Métodos Estadísticos de la Ingeniería Tema 10: Inferencia Estadística, Intervalos de Confianza Grupo B

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1 Métodos Estadísticos de la Ingeniería Tema 10: Inferencia Estadística, Intervalos de Confianza Grupo B Área de Estadística e Investigación Operativa Licesio J. Rodríguez-Aragón Abril 010 Contenidos Estimación por Intervalos 3 Intervalos de Confianza Intervalos para Medias 5 Intervalo para µ cuando σ es Conocida Ejemplo de intervalo de confianza con R Intervalo para µ cuando σ es Desconocida Ejemplo de intervalo de confianza con R Ejemplo de intervalo de confianza con R Intervalo para µ 1 µ con σ 1 y σ Conocidas Intervalo para µ 1 µ con σ 1 y σ Desconocidas Intervalo para µ 1 µ con σ 1 y σ Desconocidas Intervalos para Varianzas 14 Estimación de la Varianza Estimación de Proporciones 16 Estimación de una Proporción

2 Contenidos Estimación por Intervalos. Intervalos para la Media. Intervalos para Varianzas. Estimación de Proporciones. Aún el estimador centrado más eficiente es improbable que estime con exactitud el valor del parámetro de la población, de ahí nace la necesidad de obtener un intervalo dentro del cual se espera hallar el valor del parámetro. Instead of estimating the parameter by a single value, a Confidence Interval likely to include the parameter is given. Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 10, M.E.I. / 17 Estimación por Intervalos 3 / 17 Intervalos de Confianza Una estimación por intervalos, de un parámetro θ, es un intervalo de la forma ˆθ I < θ < ˆθ S tal que se verifique, P(ˆθ I < θ < ˆθ S ) = γ con γ suficientemente próximo a 1. Los valores ˆθ I y ˆθ S se denominan Límites de Confianza, Confidence Limits. Mientras que γ es el Coeficiente de Confianza, Confidence Level. En ocasiones, en lugar de fijar γ se fija su valor complementario, α = 1 γ, que normalmente será un valor pequeño. Éste es el Coeficiente de Significación, Significance, y representa la probabilidad de fallar en la estimación. Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 10, M.E.I. 4 / 17

3 Intervalos para Medias 5 / 17 Intervalo para µ cuando σ es Conocida Sea X 1,X,...,X n una m.a.s. procedente de una N(µ,σ), con µ desconocida y σ conocida. Queremos estimar µ con un nivel de confianza γ. Estimaremos la media poblacional µ a partir de la media muestral ˆµ = X. El Teorema Central del Limite nos asegura que X N(µ,σ/ n). Buscamos ˆµ I = a y ˆµ S = b, extremos del intervalo de confianza, tales que: P(a X b) = γ = 1 α P(a X b) = P((a µ)/(σ/ n)/ (X µ)/(σ/ n) (b µ)/(σ/ n)) P(a X b) = P((a µ)/(σ/ n)/ Z (b µ)/(σ/ n)) = γ Con Z N(0,1). entonces: (a µ)/(σ/ n) = z1 γ (b µ)/(σ/ n) = z a = µ + (σ/ n)z1 γ b = µ + (σ/ n)z Densidad γ Z((1 γ) ) Z((1 + γ) ) Z Teniendo en cuenta que para la N(0,1), z = z1 γ. P(a X b) = P(µ (σ/ n)z = P(X (σ/ n)z X µ + (σ/ n)z ) = µ X + (σ/ n)z ) = γ Luego tenemos que el intervalo de confianza para el nivel γ será, Recordemos que z I = [X (σ/ n)z es tal que, Φ(z) =. Los Coeficientes de Confianza más usuales son: γ = 0.95, z = z = 1.96, γ = 0.99, z = z =.58.,X + (σ/ n)z ] Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 10, M.E.I. 6 / 17 3

4 Ejemplo de intervalo de confianza con R Sea una m.a.s de tamaño n = 10 proveniente de una población de varianza σ = 4.9 y media desconocida: > x <- c(17.7, 17.3, 13.6, 1.3, 14, 13.1, 13, 15.4, 19.7, 19.5) > xbarra <- mean(x) > sigma <- sqrt(4.9) > n <- length(x) > c(xbarra - sigma/sqrt(n) * qnorm(0.975), xbarra + sigma/sqrt(n) * + qnorm(0.975)) [1] > c(xbarra - sigma/sqrt(n) * qnorm(0.995), xbarra + sigma/sqrt(n) * + qnorm(0.995)) [1] Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 10, M.E.I. 7 / 17 4

