Coeficiente de correlación parcial

Transcripción

1 Coficint d corrlación parcial.- Introducción....- Corrlación parcial mdiant l rcurso d diagramas d Vnn Corrlación parcial como corrlación ntr rsiduals Coficint d rgrsión múltipl y coficint d rgrsión parcial Introducción Aunqu l término d corrlación parcial guarda cirta similitud con l d corrlación smiparcial, y d hcho prsntan cálculos parcidos, sus propósitos son bin difrnts. La corrlación smiparcial hay qu situarla n l contxto d la rgrsión múltipl, n l procso d inclusión d variabls, para vr la contribución d los distintos rgrsors n la xplicación d la variabl dpndint. Normalmnt las variabls indpndints compartn cirta información - stán solapadas-, y hay qu comprobar si al incluirla n l modlo aportan nuva información o su aportación s pura rdundancia, si añadn variabilidad xplicada o si la misma s ncuntra n las variabls incluidas antriormnt. En términos stadísticos, s trata d avriguar l incrmnto ocurrido n cuando s añad una (o varias) variabls. Por jmplo, si n un dtrminado modlo d rgrsión hmos incluido la variabl X, la variabl X y dsamos sabr cuanto aporta la variabl X 3, simplmnt calcularmos la difrncia ntr la d stas trs variabls y la d las dos primras variabls. Así, l incrmnto d, dbido a la inclusión d X 3 srá: y.3 y. y(3.) En la corrlación parcial intrsa no tanto la contribución d una dtrminada variabl n l modlo d rgrsión, como la liminación d cirtas variabls qu rsultan prturbadoras para la cabal comprnsión d la rlación ntr las variabls d intrés. Tin qu vr con las dnominadas corrlacions spúras dond sr obsrvan rlacions ntr variabls qu parcn indicar qu unas afctan otras, cuando n ralidad la concomitancia qu prsntan s dbida a qu su variabilidad va parja dbido al fcto d trcras variabls. Estas trcras variabls son prcisamnt las qu hay qu dtctar (no simpr cosa fácil) y liminar su influjo para comprobar si ralmnt las variabls considradas sigun mantnindo la supusta rlación. Un jmplo típico d corrlación spúra s aqul n l qu s rlacionan, para sujtos n priodos volutivo, variabls cognitivas y variabls biológicas, como la intligncia y la statura.

2 Está claro qu si trabajamos con niños d dads comprndidas, digamos, ntr 6 y 0 años, los más altos srán las más intlignts, pro no por l fcto d la statura, sino porqu ambas, statura intligncia, corrn parjas con l transcurrir d los años. Es la dad la qu da lugar a la maduración gnral d los sujtos, y con lla, la intligncia y la statura. Si no considramos la dad obtndrmos l siguint gráfico para la rlación ntr ambas variabls : I n t l i g n c i a Estatura No obstant, si obsrvamos dntro d diagrama gnral y distinguimos las distintas dads, obsrvarmos qu no parc habr para cada dad rlación ntr Estatura Intligncia: I n t l i g n c i a Estatura

3 S obsrva qu s la variabilidad dbida a la dad la qu marca la difrncia n cuanto a intligncia y no la statura. Dsd una prspctiva xprimntal s posibl anular la influncia d la variabl dad simplmnt trabajando con valors constants d la misma. D sta forma, su variabilidad s cro y s anula todo posibl fcto. Por jmplo, podríamos habr oprado sólo con niños d 6 años. No obstant, st método obliga a rducir las mustras (sólo 6 años) con lo qu s pird potncia n los cálculos. Una altrnativa al método xprimntal d control d variabls nos la ofrc l procdiminto d la corrlación parcial. Básicamnt consist n liminar la influncia d una variabl rstando su variabilidad dl conjunto d variabls a las qu suponmos qu afcta y oprando con l rsto d variabilidad d dichas variabls. Expondrmos a continuación dos procdimintos d llvar a cabo la corrlación parcial. La primra más sncilla intuitiva, mdiant diagramas d Vnn, y la sgunda más formal, basado n la corrlación ntr rsiduals, pro qu rflja mjor la lógica llvada a cabo..- Corrlación parcial mdiant l rcurso d diagramas d Vnn. Tngamos trs variabls, X, X, Y. Si rprsntamos simbólicamnt su campo d variación mdiant círculos y suponmos qu una d las variabls, por jmplo X, compart variabilidad con las rstants variabls, tndrmos l siguint gráfico: Y a b c X X Dsamos liminar toda la variabilidad d X para l conjunto d variabls. Como si no xistira n absoluto, por lo qu l rstamos su variabilidad d la variabl Y. Como toda la variabilidad d Y val la unidad, tndrmos qu lo qu l quda al sustrarl la variabilidad d X srá. Y y si l rstamos a X lo qu compart con Y tndrmos:. Por tanto, lo qu compart X y. y 3

