PRÁCTICA 5: CONTRASTES DE HIPÓTESIS PARAMÉTRICOS

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1 PRÁCTICA 5: CONTRASTES DE HIPÓTESIS PARAMÉTRICOS Objetivos Plantear y resolver problemas mediante la técnica de contraste de hipótesis. Asimilar los conceptos relativos a contrastes de hipótesis, tales como hipótesis nula, hipótesis alternativa, nivel de significación y p-valor. Observar, en un problema concreto, cómo afecta la variación de los parámetros al resultado del contraste. Metodología Se proponen problemas que se han de plantear y resolver mediante contrastes de hipótesis. En este sentido: STATGRAPHICS realiza contrastes paramétricos sobre poblaciones normales para la media, la diferencia de medias y el cociente de varianzas. Si las poblaciones no son normales, pero los tamaños muestrales son suficientemente grandes, entonces los contrastes de las medias son válidos, pero los de las varianzas no. Contrastes.sf3 Ficheros de datos a utilizar 5.1 Tiempo de respuesta a una consulta Se ha producido una avería en un servidor de ficheros, por lo que ha sido reparado. La empresa que ha hecho la reparación afirma que ahora el servidor va más rápido. Por el contrario, el administrador del sistema cree que ahora el servicio es más lento. Para salir de dudas, se toma una muestra de 38 peticiones al servidor. Los tiempos de respuesta figuran en la columna Tiempo del fichero de datos. Además, se sabe que antes de la avería, el tiempo medio de respuesta a una petición al servidor era 5'2 milisegundos Contraste para estudiar la impresión del administrador Qué relación hay entre el tiempo de respuesta a una petición y el hecho de que el servidor vaya más lento? Plantear un contraste de hipótesis para decidir si la muestra apoya la opinión de que el servidor va más lento. Justificar el planteamiento: 1

2 5.1.2 Validación de la normalidad de la variable Comprobar que la variable en estudio se puede considerar normal: Realización del contraste Realizar el contraste anterior con los niveles de significación α que se indican en la tabla de más abajo. Para ello: 1. Elegir el menú Describe > Numeric Data > One-Variable Analysis... y seleccionar la variable adecuada. 2. Pulsar el botón Tabular Options y marcar Hypothesis Tests. Aparece el panel Hypothesis Tests for Tiempo, que contiene, entre otras cosas, las hipótesis nula y alternativa, el valor del pivote t = x - 0, el p-valor del contraste, la decisión a tomar y el nivel de significación. s/ n diálogo Hypothesis Tests Options. Ajustar los valores apropiados para la hipótesis nula (Mean), la hipótesis alternativa (, <, >) y el nivel de significación (Alpha). Copiar los resultados en la tabla siguiente: Nivel de significación α p-valor Decisión sobre H Observar que el valor del pivote y el p-valor se mantienen, pero la decisión a tomar cambia. Qué relación hay entre el nivel de significación de un contraste α, el p-valor del mismo y la decisión sobre H 0? Contraste para estudiar la afirmación de la empresa de reparación Contrastar, al 10% de significación, si hay evidencia de que el servidor va más rápido: H 0 H 1 α p-valor Decisión sobre H 0 Justificación: A la vista de los resultados obtenidos en los dos apartados anteriores, y con 0. 1 quién tiene razón, el administrador o la empresa de reparación? Por qué? 2

3 5.1.5 Relación entre contraste bilateral e intervalo de confianza Contrastar, al 10% de significación, que el tiempo medio de respuesta es 5.2: H 0 H 1 α p-valor Decisión sobre H 0 Como el contraste anterior es bilateral, la decisión se puede tomar también construyendo un intervalo de confianza, al 90%, para la media de la población, μ. Para ello, pulsar el botón Tabular options, marcar Confidence Intervals y ajustar los valores apropiados en Pane Options...: Intervalo de confianza Decisión sobre H Rendimiento del ventilador de un ordenador Se pretende reducir el ruido y aumentar la capacidad de refrigeración del ventilador de un ordenador. Para ello, se procede a limpiarlo y engrasarlo. Se considera que el rendimiento del ventilador ha mejorado si, en media, su velocidad de giro aumenta en más de 3 revoluciones por minuto (rpm). Para contrastarlo, se mide la velocidad de giro, antes y después la limpieza, con distintos programas y diferentes temperaturas exteriores. Los resultados figuran en las columnas VelocidadAntes y VelocidadDespués del fichero de datos (en rpm) Formulación del contraste de hipótesis Son estas muestras pareadas? Teniendo esto en cuenta, plantear el problema como un contraste de hipótesis: Validación de la normalidad de la variable Comprobar que la variable en estudio se puede considerar normal: Realización del contraste Teniendo en cuenta que las muestras son pareadas, realizar el contraste al 4% de significación. Para ello: 1. Pulsar el menú Compare > Two Samples > Paired-Sample Comparison... y seleccionar las variables adecuadas. 2. Pulsar el icono Tabular Options y marcar Hypothesis Tests. Aparece el panel Hypothesis Tests for VelocidadDespués - VelocidadAntes, que contiene, entre otras cosas, las hipótesis nula y alternativa, el valor del pivote, el p-valor del contraste, la decisión a tomar y el nivel de 3

