Estas pruebas permiten verificar que la población de la cual proviene una muestra tiene una distribución especificada o supuesta.

Transcripción

1 PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE Estas prubas prmitn vrificar qu la población d la cual provin una mustra tin una distribución spcificada o supusta. Sa X: variabl alatoria poblacional f 0 (x) la distribución (o dnsidad) d probabilidad spcificada o supusta para X S dsa probar la hipótsis: Ho: f(x) = f 0 (x) En contrast con la hipótsis altrna: Ha: f(x) no= f 0 (x) (ngación d Ho) PRUEBA JI-CUADRADO Esta pruba s aplicabl para variabls alatorias discrtas o continuas. Sa una mustra alatoria d tamaño n tomada d una población con una distribución spcificada f 0 (x) qu s d intrés vrificar. Suponr qu las obsrvacions d la mustra stán agrupadas n k class, sindo o i la cantidad d obsrvacions n cada clas i =,,..., k Con l modlo spcificado f 0 (x) s pud calcular la probabilidad p i qu un dato cualquira prtnzca a una clas i. Con st valor d probabilidad s pud ncontrar la frcuncia sprada i para la clas i, s dcir, la cantidad d datos qu sgún l modlo spcificado dbrían star incluidos n la clas i: i = p i n, i =,,..., k Tnmos ntoncs dos valors d frcuncia para cada clas i o i : frcuncia obsrvada (corrspond a los datos d la mustra) i : frcuncia sprada (corrspond al modlo propusto) La toría stadística dmustra qu la siguint variabl s apropiada para ralizar una pruba d bondad d ajust: Dfinición Estadístico para la pruba d bondad d ajust Ji-cuadrado k χ (o i i ) =, distribución Ji-cuadrado con ν=k r grados d librtad i dond r s la cantidad d parámtros d la distribución qu dbn stimars a partir d la mustra Es una condición ncsaria para aplicar sta pruba qu i, i 5.

2 Dado un nivl d significancia α s dfin un valor crítico χ α para l rchazo d la hipótsis propusta Ho: f(x) = f 0 (x). Si las frcuncias obsrvadas no difirn significativamnt d las frcuncias spradas calculadas con l modlo propusto, ntoncs l valor d stadístico d pruba χ srá crcano a cro, pro si stas difrncias son significativas, ntoncs l valor dl stadístico χ stará n la rgión d rchazo d Ho rchazo H 0 χ > χα : Ejmplo Rgión d rchazo d Ho S ha tomado una mustra alatoria d 40 batrías y s ha rgistrado su duración n años. Estos rsultados s los ha agrupado n 7 class n l siguint cuadro i clas (duración) frcuncia obsrvada (o i ) Vrificar con 5% d significancia qu la duración n años d las batrías producidas por st fabricant tin duración distribuida normalmnt con mdia 3.5 y dsviación stándar 0.7 Solución Sa X: duración n años (variabl alatoria contínua) ) Ho: X ~ N ( 3. 5, 0. 7) (distribución normal, µ=3.5, σ=0.7) ) Ha: no H 0 3) α = 0.05 Cálculo d la probabilidad corrspondint a cada intrvalo p = P(X.95) = P(Z ( )/0.7) = p = P(.95 X.45) = P(( )/0.7 Z ( )/0.7) = p 3 = P(.45 X.95) = P(( )/0.7 Z ( )/0.7) = (tc)

3 Cálculo d las frcuncias spradas = p n = (40) 0.5 = p n = (40). 3 = p 3 n = 0.35 (40) (tc) Rsumn d rsultados duración (años) frcuncia obsrvada (o i ) frcuncia sprada ( i ) Ojo con l rdondo, la suma db sr n = Es ncsario qu s cumpla la condición i, i 5 por lo qu s dbn agrupar class adyacnts. Como rsultado s tinn cuatro class k=4 duración (años) frcuncia obsrvada (o i ) frcuncia sprada ( i ) Ahora s pud dfinir la rgión d rchazo d Ho Obsrvmos qu n st jmplo la mdia y la dsviación stándar d la distribución normal no s stimaron, sino qu stán propustas, d dond r = 0 α = 0.05, ν = k = 3, χ 0.05 = 7.85 (Tabla χ ) Rchazar Ho si χ > ) Cálculo dl stadístico d pruba k χ (o i i ) = i = (7 8.5) 8.5 (5 0.3) 0.3 (0 0.7) 0.7 (8 0.5) 0.5 = ) Dcisión Como 3.05 no s mayor a 7.85, s dic qu no hay vidncia suficint para rchazar l modlo propusto para la población.

4 Ejmplo La siguint tabla prsnta información d cantidads sobr l númro d plantas Larra divaricata halladas n cada uno d los 48 cuadrants d nustro, como s publica n l l artículo Som Sampling Charactristics of Plants and Arthropods of th Arizona Dsrt (Ecology,96: ) i Nro. D plantas frcuncia obsrvada (o i ) Podrían stos datos ajustars a una distribución d Poissón? Utilic un nivl 0,05 d significancia. Solución El valor d λ n st caso db stimars xi. oi 0 λ = = =, 0 n 48 ) Ho: X ~ Poisson(, 0) (distribución d Poisson con λ =, 0 ) ) Ha: no H 0 3) α = 0.05 Cálculo d la probabilidad corrspondint a cada intrvalo p = P(X=0) = p 3 = P(X=)=... (tc), 0 (, ),, 0! (, )! Cálculo d las frcuncias spradas, = p n = ( 48) = 5, 88 = p n = ( 0, 575)( 48) =, 34 3 = p 3 n =, (tc), (, ) = p = P(X=)= = 0, 575! Rsumn d rsultados i Nro. D plantas frcuncia obsrvada (o i ) frcuncia sprada ( i ) 0 9 5,88 9,34 3 0, ,07 5 >= 4 6 7,75 Es ncsario qu s cumpla la condición i, i 5 por lo qu s dbn agrupar class adyacnts. Como rsultado s tinn cinco class k=5

5 Ahora s pud dfinir la rgión d rchazo d Ho Obsrvmos qu n st jmplo s stimó l parámtro d la distribución, d dond r = α = 0.05, ν = 5 - = 3, χ 0.05 = 7.85 (Tabla χ ) Rchazar Ho si χ > ) Cálculo dl stadístico d pruba k χ (o i i ) ( 9 5, 88) ( 6 7, 75) = =... = 6, 3 i 5, 88 7, 75 6) Dcisión Como 6,3 no s mayor a 7.85, s dic qu no hay vidncia suficint para rchazar l modlo propusto para la población, d modo qu al nivl d 5%, la distribución d Poisson da un ajust razonabl a los datos.