a a lim i) L< 1 absoluta convergencia absoluta convergencia convergencia condicional divergencia > r.

Transcripción

1 (Aputs rvisió para oritar l aprdizaj) DESARROLLO DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICA Y EXPONENCIAL EN SERIES DE POTENCIAS Ua Sri d Potcias s dfi como: a a a a a = = la qu s vidt qu covrg si =. Para dtrmiar otros valors d " " dod s prst la covrgcia d stas sris d potcias, s mpla co frcucia la pruba d la razó o critrio d D Almbrt, qu ya s dmostró y qu s ucia como: Cosidérs la sri d potcias ulos y sa Etocs: lim a + a = L a co térmios o i) L< absoluta covrgcia ii) L > divrgcia iii) L = absoluta covrgcia covrgcia codicioal divrgcia Tambié s vio qu para stas sris s cumpl ua d las siguits afirmacios: i) La sri covrg sólo si =. ii) La sri s absolutamt covrgt para toda " " iii) Eist u radio d covrgcia " " absolutamt covrgt si r covrgcia) y divrgt si > r.. r tal qu la sri s < (itrvalo d

2 Admás, ua Sri d potcias dada por: c (c ) stá a ( c) = a + a( c) + a( c) + a ( c) = y s asum lla, para simplificar l ésimo térmio, qu ( c) = au si = c. Y para sta sri, como para la atrior, tambié ua d las afirmacios siguits s satisfac: i) La sri covrg sólo si c=, sto s, si = c. ii) La sri s absolutamt covrgt para toda " ". iii) Eist u radio d covrgcia " r " tal qu la sri s absolutamt covrgt si c < r (itrvalo d covrgcia) y divrgt si c > r. Tambié ya s studió qu ua sri d potcias a o a ( c ) pud sr utilizada para rprstar ua cirta fució f cuyo domiio s l itrvalo d covrgcia d la sri. Y qu para toda " " l itrvalo d covrgcia d ua sri a tambié so válidas las sris corrspodits a su drivada y a su itgral, sto s, 3 = f' = a = a+ a+ 3a + + a + y a f() t dt = = a + a + a + a = E l tma d Sris s trataro tambié las d Taylor y Maclauri, qu so, rspctivamt,

3 3 ( ) f'' c f c f = f( c) + f' ( c)( c) + c + + c!! y ( ) '( ) ( ) f'' f = !! f f f Como ya s dijo, stas sris s posibl tambié aplicar l critrio d D Almbrt o d la razó para studiar su aturalza. Ahora s ralizará ua sri d jrcicios para ilustrar todo lo aquí prsado, co las fucios logaritmo atural y pocial. Ejmplo. Vrificar qu la fució f co la sri d potcias: 3 = ! 3!! = s rprsta Solució. Cosidérs qu la fució s rprsta por la sri dada, lugo s posibl scribir qu: f = Si s driva s obti: 3 = = !! 3!! 3 f' = = = =! = (! )! 3!! lo qu sigifica qu la drivada d la sri d potcias dada s igual a la fució, sto s, ' = f f

4 Como s obsrva, sta sri cuya drivada s igual a lla misma y qu rprsta a la fució f =, qu s la úica fució Cálculo cuya drivada s igual a la fució misma. Hay u torma qu dic qu si f s ua fució difrciabl d " " tal qu f >, tocs, si la = cy para ua costat d c " c ", s cumpl qu f = f( ) Si c = s posibl scribir qu: f = f( ) Como f ( ) = + + +!! drivada d la fució s dy tocs = f Esta sri d potcias ya s había aalizado co la pruba d la razó, d dod: + + ( +! )! lim = lim = lim = = ( +! ) +! lugo s absolutamt covrgt para todo valor d " ". Lugo, f = qu s lo qu s quría probar. D ahí qu l úmro " " pud prsar como: = ! 3!! 4 s

5 5 Ejmplo. Dada la siguit itgral dfiida, aproimar su valor a cico cifras dcimals, mdiat ua sri d potcias:. Solució. Dl jmplo atrior, s sab qu la fució pocial s rprsta como: Si lla s hac ti: t d 3 = ! 3!! t =, sta sri d potcias, s ( ) 4 6 t t t = t + +! 3!! Dado l itrvalo d covrgcia d la fució pocial, (, ) f() t t a:, sta sri rprsta a la fució = para todo valor ral d " ". Si s itgra, s llga t. t t d = dt t = (.) (. ) d =. + 3 S cosidra los primros dos térmios para aproimar la suma d sta sri altrada covrgt y s obti:. (.) 3 d El trcr térmio s: (.) 5.488

6 6 Lugo, al tomar los dos primros térmios, l rror s mor qu l trcr térmio, por lo qu s cocluy qu, co sus primras cico cifras dcimals, l valor acto d la itgral dfiida s:. d =.944 Ejmplo. Obtr ua sri d potcias para rprstar a la fució: 3 = f Solució. E la sri d potcias qu rprsta a la fució pocial f = s sustituy la " " por " 3 " y s ti qu: 3 = ! 3!! 3 ( 3) ( 3 3 ) ( 3 ) = + ( 3) + + +! 3!! = ( 3)! 3!! y d llga a: Ahora s multiplica ambos mimbros por = ( 3)! 3!! qu fialmt s prsa como: 3 ( 3) = =! Ejmplo. Obtr ua sri d potcias para rprstar a la fució f = y dcir qué itrvalo la rprsta. Hacrlo d dos maras difrts, mdiat la sri d Maclauri y a partir d la sri qu rprsta a la fució pocial. +

