Explicación de la tarea 8 Felipe Guerra

Transcripción

1 Pruebas de bondad de ajuste de χ 2 Explicación de la tarea 8 Felipe Guerra Las pruebas de bondad de ajuste corresponden a una comparación entre la distribución de una muestra aleatoria y una distribución específica. 1. Los siguientes datos se refieren al tiempo (en minutos) de servir la orden en un restaurant. CLASE FRECUENCIA Aplicar una prueba de ajuste χ a una distribución normal con α = P Primeramente calculamos los parámetros requeridos por la distribución normal de acuerdo con lo aprendido en la semana 2 para el cálculo de parámetros estadísticos de muestras agrupadas. Promedio Muestral X = 7.75 Desv. Estándar Muestral S = El segundo paso consiste en calcular la frecuencia estimada con la distribución a evaluar (distribución normal en este caso). Para calcular la frecuencia estimada primeramente calculamos la probabilidad de la distribución a evaluar para cada clase. Inferior Superior Observada Normal de clase Menos de Mas de Para el cálculo de la probabilidad normal se usa la siguiente fórmula: =DISTR.NORM(L.S. Clase, Media muestral, Desv. Estandar muestral, 1) Observe que utilizamos el valor de la frecuencia acumulada. Esto es por que en la distribución estándar cuando usamos el valor de acum.=0 Excel devuelve el valor de la función de densidad (Ver notas de la semana 3) y nosotros requerimos la frecuencia estimada para el intervalo específico. Como la frecuencia acumulada incluye el acumulado desde el inicio de la distribución hasta el punto específico, para los valores segundo al penúltimo hacemos una diferencia entre el resultado de la distribución y el valor acumulado hasta la clase anterior:

2 =DISTR.NORM(L.S. Clase, Media muestral, Desv. Estandar muestral, 1) - DISTR.NORM(L.S. Clase anterior, Media muestral, Desv. Estandar muestral, 1) Para la última clase se requiere que se ajuste el valor para completar el 100% de la probabilidad de distribución, observe que el límite de clase ha sido cambiado para incluir el rango teórico de la distribución normal, por lo que aplicamos una diferencia: = 1 - DISTR.NORM(L.S. Clase anterior, Media muestral, Desv. Estandar muestral, 1) Una vez que se tienen todas probabilidades para cada una de las clases, se procede a calcular la frecuencia estimada, que corresponde a la probabilidad de la clase multiplicada por le total de las observaciones. El total de observaciones de la muestra es 60, por lo tanto la frecuencia estimada esta dada por la formula: = Probabilidad de clase * 60 Inferior Superior Observada Normal de clase Estimada Menos de Más de Cómo la prueba requiere que todas las categorías rengan una frecuencia mínima de 5, se procede a agrupar las categorías que no cumplan con esta regla para convertirlas en categorías con frecuencia igual o mayor que 5. Inferior Superior Observada Estimada Menos de Más de Una vez que las clases se encuentran agrupadas para tener clases con frecuencias iguales o mayores que 5 se procede a calcular χ 2 i con la formula: Con lo que se obtiene: χ 2 i = (FO i FE i ) 2 / FE i LI LS F.O. F.E. 2 X i Menos de Más de El valor de χ 2 se obtiene sumando el total de la columna χ 2 i

