Análisis del caso promedio El plan:

Transcripción

1 Aálisis dl caso promdio El pla: Probabilidad Aálisis probabilista Árbols biarios d búsquda costruidos alatoriamt Tris, árbols digitals d búsquda y Patricia Listas sip Árbols alatorizados Técicas Avazadas d Programació - Javir Campos 95

2 Aálisis probabilista Primr jmplo: la paradoja dl cumplaños cuáta gt s csaria ua habitació para qu haya ua probabilidad alta d qu dos cumpla años l mismo día? supor qu hay prsoas:,,, b i s l día (b i =365) dl cumplaños d i (i=,,, ) los cumplaños s distribuy uiformmt l año: Pr{b i =r = / para i=,,,, y r=,,, si asumimos qu los cumplaños so idpdits: Pr{(b i =r) (b j =r) = Pr{b i =rpr{b j =r = / Pr{ b b Pr{( b r) ( b r) i j i j r r Técicas Avazadas d Programació - Javir Campos 96

3 Técicas Avazadas d Programació - Javir Campos 97 Aálisis probabilista Sucso: al mos dos prsoas cumpl l mismo día complmtario: todos los cumplaños so difrts A i = l cumplaños d i+ s distito dl d j, para todo j i A i = {b i+ b j j =,,, i = los cumplaños d las prsoas so días distitos y Pr{ Pr{ Pr{ Pr{ Pr{ Pr{ Pr{ Pr{ A A A A A A i i

4 Técicas Avazadas d Programació - Javir Campos 98 Aálisis probabilista Si b, b,, b - so distitos, la probabilidad codicioada d b b i, para i =,,, - s (-+)/, pusto qu d los días hay -(-) si cogr, s dcir por tato: y como tocs: Pr{ A Pr{ R x x x x x x x, 3!! 3 i i ) ( ) ( Pr{ / /?

5 Aálisis probabilista Por tato, Pr{ / si -(-)/ l(/) Es dcir, la probabilidad d qu los cumplaños sa distitos s como mucho / si (++(8 l ))/ Para = 365, rsulta 3 Es dcir, si hay 3 prsoas ua habitació, la probabilidad d qu al mos dos cumpla años l mismo día s mayor o igual qu 0,5. E Mart, u año dura 669 días, así qu ti qu jutars 3 marciaos para lograr lo mismo Técicas Avazadas d Programació - Javir Campos 99

6 Aálisis probabilista Otro método para l mismo problma Para cada par d prsoas i,j d las d la habitació s dfi la v.a. X ij, i<j, X ij si i y j cumpl años l mismo día 0 otro caso Como la probabilidad d qu dos cumpla años l mismo día s /, s ti E[ X ij ] (/ ) 0( / ) / Y l úmro mdio d pars d prsoas cumplido años l mismo día s j X E[ ij ] j i ( )? Técicas Avazadas d Programació - Javir Campos 00

7 Aálisis probabilista Por tato, podmos sprar qu como míimo haya u par d prsoas cumplido años l mismo día si: Por jmplo, si = 8, l úmro sprado d parjas co l mismo cumplaños s (87)/(365),0356 (Marciaos haría falta como míimo 38 ) Técicas Avazadas d Programació - Javir Campos 0

8 Aálisis probabilista Sgudo jmplo: uras y bolas S mt alatoriamt ua colcció d bolas idéticas b uras umradas,,, b Las itroduccios so idpdits, y cada ua ti igual probabilidad /b d sr mtida cada ura Pud platars varias prgutas itrsats Cuátas bolas ca ua ura dada? Ca u úmro qu sigu ua distribució biomial(*) d parámtros y p = /b Por tato, si s mt bolas, l úmro mdio d bolas qu ca cada ura s /b (*) Rcordar: biomial = º éxitos d probabilidad p xprimtos idpdits Técicas Avazadas d Programació - Javir Campos 0

