CAPÍTULO 2. Ecuación paraxial de Helmholtz.
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- Ana María Díaz Peralta
- hace 8 años
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1 CAPÍTLO Ecuacón paraal d Hlmholt. S dscut la posbldad d vsualar mdant un procsador óptco [1] a las solucons d la cuacón paraal d Hlmholt. Para llo s rala una comparacón d los rsultados obtndos consdrando l nómno d draccón d Fraunhor n un procsador óptco n sta dscusón s consdra al ltro como una parábola nntsmalmnt dlgada y la solucón clásca a la cuacón paraal d Hlmholt..1 Fltraj spacal d una uncón mdant un ltro con transmtanca parabólca. Consdrando un sstma óptco como l qu s dscut n l capítulo 1. En la gura.1 s mustra un ltro óptco localado n l plano d draccón d Fraunhor. Consdérs una uncón bdmnsonal d ntrada G qu rprsnta la transmtanca n ampltud n l plano objto. La transmtanca s drnt d cro solo a lo largo dl j ; st hcho s rprsnta con una Dlta d Drac δ. A lo largo dl j la transmtanca varía d acurdo a la uncón ral postva F [] como s mustra n la gura. a.por lo tanto la transmtanca n ampltud d la pantalla d ntrada s G F δ..1 La dstrbucón d ampltud complja n l plano d draccón d Fraunhor s proporconal a la transormada d Fourr d G. Por lo qu π + G G d d.. 11
2 Plano d draccón d Fraunhor Plano Imagn Plano Objto Fgura.1 Sstma óptco ormado por dos lnts y un ltro n l plano d draccón d Fraunhor. Al susttur la cuacón.1 n la. s obtn π + F δ G d d F π d F..3 En la cuacón.3 la uncón F rprsnta a la transormada d Fourr d la uncón F. Consdérs ahora qu n l plano d Fraunhor s tn una rndja muy strcha la cual sgu la curva A n dond A s un parámtro postvo A> como s ndca n la 1
3 gura.1. La transmtanca a través d sta rndja strcha sobr un ondo s rprsnta como la uncón d transrnca cohrnt como lo mustra la gura. b [3]. P δ + A..4 a b Fgura. a Funcón d ntrada F a lo largo dl j b Rndja strcha sobr un ondo opaco qu s dstrbuy a lo largo d la curva para gnrar l ltro óptco. Emplando l rsultado d la cuacón.3 la dstrbucón d ampltud complja dtrás dl ltro s G δ + A δ + A F..5 La dstrbucón d ampltud complja n l plano d Fraunhor gnra una dstrbucón d ampltud complja n l plano magn; la cual s proporconal a la transormada d Fourr nvrsa d G n otros térmnos π [ + ] G G d d.6 Susttuyndo la cuacón.5 n.6 s tn qu 13
4 π [ + ] G δ + A F d d..7 D acurdo con las propdads d la Dlta d Drac s tn qu π A π G F d..8 Est rsultado s rlacona más adlant con l procso d vsualacón d la solucón a la cuacón drncal d Hlmholt.. Ecuacón paraal d Hlmholt. El rsultado prsado n la cuacón.8 s muy smlar a la prsón qu s obtn al rprsntar n l spaco d rcuncas la cuacón drncal qu dscrb la draccón d Frsnl [4]. Para vrcar sta rlacón convn consdrar la cuacón paraal d Hlmholt +..9 La cuacón.9 dscrb ondas qu vajan n una trayctora tal qu sus vctors d propagacón vajan muy crca al j y con ángulos d nclnacón rspcto a st sucntmnt pquños. na orma d obtnr una solucón gnral s consdrando la prsón d la onda n l plano d rcuncas spacals [5] π d..1 La cuacón antror consdra a la onda como una suma d ondas planas. Susttuyndo sta últma prsón n la cuacón.9 s obtn qu 14
5 π π d..11 D gual manra s obtn π d..1 Conscuntmnt sumando la cuacón.11 y.1 y actorando la uncón ponncal la cuacón paraal d Hlmholt s pud prsar como + + π π d..13 Para qu la transormada nvrsa d Fourr sa gual a cro para cualqur valor d l ntgrando db sr gual a cro. Es dcr + π..14 El rsultado n la cuacón.14 pud rscrbrs como: π ;.15 n dond s l númro d onda λ π. Es drcto vrcar qu la solucón a la cuacón.15 s π λ..16 Por lo qu l spctro d Fourr d la solucón a la Ecuacón d Hlmholt sta dado por la cuacón.16. Entoncs la solucón a la cuacón paraal d Hlmholt s 15
6 π λ π d..17 D las cuacons.8 y.17 s concluy qu la magn gnrada por l procsador óptco G smula óptcamnt la solucón a la cuacón d paraal d Hlmholt G s F..18 Es dcr l spctro d Fourr d la sñal F rprsnta al spctro d Fourr d la ampltud n. Conscuntmnt: F..19 Est hcho dmustra qu para l caso d la cuacón paraal d Hlmholt l ltro óptco opaco con una rndja strcha a lo largo d la curva rprsntar la solucón a dcha cuacón drncal. A s sucnt para 16
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