TEMA 2 MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

Transcripción

1 TEMA MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE. INTRODUCCIÓN A LA REGRESIÓN SIMPLE! 4 Supogamos qu la varal s ua fucó lal d otra varal, dod la rlacó tr y dpd d parámtros! y! dscoocdos.

2 Itroduccó a la Rgrsó Smpl! 4 S ustro trés fura coocr la rlacó qu u a co, tocs dríamos stmar los parámtros dscoocdos. Supogamos qu tmos ua mustra d 4 osrvacos d, Itroduccó a la Rgrsó Smpl! Q Q Q Q 4 4 S la rlacó tr fura xacta, solo astaría dos putos para hallar ua solucó para los parámtros! y!.

3 Itroduccó a la Rgrsó Smpl! P Q Q Q P P Q 4 4 S margo, las rlacos coómcas o so xactas: muchos d los putos qu osrvamos o va a star la rcta 4 Itroduccó a la Rgrsó Smpl! P Q Q Q P P Q 4 4 Para prmtr dvrgca tr la varal d la rcta d trés, troducmos u térmo d prturacó al modlo, qu o s osrval:!! u. Por jmplo, s s l gasto ropa y la rta, u pud rprstar los gustos: así dos dvduos co l msmo grso pud tr u gasto dstto ropa. 5

4 Itroduccó a la Rgrsó Smpl! u P Q Q Q P P Q 4 4 Cada valor d t tocs ua part o alatora!! y ua part alatora, u. La prmra osrvacó la hmos dscompusto stas dos parts. Itroduccó a la Rgrsó Smpl P P P 4 E l mudo ral, úcamt osrvamos los putos P para cada. 7

5 Itroduccó a la Rgrsó Smpl P P P 4 Naturalmt, podríamos utlzar los putos P para dujar ua lía qu aproxm a ^!!. Podmos scrr sta lía como, dod s ua stmacó d! y s ua stmacó d!. 8 Itroduccó a la Rgrsó Smpl valor ral valor prdcho P R R R 4 R P P 4 A sta lía aproxmada s la cooc como l modlo ajustado, y a los valors d la varal sa lía s l llama valors prdchos o ajustados so los putos R. 9

6 Itroduccó a la Rgrsó Smpl valor ral valor prdcho rsduo 4 P R R R 4 R P P 4 Osrvad qu hay ua dscrpaca tr l valor d ralmt osrvado los putos P y l valor prdcho por la lía aproxmada R. A sta dscrpaca s l llama rsduo. 0 Itroduccó a la Rgrsó Smpl valor ral valor prdcho P R R R 4! R P P 4 Es mportat osrvar qu los valors qu toma los rsduos so dsttos a los valors dl térmo d prturacó. Esto s ddo a qu la aproxmacó qu hacmos uca va a cocdr xactamt co la vrdadra lía qu rlacoa a stas varals.

7 Itroduccó a la Rgrsó Smpl valor ral valor prdcho! P Q Q Q P P Q 4 4 La prturacó s la rsposal d la dsvacó qu xst tr l compot o alatoro y las vrdadras osrvacos. Itroduccó a la Rgrsó Smpl valor ral valor prdcho P R R R 4! R P P 4 Los rsduos so la dfrca tr l valor ral y l valor prdcho por la rcta stmada as a la aproxmacó d los parámtros dscoocdos

8 Itroduccó a la Rgrsó Smpl valor ral valor prdcho P R R R 4! R P P 4 Etocs, s atural qu cuado los rsduos sa pquños, l ajust sa uo y los rsduos tda a star crca d la prturacó. Pro lo qu d qudar claro s qu los dos cocptos rprsta cosas dsttas. 4 Itroduccó a la Rgrsó Smpl valor ral valor prdcho u 4 Q 4! 4 Amas lías, la aproxmada y la vrdadra, so mportats l aálss d rgrsó, pusto qu prmt dscompor l valor osrvado d dos parts. 5

9 Itroduccó a la Rgrsó Smpl valor ral valor prdcho u 4 Q 4! 4 Usado la rlacó téorca, o vrdadra, s dscompo su part o stocástca!! y su part stocástca u. Itroduccó a la Rgrsó Smpl valor ral valor prdcho u 4 Q 4! 4 Esta s ua dscomposcó tórca dado qu o coocmos los valors xactos d! o!, los dl térmo d prturacó. Esta dscomposcó s utlzará para uscar stmadors d los parámtros. 7

