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1 Febrero 2016 Ing. Rubén Darío Estrella, MBA Cavaliere dell ordine al Merito della Repubblica Italiana (2003) Ingeniero de Sistemas (UNIBE 1993), Administrador (PUCMM 2000), Matemático (PUCMM 2007), Teólogo (UNEV 2002) y Maestro (Salomé Uneña 1985) [email protected] / [email protected]

2 Es un método para probar la igualdad de dos o más medias de población analizando varianzas de muestra. Es una prueba estadística para analizar si más de dos grupos difieren significativamente entre sí en cuanto a sus medias y varianzas. El uso del diseño experimental del análisis de la varianza es cada vez mayor en investigación de mercados. El análisis de la varianza se basa en mantener la independencia de las variables de tratamiento.

3 Distribución F Los métodos de ANOVA emplean la distribución F, que tiene las siguientes propiedades: 1. La distribución F no es simétrica; esta sesgada hacia la derecha. 2. Los valores de F pueden ser 0 o positivos, pero no pueden ser negativos. 3. Hay una distribución F distinta para cada par de grados de libertad del numerador y el denominador. Esta fue denominada así en 1924 en honor a Sir Ronald A. Fisher ( ).

4 Distribución F La estadística de prueba F es el cociente de dos estimados, de modo que una estadística de prueba F significativamente grande (situada muy a la derecha en la gráfica de la distribución F) es un indicio en contra de que las medias de población sean iguales. Estadística de Prueba para ANOVA. F=varianza entre muestras/varianza dentro de las muestras

5 Distribución F Análisis de varianza ANOVA (Analysis of Variance) F=varianza entre muestras/varianza dentro de las muestras El numerador mide la variación entre las medias de muestra. El estimado de la varianza del denominador depende solo de las varianzas de las muestras y no resulta afectado por las diferencias entre las medias de las muestras. Por consiguiente, si las medias de muestra tienen valores muy parecidos, la estadística de prueba F tiene un valor cercano a 1, y concluimos que no hay diferencias significativas entre las medias de muestra. En cambio, si el valor de F es excesivamente grande, rechazamos la afirmación de que las medias son iguales.

6 INTERVALOS DE TIEMPO (EN MINUTOS ENTRE ERUPCIONES DEL VOLCAN "EL VIEJO FIEL" GEISER OLD FAITHFUL - PARQUE NAC. YELLOWSTONE N MEDIA X' 63,3 74,3 81,7 83,8 DESVIACION 9,4 14,2 13,7 10,9 BASADOS EN DATOS DEL GEOLOGO RICK HUTCHINSON Y EL SERVICIO NACIONAL DE ESTADOS UNIDOS

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8 INTERVALOS DE TIEMPO (EN MINUTOS ENTRE ERUPCIONES DEL VOLCAN "EL VIEJO FIEL" GEISER OLD FAITHFUL - PARQUE NAC. YELLOWSTONE N MEDIA X' 63,3 74,3 81,7 83,8 DESVIACION 9,4 14,2 13,7 10,9 BASADOS EN DATOS DEL GEOLOGO RICK HUTCHINSON Y EL SERVICIO NACIONAL DE ESTADOS UNIDOS Descriptive statistics # 1 # 2 # 3 # 4 count mean sample variance sample standard deviation minimum maximum range

9 La Varianza para una muestra de datos no agrupados (s²). s² = [(Xi-X )²]/n-1 s² =[( )²+( )² +( )² +( )²]/(4-1)=85.85 X X-X" (X-X")^ X" VAR DESV

10 Paso I. Por ejemplo las medias de las muestras de la tabla anterior son 63.3, 74.3, 81.7, Esos cuatro valores tienen una desviación estándar de s= , así que: Varianza entre muestras = ns² = 12 ( ) ² = 1, Estimación de la varianza entre tratamientos: Por tanto: σ² = n * σ²x' = 12 * = 1,030.2

11 Análisis de varianza ANOVA (Analysis of Variance) Paso II. A continuación, estimamos la varianza dentro de las muestras calculando s²p, que es la varianza conjunta que se obtiene calculando la media de las varianzas de muestra. Las desviaciones estándar de muestra son 9.4, 14.2, 13.7 y 10.9, así que Varianza dentro de las muestras = s²/k =(9.4² ² ² ²)/4 = Estimación de la varianza Dentro de los tratamientos = ( )/4=597.4/4= Descriptive statistics # 1 # 2 # 3 # 4 Count Mean sample variance sample standard deviation

12 Paso III. Por último, evaluamos la estadística de prueba F como sigue: F=varianza entre muestras/varianza dentro de las muestras F= Estimación de la varianza entre tratamientos / Estimación de la varianza Dentro de los tratamientos F=1,029.23/ = F=1,030.02/ = Si llevamos más posiciones decimales obtendremos una estadística de prueba más exacta: F=6.9018

13 Paso IV. El valor crítico de F se obtiene suponiendo una prueba de cola derecha, ya que los valores grandes de F corresponden a diferencias significativas entre las medias. Con k muestras cada una de las cuales tiene n puntajes, los números de grados de libertad se calculan como sigue: Grados de libertad con k muestras del mismo tamaño n. Grados de libertad del numerador = k - 1 Grados de libertad del denominador = k * (n-1) = N - k Para los datos de muestra de la tabla anterior k=4 y n=12, así que los grados de libertad son 3 para el numerador y 44 para el denominador. Con un =0.05, 3 grados de libertad para el numerador y 44 grados de libertad para el denominador, el valor critico es F = 2.84 (La tabla de Distribución F no incluye 44 grados de libertad para el denominador, así que usamos el valor más cercano, que corresponde a 40 grados de libertad). Regla de decisión: "No rechazar si F Rechazar sí F > 2.84".

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16 Paso V. Con base a estos resultados, rechazamos la hipótesis nula de que las medias son iguales. Hay suficientes indicios para justificar que se rechace la afirmación de que las cuatro muestras provienen de poblaciones cuyas medias son iguales. TERVALOS DE TIEMPO (EN MINUTOS NTRE RUPCIONES DEL VOLCAN "EL VIEJO FIEL" EISER OLD FAITHFUL - PARQUE NAC. ELLOWSTONE N

17 Paso V. Con base a estos resultados, rechazamos la hipótesis nula de que las medias son iguales. Hay suficientes indicios para justificar que se rechace la afirmación de que las cuatro muestras provienen de poblaciones cuyas medias son iguales. One factor ANOVA Mean n Std. Dev Group Group Group Group Total ANOVA table Source SS df MS F p-value Treatment 3, , Error 6, Total 9,

18 Paso V. Con base a estos resultados, rechazamos la hipótesis nula de que las medias son iguales. Hay suficientes indicios para justificar que se rechace la afirmación de que las cuatro muestras provienen de poblaciones cuyas medias son iguales. Tabla de Análisis de Varianza Tabla ANOVA Fuentes de Suma de Grados de Cuadrados F F Valor-p Variacion Cuadrados Libertad medios de Prueba Teórica Causas Posibles Factor A 3, Error Muestral Error E 6,

19 Paso V. Con base a estos resultados, rechazamos la hipótesis nula de que las medias son iguales. Hay suficientes indicios para justificar que se rechace la afirmación de que las cuatro muestras provienen de poblaciones cuyas medias son iguales.

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21 Análisis de Varianza con un Factor (One-Factor ANOVA) Caso I. Supongamos que queremos medir la blancura de tres marcas de detergentes en el lavado A1, A2, y A3. Con un nivel de significancia del 5% deseamos probar que el que el interés promedio por cada marca según la blancura que producen es igual. En el centro de la tabla, aparece la escala de 0 a 10, el interés por cada marca según la blancura que producen las distintas marcas en el lavado. ANALISIS DE VARIANZA - ANOVA INDEPENDENCIA DE LAS VARIABLES DE TRATAMIENTO PERSONAS ELEGIDAS TRATAMIENTOS EXPERIMENTOS MARCAS DE DETERGENTES ALEATORIAMENTE A1 A2 A X" MEDIA = X' EFECTO DEL TRATAMIENTO 0 2-2

22 Análisis de varianza ANOVA (Analysis of Variance) Caso I. Supongamos que queremos medir la blancura de tres marcas de detergentes en el lavado A1, A2, y A3. Con un nivel de significancia del 5% deseamos probar que el que el interés promedio por cada marca según la blancura que producen es igual. En el centro de la tabla, aparece la escala de 0 a 10, el interés por cada marca según la blancura que producen las distintas marcas en el lavado. INTERES POR CADA MARCHA SEGUN LA BLANCURA QUE PRODUCEN DISTINTAS MARCAS. ESCALA DE 0 A 10. Ho: A MEDIAr = MEDIAs Ho: MEDIA1 = MEDIA2 = MEDIA3 Ha: Ǝ MEDIAr MEDIAs (Al menos existen don medias que son diferentes) k = n. de poblaciones = 3 k>2 n = n. de observaciones muestrales = 5 k * n = n. total de observaciones muestrales = 15 ANALISIS DE VARIANZA - ANOVA INDEPENDENCIA DE LAS VARIABLES DE TRATAMIENTO TRATAMIENTOS EXPERIMENTOS PERSONAS ELEGIDAS MARCAS DE DETERGENTES ALEATORIAMENTE A1 A2 A X" MEDIA = X' EFECTO DEL TRATAMIENTO 0 2-2

23 Análisis de varianza ANOVA (Analysis of Variance) Caso I. Supongamos que queremos medir la blancura de tres marcas de detergentes en el lavado A1, A2, y A3. Con un nivel de significancia del 5% deseamos probar que el que el interés promedio por cada marca según la blancura que producen es igual. En el centro de la tabla, aparece la escala de 0 a 10, el interés por cada marca según la blancura que producen las distintas marcas en el lavado. escriptive statistics Paso I. NALISIS VARIANZA DENTRO DE LAS MUESTRAS A1 A2 A3 ount ean SUM VAR. ample variance ample standard deviation ínimum áximum ange ANALISIS DE VARIANZA - ANOVA INDEPENDENCIA DE LAS VARIABLES DE TRATAMIENTO TRATAMIENTOS EXPERIMENTOS PERSONAS ELEGIDAS MARCAS DE DETERGENTES ALEATORIAMENTE A1 A2 A X" MEDIA = X' EFECTO DEL TRATAMIENTO 0 2-2

24 Análisis de varianza ANOVA (Analysis of Variance) Caso I. Supongamos que queremos medir la blancura de tres marcas de detergentes en el lavado A1, A2, y A3. Con un nivel de significancia del 5% deseamos probar que el que el interés promedio por cada marca según la blancura que producen es igual. En el centro de la tabla, aparece la escala de 0 a 10, el interés por cada marca según la blancura que producen las distintas marcas en el lavado. Paso II. EFECTO DEL FACTOR ANALISIS VARIANZA ENTRE MUESTRA Mean n Std. Dev A A A3 TRATAMIENTO X' X'-X" (X'-X")^2 A A A X" 5.00 SUMATORIA 8.00 VARIANZA 4 DESVIACION Total ANALISIS DE VARIANZA - ANOVA INDEPENDENCIA DE LAS VARIABLES DE TRATAMIENTO TRATAMIENTOS EXPERIMENTOS PERSONAS ELEGIDAS MARCAS DE DETERGENTES ALEATORIAMENTE A1 A2 A X" MEDIA = X' EFECTO DEL TRATAMIENTO 0 2-2

25 Caso I. Supongamos que queremos medir la blancura de tres marcas de detergentes en el lavado A1, A2, y A3. Con un nivel de significancia del 5% deseamos probar que el que el interés promedio por cada marca según la blancura que producen es igual. En el centro de la tabla, aparece la escala de 0 a 10, el interés por cada marca según la blancura que producen las distintas marcas en el lavado. F=varianza entre muestras/varianza dentro de las muestras = ns²/( s²/k) Varianza entre muestras = ns² = 5 * 4 = 20 Varianza dentro de las muestras = s²/k = 4/3 = F = 15 ANOVA table Source SS Df MS F p-value Treatment Error Total ANALISIS DE VARIANZA - ANOVA INDEPENDENCIA DE LAS VARIABLES DE TRATAMIENTO TRATAMIENTOS EXPERIMENTOS PERSONAS ELEGIDAS MARCAS DE DETERGENTES ALEATORIAMENTE A1 A2 A X" MEDIA = X' EFECTO DEL TRATAMIENTO 0 2-2

