Tema 5 - III: Inferencia sobre dos poblaciones: proporciones, varianzas, medias

Transcripción

1 Tema 5 - III: Inferencia sobre dos poblaciones: proporciones, varianzas, medias Biología y Biología sanitaria - UAH Marcos Marvá Ruiz

2 Para dos poblaciones Se presentan conjuntamente intervalos y contrastes Revisar y afianzar ideas Enfasis en las preguntas que responde cada herramienta Objetivos Establecer el estadístico apropiado para cada comparación. Al comparar, diferencias o cocientes? Usar conjuntamente intervalos y p-valores.

3 Queremos responder preguntas tipo: el escarabajo tigre puede tener distintas coloraciones Se toman muestras De los 500 escarabajos de Providence, Rhode Island, 95 eran negros De los 112 escarabajos en Aqueduct, Nueva York, 17 eran negros 1 Intervalo de confianza En cuánto difiere la proporción poblacional de individuos negros en cada colonia? 2 Contrastar hipótesis sobre la proporción de individuos negros son significativamente diferentes? (bilateral) es significativamente mayor en una de las colonias? (unilateral) Sección 9.1 del libro

4 Inferencia: diferencia de propociones Distribución muestral de la diferencia de proporciones Dos poblaciones cuyos individuos pueden presentar (éxito) o no (fracaso) una característica determinada 1 Dos muestras de tamaños n 1 y n 2 2 Proporciones muestrales ˆp 1 y ˆp 2 3 Por el Teorema central del límite, si n 1 > 30, n 2 > 30, n 1 ˆp 1 > 5, n 1 ˆq 1 > 5, n 2 ˆp 2 > 5, n 2 ˆq 2 > 5 ( ) ( ) entonces, ˆp 1 N p 1, ˆp1 ˆq 1 y ˆp n 2 N p 2, ˆp2 ˆq 2 1 n 2 Cómo se comporta la suma (o resta) de v.a. normales? ˆp 1 ˆq 1 ˆp 1 ˆp 2 N p 1 p 2, n 1 + ˆp 2 ˆq 2 n 2 Ahora todo es análogo al caso de una población. Pizarra. Las expresiones concretas están en tabla B.1 (pág 576), B.2 (pág 577) y B.3 (pág 578) del libro

5 Inferencia: diferencia de propociones Ejemplo: el de los escarabajo tigre. En Providence, Rhode Island, 95 de los 500 escarabajos eran negros. En Aqueduct, Nueva York, 17 de los 112 escarabajos eran negros. Se pide (plantillas) 1 Calcula el IC para la diferencia de proporciones, α = Contrasta H 0 : p 1 p 2 = 0 frente a H 1 : p 1 p 2 = 0 CH = prop.test(c(95, 17), n = c(500, 112), correct = FALSE, alternative = "two.sided", conf.level =.99) CH$conf.int[c(1,2)] ## [1] CH$p.value ## [1] Interpreta los resultados.

6 Inferencia sobre dos poblaciones: varianzas Preguntas tipo: anchura del pétalo de iris setosa y virgínica./figuras/l13_iris_virginica.jpg A partir de sendas muestras 1 Intervalo de confianza Cómo comparar la dispersión de las longitudes en cada grupo? 2 Contraste de hipótesis Sobre la dispersión de longitudes, vista la muestra, Son diferentes a nivel poblacional? Es mayor en un grupo que en otro a nivel poblacional?

7 Inferencia sobre dos poblaciones: varianzas Ejemplo: Supongamos que σ1 2 = , 1 σ2 2 = Entonces σ 2 1 σ 2 2 = , pero σ1 2 σ2 2 = La diferencia σ 2 1 σ 2 2 es sensible a la escala El cociente no tiene ese problema Si el cociente de dos números es cercano a uno... A menudo, para comparar, lo más útil es usar: La diferencia para medidas de centralización (medias, proporciones): en cuántas unidades difieren El cociente para medidas de dispersión (varianzas) cuántas veces más disperso Sección 9.3 del libro

8 Inferencia sobre dos poblaciones: varianzas Distribución muestral del cociente de varianzas, poblaciones normales Dadas dos muestras de tamaños n 1 y n 2, sabemos que dividiendo, (n 1 1) s2 1 σ 2 1 s 2 1/s 2 2 σ 2 1 /σ2 2 χ 2 n 1 1, y (n 2 1) s2 2 σ 2 2 χ2 n 1 1/(n 1 1) χ 2 n 2 1 /(n 2 1) = F n 1 1,n 2 1 χ 2 n 2 1 La distribución de probabilidad del miembro derecho se llama F de Fisher-Snedecor con n 1 1 y n 2 1 grados de libertad: F n1 1,n 2 1