7 Solució. Si s utiliza la sri d Maclauri, s ti qu: f = f' = 4 f'' = ''' = ''' = = iv 4 = v = f f f iv 4 f f f = v 5 3 f = vi f = d dod f = ; f' = ; f'' = 4 ; f''' = vi 6 4 iv ( ) = 48 ; v ( ) = ; vi ( ) = 96 f f f lugo, al aplicar la sri d Maclauri s obti: ( ) f'' f f = f( ) + f' ( ) + +!! = ! 3! 4! 5! 6! = ! 4! 6! = ! 4! 6! 7

8 3 ( ) ( ) ( ) = ! 3!! S aplica l critrio d la razó y, ( ) ( + ) + + ( )! ( + )! lim = lim = lim = < +!! Por lo qu la sri d potcias obtida rprsta a la fució dada para todo valor ral d " ". Como s obsrva, muchas ocasios rsulta complicado drivar para obtr los térmios d la sri. E cambio, mdiat la sri qu rprsta a la fució pocial, s cambia lla a " " por " " y s llga a: 3 = ! 3!! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + +! + 3! + 4! + 5! + 6! +! Ejmplo. Dtrmiar sris d potcias para rprstar a las fucios so hiprbólico y coso hiprbólico, y dcir para qué valor d " " las rprsta. 8 Solució. Primro s aalizará la fució so hiprbólico, qu s prsa como: sh = Para rprstarla por mdio d ua sri d potcias, s acud a la sri d la fució pocial, sto s,

9 3 = ! 3!! Si s cambia " " por " " s obti la sri: 3 ( ) = + +! 3!! Ahora s raliza la smirsta d los rspctivos térmios d ambas sris co lo qu s obti la sri d potcias qu rprsta a la fució so hiprbólico para todo valor ral d " ". Así, sh = = ! 5!! ( + ) Y para l coso hiprbólico, qu s prsa como cos h = + s fctúa la smisuma d los térmios d las dos sris y la sri qu s obti rprsta a sta fució para todo valor d " ". Lugo, 4 + cos h = = + + +! 4!! 9 Ejmplo. Dtrmiar ua sri d potcias para rprstar a la fució f = y obtr su itrvalo d covrgcia. Solució. Por la Suma d la sri gométrica cuado s covrgt s ti qu:

10 a ; S ; Si a y r = r = = s llga a: = = < = 3 para Ejmplo. Obtr ua sri d potcias para rprstar a la fució: f = + Solució. Si la sri d potcias obtida l jmplo atrior s cambia la " " por " " s obti la sri pdida, qu s: 3 = ( ) = + ; para < + = Ejmplo. Ecotrar la sri d potcias para rprstar a la fució: l + si < Solució. Si s itgra la fució obtida l jmplo atrior y por lo tato tambié su sri d potcias, s obti la sri rqurida para la fució logaritmo atural d st jrcicio. Así, 3 l( + ) = dt t t t t = t 3 t t t t t l + = dt t dt + t dt t dt + + t dt l + = Fialmt:

11 3 4 + l( + ) = + + ( ) para < Ejmplo. Calcular l valor d l(.5 ) co ua actitud d cuatro cifras dcimals. Solució. Si s utiliza la sri d potcias dl jmplo atrior, mdiat la sustitució d " " por ".5" s obti: l.5 = l +.5 = (.5) (.5) (.5) (.5) = l.5 = Si s toma los primros cuatro térmios d la sri, l rror qu s comt s mor qu l valor absoluto dl quito térmio, qu s.587, lugo l rsultado co cuatro cifras dcimals s: l(.5).397 Ejmplo. Obtr ua sri d potcias ctrada = para la siguit fució a partir d la Sri d Taylor y vrificar l itrvalo d covrgcia obtido mdiat l critrio d la razó o d D Almbrt. = l f Solució. Como la fució a rprstar co la sri d Taylor s l f = c =, tocs s procd a obtr alguas c =. d sus drivadas sucsivas y a valuarlas

12 f = l f = f' = f' () = f'' = f'' = () f''' = = = f''' () =! 3 ( ) ( 3 iv ) 6 3 iv f = = = f () = 3! 4 3 ( ) 6( 4 v ) v f = = = f () = 4! ( ) (! ) ( ) f = f () = ( ) (! ) Ahora s sustituy stos valors la sri d Taylor y s llga a: ( f'' ( c) ) f ( c) f = f( c) + f' ( c)( c) +! ( c ) +! ( c ) + f''' ( c) 3 + 3! ( c) f = ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) + Por lo tato f ( ) = ( ) = S aplica l critrio d la razó y s ti:

13 ( ) + + ( ) lim + = lim = lim = ( ) + + < < < < < absoluta covrgcia > < > < > divrgcia Si = s ti la sri = Si = s ti la sri covrgt = qu s la armóica divrgt qu s la armóica Por lo tato, l itrvalo d covrgcia l cual la sri d potcias rprsta a la fució f (, 3 = l c = s: