits latrals por la drcha y por la izquirda, rspctivamnt. La coincidncia d los dos límits rsulta n la istncia dl límit d la función n l punto: L L f ( ) L f ( ) ( ) ( ) Órdns d magnitud n l infinito Supongamos qu f () y g () san funcions tals qu: f ( ) g( ) ntoncs dcimos qu: f () y g () son dl mismo ordn d magnitud cuando l ni ). En st caso scribimos f ( ) g( ). f ( ) g ( ) s una cantidad finita (ni, f ( ) f () tin un ordn d magnitud suprior a g () cuando. En st caso g ( ) scribimos f ( ) >> g( ). Proycto -Math 3

4 Límits d funcions n D f ( ) f () tin un ordn d magnitud infrior a g () cuando. En st caso scribimos g( ) f ( ) << g( ). Damos aquí los órdns d magnitud rlativos d las funcions más comúnmnt utilizadas: k p (log a ) << << a <<! << con > k, p > y a > cuando Cuando tngamos qu rsolvr un límit racional con dos d stos tipos d funcions, podrmos dar l rsultado corrcto con sólo fijarnos n las posicions qu ocupan n sta gradación. Indtrminacions A mnudo no podmos aplicar una rlación d órdns d magnitud, y n l cálculo dl límit obtnmos prsions indtrminadas, s dcir cuyo vrdadro valor dsconocmos. S trata d sit prsions indtrminadas o indtrminacions: cuatro d racionals y trs d potncials. Indtrminacions racionals:,, y Indtrminacions potncials:, y En l apartado Casos prácticos con softwar darmos jmplos tipo d cada una d stas indtrminacions y d la técnica d rsolución qu solmos aplicar. Infinitésimos quivalnts Supongamos dos funcions f () y g () tals qu: f ( ) a Estas funcions rcibirán l nombr d infinitésimos quivalnts cuando, g( ) a a. f ( ) y. a g( ) Simpr qu tngamos una función f () como part d un límit cuando a podmos substituirla por un infinitésimo quivalnt n a si stá multiplicando o dividindo al rsto d la prsión. Por jmplo, son infinitésimos quivalnts cuando, las siguints funcions:, sin, arcsin, tan, arctan, ( ) ln,, sinh, tanh Proycto -Math 4

5 Límits d funcions n D Rgla d l Hôpital San f y g funcions rals d variabl ral, continuas, tals qu f ( ) y g( ) o bin qu ambos límits son nulos: f ( ) a f ( ) también ist l, y ambos coincidn: a g ( ) y a g( ). Si ist a a f '( ) ntoncs a g '( ) f ( ) a g( ) f '( ) a g'( ) Esta rgla s muy útil para rsolvr límits indtrminados como mostramos, n un jmplo, n Casos prácticos con softwar. CASOS PRÁCTICOS CON SOFTWARE Cálculo d límits latrals y dtrminación d la istncia dl límit Calculmos analíticamnt y con Mathcad los límits latrals para las siguints prsions: a) b) 4 ( )( 3 ) y dtrminmos si l límit ist. a) Empcmos calculando l límit por la drcha d la función cuando tind a cro: Podmos rsolvr la indtrminación aparnt dl tipo multiplicando numrador y dnominador por : Proycto -Math 5

6 Límits d funcions n D y dbido a qu y D forma similar podmos calcular l límit por la izquirda: y dond y Estos rsultados pudn sr comprobados fácilmnt con Mathcad: Pusto qu los dos límits latrals (- y ) no coincidn, no ist l límit d la función n l punto cro, b) Calculmos los límits latrals qu mustran una indtrminación dl tipo prsando los polinomios dl numrador y dnominador n función d binomios lmntals con la intnción d simplificar: 4 ( )( 3 ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) 4 ( )( 3 ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) Con la ayuda d Mathcad podmos comprobar stos límits: Proycto -Math 6

7 Límits d funcions n D 4 ( ) ( ) 3 4 ( ) ( ) 3 y, por tanto: 4 ( ) ( ) 3 Dado qu los límits latrals son finitos y coincidn, ist l límit d la función n l punto -. Rsolución d indtrminacions Racionals En l punto antrior hmos tratado dos jmplos d indtrminacions tipo y. Vamos ahora a tratar las indtrminacions d los tipos y. Supongamos la función y calculmos su límit cuando. Dbmos rsolvr una indtrminación dl tipo. Pusto qu s trata d una difrncia d raícs, para solvntar la indtrminación utilizarmos la técnica d multiplicar por l conjugado n l numrador y l dnominador: ( ) ( )( ) Comprobmos st rsultado con Mathcad Como jmplo d indtrminación dl tipo tommos la función cuando. Para rsolvr la indtrminación basta con prsar dicho límit como un cocint d infinitos y, postriormnt, por comparación d órdns d magnitud, obtnr l rsultado: Proycto -Math 7

8 Límits d funcions n D Comprobémoslo con Mathcad Potncials Vamos a tratar las indtrminacions, y. Supongamos la función y calculmos su límit cuando. Dbmos rsolvr una indtrminación dl tipo. Para solvntarlas intntarmos prsar la función a partir dl númro d la siguint forma: / Aplicando las propidads d los límits: / / / / y substituyndo y / llgamos a: y y y / / Comprobmos l rsultado con Mathcad p( ) Supongamos la función y calculmos su límit cuando nos conduc a una indtrminación dl tipo dl logaritmo npriano d la función:. La simpl substitución. Vamos como podmos rsolvrla buscando l límit ln ln Proycto -Math 8

9 Límits d funcions n D Hmos consguido convrtir l problma n l d una indtrminación tipo, qu vamos a prsar siguindo lo qu hmos hcho antriormnt como una indtrminación : ln Aplicando la Rgla d l Hôpital, tnmos qu: ( ) 3 Lugo l límit qu buscamos s la ponncial dl límit dl logaritmo npriano d la función. En fcto: ln Comprobmos l rsultado con Mathcad Finalmnt vamos a ilustrar la última d las indtrminacions racionals. Supongamos la función π π tan( ) y calculmos su límit cuando. La simpl substitución nos conduc a una ( ) indtrminación dl tipo siguint cambio d variabl: y.. Vamos como podmos rsolvrla fctuando, n primr lugar, l y π y qu conllva qu l límit sa d la función tan( y ) para Para rsolvr st límit, buscamos l límit dl logaritmo npriano d sta función: ln tan( y) y ln y ln y ln tan( y) tan( y) ( tan( y) ) y Proycto -Math 9

10 Límits d funcions n D Aplicando l Hôpital para solvntar la indtrminación : tan( y) cos ( ) y sin( y y) hmos consguido rducir la indtrminación a una dl tipo, qu volvmos a drivar: y 4y sin(y) cos(y) π ) Y, por lo tanto, como l límit dl logaritmo npriano d la función ( ) π, l límit d dicha función para π val. tan( val cuando Comprobmos l rsultado con Mathcad π ( tan() ) π Cálculo d límits mdiant infinitésimos quivalnts Calculmos los siguints límits: a) sin 3 sin 5 3 ( ) b) arcsin ln ( ) utilizando infinitésimos quivalnts y suponindo qu l rsultado s indpndint d como s fctúa la aproimación al valor (a partir d valors supriors o infriors). a) Aplicando infinitésimos quivalnts podmos calcular l valor dl límit: sin 3 sin ( ) ( ) ( ) 5 Proycto -Math

11 Límits d funcions n D a) Comprobmos st rsultado con Mathcad sin( 3) sin( 5) ( ) 3 5 b) Aplicando infinitésimos quivalnts podmos calcular l límit: arcsin( ln ( ) ) a) Comprobmos st rsultado con Mathcad asin ln( ) Aplicación dl cálculo difrncial al computo d límits: Rgla d l Hôpital Calculmos los siguints límits: a) α β b) p p con p y q > q q utilizando la rgla d l Hôpital. El límit n a) tind a cuando y, por lo tanto, podmos aplicar la rgla d l Hôpital. Drivando l numrador y l dnominador obtnmos: α β ( α ( )' β )' α α β β α β Fijaros qu no calculamos los límits latrals por sparado pusto qu coincidn como podéis comprobar. En l caso b) también podmos aplicar la rgla d l Hôpital pusto qu l límit tind a cuando : Proycto -Math

12 Límits d funcions n D p q p q d d d d p q p q p q 3 3 qu simplificando nos conduc a: q p q p Comprobamos ambos rsultados con Mathcad: a) α β α β b) p ( p ) q ( q) p q Límits indtrminados. Ejmplos d límits indtrminados d dos tipos: los qu pudn sr rsultos mdiant la rgla d l Hôpital y los qu no Vamos a justificar por qué motivo no podmos aplicar la Rgla d l Hôpital a algunos d los límits siguints y, n stos casos, los rsoldrmos mdiant otros métodos: a) ln / b) sin(/ ) sin Proycto -Math

13 Límits d funcions n D c) sin sin d) sin Rcordmos lo qu stablc la Rgla d l Hôpital. Si l cálculo dl límit indtrminación dl tipo o con númro ral L ) ntoncs podmos afirmar qu: f '( ) a R o a infinito, y l a g '( ) f ( ) a g ( ) conduc a una ist (s dcir, s igual a un f ( ) a g( ) L Fijémonos qu la Rgla d l Hôpital no afirma qu f '( ) a g '( ) ista ncsariamnt. Sguidamnt vrmos cómo para muchas funcions st último límit no ist y, sin mbargo, somos capacs d calcular l límit indtrminado f ( ) a g ( ). f '( ) a) Cómo s trata d una indtrminación dl tipo podmos intntar valuar l límit g'( ) Si ést ist (s finito), aplicando la Rgla d L Hôpital conocrmos l valor d Evaluando obtnmos: f ( ) g( ).. f '( ) ( ln )' '( ) ( )' g ( )( ) con lo qu podmos concluir qu: f ( ) ln ( ) g f '( ) b) Al tratars d una indtrminación dl tipo podmos intntar valuar l límit g'( ) ist (s finito), aplicando la Rgla d L Hôpital conocrmos l valor d último límit obtnmos: f ( ) g( ). Si ést. Evaluando st Proycto -Math 3

14 f '( ) g'( ) [ sin( ) ]' [ sin ] ' sin ( ) sin( )( ) cos Límits d funcions n D sin cos ( ) sin( ) cuya prsión final oscila n [-,] y por lo tanto no tin límit. Es, pus, imposibl aplicar la Rgla d l Hôpital para calcular l límit qu nos ocupa. No obstant, podmos rsolvrlo utilizando infinitésimos quivalnts. Cuando las funcions y sin son quivalnts (infinitésimos quivalnts). Esto prmit fctuar l siguint cálculo: f ( ) g( ) sin sin ( ) sin ( ) dond hmos aplicado n la última igualdad l hcho qu l producto d una función qu tind a cro por una función qu oscila ntr dos cantidads finitas, n st caso y, tind a cro. c) Dl mismo modo qu n b), vrmos n st caso qu la Rgla d l Hôpital tampoco sirv. Si valuamos l límit f '( ) g'( ) vmos qu no ist. En fcto: f '( ) g'( ) d d ( sin ) d cos cos ( sin ) d dond la prsión final oscila. No obstant l límit pud rsolvrs fácilmnt sacando factor común tanto n l numrador como n l dnominador: ( sin ) ( sin ) f ( ) sin sin g( ) sin sin d) Finalmnt l último límit sí qu s pud rsolvr utilizando la Rgla d l Hôpital. Evalumos l límit f '( ) g'( ) : Proycto -Math 4

