Integrales indefinidas. 2Bach.

Transcripción

1 Intgrals indfinidas. Bach..- FUNCIÓN PRIMITIVA. INTEGRAL INDEFINIDA. La intgración s la opración invrsa d la drivación. Dada una función f(), dirmos qu F() s una primitiva suya si F ()f(). Nota: La primitiva d una función no s única; por jmplo, si f(), ntoncs F (), F (),...tc, son primitivas d f(). Propidad: Si F () y F () son primitivas d una misma función f(), ntoncs s difrncian n una constant; o sa, F ()-F ()ct. Dmostración: F '( ) F '( ) f ( ) F '( ) F '( ) 0 ( F ' F ')( ) 0 ( F F )( ) ct F ( ) F ( ) ct. Pus bin, acabamos d vr qu si una función f() tin una función primitiva F(), ntoncs admit infinitas primitivas, cuyas prsions srán F()K, sindo K una constant arbitraria. Al conjunto d todas las primitivas d f(), s l llama intgral indfinida d f() y s l dnota mdiant f ( ) d. Por jmplo: d K, sindo K una constant arbitraria. Si ist la intgral indfinida d una función, s dic qu ésta s intgrabl..- PROPIEDADES DE LA INTEGRACIÓN. Las dos propidads más importants d la intgración son las siguints: ) La intgral d la suma (difrncia) d dos funcions s igual a la suma (difrncia) d las intgrals d dichas funcions. O sa, [ f ( ) g( ) ] d f ( ) d g( ) d. Dmostración: Por un lado ( [ f ( ) g( ) ] d) ' f ( ) g( ). Por otro lado, ( f ( ) d g( ) d) ' ( f ( ) d )' ( g( ) d) ' f ( ) g( ). Igual s dmustra con la difrncia. csqd. ) La intgral dl producto d un númro por una función s igual al producto dl númro por la intgral d dicha función. O sa, a f ( ) d a f ( ) d. Dmostración: Análoga a la antrior. La utilización d stas dos propidads constituy l llamado método d dscomposición n l qu como principio convin dscomponr l intgrando lo más posibl, aplicando las propidads antriors; a vcs, convin hacr un hábil manjo d constants, sumar y rstar una misma cantidad ó multiplicar y dividir por un mismo númro. Ejmplo: 7 d d 7 d d 7 d 7 ln K Intgrals indfinidas. Pág d 6.

2 Intgrals indfinidas. Bach..- CUADRO DE INTEGRALES INMEDIATAS. FORMAS TIPOS Simpls. Potncial (n -) n n d K n. Logarítmico d ln K d K. Eponncial a a d K ln a. Sno sn d cos K. Cosno cos d sn K 6. Tangnt tand ln sc K 7. Cotangnt cot and ln sn K 8. Scant sc d tan K 9. Coscant cosc d cot an K 0. Arco sno d arcsn K. Arco tangnt d arc tan K. Arco scant d arcsc K Compustas Aunqu no son inmdiatas, hay algunas qu aparcn con mucha frcuncia y convin sabr. Son las siguints: m n d, d a a b c a b d c Ejmplos: ) d d d d atan d d d ( ) ) d atan K ( ) K. Intgrals indfinidas. Pág d 6.

3 Intgrals indfinidas. Bach. ) 8 8 d d d d tipo npriano tipo arco tangnt.- INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE. Est método s una conscuncia d la drivación d funcions compustas. Como su nombr indica, s trata d sustituir la variabl por otra variabl t mdiant una nuva función g tal qu g(t), para transformar l intgrando f()d n otro más sncillo. D sta manra, dg (t)dt, con lo qu qudaría qu f ( ) d f ( g( t)) g'( t) dt. En la práctica s sul hacr d la siguint manra: S hac tu(t), d dond dtu ()d y s dspjan a continuación y d, sustituyéndolos n l intgrando. Si l cambio d variabl ha sido bin lgido, la última prsión srá más fácil d intgrar qu la primra. Una vz calculada ésta, s dshac l cambio y tndrmos así la intgral pdida. Cuándo s aconsjabl utilizar st método? a) Cuando aparzca n l intgrando un producto o un cocint d funcions d modo qu una d llas rcurda a la drivada d la otra. Ejmplo: sn( ) ( ) d. Hacmos l cambio t y nos qudaría ()ddt. Entoncs sn( ) ( ) d sn( ) ( ) d sn t dt ( cost) K cos( ) K b) Cuando l intgrando guarda cirto parcido con una intgral inmdiata. Ejmplo: 9 d Esta intgral guarda cirto parcido con d qu s inmdiata. Dividindo n nustra intgral numrador y dnominador por 9 nos quda: 9 d (*) 9 d 9 d 9 9 Ahora hacmos l cambio d variabl t d dt d dt, con lo qu (*) dt dt dt arctan t K arc tan K t 9 9 t 8 t 6 6 Intgrals indfinidas. Pág d 6.