5 Intervalo para µ cuando σ es Desconocida Sea X 1,X,...,X n una m.a.s. procedente de una N(µ,σ), con µ y σ desconocidas. Queremos estimar µ con un nivel de confianza γ. Estimaremos la media poblacional µ a partir de la media muestral ˆµ = X y la varianza poblacional σ a partir de la cuasivarianza muestral ˆσ = S c. Buscamos ˆµ I = a y ˆµ S = b, extremos del intervalo de confianza, tales que: P(a X b) = γ = 1 α P(a X b) = P((a µ)/(s c / n)/ (X µ)/(s c / n) (b µ)/(s c / n)) P(a X b) = P((a µ)/(s c / n)/ T (b µ)/(s c / n)) = γ Con T t n 1. entonces: (a µ)/(s c / n) = t n 1, 1 γ (b µ)/(s c / n) = t n 1, a = µ + (S c / n)t n 1, 1 γ b = µ + (S c / n)t n 1, Densidad γ t(n 1, (1 γ) ) t(n 1, (1 + γ) ) T Teniendo en cuenta que para la t n 1, t n 1, = t n 1, 1 γ. P(a X b) = P(µ (S c / n)t n 1, = P(X (S c / n)t n 1, X µ + (S c / n)t n 1, ) = µ X + (S c / n)t n 1, ) = γ Luego tenemos que el intervalo de confianza para el nivel γ será, Recordemos que t n 1, I = [X (S c / n)t n 1,,X + (S c / n)t n 1, ] son los cuantiles de una distribución t n 1. Los Coeficientes de Confianza más usuales son: γ = 0.95, por ejemplo para n=0, t n 1, = t 19,0.975 =.09, γ = 0.99, por ejemplo para n=0, t n 1, = t 19,0.995 =.86. Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 10, M.E.I. 8 / 17 5

6 Ejemplo de intervalo de confianza con R Sea una m.a.s de tamaño n = 10 proveniente de una población de varianza y media desconocidas: > x <- c(17.7, 17.3, 13.6, 1.3, 14, 13.1, 13, 15.4, 19.7, 19.5) > xbarra <- mean(x) > Sc <- sqrt(var(x)) > n <- length(x) > c(xbarra - Sc/sqrt(n) * qt(0.975, n - 1), xbarra + Sc/sqrt(n) * + qt(0.975, n - 1)) [1] > c(xbarra - Sc/sqrt(n) * qt(0.995, n - 1), xbarra + Sc/sqrt(n) * + qt(0.995, n - 1)) [1] Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 10, M.E.I. 9 / 17 6

7 Ejemplo de intervalo de confianza con R > x <- c(17.7, 17.3, 13.6, 1.3, 14, 13.1, 13, 15.4, 19.7, 19.5) > t.test(x, conf.level = 0.95) One Sample t-test data: x t = , df = 9, p-value =.70e-08 alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 10, M.E.I. 10 / 17 Intervalo para µ 1 µ con σ 1 y σ Conocidas Sean X 1 y X medias de muestras aleatorias independientes de poblaciones normales N(µ 1,σ 1 ), N(µ,σ ) de tamaños,n extraídas de poblaciones con varianzas conocidas σ 1,σ. Queremos estimar µ 1 µ con un nivel de confianza γ a partir de la diferencia entre las medias muestrales µ 1 µ = X 1 X. Consideremos la variable: tal que Z N(0,1). Z = (X 1 X ) (µ 1 µ ), σ 1 + σ n Entonces P(z 1 γ Z z ) = γ = 1 α. De esta forma tendremos: P((X 1 X ) ( σ1 + σ )z n µ 1 µ (X 1 X ) + Luego tenemos que el intervalo de confianza para el nivel γ será, I = (X 1 X ) σ 1 + σ n z,(x 1 X ) + σ 1 + σ σ 1 + σ n z n z ) = γ Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 10, M.E.I. 11 / 17 7