26 Caso I. Supongamos que queremos medir la blancura de tres marcas de detergentes en el lavado A1, A2, y A3. Con un nivel de significancia del 5% deseamos probar que el que el interés promedio por cada marca según la blancura que producen es igual. En el centro de la tabla, aparece la escala de 0 a 10, el interés por cada marca según la blancura que producen las distintas marcas en el lavado. F=varianza entre muestras/varianza dentro de las muestras = ns²/( s²/k) Varianza entre muestras = ns² = 5 * 4 = 20 Varianza dentro de las muestras = s²/k = 4/3 = F = 15 Fuentes de Suma de Grados de Cuadrado s F F Cuadrado s Libertad medios de Prueba Teórica Variacion Causas Posibles Factor A Error Muestral Error E ANALISIS DE VARIANZA - ANOVA INDEPENDENCIA DE LAS VARIABLES DE TRATAMIENTO TRATAMIENTOS EXPERIMENTOS PERSONAS ELEGIDAS MARCAS DE DETERGENTES ALEATORIAMENTE A1 A2 A MEDIA = X' EFECTO DEL TRATAMIENTO 0 2-2

27 Caso I. Supongamos que queremos medir la blancura de tres marcas de detergentes en el lavado A1, A2, y A3. Con un nivel de significancia del 5% deseamos probar que el que el interés promedio por cada marca según la blancura que producen es igual. En el centro de la tabla, aparece la escala de 0 a 10, el interés por cada marca según la blancura que producen las distintas marcas en el lavado. F=varianza entre muestras/varianza dentro de las muestras = ns²/( s²/k) Varianza entre muestras = ns² = 5 * 4 = 20 Varianza dentro de las muestras = s²/k = 4/3 = F = 15 Regla de decisión: "No rechazar si F Rechazar sí F > 3.89". Paso IV. G.L. NUMERADOR K-1 2 G.L. DENOMINADOR K*(N-1) 12 F-distribution df1 = 2 P(lower) P(upper) F df2 = Fuentes de Suma de Grados de Cuadrado s F F Cuadrado s Libertad medios de Prueba Teórica Variacion Causas Posibles Factor A Error Muestral Error E

28 Caso I. Supongamos que queremos medir la blancura de tres marcas de detergentes en el lavado A1, A2, y A3. Con un nivel de significancia del 5% deseamos probar que el que el interés promedio por cada marca según la blancura que producen es igual. En el centro de la tabla, aparece la escala de 0 a 10, el interés por cada marca según la blancura que producen las distintas marcas en el lavado. Interpretación y Conclusiones: Con base a estos resultados, rechazamos la hipótesis nula de que el interés promedio por cada marca según la blancura que producen es igual. Fuentes de Suma de Grados de Cuadrado s F F Cuadrado s Libertad medios de Prueba Teórica Variacion Causas Posibles Factor A Error Muestral Error E

29 Caso I. Supongamos que queremos medir la blancura de tres marcas de detergentes en el lavado A1, A2, y A3. Con un nivel de significancia del 5% deseamos probar que el que el interés promedio por cada marca según la blancura que producen es igual. En el centro de la tabla, aparece la escala de 0 a 10, el interés por cada marca según la blancura que producen las distintas marcas en el lavado. Fuentes de SUMA CUADRADOS DENTRO DE LAS MUESTRAS - ERROR (X- (X- (X- A1 X')^2 A2 X')^2 A3 X')^2 n Causas Posibles MEDIA SCD Error SUMATORIA DE CUADRADOS SUMA SUMA CUADRADOS DENTRO MUESTRAS Variacio Suma de Cuadra dos Grados de Cuadra dos F F de Prueba Libertad medios Teórica Factor A Error Muestral Error E SUMA DE CUADRADOS ENTRE LAS MUESTRAS MEDIA - X' n*(x'-x")^2 A1 5 0 A A X" 5 40 SUMA Treatment SCE SUMA CUADRADOS ENTRE MUESTRAS

30 Caso I. Supongamos que queremos medir la blancura de tres marcas de detergentes en el lavado A1, A2, y A3. Con un nivel de significancia del 5% deseamos probar que el que el interés promedio por cada marca según la blancura que producen es igual. En el centro de la tabla, aparece la escala de 0 a 10, el interés por cada marca según la blancura que producen las distintas marcas en el lavado. SUMA DE LOS CUADRADOS DE LA MUESTRA TOTAL X" = 5 A1 (X-X")^2 A2 (X-X")^2 A3 (X-X")^ SCT SUMATORIA SCT = SCD + SCE SUMA DE CUADRADOS SCT = 56 DE LA MUESTRA TOTAL SCD = 16 SCE = 40 Fuentes de Variacio Suma de Cuadra dos Grados de Cuadra dos F F de Prueba n Libertad medios Teórica Factor A Causas Posibles Error Muestral Error E Fo = F observada = F empírica Dividendo Divisor Resultado Fo = (SCE / (k-1)) Numerador (SCD / (k*(n-1))) Denominador

