EJERCICIOS DEL CAPITULO 4

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1 EJERCICIO 3: EJERCICIOS DEL CAPITULO 4 En un problema similar al del ejercicio es necesario garantizar que la resistencia minima que tienen un envase de plástico en posición vertical sea de 20kg. Para evaluar esto se obtuvieron los siguientes datos mediante pruebas destructivas: a) Análisis exploratorio (histograma y las estadísticas descriptivas, diagrama de caja) b) Estime un intervalo de confianza para la media al 95% c) Un estudio suponía que la µ=25. Dada la evidencia de los datos, tal supuesto es correcto d) Estime un intervalo de confianza para la desviación estándar al 95% SOLUCION X: RESISTENCIA ENVASE PLASTICO (KG) Del análisis exploratorio podemos concluir lo siguiente: Los datos se encuentran muy por encima de la especificación inferior (20Kg) se cumple con la calidad exigida Media y mediana están alrededor de 27 kg, además su desviación es,43kg Coef Var= 5,25% Los límites reales se encuentra el 97,3% entre 22,93 y 3,5Kg El diagrama de caja nos señala cierta simetría de la información y que se encuentra los bigotes alejados de la especificación inferior. Estadísticas descriptivas: resistencia(kg) Conteo Variable total Media Desv.Est. CoefVar Mínimo Q Mediana resistencia(kg) 55 27,220,430 5,25 23,700 26,200 27,300 N para Variable Q3 Máximo Rango IQR Modo moda resistencia(kg) 28,300 30,400 6,700 2,00 26,5. 27,6. 27,7. 28, 3

2 Frecuencia resistencia(kg) Escuela Profesional de Ingeniería Industrial Variable Sesgo Kurtosis resistencia(kg) -0,2-0,32 Gráfica de caja de resistencia(kg) , Histograma de resistencia(kg) Normal Especificación Inferior 20 22,93 3,5 4 2 Lim. Real Inferior 4 Lim. Real Superior Media 27,22 Desv.Est.,430 N ,8 22,4 24,0 25,6 27,2 resistencia(kg) 28,8 30,4

3 Porcentaje Escuela Profesional de Ingeniería Industrial Ho: µ=25 kg Ha: µ 25 kg Como no se conoce la desviación estándar poblacional y el parámetro a probar es la Media Poblacional µ entonces se escoge la distribución T b y c) T de una muestra: resistencia(kg) Prueba de mu = 25 vs. no = 25 Media del Error Variable N Media Desv.Est. estándar IC de 95% T resistencia(kg) 55 27,220,430 0,93 (26, ,607),52 Variable P resistencia(kg) 0,000 Valor p < Alfa (0,05) entonces se rechaza ho la media es diferente de 25 El intervalo de confianza: Con una confianza del 95% se puede afirmar que la media verdadera de la resistencia de los envases se encuentra entre 26,833 y 27,607 Kg d) Determinar el intervalo de confianza para la desviación estándar para lo cual primero hay que saber si los datos siguen distribución normal o no Gráfica de probabilidad de resistencia(kg) HO: los datos siguen una distrb, normal Ha: los datos no siguen una distrb, normal Se acepta Ho Los datos son normales Media 27,22 Desv.Est.,430 N 55 KS 0,059 Valor P >0,50 ALFA=0.05 valorp > alfa resistencia(kg)

4 Los datos son normales Prueba e IC para una desviación estándar: resistencia(kg) Método El método estándar se utiliza sólo para la distribución normal. El método ajustado se utiliza para cualquier distribución continua. Estadísticas Variable N Desv.Est. Varianza resistencia(kg) 55,43 2,04 Intervalos de confianza de 95% IC para IC para Variable Método Desv.Est. varianza resistencia(kg) Estándar (,20.,76) (,45. 3,0) Ajustado (,22.,73) (,49. 2,99) El intervalo de confianza: Con una confianza del 95% se puede afirmar que la desviación estándar verdadera de la resistencia de los envases se encuentra entre,20 y,76 Kg EJERCICIO 6:

5 En la fabricación de discos compactos una variable de interés es la densidad mínima (grosor) de la capa de metal, la cual no debe ser menor de.5 micras. Por experiencia se sabe que la densidad minima del metal casi siempre ocurre en los radios 24 y 57, aunque en el método actual también se miden los radios 32,40 y 48. Se realizan siete lecturas en cada radio, lo cuál da un total de 35 lecturas, de las cuales solo se usa la mínima. A continuación se presente una muestra histórica de 8 densidades mínimas. TABLA DE DENSIDADES a) Argumente en términos estadísticos si las densidades mínimas individuales cumplen con la especificación de.5 micras. Sugerencia aplique la regla empírica. b) Encuentre un intervalo de confianza de 99% para la media de la densidad mínima. c) Proporcione un intervalo de confianza de 99% para la desviación estándar. d) Dibuje el diagrama de cajas para los datos e interprete los resultados. Solución: X: densidad mínima (grosor) micras Variable Aleatoria Continua (MEDICION) Especificación Inferior: Ei=,5 micras Regla Empírica: µ ± 3 σ ( Es lo mismo que los limites reales) El proceso es capaz ya que los datos se encuentran muy por encima de la especificación inferior tanto así aplicando 6 sigma se obtiene un limite µ±6σ de.5522 es decir que de millón de CD existen 0 que no cumple esa calidad. Como se puede apreciar en el siguiente gráfico:

6 Frecuencia Escuela Profesional de Ingeniería Industrial Especificación Inferior Histograma de Densidad Normal Lim. Real Inferior 5 7 Lim. Real Superior Media.94 Desv.Est N Densidad De acuerdo a los resultados los datos cumple con la especificación mínima dado el 99.7% de los datos es superior.75 micras b) Para hallar el intervalo de confianza de la µ Como la varianza poblacional es desconocida se aplica T Utilizando el Minitab: T de una muestra: Densidad Media del Error Variable N Media Desv.Est. estándar IC de 99% Densidad (.8959,.984) Interpretación: Se puede afirmar con un 99% de confianza que la media verdadera de la densidad mínima se encuentra entre.8959 y.984 micras C) Para hallar el intervalo de confianza de la σ, para lo cual es necesario determinar si los datos siguen o no una distribución NORMAL para lo cual utilizamos la prueba o TEST de NORMALIDAD prueba de KOLMOGOROV como se observa a continuación:

7 Porcentaje Escuela Profesional de Ingeniería Industrial Ho: Los datos son normales Ha: Los datos no siguen distribución normal Valor p > Alfa Media.94 Desv.Est N 8 KS 0.6 Valor P > Acepta Ho Los datos son normales Densidad Se concluye que los datos siguen una DISTRIBUCIÓN NORMAL Hallando el intervalo de confianza para la σ se obtiene Prueba e IC para una desviación estándar: Densidad Método El método estándar se utiliza sólo para la distribución normal. El método ajustado se utiliza para cualquier distribución continua. Estadísticas Variable N Desv.Est. Varianza Densidad Intervalos de confianza de 99% IC para Variable Método Desv.Est. IC para varianza Densidad Estándar (0.0446, 0.6) (0.0099, ) Ajustado (0.044, 0.44) (0.0094, 0.030) Interpretación: Se puede afirmar con un 99% de confianza que la σ verdadera de la densidad mínima se encuentra entre y 0.6 micras

8 Densidad Escuela Profesional de Ingeniería Industrial D) Diagrama de CAJAS o BOXPLOT Se observa que el 50% de los datos es superior o Inferior a.94 micras, los datos se encuentran muy por encima de la Especificación Inferior. 2. Gráfica de caja de Densidad EJERCICIO 23: Bajo condiciones controladas, en un laboratorio se evaluó en 0 hombres y 0 mujeres, la temperatura que cada persona encontró más confortable. Los resultados en grados Fahrenheit fueron los siguientes: MUJER HOMBRE

9 Porcentaje Escuela Profesional de Ingeniería Industrial a) Cuáles son en realidad los tratamientos que se comparan en este estudio? b) Las muestras son dependientes o independientes? c) La temperatura promedio más confortable es igual para hombres que para mujeres? SOLUCIÓN X: Las temperaturas Mujeres ( F) Y: Las temperaturas Hombres ( F) Son poblaciones independientes PRIMER PASO SI SON NORMALES O NO APLICANDO KOLMOGOROV SE CONCLUYE QUE SON NORMALES COMO SE OBSERVA EN LOS SIGUIENTES GRÁFICOS Y VALORES P Gráfica de probabilidad de HOMBRE Normal Media 74.5 Desv.Est..58 N 0 KS 0.29 Valor P > HOMBRE

10 Porcentaje Escuela Profesional de Ingeniería Industrial Gráfica de probabilidad de MUJER Normal Media 77.4 Desv.Est N 0 KS Valor P > MUJER LOS DATOS HOMBRES Y MUJERES SON NORMALES PASO 2 PROBAR SI LAS VARIANZAS SON IGUALES HO: VAR = VAR 2 HA: VAR VAR2 MUJER HOMBRE Prueba de igualdad de varianzas para MUJER, HOMBRE Ho: Varianza = Varianza2 Ha: Varianza diferente Varianza2 Como son Normales Valor p > alfa > 0.05 Acepto Ho Es decir las varianzas son iguales Ademas se intersectan sus intervalos de confianza Intervalos de confianza de Bonferroni de 95% para Desv.Est. Prueba F Estadística de prueba.7 Valor P Prueba de Levene Estadística de prueba 0.03 Valor P MUJER HOMBRE Datos 78 80

