Índice general Intervalo de confianza para la media si la varianza poblacional es. conocida desconocida... 3

Transcripción

1 Índice general 7. Estimación por intervalos de confianza Introducción Método de construcción de intervalos de confianza: método pivotal Intervalos de confianza en poblaciones normales Intervalo de confianza para la media si la varianza poblacional es conocida Intervalo de confianza para la media si la varianza poblacional es desconocida Intervalo de confianza para la varianza si la media poblacional es conocida Intervalo de confianza para la varianza si la media poblacional es desconocida Intervalo de confianza para la diferencia de medias con σ 1 y σ 2 conocidas Intervalo de confianza para la diferencia de medias con varianzas desconocidas pero iguales Intervalo de confianza para el cociente de varianzas poblacionales Intervalo de confianza para la diferencia de medias de dos poblaciones normales no independientes Intervalos de confianza en poblaciones no necesariamente normales Aplicación de la desigualdad de Chebychev para la obtención de intervalos de confianza Intervalos de confianza para muestras grandes Intervalos de confianza para muestras grandes aplicando el Teorema Central del Límite Intervalos de confianza de una proporción y de la diferencia de proporciones Estimación del tamaño muestral

2 Capítulo 6. Intervalos de confianza Problemas Bibliografía 14

3 Capítulo 7 Estimación por intervalos de confianza 7.1. Introducción En la práctica, interesa no solamente dar una estimación puntual de un parámetro sino, un intervalo que permita precisar la incertidumbre existente en la estimación, así como la precisión con la que se ha realizado la estimación puntual. De una población descrita por una variable aleatoria X, cuya distribución teórica F θ depende del parámetro θ que se desea estimar, se considera una muestra aleatoria X 1, X 2,..., X n. Sea T 1 T 2 dos estadísticos tales que P T 1 X 1, X 2,..., X n θ T 2 X 1, X 2,..., X n 1 α Entonces para cualquier muestra concreta x 1, x 2,..., x n, el intervalo T 1 x 1, x 2,..., x n θ T 2 x 1, x 2,..., x n se denomina intervalo de confianza para θ, de nivel de confianza 1 α. La definición de la confianza se entiende usualmente desde un punto de vista frecuentista más que probabilista en el sentido que los límites del intervalo se calculan de tal manera que, si construimos muchos intervalos, cada vez con distintos valores muestrales el 1001 α % de ellos contendrán el verdadero valor del parámetro. Observamos que los extremos del intervalo variarán de forma aleatoria de una muestra a otra, pues dependen de las observaciones de la muestra, luego tanto los extremos del intervalo como la longitud del intervalo serán cantidades aleatorias y, por

4 Capítulo 7. Intervalos de confianza 2 tanto, no podremos saber con seguridad si el valor del parámetro θ se encuentra dentro del intervalo obtenido cuando se selecciona una sola muestra. El objetivo que se pretende con los intervalos de confianza es obtener un intervalo de poca amplitud y con un nivel de confianza 1 α alto cuyos valores más frecuentes suelen ser 0.90, 0.95 y La precisión de la estimación por intervalos vendrá caracterizada por estas dos medidas: nivel de confianza y amplitud del intervalo. Así pues, para un nivel de confianza fijo, cuanto más pequeño sea el intervalo de confianza, más precisa será la estimación Método de construcción de intervalos de confianza: método pivotal Básicamente daremos un único método para la obtención de intervalos de confianza, el método pivotal basado en la posibilidad de obtener una función del parámetro desconocido y cuya distribución muestral no dependa del parámetro. La descripción general es la siguiente: supongamos que T X 1, X 2,..., X n ; θ es una función de la muestra y del parámetro, cuya distribución en el muestreo no depende de θ. En tal caso, fijado cualquier nivel de confianza 1 α entre 0 y 1, se pueden determinar constantes, a y b, que no serán únicas tales que P a T X 1, X 2,..., X n ; θ b 1 α Basta, por ejemplo, que a y b sean los cuantiles de orden α 1 y 1 α 2, con α 1 + α 2 = α, de la distribución en el muestreo de T X 1, X 2,..., X n ; θ. Si es posible despejar θ en las desigualdades a T X 1, X 2,..., X n ; θ y T X 1, X 2,..., X n ; θ b obtendremos sendos valores T 1 X 1, X 2,..., X n y T 2 X 1, X 2,..., X n tales que De manera que P T 1 X 1, X 2,..., X n θ T 2 X 1, X 2,..., X n 1 α T 1 x 1, x 2,..., x n θ T 2 x 1, x 2,..., x n será un intervalo de confianza para θ, de nivel de confianza 1 α, cualquiera que sea la muestra obtenida. Ello es fácil de llevar a cabo en muchas circunstancias. Lo habitual es que α 1 = α 2 = α/2. Ejemplo 1. Intervalo para la media poblacional en poblaciones normales.

