Estimación por intervalos

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1 Método de construcción de intervalos de confianza Intervalos de confianza para una población normal Estadística II Universidad de Salamanca Curso 2011/2012

2 Método de construcción de intervalos de confianza Intervalos de confianza para una población normal Outline 1 Introducción 2 3 Método de construcción de intervalos de confianza 4 Intervalos de confianza para una población normal Para la media poblacional Para la varianza poblacional 5 Intervalos de confianza para dos poblaciones normales e independientes Intervalos de confianza para la diferencia de medias poblacionales Intervalos de confianza para el cociente de varianzas 6 Para una muestra con n > 20 Para dos muestras: p 1 p 2

3 Método de construcción de intervalos de confianza Intervalos de confianza para una población normal Introducción En el tema anterior hemos visto métodos de estimación que asignan al valor desconocido del parámetro un valor concreto En este tema, nuestro objetivo es obtener un intervalo en el que se encuentren los valores que podrán ser considerados razonables para ese parámetro. Lo que denominamos intervalos de confianza

4 Método de construcción de intervalos de confianza Intervalos de confianza para una población normal Definición Sea X una v. a. cuya función de densidad es f X (x, θ), que depende de una parámetro θ (desconocido) Los estadísticos T I = T I (X 1,..., X n ) y T S = T S (X 1,..., X n ) (no dependen de θ) forman un intervalo de confianza para θ a nivel de confianza 1 α Nota P θ [T I θ T S ] = 1 α Para (x 1,..., x n ) una muestra concreta, T I y T S son valores concretos

5 Método de construcción de intervalos de confianza Intervalos de confianza para una población normal Propiedades T I y T S son estimadores por defecto y por exceso de θ El nivel de confianza, la fiabilidad de la estimación, 1 α se da en % Longitud del intervalo L = T S T I Precisión L 2. A mayor L menor precisión. Para hayar el I.C. fijado el nivel de confianza, busco el intervalo de longitud mínima

6 Método de construcción de intervalos de confianza Intervalos de confianza para una población normal Método de construcción de intervalos de confianza: Método del pivote El método del pivote Sea X f X (x, θ) una v. a. y una m.a.s de tamaño n. Un pivote es un estadístico T = T (X 1,..., X n, θ) que verifica: Depende de la muestra y del parámetro Su distribución no depende de θ y es conocida Para una muestra concreta, T es estrictamente monótono en θ La solución de θ en la ecuación T (x 1,..., x n, θ) = t es única P[a Pivote b] = 1 α

7 Método de construcción de intervalos de confianza Para la media poblacional Intervalos de confianza para una población normal Para la varianza poblacional Outline 1 Introducción 2 3 Método de construcción de intervalos de confianza 4 Intervalos de confianza para una población normal Para la media poblacional Para la varianza poblacional 5 Intervalos de confianza para dos poblaciones normales e independientes Intervalos de confianza para la diferencia de medias poblacionales Intervalos de confianza para el cociente de varianzas 6 Para una muestra con n > 20 Para dos muestras: p 1 p 2

8 Método de construcción de intervalos de confianza Para la media poblacional Intervalos de confianza para una población normal Para la varianza poblacional Para la media poblacional µ, con σ conocida Pivote X µ σ n N(0, 1) El intervalo de mínima longitud para una N(0, 1) es simétrico respecto a 0 dejando colas de α 2 cada una [ ] P z α X µ z α = 1 α 2 σ 2 n

9 Método de construcción de intervalos de confianza Para la media poblacional Intervalos de confianza para una población normal Para la varianza poblacional Para la media poblacional µ, con σ conocida Intervalo de confianza [ X z α 2 X µ, X + z α σ 2 n ] X µ σ n Cálculo de z α 2 [ ] P Z z α = 1 α 2 2 Buscamos en las tablas de la N(0, 1)

10 Método de construcción de intervalos de confianza Para la media poblacional Intervalos de confianza para una población normal Para la varianza poblacional Para la media poblacional µ, con σ desconocida Pivote X µ S c n t n 1 El intervalo de mínima longitud para una t es simétrico respecto a 0 dejando colas de α 2 cada una [ ] P t α X µ 2 n S c t α 2 = 1 α