11 Prueba de varianzas iguales: MUJER, HOMBRE Intervalos de confianza de Bonferroni de 95% para desviaciones estándares N Inferior Desv.Est. Superior MUJER HOMBRE Prueba F (distribución normal) Estadística de prueba =.7, valor p = Prueba de Levene (cualquier distribución continua) Estadística de prueba = 0.03, valor p = Como son NORMALES se selecciona la PRUEBA F Valor p (0.438 ) > alfa Acepto HO LAS VARIANZAS SON IGUALES Ho: µ X =µ Y Ha: µ X µ Y Realizando la prueba 2T porque son independientes Prueba T e IC de dos muestras: MUJER, HOMBRE T de dos muestras para MUJER vs. HOMBRE Media del Error N Media Desv.Est. estándar MUJER HOMBRE Diferencia = mu (MUJER) - mu (HOMBRE) Estimado de la diferencia: IC de 95% para la diferencia: (.72, 4.628) Prueba T de diferencia = 0 (vs. no =): Valor T = 3.53 Valor P = GL = 8 Ambos utilizan Desv.Est. agrupada =.8394 Conclusión: Valor p < alfa SE RECHAZA HO es decir las medias de las temperaturas de los hombres y las mujeres es diferente.

12 Además se puede afirmar que la media de las mujeres es mayor ya que el intervalo de confianza para la diferencia de las medias es positivo. EJERCICIO 24: Se prueban 0 partes en cada nivel de temperatura y se mide el encogimiento sufrido en unidades de porcentaje multiplicado por 0. Los resultados fueron los siguientes TEMPERATURA BAJA TEMPERATURA ALTA Descriptive Statistics: T. Baja; T. Baja Descriptive Statistics: T. Baja; T. Alta Variable N N* Mean SE Mean StDev Variance CoefVar Minimum Q T. Baja 0 0 7,240 0,266 0,842 0,709 4,89 5,900 6,625 T. Alta ,620 0,65 0,520 0,27 2,52 9,800 20,200 N for Variable Median Q3 Maximum Range IQR Mode Mode Kurtosis T. Baja 7,250 7,800 8,600 2,700,75 * 0-0, 39 T. Alta 20,700 2,025 2,400,600 0,825 * 0-0,8 Two-Sample T-Test and CI Sample N Mean StDev SE Mean 0 7,240 0,842 0, ,620 0,520 0, 6 Difference = mu () - mu (2) Estimate for difference: -3,380 95% CI for difference: (-4,037; -2,723) T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = -0,80 P-Value = 0,000 DF = 8 Both use Pooled StDev = 0,6998

13 Retrieving project from file: 'C: \DOCUMENTS AND SETTINGS\PCESCRITORIO \ EJERCICIO 24 CAP 4.MPJ' Box Plot Of. T. Baja; T. Alta Boxplot of T. Baja; T. Alta 8.5 T. Baja T. Alta EJERCICIO 25: Una compañía de transporte de carga desea escoger la mejor ruta para llevar la mercancía de un depósito a otro. La mayor preocupación es el tiempo de viaje. En el estudio se seleccionaron al azar 5 chóferes de un grupo de 0 y se asignaron a la ruta A; los cinco restantes se asignaron a la ruta B. Los datos obtenidos fueron: RUTA TIEMPO DE VIAJE A B a) Existen diferencias significativas entre las rutas? Plantee y pruebe las hipótesis estadísticas correspondientes? b) En caso de rechazar la hipótesis del inciso a), dibuje los diagramas de cajas simultáneos para determinar cuál ruta es mejor. Descriptive Statistics: A; B