9 Aálisis probabilista Cuátas bolas hay qu mtr, mdia, hasta qu ua ura dada cotga ua bola? El úmro csario sigu ua distribució gométrica(*) d parámtro /b, lugo la mdia hasta qu hay u éxito s b (*) Rcordar: gom = º xprim. idp. hasta ocurr u éxito Cuátas bolas hay qu mtr, mdia, para qu todas las uras tga al mos ua bola? acirto : u lazamito l qu la bola ca ua ura vacía qurmos sabr l úmro mdio d lazamitos para obtr b acirtos partició d los lazamitos fass : fas i-ésima: lazamitos dsd l acirto i- hasta l acirto i la fas sólo hay u lazamito (l primro) Técicas Avazadas d Programació - Javir Campos 03

10 Aálisis probabilista E cada lazamito d la fas i hay i- uras co bolas y b-i+ uras vacías, por tato, para cada lazamito d la fas i, la probabilidad d acirto s (b-i+)/b Sa i l úmro d lazamitos d la fas i. El úmro d lazamitos para obtr b acirtos s b i i Cada variabl alatoria i ti ua distribució gométrica d parámtro (b-i+)/b, por tato b E[ i ] sri armóica b i H l O() Lugo: E[ ] b E i i b E[ i i ] b b b i i b b i i b(lb O()) Técicas Avazadas d Programació - Javir Campos 04

11 ªpart) LO(log ) Trcr jmplo: rachas Aálisis probabilista S laza ua moda ( bua ) vcs, cuál s la logitud L d la scucia más larga d caras coscutivas qu pud sprars? Dfiimos l sucso A i = los lazamitos sucsivos i, i+,, i+- so todos cara (, i-+) La probabilidad dl sucso sigu ua distribució gométrica co p = ½, s dcir: Pr{A i = / Para = log, Pr{A i,log = / log / log = / Y la probabilidad d ua racha d caras d logitud mayor o igual qu log mpzado cualquir posició s: Pr log i Ai, log / / i Técicas Avazadas d Programació - Javir Campos 05

12 Aálisis probabilista Aálogamt... Es dcir, la probabilidad d ua racha d logitud mayor o igual qu log s como mucho /, lugo la probabilidad d qu la máxima racha sa d logitud mor qu log s como míimo -/. Como la logitud máxima d ua racha s, la logitud mdia d la racha más larga stá acotada supriormt por ( log )(-/) + (/) = O(log ) Para r, la probabilidad d qu ua racha d rlog caras mpic la posició i s Pr{A i,rlog = / rlog / r Por tato, la probabilidad d qu la máxima racha sa d logitud mor qu r log s como míimo -/ r-. Por jmplo, para = 000 lazamitos: la probabilidad d ua racha d log = 0 caras, o más, s mor o igual qu / = /000, y la probabilidad d ua racha d 3 log = 30, o más, s mor o igual qu / = / Técicas Avazadas d Programació - Javir Campos 06

13 Aálisis probabilista ªpart) L(log ) Vamos ahora qu la logitud mdia d la racha más larga d caras lazamitos s (log ), y como ya hmos visto qu s O(log ), tdrmos qu s (log ) Pr{A i = / Pr{A i,log / = / log / / y por tato la probabilidad d qu ua scucia d al mos log / caras o mpic la posició i s como mucho -/ Partimos los lazamitos / log grupos d log / lazamitos coscutivos, por tato la probabilidad d qu todos y cada uo d stos grupos fall sr rachas d log / caras coscutivas s ( / ) log ( / ) log ( / log ) +x x (/log -)/ log log / Técicas Avazadas d Programació - Javir Campos 07

14 Aálisis probabilista Lugo la probabilidad d qu la racha más larga d caras xcda log / caras s como míimo -/ Como la logitud míima para la racha más larga d caras s 0 (si todo so crucs), tocs la logitud mdia d la racha más larga d caras s como míimo: (log / )(-/) + 0(/) = (log ) Técicas Avazadas d Programació - Javir Campos 08