5 Capítulo 7. Intervalos de confianza Intervalos de confianza en poblaciones normales Utilizando los resultados relativos a distribuciones en el muestreo asociados a poblaciones normales, la construcción de intervalos de confianza para los parámetros poblacionales, bajo la hipótesis de normalidad, es un simple ejercicio. Adoptemos la siguiente notación estándar: si Z, Y, t y U son variables aleatorias que tienen respectivamente distribución N0, 1, χ 2 n, t n y F n,m, Z α, χ 2 n,α, t n,α y F n,m,α representan los valores reales tales que P Z > z α = α P t > t n,α = α P Y > χ 2 n,α = α P U > Fn,m,α = α En primer lugar consideremos una única población, Nµ, σ 2 de la cual se dispone de una muestra aleatoria simple X 1, X 2,..., X n Intervalo de confianza para la media si la varianza poblacional es conocida Puesto que X µ σ/ n tiene distribución en el muestreo N0, 1 será P z α/2 < X µ σ/ n < z α/2 = 1 α de forma que x z α/2 σ n, x + z α/2 σ n es un intervalo de confianza para µ de nivel de confianza 1 α Intervalo de confianza para la media si la varianza poblacional es desconocida Puede observarse que el intervalo anterior tiene extremos indeterminados si σ es desconocida. Convendrá utilizar entonces que X µ S/ n tiene distribución en el muestreo t n 1

6 Capítulo 7. Intervalos de confianza 4 para obtener P t n 1,α/2 < X µ S/ n < t n 1,α/2 = 1 α lo cual proporciona s s x t n 1,α/2, x + t n 1,α/2 n n como intervalo de confianza para µ de nivel de confianza 1 α Intervalo de confianza para la varianza si la media poblacional es conocida A pesar de que esta situación es poco frecuente en la práctica, la solución teórica es inmediata: n X i µ 2 tiene distribución en el muestreo χ 2 σ 2 n de forma que i=1 P y por tanto χ 2 n,1 α/2 < 1 χ 2 n,α/2 n X i µ 2 < χ 2 n,α/2 = 1 α i=1 n x i µ 2, i=1 σ 2 1 χ 2 n,1 α/2 n x i µ 2 es un intervalo de confianza para σ 2 de nivel de confianza 1 α. La asimetría de la distribución χ 2 hace que el intervalo anterior, obtenido eliminando colas iguales α/2 en los dos extremos de la distribución, no sea de longitud mínima. Sin embargo, la diferencia no es lo suficientemente importante como para tomarse la molestia de buscar en la tabla los valores que minimizan la longitud. i= Intervalo de confianza para la varianza si la media poblacional es desconocida Esta situación, de mucha más utilidad que la anterior, se resuelve mediante la afirmación del teorema de Fisher: n i=1 X i X 2 σ 2 = n 1S2 σ 2 tiene distribución en el muestreo χ 2 n 1