11 Método de construcción de intervalos de confianza Para la media poblacional Intervalos de confianza para una población normal Para la varianza poblacional Para la media poblacional µ, con σ desconocida Intervalo de confianza [ ] S c S X t α, X + t α c 2 n 2 n Cálculo de t α 2 [ ] P t n 1 t α = 1 α 2 2 Buscamos en las tablas de la t de Student

12 Método de construcción de intervalos de confianza Para la media poblacional Intervalos de confianza para una población normal Para la varianza poblacional Para la media poblacional µ, con σ desconocida Nota Sabemos que: n.s 2 X = (n 1)S2 c S X n 1 = S c n Entonces, podemos considerar como Pivote X µ S X n 1 t n 1

13 Método de construcción de intervalos de confianza Para la media poblacional Intervalos de confianza para una población normal Para la varianza poblacional Outline 1 Introducción 2 3 Método de construcción de intervalos de confianza 4 Intervalos de confianza para una población normal Para la media poblacional Para la varianza poblacional 5 Intervalos de confianza para dos poblaciones normales e independientes Intervalos de confianza para la diferencia de medias poblacionales Intervalos de confianza para el cociente de varianzas 6 Para una muestra con n > 20 Para dos muestras: p 1 p 2

14 Método de construcción de intervalos de confianza Para la media poblacional Intervalos de confianza para una población normal Para la varianza poblacional Para la varianza poblacional con µ desconocido Pivote n.s 2 X σ 2 χ 2 n 1 El intervalo de mínima longitud para una χ 2 es el que deja colas de α 2 cada una ] P [ n.s 2 X b σ 2 n.s2 X a = 1 α

15 Método de construcción de intervalos de confianza Para la media poblacional Intervalos de confianza para una población normal Para la varianza poblacional Para la varianza poblacional con µ desconocido Intervalo de confianza [ ] n.sx 2 b, n.s2 X a donde: ( α 2 ) a = χ 2 n 1 ( b = χ 2 n 1 1 α ) 2

16 Método de construcción de intervalos de confianza Intervalos de confianza para la diferencia de medias poblacionales Intervalos de confianza para una población normal Intervalos de confianza para el cociente de varianzas Outline 1 Introducción 2 3 Método de construcción de intervalos de confianza 4 Intervalos de confianza para una población normal Para la media poblacional Para la varianza poblacional 5 Intervalos de confianza para dos poblaciones normales e independientes Intervalos de confianza para la diferencia de medias poblacionales Intervalos de confianza para el cociente de varianzas 6 Para una muestra con n > 20 Para dos muestras: p 1 p 2

17 Método de construcción de intervalos de confianza Intervalos de confianza para la diferencia de medias poblacionales Intervalos de confianza para una población normal Intervalos de confianza para el cociente de varianzas Intervalos de confianza para la diferencia de medias poblacionales con σ 1 y σ 2 conocidas Sean X 1 N(µ 1, σ 1 ) y X 2 N(µ 2, σ 2 ) x 11,..., x 1n1 una m.a.s de X 1 x 21,..., x 2n2 una m.a.s de X 2

18 Método de construcción de intervalos de confianza Intervalos de confianza para la diferencia de medias poblacionales Intervalos de confianza para una población normal Intervalos de confianza para el cociente de varianzas Intervalos de confianza para la diferencia de medias poblacionales con σ 1 y σ 2 conocidas Pivote (X 1 X 2 ) (µ 1 µ 2 ) N(0, 1) σ 2 1 n 1 + σ2 2 n 2 Intervalo de confianza (X 1 X 2 ) z α 2 σ1 2 + σ2 2 σ1 2, (X 1 X 2 ) + z α n 1 n σ2 2 n 1 n 2