4 Intgrals indfinidas. Bach. c) En algunos casos s ncsario comnzar ralizando una transformación prvia para dspués aplicar un cambio d variabl. Ejmplo: d. d d d d d arcsn (*) En la sgunda intgral (*), hacmos l cambio d variabl - t, con lo qu ddt y ntoncs (*) dt dt d t K K. t t Por lo tanto, d arcsn K..- INTEGRACIÓN POR PARTES. Est método s basa n la drivada d un producto d funcions. San u y v dos funcions d una misma variabl indpndint. Entoncs d ( u v) u dv v du u dv d( u v) v du u dv u v v du Esta fórmula rduc l cálculo d la intgral u dv al d v du. Cuándo s convnint mplar st método? a) Cuando aparzca un producto o un cocint d funcions d modo qu ninguna d las drivadas d stas funcions rcurd a la otra. Ejmplo: d Llamamos u y dv d con lo qu du d y Lugo d udv uv vdu v d. d * (*) d. En (**) volvmos a hacr u y dv d con lo qu dud y ** v d. (**) d K Rsumindo, d ( ) K ( ) K b) A vcs, l procdiminto d intgración por parts nos conduc a la misma intgral dl principio, como n l jrcicio siguint: Ejmplo: cos d Llamamos ucos y dv d con lo qu du-sn d y cos d cos ( sn ) d v d. cos sn d Lugo ( ) * Intgrals indfinidas. Pág d 6.

5 Intgrals indfinidas. Bach. En (*) volvmos a hacr usn y dv d con lo qu ducos d y (*) sn cos d Entoncs, cos d cos d cos cos sn sn K cos d cos d v d. cos c) A vcs, s ncsario combinar l método d intgración por parts con otro. sn K 6.- INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES. P( ) Las funcions racionals son d la forma f ( ) dond P() y Q() son Q( ) funcions polinómicas y stán dfinidas n todos los puntos d R mnos n aqullos dond s anula l dnominador. Nota important: Las intgrals d muchas funcions racionals pudn calculars dirctamnt; por so, hay qu comprobar primro si l intgrando prtnc a alguno d stos tipos: a) Forma potncial b) Forma npriana c) Forma arco tangnt d) Forma npriano-arco tangnt vistos con antrioridad. Si no corrspond a ninguno d stos tipos, lo qu harmos srá transformar nustra función racional n una suma d fraccions qu tinn por dnominador polinomios d primr o sgundo grado irrducibls (dscomposición n fraccions simpls). Estudiarmos solamnt l caso n l qu todas las raícs dl dnominador san rals pusto qu s l único caso qu ign n Slctividad. El squma d dscomposición n fraccions simpls s l siguint: P( ) A B C...( factors linals simpls) Q( ) a b c M N...( factor linal dobl) ( m) m P Q R...( factor linal tripl) ( p) ( p) p... Para la dtrminación d las constants A, B, C,...,M, N,...,P, Q,... s hac lo siguint: a) S multiplica la igualdad antrior por Q(), obtniéndos la igualdad polinómica P()... b) S dan valors numéricos n ambos mimbros, tantos como constants haya qu dtrminar. Por comodidad s utilizan las raícs obtniéndos un sistma d cuacions. Intgrals indfinidas. Pág d 6.

6 Intgrals indfinidas. Bach. Intgrals indfinidas. Pág 6 d 6. c) S rsulv l sistma y las solucions obtnidas s sustituyn n las fraccions simpls. Ejmplo: Vamos a dscomponr n fraccions simpls la función racional ) ( f El dnominador s dscompon como () (-). Entoncs podrmos dscomponr como ) ( ) ( C B A f Multiplicando la igualdad antrior por () (-) rsulta A(-) B()C()(-) Dando valors: Para tnmos 8B B Para - tnmos A A/ Para 0 (por jmplo) tnmos AB-C C-/ Entoncs tnmos qu: ) (. Los factors simpls así obtnidos son fácilmnt intgrabls, pus srán d la forma potncial ó npriana. En nustro caso K d d d d ln ln ) (