3 χ 2 = = El valor del crítico esta dado por: En donde: χ 2 α, k-r-1 = PRUEBA.CHI.INV(0.05,4-2-1) = α = 0.05 (ver planteamiento del problema) k = 4 (número de categorías agrupadas) r = 2 (numero de parámetros estimados de la muestra; Media y desviación estándar) La prueba de hipótesis corresponde a: H0: La muestra aleatoria proviene de una población f(x). vs H1: La muestra aleatoria NO proviene de una población f(x). Se rechaza Ho si: χ 2 > χ 2 α, k-r-1 Cómo: > Se rechaza Ho, Se infiere que el tiempo en minutos para atender una orden NO se ajusta a una distribución normal. 2. Aplicar una prueba de ajuste χ 2 a una distribución exponencial con α = 0.05 a los datos del problema 1. Esta problema se resuelve con los mismos pasos del problema anterior, substituyendo la fórmula de probabilidad de una distribución normal por la de una distribución exponencial. Primeramente calculamos los parámetros requeridos por la distribución exponencial. La distribución exponencial requiere de λ (tiempo entre órdenes) para su cálculo. λ = 1 / tiempo promedio entre órdenes = 1 / 7.75 (tomado de X del problema 1) λ = Para el cálculo de la probabilidad normal se usan las siguientes fórmulas: Para la primer clase: =DISTR.EXP(L.S. Clase, λ, 1) Para las clases segunda a penúltima: =DISTR.EXP(L.S. Clase, λ, 1) - DISTR.EXP(L.S. Clase anterior, λ, 1) Para la última clase =1 - DISTR.EXP(L.S. Clase anterior, λ, 1) Obteniendo la siguiente tabla: LI LS F.O. Exp. F.E. Menos de Más de

4 La frecuencia estimada igual que en el problema anterior está dada por: = Probabilidad de clase * 60 Una vez completada la tabla se agrupan las clases con frecuencia menor a 5 quedando: LI LS F.O. F.E. 2 X i Menos de Más de El cálculo de χ 2 i se realiza con la misma fórmula del problema anterior χ 2 i = (FO i FE i ) 2 / FE i χ 2 = = El valor del crítico se calcula en forma similar al problema anterior: χ 2 α, k-r-1 = PRUEBA.CHI.INV(0.05,3-1-1) = En donde: α = 0.05 (ver planteamiento del problema) k = 4 (número de categorías agrupadas) r = 1 (numero de parámetros estimados de la muestra; lambda λ) Observe que el valor crítico cambia por que se tienen menos parámetros estimados a partir de la muestra. H0: La muestra aleatoria proviene de una población f(x). vs H1: La muestra aleatoria NO proviene de una población f(x). Se rechaza Ho si: χ 2 > χ 2 α, k-r-1 Cómo: < No se puede rechazar Ho, Se infiere que el tiempo en minutos para atender una orden se ajusta a una distribución exponencial. Q-Q plot 3. Construir una Q-Q plot para una distribución normal a los datos de la máquina 2 del ejemplo 18 de las lecturas de la semana 8. Los datos de referencia son los siguientes: Ejemplo 18. Se desea comparar el tiempo de ciclo de dos máquinas que fabrican el mismo producto (el tiempo de ciclo es el tiempo en segundos en que se fabrica una pieza). Se toma una muestra aleatoria de cada máquina obteniendo lo que se indica en la tabla 8 máquina máquina

5 1. Se ordenan las observaciones en orden creciente: k x A cada observación x (k) se le estima su probabilidad acumulada mediante la fórmula (k -.5) / n k x Acum Se calcula el percentil teórico mediante la fórmula correspondiente a la distribución a graficar (normal en este caso). a. Se calculan los parámetros de la distribución: X = S = b. Se calculan los valores individuales con la formula: =DISTR.NORM.INV(k, , )

6 k x Ac. Acum. Percentil teórico y Con los datos obtenidos se traza una gráfica de ploteo utilizando la gráfica de dispersión en Excel. (x,y) (11.52,11.33) (11.54,11.60) (11.75,11.76) (11.96,11.89) (11.98,12.00) (12.08,12.10) (12.18,12.20) (12.22,12.30) (12.23,12.40) (12.34,12.53) (12.85,12.69) (13.10,12.96) Nota importante: Las escalas en ambos ejes (x,y) deben ser iguales. 4. Construir una Q-Q plot para una distribución exponencial a los datos de la máquina 2 del ejemplo 18 de las lecturas de la semana 8. El procedimiento es igual al del problema anterior, con excepción del paso 3, en el cual utilizamos los paramentros de una distribución exponencial: 3. Se calcula el percentil teórico mediante la fórmula correspondiente a la distribución a graficar (exponencial en este caso). a. Se calculan los parámetros de la distribución: X = b. Se calculan los valores individuales con la formula: y = θ ln(1 p), y = * LN(1-k)

