INTEGRAL INDEFINIDA. Derivación. Integración

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1 TEMA 8 Itgral Idfiida INTEGRAL INDEFINIDA FUNCIÓN PRIMITIVA. F() s ua primitiva d f() si F ()= f(). Esto s prsa así: f() = F'() = F() La itgració s la opració ivrsa a la drivació, d modo qu: FUNCIONES PRIMITIVAS Drivació Itgració FUNCIONES DERIVADAS Si F() s ua primitiva d f() (F ()= f()), tocs F() K, sido K ua costat, tambié srá ua primitiva d f(), pus: (F()K) = f(). Por tato, podmos afirmar qu ua fució ti ifiitas primitivas, lo qu podmos prsar: f = F( ) K A la prsió f () s l llama itgral idfiida o simplmt itgral d f(), por so al cálculo d primitivas s l sul llamar cálculo d itgrals o itgració. EJEMPLOS: FUNCIONES DERIVADAS PRIMITIVAS y = y = = K y = y = = K y = l y = = l K PROPIEDADES = f = f.- ( f ) g( ) ).- ( f ) C ( g( ) C, sido C R EJEMPLOS:.- = = l K pág. 8 ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-07

2 TEMA 8 Itgral Idfiida.- = = K l DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN. La omclatura qu hmos utilizado para calcular itgrals s útil para fucios cuya drivada sa coocida, tipo potcial, logarítmica o alguas trigoométricas. Para otras fucios s csario utilizar algua técica d itgració (cambio d variabl, método d parts ), lo qu os coduc a modificar la omclatura y utilizar la otació difrcial. Dfiimos la difrcial d ua fució 0 d la siguit mara: df( 0 )=f '( 0 ) A D C dy B Sa y=f() drivabl 0 Tracmos la rcta tagt a sa curva A( 0,f( 0 )). Sabmos qu f '( 0 ) s la pdit d la rcta tagt a y=f() l puto 0 s dcir: 0 BC BC f '( 0) = ta α = = BC = f '( 0). = d(f( 0 ) AB Por tato: El sgmto BC rprsta la difrcial l puto 0 El sgmto BD rprsta l icrmto d la fució corrspodit al El sgmto CD rprsta l rror comtido al sustituir f( 0 ) por df( 0 ) Obsérvs qu cuado sa pquño BC BD s dcir qu df( 0 ) srá ua bua aproimació d f( 0 ). Para la fució g() =, s ti d g() = g '(). =. =. Como, d g() = d s ti d = sustituydo df() =f '(). s obti: df()=f '()d dy = f '() (Eprsió d la drivada como cocit d difrcials) d Si F() s ua primitiva d f(), tocs F () = f() y, por tato d F() = f() d y la itgral s prsa así: f d = F( ) K pág. ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-07

3 TEMA 8 Itgral Idfiida EJEMPLOS: FUNCIONES DERIVADAS DIFERENCIALES PRIMITIVAS y = y = d d = K y = y = d d = K y = l y = d d = l K INTEGRALES INMEDIATAS PARA LA FUNCIÓN COMPUESTA..- ( f ) ( f ) f ' d = K si f '.- d = l f K f.- f ' d = arctagf [ ] K f.- f ' d = arcsf K f [ ] f f.- a f ' d = a K l a.- sf f ' d = f K 7.- f f ' d = sf K f f '() d = f () ' 8.- d = sc f f ' d = ( tag f ) f ' d = tagf K f.- c f () f '()d = ( cot a f ()) f '()d = cot af () K EJERCICIOS:.- Calcula las siguits itgrals: d d d d d pág. 0 ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-07

4 TEMA 8 Itgral Idfiida j) g) m) ( ) d h) 7 d i) ( ) ( ) d ) ( ) ( 8 ) d ) d o) d l) d d d Ejrcicios d la hoja:,,,,,, 7, 8, 0,, 8,,,,,, 7,,, 7 7,,,,,, 7, 8,, 0,,,,,, 70 0,, 8,, 0,,, 8 7, 80, 8, 8, 8, 8, 8, 88, 00, 0, 0, 0, 0,,,, 7.- Halla ua fució g() qu sa primitiva d f() = s, cuya gráfica pas por l puto (π, 0).- Halla f() sabido qu: f(0) =, f (0) =, f ()= INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES (COCIENTES). Si l umrador s d grado igual o suprior al domiador, s fctúa la divisió y s prsa l Rsto itgrado d la forma: Cocit Divisor El domiador solo ti raícs rals simpls. Ejrcicios d la hoja:,,,,, 0 El domiador solo ti raícs rals múltipls. pág. ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-07