4 con Y cuando hmos liminado por complto (d ambas variabls) la variabilidad d X srá su corrlación parcial (al cuadrado). Si la dnotamos como : y. y. y. y y Por la misma lógica, si dsamos liminar d X y d Y l fcto d X : y. y. y y Ejmplo.- Dsamos studiar l fcto qu tin sobr la Calificación d una dtrminada asignatura (Y) las siguints variabls: Intligncia (X ) Horas d studio (X ) y Clas social (X 3 ). A st rspcto disponmos d las siguints puntuacions obtnidas por 0 studiants: X X X 3 Y X X X 3 Y ********************** ************************* La matriz d corrlacions ntr las distintas variabls s la siguint: X X X3 Y X X X3 Y,000,038,703,760,038,000 -,08,58,703 -,08,000,557,760,58,557,000 4

5 Esto supusto, dtrminar la corrlación ntr Intligncia y Calificación prscindindo dl fcto d la Intligncia. SOL: Hmos d aplicar la siguint fórmula: y.3 y.3 y3 y3 Para llo, hmos d calcular prviamnt y.3 y información n la matriz d corrlacions. Así pus: y3. En rlación a st último, nos ofrcn la y Para l cálculo d y.3 : En rlación a β : y r. 3 β Por tanto: β r β r [ ] y. 3 Así pus: y.3 y y..3 y

6 3.- Corrlación parcial como corrlación ntr rsiduals. Otra altrnativa, cuando dsamos liminar la influncia d una dtrminada variabl d un conjunto d llas, consist n rstarl in situ a las puntuacions d tals variabls l fcto d la variabl qu dsamos suprimir. Tngamos, d nuvo, X, X Y, dond dsamos liminar l posibl fcto d X tanto d X como d Y, con la intnción d conocr la rlación ntr X Y libr d la influncia d X. En s sntido, calcularmos la cuación d rgrsión qu liga X con X : X ˆ a+ bx Si a las puntuacions originals d X ls rstamos ˆX, qu son prcisamnt las puntuacions d X qu db a X, obtndrmos, ntoncs, las puntuacions d X libr d X. Si por otro lado, hacmos lo mismo con Y: Y ˆ a+ bx Si rstamos a los valors d Y, los valors Yˆ, qu son los qu prsta X a sta variabl, ntoncs, igualmnt obtndrmos los valors d Y librs d X. Si a continuación calculamos la corrlación ntr ( Y Yˆ ) y ( Xˆ X ), habrmos obtnido la corrlación parcial d Y con X liminado la influncia d X ; sto s, r y.. Así pus, la corrlación parcial pud plantars como una corrlación ntr rsiduos: r ( Yˆ )( X ˆ ) y. r Y X Ejmplo.- Tomando como rfrncia los datos dl jmplo, calcular mdiant las puntuacions rsiduals, la corrlación d Intligncia y Calificación, liminando toda influncia dl Nivl social. SOL: Calculmos n primr lugar la cuación d rgrsión qu liga la variabl X (Intligncia) con X 3 (Nivl social). sulta sr: Xˆ X 3 Y hacindo lo propio con la variabl Y (Calificación): Yˆ X 3 6

7 A continuación rstmos a la Intligncia los valors asociados con l Nivl social ( X ˆX ). E igualmnt, d las Calificacions, aqullo valors ligados con l Nivl social ( Y Yˆ ). Hacindo opracions y fctuando las siguints dnominacions: X Y Yˆ ˆ X obtndrmos los siguints datos transformados: Calculando la corrlación ntr ambas variabls: * *9.37 ˆ ˆ N ( Y Y )( X 3 X 3 ) S S r

8 Obsérvs qu lvando al cuadrado st valor obtndrmos prcisamnt como s sab, s y.3, cuyo valor, 4.- Coficint d rgrsión múltipl y coficint d rgrsión parcial Como s sab, los coficints d rgrsión múltipl indican l fcto d una cirta variabl sobr la variabl dpndint cuando las rstants prmancn constant. En st sntido, también s conocn como coficints d rgrsión parcial, por cuanto s studia l fcto d tal variabl sobr la dpndint cuando hmos sustraído la variabilidad d las rstants. Para ilustrarlo, obsrvmos la cuación d rgrsión múltipl qu liga la variabl Calificación con la Intligncia y l Nivl social. Efctuando los cálculos oportunos, tndrmos: Y ˆ X X 3 S ntind qu l valor indica l cambio n Y por cada unidad d X cuando X 3 prmanc constant, o dicho, d otro modo, cuando sustramos la variabilidad d sta última variabl. Pus bin, sto mismo obtndrmos cuando calculamos la cuación d rgrsión ntr los rsiduals y antriormnt mncionados, como conscuncia d liminar X 3 tanto d Y como d X. D sta forma, si calculamos la cuación d rgrsión ntr y obtndrmos: ˆ Su valor nos mustra l fcto d X sobr Y una vz liminados la variabilidad d X 3. S comprnd d sta forma cómo n prsncia d multicolinalidad l fcto d cada una d las variabls xcluyndo las rstants no sa significativo aunqu puda srlo stas mismas variabls por sparado. En st caso, las puntuacions rsiduals son rducidas y rducido s, n conscuncia, l fcto sobr la variabl dpndint. Si qurmos conocr la rlación xacta ntr los coficints d rgrsión y las corrlacions parcials, simplmnt rcurrirmos a la xprsión qu liga la pndint d la rcta con su corrlación: S br S y 8