7 Capítulo 7. Intervalos de confianza 5 Según ello P χ 2n 1,1 α/2 < n 1S2 σ 2 < χ 2 n 1,α/2 = 1 α y resulta n 1s 2 n 1s2, χ 2 n 1,α/2 χ 2 n 1,1 α/2 como intervalo de confianza para σ 2 de nivel de confianza 1 α con la misma consideración acerca de la longitud mínima que en el caso anterior. Consideramos ahora la situación en la cual se dispone de dos muestras aleatorias simples X 1, X 2,..., X n e Y 1, Y 2,..., Y m de dos poblaciones normales Nµ 1, σ 1 y Nµ 2, σ 2, independientes Intervalo de confianza para la diferencia de medias con σ 1 y σ 2 conocidas Como X Ȳ µ 1 µ 2 σ1 2 n + σ2 2 m tiene distribución en el muestreo N0, 1 resulta directamente que σ 2 x ȳ z 1 α/2 n + σ2 2 σ 2 m, x ȳ + z 1 α/2 n + σ2 2 m es un intervalo de confianza para µ 1 µ 2 de nivel de confianza 1 α. Análogo resultado se obtiene, reemplazando σ 2 1 y σ 2 2 por S 2 1 y S 2 2, en el caso en que las varianzas poblacionales sean desconocidas pero los tamaños de ambas muestras sean los suficientemente grandes n, m 15. En el caso de tamaños muestrales grandes, también se puede prescindir de la hipótesis de normalidad y utilizar el Teorema Central del Límite, como después se comentará en más detalle.

8 Capítulo 7. Intervalos de confianza Intervalo de confianza para la diferencia de medias con varianzas desconocidas pero iguales Si σ 1 y σ 2 tiene un valor común desconocido, el estadístico X Ȳ µ 1 µ 2 n 1S 2 1 +m 1S2 2 n+m 2 tiene distribución en el muestreo t n+m 2. De manera que el intervalo 1 n + 1 m x ȳ t n+m 2,α/2 n 1s m 1s 2 2 n + m 2 1 n + 1 m es un intervalo de confianza para µ 1 µ 2 de nivel de confianza 1 α. Análogo resultado se obtiene, con el estadístico X Ȳ µ 1 µ 2 s 2 1 n + s2 2 m utilizando la aproximación de Welch, en el caso en que σ1 2 y σ2 2 no pudiesen suponerse iguales y alguna de las muestras fuese de pequeño tamaño. El intervalo de confianza de nivel 1 α tendría entonces por extremos siendo f el entero más próximo a x ȳ t f,α/2 S 2 1 n + S2 2 m S1/n 2 + S2/m n+1 S2 1/n m+1 S2 2/m Intervalo de confianza para el cociente de varianzas poblacionales Puesto que S 2 1/σ 2 1 S 2 2/σ 2 2 tiene distribución en el muestreo F n 1,m 1

9 Capítulo 7. Intervalos de confianza 7 será P F n 1,m 1,1 α/2 < S2 1/σ 2 1 S 2 2/σ 2 2 y por tanto s 2 1 1, s2 1 s 2 2 F n 1,m 1,α/2 s 2 2 < F n 1,m 1,α/2 = 1 α 1 F n 1,m 1,1 α/2 es un intervalo de confianza para σ 2 1/σ 2 2 de nivel de confianza 1 α Intervalo de confianza para la diferencia de medias de dos poblaciones normales no independientes En el caso en que X 1, Y 1, X 2, Y 2,..., X n, Y n sea una muestra aleatoria simple de datos apareados de una población normal bidimensional de medias µ 1, µ 2 y covarianza σ 11 0, la construcción de intervalos de confianza para µ 1 µ 2 se basa en que n X Ȳ µ 1 µ 2 S D tiene distribución en el muestreo t n 1 Concretamente, s D s x ȳ t n 1,α/2 D, x ȳ + t n 1,α/2 n n es un intervalo de confianza para µ 1 µ 2 de nivel de confianza 1 α, donde S 2 D representa la cuasi-varianza muestral de las diferencias D i = X i Y i Intervalos de confianza en poblaciones no necesariamente normales Hasta ahora hemos considerado que las poblaciones de partida eran normales y se han obtenido intervalos de confianza para distintos parámetros. Pero en muchas situaciones nos podemos encontrar con poblaciones cuya distribución no es conocida, no siendo de aplicación los criterios dados anteriormente, siendo necesario buscar alternativas.