14 Variable N * Mean SE Mean StDev Minimum Q Median Q3 Maximum A ,00 2,65 5,92 8,00 2,00 30,00 3,50 32,00 B ,00 2,5 5,6 22,00 23,50 29,00 34,50 35,00 Two-Sample T-Test and CI * NOTE * Graphs cannot be made with summarized data. Sample N Mean StDev SE Mean 5 27, 00 2, 65, , 00 2, 5, Difference = mu () - mu (2) Estimate for difference: -2,00 95% CI for difference: (-5,86;,86) T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = -,23 P-Value = 0,260 DF = 7 EJERCICIO 26: Se tiene dos proveedores de una pieza metálica cuyo diámetro ideal o valor objetivo es igual a cm. Se toman dos muestras de 4 piezas a cada proveedor y los datos obtenidos se muestran a continuación: PROVEEDOR 2 DIAMETROS DE LAS PIEZAS DE CADA PROVEEDOR a) Prueba la hipótesis de igualdad de los diámetros de los proveedores en cuánto a sus medias. b) Prueba la hipótesis de igualdad de varianza. c) Si las especificaciones para el diámetro son mm +/ mm, Cuál proveedor produce menos piezas defectuosas? d) Con cuál proveedor se quedaría usted PROVEEDOR PROVEEDOR 2 VAR S VAR S * * *

15 * * * * * * * * 8.6 Descriptive Statistics: Proveedor ; Proveedor 2 Variable N N* Mean SE Mean StDev Variance CoefVar Minimum Q Proveedor ,94 0,423,583 2,507 7,84 8,000 8,953 Proveedor ,89 0,40 0,525 0,276 2,4 20,820 2,505 N for Variable Median Q3 Maximum IQR Mode Mode Kurtosis Proveedor 9,990 2,903 22,600 2,950 * 0 -,44 Proveedor 2 2,770 22,220 22,70 0,75 2,5; 22,22 2-0,8 Two-Sample T-Test and CI Sample N Mean StDev SE Mean 4 20,9,58 0, ,89 0,525 0,4 Difference = mu () - mu (2) Estimate for difference: -,625 95% CI for difference: (-2,54; -0,709) T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = -3,65 P-Value = 0,00 DF = 26 Both use Pooled StDev =,793 Test for Equal Variances Test for Equal Variances 95% Test Statistic 9.08 Bonferroni P-Value confidence intervals for standard deviations F-Test Sample Lower StDev Upper N % Bonferroni Confidence Intervals for StDevs 3.0

16 Proveedor 2 Proveedor 2 Escuela Profesional de Ingeniería Industrial Test for Equal Variances for Proveedor 20,82 2,29 2,49 2,5 2,52 2,63 2,9 2,92 22,06 22,22 22,65 22,7 F-Test Test Statistic 0.2 P-Value % Bonferroni Confidence Intervals for StDevs 20 20,82 2,29 2,49 2,5 2,52 2,63 2,9 2,92 22,06 22,22 22,65 22, Proveedor EJERCICIO 27: En Kocaoz, S. Samaranayake, V.A. Nanni A. (2005), se presenta una investigación donde se estudian dos tipos de barra de polímero, cuya tensión se refuerza con Fibra de vidrio(frp). Estas barras, en sustitución de las vigas de acero son utilizadas para reforzar concreto por lo que su caracterización es importante para fines de diseño, control y optimización para los ingenieros estructurales. Las barras se sometieron a tensión hasta registrarse su ruptura (en Mpa). Los datos para dos tipos de barra se muestran a continuación: TIPO DE RESISTENCIA BARRA A

17 B a) Formule la hipótesis para probar la igualdad de medias de los tratamientos b) Anote la fórmula del estadístico de prueba para demostrar la hipótesis c) Pruebe la hipótesis a un nivel de significancia del 5%. Para rechazar o no la hipótesis apóyese tanto ene l criterio de valor-p como en el valo0r crítico de tablas d) Explique como se obtiene el valor-p de inciso anterior e) Pruebe la hipótesis de igualdad de varianzas entre tratamientos f) Existe algún tratamiento mejor? Descriptive Statistics: A; B Variable N N* Mean SE Mean StDev Variance Minimum Q Median A , 26, 73,8 5439,6 85,0 948,3 05,0 B , 24,7 69,9 489,8 843,0 938,0 999,0 N for Variable Q3 Maximum IQR Mode Mode Kurtosis MSSD A 024,3 034,0 76, , ,0 B 034,8 053,0 96, ,79 637,6 Two-Sample T-Test and CI SE Sample N Mean StDev Mean 8 980, 73, , 69,9 25 Difference = mu () - mu (2) Estimate for difference:,0 95% CI for difference: (-76,; 78,) T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 0,03 P-Value = 0,978 DF = 4 Both use Pooled StDev = 7,8765 Test for Equal Variances 95% Bonferroni confidence intervals for standard deviations Sample N Lower StDev Upper 8 46,42 73, , , ,944 60,200 F-Test (Normal Distribution) Test statistic =,; p-value = 0,892

18 Test for Equal Variances Test for Equal Variances F-Test Test Statistic. P-Value % Bonferroni Confidence Intervals for StDevs 75