4 significación. diálogo Hypothesis Tests Options. Escribir los valores apropiados para la hipótesis nula (Mean), la hipótesis alternativa (, <, >) y el nivel de significación (Alpha). H 0 H 1 α p-valor Decisión sobre H 0 Ha mejorado el rendimiento del ventilador? Aumento de la velocidad del ventilador Se trata de averiguar cuántas rpm de aumento ha habido y se consideran estadísticamente comprobadas. Para ello, realizar los contrastes correspondientes al número de rpm que se indican en la tabla siguiente, con un nivel de significación del 4%. Rpm H 0 H 1 p-valor Decisión sobre H Al 4% de significación, se puede garantizar un aumento de: 5.3 Duración de baterías de coche de dos marcas Se quiere comparar la duración de las baterías de coche de dos marcas: A y B. El fabricante de A afirma que sus baterías son más caras que las de B porque su duración media es más de un año y medio mayor. Se trata de contrastar esta afirmación al 4% de significación. Para ello, se observa la duración de sendas muestras de baterías de cada marca. Los resultados figuran en las columnas Batería A y Batería B del fichero de datos (en años) Formulación del contraste de hipótesis Plantear un contraste de hipótesis para verificar la afirmación del fabricante de A: Validación de la normalidad de las variables Comprobar que las variables en estudio se pueden considerar normales: 4

5 5.3.3 Análisis de la igualdad de varianzas Averiguar si las variables en estudio tienen la misma varianza. Para ello, construir un intervalo de confianza, al 96%, para el cociente de sus varianzas del siguiente modo: 1. Elegir el menú Compare > Two Samples > Two-Sample Comparison... y seleccionar las variables adecuadas. 2. Pulsar el icono Tabular Options y marcar Comparison of Standard Deviations. Aparece el panel Comparison of Standard Deviations, que contiene, entre otras cosas, el nivel de confianza, un intervalo de confianza para el cociente de varianzas (Ratio of Variances), las hipótesis nula y alternativa, el valor del pivote, el p-valor del contraste, la decisión a tomar y el nivel de significación. diálogo Comparison of Standard Deviations Options. Ajustar los valores apropiados para la hipótesis nula (σ 1 /σ 2 =), la hipótesis alternativa (, <, >) y el nivel de significación (Alpha). Intervalo de confianza Se acepta la igualdad de varianzas? Contraste para la diferencia de medias Realizar el contraste para la diferencia de medias al 4% de significación. Para ello: 1. Pulsar el icono Tabular Options y marcar Comparison of Means. Aparece el panel Comparison of Means, que contiene, entre otras cosas, las hipótesis nula y alternativa, el valor del pivote, el p-valor del contraste y el nivel de significación. 2. Pulsar dicho panel con el botón derecho y seleccionar Pane Options. Aparece el cuadro de diálogo Comparison of Means Options. Ajustar los valores apropiados para la hipótesis nula (μ 1 - μ 2 =), la hipótesis alternativa (, <, >), el nivel de significación (Alpha) y la aceptación o no de la igualdad de varianzas. Dar el p-valor del contraste y concluir lo que proceda sobre la afirmación del fabricante de A: 5.4 Comparación del rendimiento en dos turnos de trabajo En una factoría de montaje de ordenadores, se quiere comparar el rendimiento del turno de la mañana con el de la tarde. Para ello, se observa el número de piezas montadas por un trabajador antes de montar una incorrectamente. Hasta ahora, el promedio de dicho número en el turno de mañana superaba al del turno de tarde en 9 unidades o más. Sin embargo, parece que esto ha cambiado debido a cierta rotación del personal. Para contrastar el cambio, se toma una muestra de cada turno. Los resultados figuran en las columnas Mañana y Tarde del fichero de datos. 5