10 Capítulo 7. Intervalos de confianza Aplicación de la desigualdad de Chebychev para la obtención de intervalos de confianza Si no se conoce la distribución de la población, se puede utilizar la distribución de Chebychev para obtener un intervalo de confianza para la media µ de cualquier distribución con σ 2 conocida. Aplicando la desigualdad de Chebychev se tiene que, P X µ k 1 σ 2 Luego un intervalo de confianza a nivel 1 α o superior para µ será, x σ, x + σ nα nα nk Intervalos de confianza para muestras grandes Es conocido que, a menudo, es difícil conocer la distribución en el muestreo de determinados estadísticos y que, en cambio, se puede conocer su distribución asintótica. Como ocurre con los cuantiles y los momentos muestrales, frecuentemente, es posible disponer de una sucesión T n de estadísticos, correspondientes a sucesivos tamaños muestrales n, tales que T n θ σ n θ d N0, 1 donde θ representa el parámetro que caracteriza la distribución teórica y σ n θ depende en general de n y del parámetro poblacional. Esta situación puede ser utilizada para obtener intervalos de confianza aproximados para el parámetro θ. De hecho, si n es suficientemente grande, será P z α/2 < T n θ σ n θ < z α/2 de manera que si puede invertirse la desigualdad, despejando θ, se obtendrá un intervalo de confianza para θ, de nivel de confianza aproximado 1 α. Ejemplo 1. Intervalos basados en el estimador máximo verosímil.

11 Capítulo 7. Intervalos de confianza Intervalos de confianza para muestras grandes aplicando el Teorema Central del Límite Si se quiere obtener un intervalo de confianza para la media µ de una población con varianza desconocida se puede utilizar el Teorema Central del Límite que garantiza que, X µ S/ N0, 1 n lo cual conduce al intervalo de confianza, s s x z α/2, x + z α/2 n n La diferencia con los intervalos obtenidos anteriormente es que aquellos eran exactos y ahora son aproximados y sólo son válidos para muestras grandes, n > 30. Ejemplo 2. Intervalo para λ en una distribución de Poisson Intervalos de confianza de una proporción y de la diferencia de proporciones Supongamos una población B1, p y consideremos una muestra aleatoria de tamaño suficientemente grande, es decir, realizamos un número grande de repeticiones independientes del experimento de Bernoulli que estamos considerando y queremos obtener un intervalo de confianza para el parámetro p. Aplicando el Teorema Central del Límite se tiene que pq ˆp N p, n Luego el intervalo de confianza para el parámetro p a nivel 1 α será, ˆpˆq ˆpˆq ˆp z α/2 n, ˆp + z α/2 n donde ˆp = número de éxitos en n pruebas n