19 Método de construcción de intervalos de confianza Intervalos de confianza para la diferencia de medias poblacionales Intervalos de confianza para una población normal Intervalos de confianza para el cociente de varianzas Intervalos de confianza para la diferencia de medias poblacionales con σ 1 = σ 2 = σ desconocidas Sean X 1 N(µ 1, σ 1 ) y X 2 N(µ 2, σ 2 ) x 11,..., x 1n1 una m.a.s de X 1 x 21,..., x 2n2 una m.a.s de X 2

20 Método de construcción de intervalos de confianza Intervalos de confianza para la diferencia de medias poblacionales Intervalos de confianza para una población normal Intervalos de confianza para el cociente de varianzas Intervalos de confianza para la diferencia de medias poblacionales con σ 1 = σ 2 = σ desconocidas Pivote (X 1 X 2 ) (µ 1 µ 2 ) S. 1 n n 2 t n1 +n 2 2 S = n 1.S 2 X 1 + n 2.S 2 X 2 n 1 + n 2 2

21 Método de construcción de intervalos de confianza Intervalos de confianza para la diferencia de medias poblacionales Intervalos de confianza para una población normal Intervalos de confianza para el cociente de varianzas Intervalos de confianza para la diferencia de medias poblacionales con σ 1 = σ 2 = σ desconocidas Intervalo de confianza (X 1 X 2 ) t α 2. σ1 2 + σ2 2 σ1 2, (X 1 X 2 ) + t α + σ2 2 n 1 n 2 2 n 1 n 2

22 Método de construcción de intervalos de confianza Intervalos de confianza para la diferencia de medias poblacionales Intervalos de confianza para una población normal Intervalos de confianza para el cociente de varianzas Intervalos de confianza para la diferencia de medias poblacionales con σ 1 y σ 2 desconocidas Sean X 1 N(µ 1, σ 1 ) y X 2 N(µ 2, σ 2 ) x 11,..., x 1n1 una m.a.s de X 1 x 21,..., x 2n2 una m.a.s de X 2

23 Método de construcción de intervalos de confianza Intervalos de confianza para la diferencia de medias poblacionales Intervalos de confianza para una población normal Intervalos de confianza para el cociente de varianzas Intervalos de confianza para la diferencia de medias poblacionales con σ 1 y σ 2 desconocidas Pivote (X 1 X 2 ) (µ 1 µ 2 ) S 2 c 1 n 1 + S2 c 2 n 2 t φ φ = ( ) S 2 2 c1 n 1 + S2 c 2 n 2 ( ) Sc n 1 n ( S 2 c 2 n 2 n 2 1 ) 2

24 Método de construcción de intervalos de confianza Intervalos de confianza para la diferencia de medias poblacionales Intervalos de confianza para una población normal Intervalos de confianza para el cociente de varianzas Intervalos de confianza para la diferencia de medias poblacionales con σ 1 y σ 2 desconocidas Intervalo de confianza (X 1 X 2 ) t α 2. Sc S2 c 2, (X 1 X 2 ) + t α n 1 n 2 2 S 2 c 1 n 1 + S2 c 2 n 2

25 Método de construcción de intervalos de confianza Intervalos de confianza para la diferencia de medias poblacionales Intervalos de confianza para una población normal Intervalos de confianza para el cociente de varianzas Outline 1 Introducción 2 3 Método de construcción de intervalos de confianza 4 Intervalos de confianza para una población normal Para la media poblacional Para la varianza poblacional 5 Intervalos de confianza para dos poblaciones normales e independientes Intervalos de confianza para la diferencia de medias poblacionales Intervalos de confianza para el cociente de varianzas 6 Para una muestra con n > 20 Para dos muestras: p 1 p 2

26 Método de construcción de intervalos de confianza Intervalos de confianza para la diferencia de medias poblacionales Intervalos de confianza para una población normal Intervalos de confianza para el cociente de varianzas Intervalos de confianza para el cociente de varianzas σ2 2 σ 2 1 Sean X 1 N(µ 1, σ 1 ) y X 2 N(µ 2, σ 2 ) x 11,..., x 1n1 una m.a.s de X 1 x 21,..., x 2n2 una m.a.s de X 2