7 = = = = k x Acum. Percentil teórico (x,y) (11.52,0.52) (11.54,1.62) (11.75,2.84) (11.96,4.19) (11.98,5.71) (12.08,7.45) (12.18,9.48) (12.22,11.91) (12.23,14.97) (12.34,19.05) (12.85,25.26) (13.10,38.60) Observe que las escalas de ambos ejes han sido cambiadas para que sean iguales. Comparación de dos poblaciones 5. Se desea comparar la duración (en millas) de dos marcas de llantas. Se tiene la siguiente información: nb1b 45, X1 = 42500, SB1B 2200, nb2b 45, X2 = 40400, SB2B a. Obtener un intervalo de confianza para la diferencia de las medias de duración de estas dos marcas de llantas con un nivel de confianza de 95% e interpretar el resultado. El IC con un nivel de confianza 1 - α para μ1 μ2 está dado por:

8 Sustituyendo tenemos: Para el lado izquierdo = ( ) + DISTR.NORM.ESTAND.INV((1-0.95) / 2) *RAIZ(2200^2/ ^2/ 45) = Para el lado derecho = ( ) - DISTR.NORM.ESTAND.INV((1-0.95) / 2) *RAIZ(2200^2/ ^2/ 45) = < μ1 - μ2 < Hay un 95 %de confianza de que la diferencia de medias este entre y b. Del (a), se puede inferir que los promedios de duración son iguales?, por qué? Se infiere que las medias no son iguales por que 0 (cero) no esta incluido en el resultado 6. Se estudian motores de ferrocarril con muchas millas recorridas. Se registra la penetración de cono (en mm/10) en el cojinete del piñón y en la armadura del conmutador. Se tienen los siguientes datos. Conm: Piñón: a. Obtener un intervalo de confianza del 90% para la diferencia de medias e interpretar el resultado. En este problema no se conocen las varianzas poblacionales, por lo que utilizamos la formula (3) de la lectura semanal asumiendo que las varianzas poblacionales son iguales. Por lo que usamos el siguiente comparativo: Donde: Primero calculamos los parámetros de las muestras: Tamaño de muestra 1 n1 = 17 Media Muestral 1 X1 = Desv. Estandar Muestral 1 S1 = Tamaño de muestra 2 n2 = 17 Media Muestral 2 X2 = Desv. Estandar Muestral 2 S2 = Nivel de confianza 90% Error alfa α = 0.1

9 Substituyendo en la formula tenemos: S p = RAIZ(((17-1)* ^2+(17-1)* ^2)/((17-1)+(17-1))) S p = Para el lado izquierdo = ( ) - DISTR.T.INV(0.05*2, ) * * RAIZ(1/17+1/17) = Para el lado derecho = ( ) + DISTR.T.INV(0.05*2, ) * * RAIZ(1/17+1/17) = < μ1 - μ2 < Hay un 90 %de confianza de que la diferencia de medias este entre y b. Determinar si de (a) se puede inferir que las medias son iguales, y mencionar las condiciones para que este resultado sea válido. Se infiere que las medias son iguales por que 0 (cero) esta incluido en el resultado Para que el resultado sea válido la penetración de cono en el cojinete del piñon y en la armadura del conmutador se ajustan cada uno a una distribución normal y las varianzas poblacionales son iguales 7. Se comparan los tiempos (en minutos) de dos trabajadores en hacer un trabajo. T1: T2: a. Obtener un intervalo de confianza del 90% para la diferencia de medias de tiempo e interpretar el resultado. Este problema se resuelve de forma similar al anterior, obteniendo lo siguiente: < μ1 - μ2 < Hay un 90 %de confianza de que la diferencia de medias este entre y b. Determinar si hay evidencia de que las medias son iguales e indicar los supuestos para que este resultado sea válido. Se infiere que las medias no son iguales por que 0 (cero) no esta incluido en el resultado Para que el resultado sea válido el tiempo de los trabajadores se debe ajustar cada uno a una distribución normal y las varianzas poblacionales deben ser iguales