5 El domiador ti raícs rals simpls y múltipls. TEMA 8 Itgral Idfiida Ejrcicios d la hoja: 7, 0 El domiador ti raícs compljas.( Numrador = Arcta) (Numrador = a b LArcta) Ejrcicios d la hoja: 7, 7, 77, 07, 08, 0,,. d ( ) El domiador ti raícs rals y compljas. Ejrcicios d la hoja : 78, 7,,. Ejrcicios slctividad: 8,,. INTEGRACIÓN DE PRODUCTOS. º Vr si s ua itgral imdiata (potcial, pocial o trigoométrica). A vcs covi oprar l itgrado º Itgració por parts: U() dv() = U() V() V() Cosjos para lgir las parts. du(). dv() s aqulla d las parts cuya itgració s imdiata. Si las dos lo so, tocs. U() s aqulla part qu al drivar dsaparc o rbaja su grado. Si sto tampoco s posibl. La itgral pud sr cíclica. Ejrcicios d la hoja:, 0,,,,, 7,.- Halla la familia d curvas las qu la pdit d las rctas tagts a dichas curvas cualquir puto vi dada por la fució: f() =. pág. ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-07

6 INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE. TEMA 8 Itgral Idfiida m.c.m. (ídics d las raícs) Caso d raícs co l mismo radicado: Radicado = t Ejrcicios d la hoja : 8,,, = t, a = t Ejrcicios d la hoja: 0,, 7, 8,, a b d, cambio = a/b s t d d d 7 d pág. ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-07

7 TEMA 8 Itgral Idfiida INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. Rcordamos alguas imdiatas: d = d = d = d = s d d s m Cambios más frcuts para itgrals dl tipo: d.- Uo d los pots s cro y l otro par: = Cambio (Fórmula dl águlo mitad) : = Ejrcicio hoja 0: d = d = Ejrcicio hoja 0.- Uo d los pots s cro y l otro impar: Cambio (Fórmula Fudamtal) = ( = ( ) ) Ejrcicio hoja : d = d = d ( ) d = Ejrcicio hoja pág. ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-07

8 .- U pot, al mos, s Impar: d= d= ( TEMA 8 Itgral Idfiida ) d d= d= ( p p p Ejmplos : = d= d = d = Ejrcicios hoja 7,. d = d= ( ) d = ( ) d = d ) d 7 d.- Los dos pots so pars: p A = Valor dl q d = ( ) ( ) = Míimo pot(p,q) A A p A p A d = d Ejmplo: = = 8 ( ( d = ) ( ) )d = 8 K 8 d = d = 8 d = Ejrcicio hoja: 8 pág. ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-07

9 TEMA 8 Itgral Idfiida Cambios para itgrals tipo: A B A B A B d d d Trasformarmos los productos sumas, sgú las fórmulas: A B = A B A B A - B = A B A B A B = A B A B A - B = - A B A B Ejmplo: 7 d = A B A B hacmos = 7 i = 7 = Por tato: 7 d = d = 0 8 Ejrcicios hoja: 8, 87, 8 Cambios para itgrals tipo: a b d Hacido l cambio: = a t d= b a t dt b Ejmplo: d = t t dt = tdt pág. ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-07

10 TEMA 8 Itgral Idfiida d. d. d. d. d -. d. d 0. d. d 8. d 7. d. d. d. d.- d. d -. d 0.- d.- d 8.- d d.- d.- d.- d.- d -.- d. d 0. d. d a 8. arctag d 7. tag d. arcs d. d. d. d. d. d 0. d. d 8. d 7. d. d. d. d. d. d. d 0. d. d 8. d 7. X arctag d 7. d l 7. d 7. d d 70. d. d 8. a a d 7. d. d. d. d. d. d. d 0. d. d 8. 7d 7. d. d l. arcs d. l d. pág. 7 ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-07

11 pág. 8 d 7 7 d d tag d ( ) d d tag ( tag ) ( ) d d d d d 7 d d d d d d d d d d d d d TEMA 8 Itgral Idfiida... (l )d d d.- s d.. s d d s 7.- d s d s. d d 7 ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-07

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