31 Análisis de varianza ANOVA (Analysis of Variance) Factor (Variable independiente): Causa posible de la heterogeneidad de las poblaciones (A). Niveles del Factor (Tratamientos): Cada uno de los valores posibles del Factor (A1, A2, A3 Ak). Variables dependientes o Variable respuesta: Son los valores de las observaciones. Efectos: Serán la medida de influencia del factor y, por tanto, de los tratamientos. (X -X ) Error muestral: Es el error debido a la aleatoriedad en la selección de los elementos muéstrales. Unidades experimentales (Réplicas): En este caso las personas seleccionadas para el experimento. La homogeneidad de los datos xi se puede medir con su varianza, ya que cuanto menor sea la varianza, esto es, cuanto menos sea la dispersión alrededor de su media global X más homogéneas son las observaciones xi.

32 Suma de Cuadrados Dentro de las Muestras (SCD) = (Xi X )^2 Suma de Cuadrados Entre las Muestras (SCE) = n * (X i X )^2 Grados de libertad con k muestras del mismo tamaño n. Grados de libertad del numerador = k - 1 Grados de libertad del denominador = k * (n-1) = N - k Estas sumas divididas entre sus correspondientes grados de libertad proporcionan los valores de los cuadrados medios.

33 Suma de Cuadrados Medios Dentro de las Muestras SCMD = [ (Xi X )^2]/(k 1) Suma de Cuadrados Medios Entre las Muestras SCME = [ n * (X i X )^2]/(N k) F = SCME / SCMD Causas Posibles Error Muestral Fuentes de Suma de Grados de Cuadrado s F F Variacion Cuadrado s Libertad medios de Prueba Teórica Factor A Error E SCE = SCD = (k 1) = 2 (N k) = 12 SCME = SCMD = 1.333

34 Poblaciones Análisis de varianza ANOVA (Analysis of Variance) Caso II. Se desea contrastar si el comportamiento de los consumidores es homogéneo en función del día de la semana en que realizan su compra en un supermercado. Para ello se eligen al azar observaciones muéstrales de cinco clientes, de lunes a sábado. El volumen de compra medido en miles de unidades monetarias (u.m.) de cada una de las observaciones se recoge en la tabla siguiente: Volumen de compra de 5 clientes de lunes a sábado en el Supermercado Observaciones a b c d e L M MI J V S Contrastar si el comportamiento es homogéneo en función del día de la semana Ho: A MEDIAr = MEDIAs Ho: MEDIA1 = MEDIA2 = MEDIA3 Ha: Ǝ MEDIAr MEDIAs (Al menos existen don medias que son diferentes) M L M I J V S A B C D E A un nivel de significancia de 10% k = n. de poblaciones = 6 n = n. de observaciones muestrales = 5 N = k * n = n. total de observaciones muestrales = 30

35 Poblaciones k = n. de poblaciones = 6 n = n. de observaciones muestrales = 5 k * n = n. total de observaciones muestrales = 30 Análisis de varianza ANOVA (Analysis of Variance) Caso III. Se desea contrastar si el comportamiento de los consumidores es homogéneo en función del día de la semana en que realizan su compra en un supermercado. Para ello se eligen al azar observaciones muéstrales de cinco clientes, de lunes a sábado. El volumen de compra medido en miles de unidades monetarias (u.m.) de cada una de las observaciones Volumen de compra se recoge de 5 clientes en la tabla siguiente: de lunes a sábado en el Supermercado Observaciones a b c d e L M MI J V S Contrastar si el comportamiento es homogéneo en función del día de la Semana Ho: A MEDIAr = MEDIAs Ho: MEDIA1 = MEDIA2 = MEDIA3 Ha: Ǝ MEDIAr MEDIAs (Al menos existen don medias que son diferentes) L M MI J V S a b c d e A un nivel de significancia de 1%

36 RESOLVER LOS CASOS DEL IV AL XVII DEL MANUAL.