9 Ejemplo: para la variable anchura del sépalo de las especies iris setosa e iris virgínica, y al nivel de confianza del 95% estima en qué especie hay más dispersión contrasta H 0 : σ 2 s = σ 2 v, H 0 : σ 2 s σ 2 v, Son normales las muestras? library(mass); par(mfrow = c(1,2)) m1 = iris[iris$species == "setosa", c("sepal.width")] m2 = iris[iris$species == "virginica", c("sepal.width")] qqnorm(m1); qqline(m1) qqnorm(m2); qqline(m2) Normal Q Q Plot Normal Q Q Plot Sample Quantiles Sample Quantiles Theoretical Quantiles Theoretical Quantiles

10 Ejemplo: Ahora, la inferencia var.test(x = m1, y = m2, alternative = "two.sided", conf.level = 0.95) ## ## F test to compare two variances ## ## data: m1 and m2 ## F = , num df = 49, denom df = 49, p-value = ## alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1 ## 95 percent confidence interval: ## ## sample estimates: ## ratio of variances ## Relacionar el p-valor con el intervalo de confianza.

11 Inferencia: diferencia de medias Preguntas tipo: sobre la longitud del caparazón de cangrejos de la especie Leptograpsus variegatus agrupados por color (azul o naranja). A la vista de las longitudes muestrales X 1 y X 2 : Intervalo de confianza 1 A nivel poblacional, en cuantas unidades difieren µ B y µ O? Contraste de hipótesis sobre las longitudes, vista la muestra, 1 Son significativamente diferentes a nivel poblacional? 2 Es una significativamente mayor que la otra a nivel poblacional? Notación n 1 y n 2 el tamaño de cada muestra X1 y X 2 las medias muestrales Simular la diferencia de medias

12 Inferencia: diferencia de medias Distribución muestral para la diferencia de medias Suponer que las muestras son 1 independientes 2 grandes: n 1 > 30, n 2 > 30 (o que 50) El teorema central del límite afirma que ( X 1 N µ 1, ) s 1, y que X2 N n1 ( µ 2, ) s 2. n2 Sabemos que la diferencia X 1 X 2 es una normal. Concretamente: X 1 X 2 s 1 2 N µ 1 µ 2, + s 2 2 n 1 n 2 Los intervalos de confianza, las regiones de rechazo, y el p-valor se calculan de forma análoga a como lo hicimos para una población. Las expresiones concretas están en tabla B.1 (pág 576), B.2 (pág 577) y B.3 (pág 578) del libro

13 Inferencia: diferencia de medias Ejemplo: Para las especies (azul y naranja)del fichero crabs de la librería MASS de R, la longitud del lóbulo frontal (FL) y al ns α = Estima la diferencia de medias. 2 Contrasta las hipótesis H 0 : µ O µ B = 0, H 1 : µ O µ B 0. library(mass); library(bsda) muestra1 = crabs[crabs$sp == "B", c("fl")] muestra2 = crabs[crabs$sp == "O", c("fl")] length(muestra1) ## [1] 100 length(muestra2) ## [1] 100 z.test(x = muestra1, y = muestra2, sigma.x = sd(muestra1), sigma.y = sd(muestra2), alternative = "two.sided", conf.level = 0.95) ## ## Two-sample z-test ## ## data: muestra1 and muestra2 ## z = , p-value = 7.124e-12 ## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 ## 95 percent confidence interval: ## ## sample estimates: ## mean of x mean of y ##

14 Inferencia: diferencia de medias Distribución muestral para la diferencia de medias Suponer que las muestras son 1 independientes 2 pequeñas : n 1 < 30 o n 2 < 30 y de poblaciones normales 3 NO conocemos las varianzas, Podemos usar que ( X 1 X 2 ) (µ X1 µ X2 ) s 2 1 n 1 + s2 2 n 2 los grados de libertad f depende de si las las varianzas son iguales o no t f Los intervalos de confianza, las regiones de rechazo, y el p-valor se calculan de forma análoga a como lo hicimos para una población. Las expresiones concretas están en tabla B.1 (pág 576), B.2 (pág 577) y B.3 (pág 578) del libro

