donde k < 1, tiene una raíz y sólo una. Determinar una sucesión convergente hacía esta raíz.

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María Josefa Camacho Fidalgo
hace 6 años
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1 Hoja d roblmas Aálss III 9. Dmostrar qu la cuacó a a dod <, t ua raíz y sólo ua. Dtrmar ua sucsó covrt hacía sta raíz. Solucó: La cuacó a quval a: a a a Sa a a Estudmos 6 t u mámo y. or lo tato: < <, cualqura qu sa R. Alcado l método d tracó, ud asurars la stca d ua úca raíz d la cuacó. S costruy ua sucsó covrt haca dcha raíz ldo u uto R arbtraro y tomado dsués:. /

2 9. Dmostrar qu la cuacó c s, dod < c <, t ua raíz y sólo ua. artdo d u valor cualqura R, s costruy la sucsó mdat la órmula c s,, robar qu sta sucsó covr hacía la raíz. Solucó: Vamos rmr luar qu la sucsó s covrt. ara llo, tommos c s : tomado valors absolutos: Sa Etocs: ξ, ξ ], [ c cos ξ c d c s c c cd c d. c d Co ayuda d sta dsualdad, comrobarmos qu la sucsó satsac l crtro d Cauchy: m m > m m c d m m c c c m... m c c d c c c c d c m m d c c < d c m d... c d y usto qu < c <, s vdt qu m ε smr qu sa m, v. Así us, la sucsó covr. Llamarmos a lm. A cotuacó, comrobmos qu a s ua raíz d la cuacó c s : /

3 Como s cotua, s vrca qu lm a. ro lm lm a, así qu rsulta a a, qu s lo qu quríamos robar. Falmt, dmostrarmos qu la raíz d la cuacó s úca: S b us otra raíz, tdríamos qu b b, así qu b a b - a ξ b a ξ b a < c b a < b a, lo cual s ua cotradccó. 9. Sa ua ucó ral cova dda u trvalo I d la rcta ral. Sa,..., utos d I y λ,...λ S d:.º robar qu utos dl trvalo ], [ λ I.º Dmostrar qu λ λ.º Establcr la dsualdad lo λ tals qu. λ lo Solucó:.º Sa α y β l mor y l mayor d los úmros,..., rsctvamt. Es claro qu El uto α αλ λ β λ β λ, or star comrddo tr α y β rtcrá al Itrvalo I..º ara la dsualdad s crta or dcó d ucó cova. Suoamos > y razomos or duccó. Admtdo qu la dsualdad s vrca ara robémosla ara. S t d dod s dduc qu l uto λ α λ λ β λ λ λ λ rtc al trvalo I, sdo λ. Como λ / λ, la hótss d duccó os rmt scrbr odo λ λ λ / λ λ λ / λ λ /

4 λ λ λ λ λ y obsrvado qu λ λ tdrmos, or sr ua ucó cova, qu λ λ λ λ λ Utlzado u rsultado obtdo más arrba coclumos qu λ λ λ λ qudado la rodad dmostrada ara y co llo stablcda ral..º Alcado l rsultado atror a la ucó - lo qu s cova tdrmos lo λ λ lo d dod rsulta la dsualdad a dmostrar multlcado or. 96. Escrbr l dsarrollo d Taylor d la ucó lo l uto hasta l luar d las drvadas d ord, co dvrsas órmulas dl térmo comlmtaro. Solucó: La órmula d Taylor hasta las drvadas d ord s o T!!! E dod T rrsta l térmo comlmtaro. Calculmos las drvadas qu aarc: lo lo lo lo /

5 lo lo 6lo E l uto, s t or lo tato:,,, 6 6 lo T T!!! Darmos dos ormas dsttas dl térmo comlmtaro: a Térmo comlmtaro d Lara: c T c 6lo c, < c <!! c b Térmo comlmtaro d Cauchy: c c T c 6lo c!! c 97. Escrbr l dsarrollo d MacLaur, d la ucó hasta l luar d las drvadas d ord. Solucó: El dsarrollo d MacLaur d srá: dod ], [!! 9! ξ! ξ. Es csaro calcular las drvadas sucsvas d. Sa. Las drvadas sucsvas d so: co /

6 6/!! > Rsulta tocs qu la úca drvada d qu o s aula ara s!. Vamos ahora ua mara d calcular las drvadas d, tdo cuta qu la órmula d MacLaur qu vamos a mlar, dchas drvadas hasta l ord 9 stá artcularzadas ara : las drvadas suts d ud calculars alcado la órmula d Lbtz sobr la drvada -sma d u roducto. ara smlcar las otacos, llamarmos. Etocs, s dcr, la úca drvada d qu o s aula s! usto qu: rsulta tocs qu: ya qu stas drvadas o aarc ú térmo. rsó la qu s aula todos los sumados X salvo l rmro. or tato:!