6 5.4.1 Formulación del contraste de hipótesis Plantear el problema como un contraste de hipótesis al 3% de significación: Validación de la normalidad de las variables Comprobar si ambas variables se pueden considerar normales: Es posible realizar el contraste? Es posible comparar las varianzas? Contraste para la diferencia de medias Teniendo en cuenta el resultado de la sección anterior, realizar el contraste para la diferencia de medias al 3% de significación. Para ello: 1. Elegir el menú Compare > Two Samples > Two-Sample Comparison... y seleccionar las variables adecuadas. 2. Pulsar el icono Tabular Options y marcar Comparison of Means. Aparece el panel Comparison of Means, que contiene, entre otras cosas, las hipótesis nula y alternativa, el valor del pivote, el p-valor del contraste y el nivel de significación. diálogo Comparison of Means Options. Ajustar los valores apropiados para la hipótesis nula (μ 1 - μ 2 =), la hipótesis alternativa (, <, >) y el nivel de significación (Alpha). Marcar o no la casilla relativa a la igualdad de varianzas, según proceda. Dar el p-valor del contraste y concluir lo que proceda: 5.5 Eficacia de un tranquilizante Se quiere estudiar si un tranquilizante aumenta el número medio de horas diarias de sueño. Para ello, se mide dicho valor en 55 pacientes antes y después de suministrarles el tranquilizante, anotando los resultados en las columnas HorasAntes y HorasDespués del fichero de datos. 6

7 5.5.1 Formulación del contraste de hipótesis Son estas muestras pareadas? Teniendo esto en cuenta, plantear el problema como un contraste de hipótesis: Validación de la normalidad de la variable Comprobar que la variable en estudio se puede considerar normal: Realización del contraste Teniendo en cuenta que las muestras son pareadas, realizar el contraste al 4% de significación. Para ello: 1. Pulsar el menú Compare > Two Samples > Paired-Sample Comparison... y seleccionar las variables adecuadas. 2. Pulsar el icono Tabular Options y marcar Hypothesis Tests. Aparece el panel Hypothesis Tests for HorasDespués - HorasAntes, que contiene, entre otras cosas, el p-valor del contraste y la decisión a tomar. diálogo Hypothesis Tests Options. Escribir los valores apropiados para la hipótesis nula (Mean), la hipótesis alternativa (, <, >) y el nivel de significación (Alpha). H 0 H 1 α p-valor Decisión sobre H 0 Se puede afirmar que el tranquilizante aumenta las horas de sueño? Aumento de las horas de sueño Se trata de averiguar cuántas horas de aumento de sueño están estadísticamente comprobadas. Para ello, resolver los contrastes correspondientes a las horas que se indican en la tabla siguiente. Horas H 0 H 1 p-valor Decisión sobre H 0 1 1'5 2 2'5 Al 4% de significación, se puede garantizar un aumento de: 7

8 5.6 Diferencias en el consumo de café Un hospital tiene máquinas expendedoras de café en sus diversas salas de espera. El personal de mantenimiento cree que el consumo diario medio en la máquina de Urgencias supera al menos en 50 unidades al de la máquina de Maternidad. Se trata de contrastar, al 3% de significación, si las muestras del fichero de datos respaldan esta conjetura Formulación del contraste de hipótesis Plantear el estudio como un contraste de hipótesis: Validación de la normalidad de las variables Comprobar que las variables en estudio se pueden considerar normales: Análisis de la igualdad de varianzas Averiguar si las variables en estudio tienen o no la misma varianza. Para ello, construir un intervalo de confianza, al 97%, para el cociente de varianzas del siguiente modo: 1. Elegir el menú Compare > Two Samples > Two-Sample Comparison... y seleccionar las variables adecuadas. 2. Pulsar el icono Tabular Options y marcar Comparison of Standard Deviations. Aparece el panel Comparison of Standard Deviations, que contiene, entre otras cosas, el nivel de confianza, un intervalo de confianza para el cociente de varianzas (Ratio of Variances), las hipótesis nula y alternativa, el valor del pivote cociente de las cuasivarianzas, el p-valor del contraste y la decisión a tomar. diálogo Comparison of Standard Deviations Options. Ajustar los valores apropiados para la hipótesis nula (σ 1 /σ 2 =), la hipótesis alternativa (, <, >) y el nivel de significación (Alpha). Intervalo de confianza Se acepta la igualdad de varianzas? Contraste para la diferencia de medias Realizar el contraste sobre la diferencia de medias al 3% de significación. Para ello: 1. Pulsar el icono Tabular Options y marcar Comparison of Means. Aparece el panel Comparison of Means, que contiene, entre otras cosas, el nivel de confianza, un intervalo de confianza para la diferencia de medias, las hipótesis nula y alternativa, el valor del pivote y el p-valor del 8

9 contraste. 2. Pulsar dicho panel con el botón derecho y seleccionar Pane Options. Aparece el cuadro de diálogo Comparison of Means Options. Ajustar los valores apropiados para la hipótesis nula (μ 1 - μ 2 =), la hipótesis alternativa (, <, >), el nivel de significación (Alpha) y la aceptación o no de la igualdad de varianzas. Dar el p-valor del contraste y concluir lo que proceda sobre la opinión del personal de mantenimiento: 9