8 Intervalo para µ 1 µ con σ 1 y σ Desconocidas Sean X 1 y X medias de muestras aleatorias independientes de poblaciones normales N(µ 1,σ 1 ), N(µ,σ ) de tamaños,n extraídas de poblaciones con varianzas desconocidas σ 1,σ. Queremos estimar µ 1 µ con un nivel de confianza γ a partir de la diferencia entre las medias muestrales µ 1 µ = X 1 X. Caso I: Varianzas desconocidas pero iguales, σ = σ 1 = σ, consideremos la variable: Z = (X 1 X ) (µ 1 µ ) ( ), σ n Las variables aleatorias de la forma, (n 1)S c σ siguen distribuciones χ n 1. R = ( 1)Sc 1 σ + (n 1)Sc σ χ +n Las variables aleatorias Z y R son independientes y el estadístico, T = Z R +n = (X 1 X ) (µ 1 µ ) σ ( 1n1 + 1n ) : ( 1)S c 1 + (n 1)S c σ ( + n ) La varianza σ se estima mediante la expresión, T t n1 +n. Con lo que el estimador T resulta, Sp = ( 1)Sc 1 + (n 1)Sc. + n T = (X 1 X ) (µ 1 µ ) ( t n1 +n n1 n) Luego tenemos que el intervalo de confianza para el nivel γ será, I = [ (X 1 X ) Equivalentemente, S p ( 1 (X 1 X ) ± + 1 n ) S p t n1 +n,, (X 1 X ) + S p ( n ( 1)Sc 1 + (n 1)Sc ( ) t + n n n1 +n, ) ] t n1 +n, Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 10, M.E.I. 1 / 17 8

9 Intervalo para µ 1 µ con σ 1 y σ Desconocidas Caso II: Varianzas desconocidas y distintas, σ 1 σ, consideremos la variable: T = (X 1 X ) (µ 1 µ ) (S ), c1 + S c n sigue, aproximadamente, una t g, donde g está dado por la aproximación de Welch: g = ( ) Sc 1 + S c n (Sc 1 / ) 1 + (S c /n ) n 1 El valor de g se puede redondear al valor entero más cercano. de confianza para el nivel γ será, I = [ (X 1 X ) (S c1 + S c n ) (S t g,,(x 1 X ) + c1 + S c n Luego tenemos que el intervalo ) ] t g, Equivalentemente, (X 1 X ) ± (S c1 + S c n ) t g, Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 10, M.E.I. 13 / 17 9

10 Intervalos para Varianzas 14 / 17 Estimación de la Varianza Sea X 1,X,...,X n una muestra aleatoria simple de una distribución N(µ,σ). Queremos estimar σ para un nivel de confianza γ. Caso I: Media µ, conocida. Teniendo en cuenta que ns σ a y b de la χ n tales que: χ n. Podemos encontrar dos cuantiles P(a ns (Xi µ) b) = P(a σ σ b) = γ. Siendo entonces el intervalo de confianza para σ : I = (Xi µ) (Xi µ),. χ n, χ n, 1 γ Caso II: Media µ, desconocida. Teniendo en cuenta que (n 1)S c σ dos cuantiles a y b de la χ n 1 tales que: χ n 1. Podemos encontrar P(a (n 1)S c σ b) = γ. Siendo entonces el intervalo de confianza para σ : I = (n 1)S c χ n 1,, (n 1)S c χ n 1, 1 γ Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 10, M.E.I. 15 /

11 Estimación de Proporciones 16 / 17 Estimación de una Proporción Si muestreamos una población binomial B(n,p), de la que desconocemos p, tomando una observación X, buscamos estimar un intervalo de confianza para p (0,1). Sabemos que E(X) = np, con lo que tomaremos como estimador ˆp = X/n. Para n suficientemente grande ˆp se distribuye siguiendo una N(µ = p,σ = pq/n), luego Z = ˆp p pq/n N(0,1). Luego el intervalo de confianza para la p será, [ ˆpˆq I = ˆp n z, ˆp + ] ˆpˆq n z. Licesio J. Rodríguez-Aragón Tema 10, M.E.I. 17 / 17 11