27 Método de construcción de intervalos de confianza Intervalos de confianza para la diferencia de medias poblacionales Intervalos de confianza para una población normal Intervalos de confianza para el cociente de varianzas Intervalos de confianza para el cociente de varianzas σ2 2 σ 2 1 Pivote S 2 c 1 S 2 c 2. σ2 2 σ 2 1 F n1 1,n 2 1

28 Método de construcción de intervalos de confianza Intervalos de confianza para la diferencia de medias poblacionales Intervalos de confianza para una población normal Intervalos de confianza para el cociente de varianzas Intervalos de confianza para el cociente de varianzas σ2 2 σ 2 1 Intervalo de confianza [ a = a. S2 c 2 S 2 c 1, b. S2 c 2 S 2 c 1 ] 1 F n2 1,n 1 1(1 α 2 ) b = F n1 1,n 2 1(1 α 2 )

29 Método de construcción de intervalos de confianza Para una muestra con n > 20 Intervalos de confianza para una población normal Para dos muestras: p 1 p 2 Outline 1 Introducción 2 3 Método de construcción de intervalos de confianza 4 Intervalos de confianza para una población normal Para la media poblacional Para la varianza poblacional 5 Intervalos de confianza para dos poblaciones normales e independientes Intervalos de confianza para la diferencia de medias poblacionales Intervalos de confianza para el cociente de varianzas 6 Para una muestra con n > 20 Para dos muestras: p 1 p 2

30 Método de construcción de intervalos de confianza Para una muestra con n > 20 Intervalos de confianza para una población normal Para dos muestras: p 1 p 2 Para una muestra con n > 20 Sea X b(p) X 1,..., X n una m.a.s de X El estimador máximo verosímil de p es X n i=1 X i B(n, p) n.x B(n, p) Cuando n > 20 tenemos X p p(1 p) n N(0, 1)

31 Método de construcción de intervalos de confianza Para una muestra con n > 20 Intervalos de confianza para una población normal Para dos muestras: p 1 p 2 Para una muestra con n > 20 Pivote X p p(1 p) n N(0, 1)

32 Método de construcción de intervalos de confianza Para una muestra con n > 20 Intervalos de confianza para una población normal Para dos muestras: p 1 p 2 Para una muestra con n > 20 Intervalo de confianza [ X + z α 2 p(1 p) n, X z α 2 p(1 p) ] n

33 Método de construcción de intervalos de confianza Para una muestra con n > 20 Intervalos de confianza para una población normal Para dos muestras: p 1 p 2 Outline 1 Introducción 2 3 Método de construcción de intervalos de confianza 4 Intervalos de confianza para una población normal Para la media poblacional Para la varianza poblacional 5 Intervalos de confianza para dos poblaciones normales e independientes Intervalos de confianza para la diferencia de medias poblacionales Intervalos de confianza para el cociente de varianzas 6 Para una muestra con n > 20 Para dos muestras: p 1 p 2

34 Método de construcción de intervalos de confianza Para una muestra con n > 20 Intervalos de confianza para una población normal Para dos muestras: p 1 p 2 Para dos muestras: p 1 p 2 Sean X 1 b(p 1 ) y X 2 b(p 2 ) X 11,..., X 1n1 una m.a.s de X 1 X 21,..., X 2n2 una m.a.s de X 2 El estimador máximo verosímil de p es X n i=1 X i B(n, p) n.x B(n, p) Cuando n > 20 tenemos X p p(1 p) n N(0, 1)

35 Método de construcción de intervalos de confianza Para una muestra con n > 20 Intervalos de confianza para una población normal Para dos muestras: p 1 p 2 Para dos muestras: p 1 p 2 Pivote (X 1 X 2 ) (p 1 p 2 ) N(0, 1) X 1 (1 X 1 ) n 1 + X 2(1 X 2 ) n 2

36 Método de construcción de intervalos de confianza Para una muestra con n > 20 Intervalos de confianza para una población normal Para dos muestras: p 1 p 2 Para dos muestras: p 1 p 2 Intervalo de confianza (X 1 X 2 ) ± z α 2 + X 2(1 X 2 ) n 1 X 1 (1 X 1 ) n 2

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