15 Inferencia: diferencia de medias Ejemplo: Para muestras pequeñas de las especies (azul y naranja)del fichero crabs, la longitud del lóbulo frontal (FL) y al ns α = Estima la diferencia de medias. 2 Contrasta las hipótesis H 0 : µ O µ B = 0, H 1 : µ O µ B 0. Analiza la normalidad de las muestras library(mass); library(bsda); set.seed(2018) muestra1 = sample(crabs[crabs$sp == "B", c("fl")], size = 20, replace = T) muestra2 = sample(crabs[crabs$sp == "O", c("fl")], size = 20, replace = T) par(mfrow = c(1,2)) qqnorm(muestra1); qqline(muestra1) qqnorm(muestra2); qqline(muestra2) Normal Q Q Plot Normal Q Q Plot Sample Quantiles Sample Quantiles Theoretical Quantiles Theoretical Quantiles

16 Inferencia: diferencia de medias Ejemplo: (continuación) Analiza la igualdad de varianzas var.test(muestra1, muestra2, sigma = 1, alternative = "two.sided", conf.level = 0.95) ## ## F test to compare two variances ## ## data: muestra1 and muestra2 ## F = , num df = 19, denom df = 19, p-value = ## alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1 ## 95 percent confidence interval: ## ## sample estimates: ## ratio of variances ## Compara las medias t.test(x = muestra1, y = muestra2, sigma.x = sd(muestra1), sigma.y = sd(muestra2), alternative = "two.sided", conf.level = 0.95, var.equal = TRUE) ## ## Two Sample t-test ## ## data: muestra1 and muestra2 ## t = , df = 38, p-value = ## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 ## 95 percent confidence interval: ## ## sample estimates: ## mean of x mean of y ##

17 Inferencia: diferencia de medias Distribución muestral para la diferencia de medias, muestras pareadas Esto sucede cuando las dos muestras se toman sobre los mismos individuos. Por ejemplo: 1 Frecuencia cardiaca antes y después de hacer ejercicio, medida en los mismos individuos 2 Frente una erupción cutánea, se aplica a todos los individuos un remedio sólo en parte de la zona afectada y se compara Ahora las muestras NO son independientes Se define la variable variable aleatoria D = X 1 X 2 Los intervalos de confianza, las regiones de rechazo, y el p-valor se calculan de forma análoga a como lo hicimos para una población. Las expresiones concretas están en tabla B.1 (pág 576), B.2 (pág 577) y B.3 (pág 578) del libro

18 Inferencia: diferencia de medias Ejemplo: (muestras pareadas). La frecuencia cardiaca de 10 individuos antes y después de hacer una prueba de esfuerzo es antes = c(60, 63, 54, 66, 69, 72, 53, 71, 67, 59) despues = c(70, 81, 93, 106, 67, 77, 60, 68, 77, 62) Contrastar la hipótesis: H 0 : D 0 H 1 : D < 0 con ns = Se define la variable variable aleatoria D = antes - despues Hacer el contraste library(teachingdemos) t.test(d, mu = 0, alternative = "less", conf.level =0.95 ) ## ## One Sample t-test ## ## data: D ## t = , df = 9, p-value = ## alternative hypothesis: true mean is less than 0 ## 95 percent confidence interval: ## -Inf ## sample estimates: ## mean of x ## -12.7

19 Inferencia: Relevancia estadística vs científica Ejemplo: la altura de los habitantes de dos ciudades A y B. set.seed(2018) pob1 = rnorm(n = , mean = 171.3, sd = 1) pob2 = rnorm(n = , mean = 171.1, sd = 1) Nuestra H 1 : µ A µ B n = 10; m1 = sample(pob1, n, replace = TRUE); m2 = sample(pob2, n, replace = TRUE) contraste01 = t.test(x = m1, y = m2, alternative="two.sided", var.equal = TRUE) contraste01$conf.int[1:2] ## [1] contraste01$p.value ## [1] Tomar muestras mayores n = 50; m12 = sample(pob1, n, replace = TRUE); m22 = sample(pob2, n, replace = TRUE) contraste02 = t.test(x = m12, y = m22, alternative="two.sided", var.equal = TRUE) contraste02$conf.int[1:2] ## [1] contraste02$p.value ## [1]

20 Inferencia: diferencia de medias Tomemos muestras aún mayores n = 1000 m13 = sample(pob1, n, replace = TRUE) m23 = sample(pob2, n, replace = TRUE) contraste03 = t.test(x = m13, y = m23, contraste03$p.value alternative="two.sided", var.equal = TRUE) ## [1] e-06 Lo sabía! hay diferencias significativas!!!...pero contraste03$conf.int[c(1,2)] ## [1] IMPORTANTE: Más información, en la página de teoría