10 Itroduccó a la Rgrsó Smpl valor ral valor prdcho 4 R 4! 4 La sguda dscomposcó dl valor ral d s hac fucó d la lía ajustada: s la suma dl valor prdcho d y d su rsduo. Esta dscomposcó la utlzarmos para otr fórmulas qu os prmta aproxmar los valors dscoocdos d los parámtros 8 CRITERIO DE MÍNIMOS CUADRADOS: Mmzar la SCR suma d cuadrados d los rsduos, dod SCR!... Por qué o..? Por qué mmzamos la suma al cuadrado y o la suma drctamt? 9

11 P P P 4 La rspusta stá qu los rrors postvos y gatvos s compsaría. El ajust prfcto st caso sría ua lía rcta la mda dl valor d 0 P P P 4 Cuado s lva al cuadrado s aula la posldad d compsacó. Admás, otad qu cuado lvamos al cuadrado stamos dado más pso a los valors muy ljaos d, s dcr, a aquéllos qu t rsduo grad. Estos mpujará la curva haca llos.

12 . EL CRITERIO DE MÍNIMOS CUADRADOS Vrdadro Modlo: " " u El vrdadro modlo o s osrval. Lo qu samos s qu tr y xst ua rlacó lal y, por lo tato, utlzarmos los valors osrvados d stas varals para calcular ua aproxmacó El Crtro d Mímos Cuadrados Modlo vrdadro: " " u Supogamos qu tmos las osrvacos:,,,5, y,.

13 El Crtro d Mímos Cuadrados Modlo vrdadro: " " u Modlo Ajustado:! Cómo dtrmamos y? 4 El Crtro d Mímos Cuadrados Dada cualqur lccó d y, podmos dfr los rsduos como la dfrca tr l valor osrvado y l prdcho. 5 Etocs, para otr l mjor ajust, lo qu hacmos s mmzar stos rsduos.

14 SCR Osrvad qu los rsduos dpd d los parámtros y qu, por lo tato, s pud lgr los parámtros d forma tal qu haga míma dcha suma d rsduos al cuadrado SCR # $ $ SCR # $ $ SCR 7

15 El Crtro d Mímos Cuadrados Rsolvdo las codcos d prmr ord, otdríamos valors para los y, lo qu os prmtría hacr l gráfco d la curva ajustada 8 Modlo vrdadro: " " u Modlo Ajustado:!

16 Modlo vrdadro:!! u Qué pasa s tmos osrvacos? 0 Dada ustra lccó d y, la rcta ajustada s la qu s mustra l gráfco.

17 El Crtro d Mímos Cuadrados Vrdadro Ajustado : : ˆ!! u Dfmos l rsduo para la prmra osrvacó El Crtro d Mímos Cuadrados Vrdadro Ajustado : : ˆ!! u Dl msmo modo, dfmos los rsduos para l rsto d osrvacos. E la gráfca s sñala l corrspodt a la últma osrvacó.

18 !!!!! SCR El Crtro d Mímos Cuadrados SCR Dfmos SCR, la suma d los cuadrados d los rsduos, para l caso gral. Los datos dl jmplo umérco s mustra para comparar. 4!!!!! SCR El Crtro d Mímos Cuadrados SCR Llgad a sta xprsó 5

19 El Crtro d Mímos Cuadrados SCR 70 $ SCR 0 # $ $ SCR 0 # 8 $ !!!! SCR $ SCR 0 # $!! 0! Calculamos la prmra drvada rspcto a. El Crtro d Mímos Cuadrados SCR 70 $ SCR 0 # $ $ SCR 0 # 8 $ !!!! SCR $ SCR 0 # $!! 0! $ SCR 0 #! $!! 0 Ahora, la prmra drvada rspcto a. 7

20 $ SCR 0 #!! $!! 0 Así, otmos ua xprsó para. 8 El Crtro d Mímos Cuadrados Vrdadro Ajustado : : ˆ!! u Hmos lgdo los parámtros d la rcta ajustada d modo qu mmc la suma d cuadrados d los rsduos. 9

21 Exprsos altratvas para 40