12 Capítulo 7. Intervalos de confianza 10 Igualmente se puede obtener un intervalo para la diferencia de proporciones poblacionales en base a dos muestras independientes de tamaño n 1 y n 2 de cada una de las poblaciones B1, p 1 y B1, p 2, respectivamente. El intervalo final sería, ˆp1ˆq 1 ˆp 1 ˆp 2 z α/2 n + ˆp 2 ˆq 2 ˆp1ˆq m, ˆp 1 1 ˆp 2 + z α/2 n + ˆp 2ˆq 2 m 7.7. Estimación del tamaño muestral Hasta ahora hemos estudiado métodos para obtener intervalos de confianza de parámetros de una población, basándonos en la información contenida en una muestra dada. Sin embargo, se puede pensar que el intervalo de confianza es demasiado amplio, reflejando una importante incertidumbre sobre el parámetro estimado. La única manera de obtener un intervalo más preciso, con un nivel de confianza dado, es aumentando el tamaño muestral. En algunas circunstancias, se puede fijar previamente la amplitud del intervalo, eligiendo un tamaño muestral adecuado. Por ejemplo en el caso de la media de una población normal con σ conocido, si se fija la amplitud L y se mantiene el nivel de confianza en 1 α el tamaño muestral óptimo es n = 4zα/2 2 σ 2 L 2

13 Capítulo 7. Intervalos de confianza Problemas 1. Un fabricante de fibras sintéticas desea estimar la tensión de ruptura media de una fibra. Se diseña un experimento en el que se observan las tensiones medias de ruptura, en libras, de 16 hilos del proceso, seleccionados aleatoriamente. Las tensiones son 20.8, 20.6, 21.0, 19.9, 20.2, 19.6, 19.8, 20.9, 21.1, 20.4, 20.6, 19.7, 19.6, 20.3 y Suponga que la tensión de ruptura de una fibra se encuentra modelada por una distribución normal con desviación típica de Construir un intervalo de confianza estimado del 98 % para el valor real de la tensión de ruptura promedio de la fibra. 2. Las peleas semanales en Madrid se distribuyen como una Poisson con parámetro desconocido. En 30 semanas se observan 217 peleas. Determinar un intervalo de confianza al 90 % para el número medio de peleas semanales. 3. El contenido de celulosa de 7 frutos tomados al azar en una determinada especie es, en unidades arbitrarias: 10.2, 10.4, 9.8, 10.8, 10.2, 10 y 9.6. Calcular un Intervalo de Confianza al 95 % para la media de tal contenido, suponiendo que se trata de una variable con distribución normal. Cuántas observaciones necesitaremos para tener una confianza del 95 % de que el error máximo cometido por la estimación puntual sea de 0.1?. 4. Se observa la eficiencia de dos departamentos asignándole a cada uno de ellos diez tareas y midiendo su rendimiento en ellas. Los resultados están a continuaciíon: Departamento1 0,6 1,2 0,9 1,9 2 0,6 0,9 2 0,8 1 Departamento2 0,4 1,3 1,1 2,1 1,9 0,5 1,1 1,7 0,8 1,1 Suponiendo las puntuaciones como variables normales, determinar un intervalo de confianza de 0.9 para la diferencia media de eficiencia. 5. Observamos 200 Diplomados y 200 Licenciados en Estadística. De los primeros se colocaron el 80 % y de los segundos el 85 %. Determinar un intervalo de confianza al 95 % para la diferencia de proporciones poblacionales. 6. El peso de bolsas de aceitunas de dos marcas se distribuye N300, σ i. Para la primera marca se obtiene n 1 = 10: 300, 290, 280, 307, 305, 295, 299, 305, 300, 307. Para la segunda n 2 = 12: 280, 300, 307, 290, 285, 295, 300, 260, 290, 300, 304, 298. Hallar un intervalo del 90 % para el cociente de varianzas. 7. Para averiguar si el calor disipado por el funcionamiento de un procesador afecta a su eficiencia se miden los tiempos de espera para ciertas operaciones al encender el ordenador y tras dos horas de funcionamiento de este. Se obtiene:

14 Capítulo 7. Intervalos de confianza 12 X i 169,7 168,5 165,9 177,8 179,6 168,9 169,2 167,9 181,8 163,3 Y i 168,2 165,5 164,4 175,7 176,6 166,1 167,1 166,3 179,7 161,5 Calcular un intervalo de confianza del 95 % para la diferencia media del tiempo de ejecución. 8. De una muestra aleatoria de 12 licenciados en Económicas en una Universidad pública, los sueldos de su primer empleo fueron los siguientes expresados en miles de dólares 26,2 29,3 31,3 28,7 27,4 25,1 26,0 27,2 27,5 29,8 32,6 34,6 De otra muestra aleatoria independiente de 10 licenciados en Económicas en una Universidad privada los primeros sueldos fueron los siguientes 25,3 28,2 29,2 27,1 26,8 26,5 30,7 31,3 26,3 24,2 Discutir si existen diferencias entre los sueldos de los licenciados de Universidades públicas y privadas. 9. Un ingeniero está interesado en la repoblación de cangrejo autóctono en el cauce alto del río de Valdecabras. Para ello es imprescindible determinar las relaciones genéticas existentes con las tres especies presentes en la actualidad. Tomando una muestra amplia, determina que estas especies existen con frecuencias: α 2, 2α1 α y 1 α 2, donde α es la frecuencia desconocida de relación genética con la especie autóctona. a Supongamos que en una muestra aleatoria de tamaño n de la población se encuentran a, b y c cangrejos de cada una de las tres especies respectivamente. Hallar el estimador de máxima verosimilitud para α. b Las frecuencias observadas en una muestra de tamaño 50 han sido: 17, 23 y 10 respectivamente. Calcular la estimación correspondiente a estos datos. c Calcular un intervalo de confianza para α, basado en el EMV, con un nivel de significación del 95 %. 10. Una empresa se dispone a comercializar un nuevo producto y estudia la conveniencia de lanzar una campaña publicitaria previa. Para averiguar si el porcentaje de personas que comprarían el producto aumentaría con esta campaña se llevaron a cabo dos encuestas distintas. La primera encuesta se realizó sobre 100 personas

15 Capítulo 7. Intervalos de confianza 13 que no habían visto la campaña publicitaria, de las cuales 25 se mostraron interesadas en la compra del producto. En la segunda encuesta, las 100 personas visualizaron previamente la publicidad antes de responder si comprarían el producto, resultando que un total de 30 personas afirmaron su intención de adquirir el producto. Resolver las siguientes cuestiones: a Construir un intervalo de confianza al 90 % para la verdadera proporción de personas que comprarían el producto tras haber visto la publicidad. b A cuántas personas habrá de encuestar la empresa si quiere asegurarse una longitud del intervalo de confianza para la anterior proporción inferior a 0.1?. c Construir el intervalo de confianza al 90 % para la diferencia de proporciones de compra entre personas que han visto la publicidad y las que no la han visto. En base a este intervalo, podemos afirmar que la campaña es efectiva?. d Si las dos encuestas se hubieran realizado al mismo grupo de personas antes y después de la visualización de la publicidad, sería válido el intervalo que se propone en c?, por qué?. Razonar sin realizar operaciones. 11. Sea X 1,..., X n e Y 1,..., Y m dos muestras aleatorias simple de dos poblaciones independientes con distribuciones exponenciales de parámetros λ 1 y λ 2 respectivamente. Determinar un intervalo de confianza para λ 1 /λ Sea X una variable aleatoria absolutamente continua con función de densidad fx = 2θxe θx2, x > 0 siendo θ > 0. Utilizando una muestra aleatoria simple de tamaño n de X, determinar un intervalo de confianza de colas iguales para θ, por el método de la cantidad pivotal.

16 Bibliografía [1] Casas, J.M Inferencia Estadística. Centro de Estudios Ramón Areces. [2] Mukhopadhyay, N Probability and Statistical Inference. Marcel Dekker. [3] Peña, D Estadísitca, Modelos y métodos. Tomo 1. Alianza Universal. [4] Rohatgi, V. K An introduction to Probability Theory and Mathematical Statistical. Wiley. [5] Vélez, R.; García, A Principios de Inferencia Estadística. UNED.