15 Límits d funcions n D d f '( ) g'( ) ( sin ) d d d cos Al sr l límit dl cocint d las primras drivadas indtrminado, s calcula l mismo límit para l cocint d drivadas sgundas y así sucsivamnt hasta qu l límit djas d sr indtrminado. Evaluarmos l límit dl cocint d las sgundas drivadas: f ''( ) g''( ) sin Entoncs podmos afirmar qu: f g ( ) ( ) f '( ) g'( ) f ''( ) g''( ) Comprobmos los rsultados con Mathcad: ln () sin sin() sin() sin() sin() Proycto -Math 5

16 Límits d funcions n D CONCLUSIONES Hmos visto la importancia dl concpto d límit y su sntido intuitivo. El límit s l valor qu la función dbría tnr o, d hcho, tin n un punto a tnor d los valors d la función muy crca d dicho punto. En una dimnsión, la istncia d límit quival a la istncia d dos límits llamados latrals y corrspondints a la aproimación hacia dicho punto mdiant valors supriors infriors al pùnto considrado. Calcular un límit d una función n un punto s fctúa mdiant rglas basadas n órdns d magnitud d crciminto, rsolución d indtrminacions, substitución por infinitésimos quivalnts o drivación (Rgla d l Hôpital). Con una amplia mustra d límits hmos ilustrado las difrnts técnicas para l cálculo d límits. Mathcad rprsnta una ayuda instimabl para la comprobación d límits calculados analíticamnt al mismo timpo qu un instrumnto indpndint para l cálculo simbólico y numérico d límits. BIBLIOGRAFÍA [] J. M. Ortga (99): Introducción al Análisis Matmático, Manuals d la Univrsidad Autónoma d Barclona, Bllatrra. [] V.A. Kudryasvtsv and B.P. Dmidovich (98): A brif cours of Highr Mathmatics, Mir Publishrs, Moscú, p [3] T.A. Apostol (98): Calculus: Cálculo con funcions d una variabl, con una introducción al álgbra linal, Rvrté, Barclona, p [4] R. Calm, N. Coll, y M.R. Estla (99): Problmas d cálculo, Micromar, Barclona, p [5] R. Courant and F. John (976): Introducción al Cálculo y al Análisis Matmático, Limusa, Méico, p [6] S. Martín Monllví (): Las idas básicas dl cálculo, Ediuoc, Barclona, p [7] S. Martín Monllví (): Profundización n las técnicas d cálculo, Ediuoc, Barclona, p. 7-. [8] B. Dmidovich (978): Problmas y Ejrcicios d Análisis Matmático, Paraninfo, Madrid, p [9] M.R. Estla, E. Cullo y A.Carmona (): Cálculo: Problmas y solucions, Edicions UPC, Barclona, p [] T.M. Apostol (979): Análisis Matmático, Rvrté, Barclona, p Proycto -Math 6

17 Límits d funcions n D ENLACES [W] [W] [W3] Eclnt aula virtual con apunts d límits d funcions (tma C5). En l Capítulo s prsntan ntr otros contnidos los límits d funcions. Toria, jrcicios, problmas y nunciados d ámns d cálculo (también d límits d funcions). [W4] [W5] [W6] [W7] [W8] Apunts d sris d límits y continuidad. Problmas y jrcicios d límits. Página wb d PlantMath.org ddicada a límits d funcions (n inglés). Contin una brv rflión histórica sobr la formulación d la dfinición más común actualmnt d límit. Página wb d PlantMath.org ddicada a límits latrals (n inglés). Eclnt rsumn d cálculo (límits, drivación, intgración, tc) con funcions. Contin un módulo sobr l cálculo d límits indtrminados d funcions. [W] Apunts d límits y drivación d funcions. Proycto -Math 7