7 Obsérvs qu, hasta l ord, s aula todas las drvadas d. or lo tato las drvadas suts srá ulos todos los roductos los qu ura alua drvada d d ord mor qu l quto, o b alua drvada d d ord dstto dl cuarto. 6 6, , , , tdo cuta qu... ara todo, la rsó atror s aulará todos los térmos los qu aarzca ua drvada d d ord mayor o ual qu. or lo tato: Susttuydo la órmula d MacLaur, rsulta almt!! 9 9! 9 ξ ξ, ξ ], [ 98.Obtr l dsarrollo d MacLaur, d las suts ucos lo, α co l térmo comlmtaro d Cauchy. La drvada -sma d la ucó lo s obt s dcultad calculado las rmras y alcado l método d duccó. Rsulta sr! ara,,... Sus valors l uto so!. or cosut l dsarrollo d MacLaur d sta ucó co l térmo comlmtaro d Cauchy srá: 7/

8 lo... θ θ θ dod θ s crto úmro dl trvalo ],[. α La drvada -sma d la ucó bómca, dod α s u umro ral cualqura, s obt áclmt como l caso atror, rsultado α α α... α α ara,,... Sus valors l uto so omos or dcó α α α... α α α α... α! ralzado así la otacó d los úmros combatoros ordaros. El dsarrollo d MacLaur d ustra ucó, co l térmo comlmtaro d Cauchy s: α α α α... α θ θ α dod θ s crto úmro dl trvalo ],[. 99.Hacdo uso d la órmula d Taylor ara la ucó calcular aromadamt,. Stuado l térmo comlmtaro l luar d las drvadas trcras, stmar l rror comtdo. Solucó: Suodrmos coocdo l dsarrollo d Taylor d la ucó r. Tomado dcho dsarrollo r, rsulta: co < ξ <, y també! m ξ!! 8/

9 m 8 Tomado l dsarrollo d Taylor, 8!,,, T,,9 T,, T or lo tato:,,9 El rror comtdo s rcsamt l térmo comlmtaro: usto qu: T ξ, co <ξ <,!! ξ 9 8 ξ ξ Obtmos, como cota dl rror comtdo: E!. Dtrmar las asítotas y ramas arabólcas d la curva: Solucó: y cos s El camo d stca d sta curva s todo R, y admás s ródca d ríodo ya qu: cos s cos s or lo tato, os lmtarmos a rrstar rácamt la ucó l trvalo [-,]. Corts co los js: ara s y, así qu asa or,. ara y, rsulta la cuacó cos s o b: 9/

10 cos s s s s qu s ua cuacó d sudo rado s cuyas raícs so: ± ± s la solucó s o os srv orqu > así us, rsulta s, qu roorcoa dos valors d [-,], arcs. Es scllo comrobar qu sta curva o t asítotas. Mámos, mímos y utos d ló: y - s cos - s Calculmos los valors d qu aula y : y roorcoa la cuacó: cos s s dcr: cos o b s cuyas raícs so, l trvalo [-,],,,,. 6 6 Hmos d studar ahora l so d y : y - cos s 8 s s y así qu > corrsod a u mímo y 6 > y < y < mímo mámo mámo or lo tato, hay mímo rlatvo los utos,, los utos,,. 6 y u mámo rlatvo Los osbls utos d ló so los valors d qu aula la drvada suda: y roorcoa la cuacó /

11 cuyas raícs so: 8s s qu corrsod a cuatro valors d. s ± 8. Calcular sd or l método d las sumas d Rma, dvddo l trvalo [, arts uals. Solucó: S dvdmos l trvalo arts uals tdrmos qu: sd lm j j s S llamamos h, calculmos la suma j sjh sh sh... sh ara llo, mlarmos la ualdad: h cos hcos h sh s Dado a los valors,...,, s obt: h cos h cos h sh s h cos h cos h sh s... h cos h cos h s h s y sumado mmbro a mmbro stas ualdads: /

12 h cos h cos h s sh sh... s h d dod: h cos cos s h s h... s h h s Susttuydo st rsultado : sd lm cos cos s lm cos cos lm cos cos.. Estudar l cálculo d los suts límts, or l método d las sumas d Rma.º lm j.º lm j j j j Solucó:.º lm lm j j j j / d [ lo ] lo lo lo.º j j lm lm j j lm j j j 6 m lm lm 6 6 /

13 Obsérvs qu, l cálculo d st límt o ud mlars l método d las sumas j j d Rma orqu o corrsod a la suma d Rma d ua j tral roa. /

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