LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUDAD
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- José Antonio Espejo Lara
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1 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUDAD Signiicado dl it Ejrcicio nº.- Rprsnta gráicamnt y plica l gniicado d la prón: Ejrcicio nº.- Eplica l gniicado d la guint prón y rprséntalo gráicamnt: 9 Ejrcicio nº.- Escrib una dinición para la guint prón y rprséntala gráicamnt: ) Ejrcicio nº.- Da una dinición para sta prón y rprséntala gráicamnt: Ejrcicio nº.- Dado l guint rsultado: plica su gniicado y rprséntalo gráicamnt. Cálculo d its Ejrcicio nº.- Calcula: [ ] log
2 Ejrcicio nº 7.- Obtén l valor d los guints its: Ejrcicio nº 8.- Calcula los guints its: Ejrcicio nº 9.- Halla l it: 9 Ejrcicio nº.- Halla l it: Ejrcicio nº.- Halla los guints its: ln [ ] ) Ejrcicio nº.- Halla los guints its: Ejrcicio nº.- Halla los its: 7 9
3 Ejrcicio nº.- Calcula l it: Ejrcicio nº.- Calcula: Ejrcicio nº.- Calcula los guints its: [ log ] Ejrcicio nº 7.- Calcula los its: Ejrcicio nº 8.- Calcula: Ejrcicio nº 9.- Calcula l guint it: Ejrcicio nº.- Halla l guint it:
4 Ejrcicio nº.- Calcula stos its: 9 Ejrcicio nº.- Calcula los guints its: Ejrcicio nº.- Halla: Ejrcicio nº.- Calcula: 8 7 Ejrcicio nº.- Calcula l it: Ejrcicio nº.- Obtén l valor d los guints its: log Ejrcicio nº 7.- Halla los its:
5 Ejrcicio nº 8.- Calcula stos its: Ejrcicio nº 9.- Halla l valor dl guint it: Ejrcicio nº.- Calcula l guint it: Continuidad Ejrcicio nº.- Estudia la continuidad d la guint unción. Si n algún punto no s continua, indica l tipo d discontinuidad qu hay: Ejrcicio nº.- Halla los valors d a y b para qu la guint unción sa continua: Ejrcicio nº.- Estudia la continuidad d la guint unción: ) ) < < a b a ) < <
6 Ejrcicio nº.- Calcula l valor d a para qu la guint unción sa continua: ) a a ln > Ejrcicio nº.- Estudia la continuidad d la guint unción. En los puntos n los qu no sa continua, indica l tipo d discontinuidad qu prsnta: ) 8 Ejrcicio nº.- Halla l valor d k para qu la guint unción sa continua n : ) k Ejrcicio nº 7.- Estudia la continuidad d la unción: ) ln < < Ejrcicio nº 8.- Calcula los valors d a y b para qu la guint unción sa continua: ) a a b b < Ejrcicio nº 9.- Dada la unción, studia su continuida d. Indica l tipo discontinuidad qu hay n los puntos n los qu no s continua. ) d
7 Ejrcicio nº.- Halla l valor d a para qu la guint unción sa continua: ) a a > Torma d Bolzano Ejrcicio nº.- Dmustra qu la cuación: 7 tin, al mnos, una solución ral. Dtrmina un intrvalo d amplitud mnor qu n l qu s ncuntr la raíz. Ejrcicio nº.- Dmustra qu la cuación tin, al mnos, una solución ral n l intrvalo [, ]. Ejrcicio nº - Halla un intrvalo d amplitud mnor qu n l qu la guint cuación tnga, al mnos, una raíz ral: 7 Ejrcicio nº.- Dada la unción ), ncuntra un intrvalo d amplitud mnor qu n l qu ) corta al j OX. Ejrcicio nº.- Pruba qu la unción ) cos π corta al j OX n l intrvalo [, ]. 7
8 SOLUCIONES LÍMITES Y CONTINUDAD Signiicado dl it Ejrcicio nº.- Rprsnta gráicamnt y plica l gniicado d la prón: Podmos consguir qu sté tan próimo a como quramos dando a valors suicintmnt grands. Con más prción: Dado ε >, podmos ncontrar un númro h tal qu, > h, ntoncs < ε. Rprsntación: Ejrcicio nº.- Eplica l gniicado d la guint prón y rprséntalo gráicamnt: 9 Dado ε >, podmos ncontrar δ > tal qu, y δ < < δ, ntoncs 9 < ε. 8
9 Rprsntación: Ejrcicio nº.- Escrib una dinición para la guint prón y rprséntala gráicamnt: ) Dado un númro k, podmos ncontrar δ tal qu, δ < <, ntoncs ) < k. Rprsntación: Ejrcicio nº.- Da una dinición para sta prón y rprséntala gráicamnt: Dado un númro k, podmos ncontrar δ > tal qu, < < δ, ntoncs > k. 9
10 Rprsntación: Ejrcicio nº.- Dado l guint rsultado: plica su gniicado y rprséntalo gráicamnt. Dado ε >, ist un númro h tal qu, < h, ntoncs < ε. Rprsntación: Cálculo d its Ejrcicio nº.- Calcula: [ ] log [ ] Porqu una ponncial d bas mayor qu s un ininito d ordn suprior a una potncia.
11 Porqu una potncia s un ininito d ordn suprior a un logaritmo. Ejrcicio nº 7.- Obtén l valor d los guints its: Ejrcicio nº 8.- Calcula los guints its: Ejrcicio nº 9.- Halla l it: log log ) ) ) ) ) ) ) 9 ) ) ) ) ) ) ) 9
12 Hallamos los its latrals: ; 8 ) ) ) ) ) ) ) Ejrcicio nº.- Halla l it: 8 8) 8) ) Ejrcicio nº.- Halla los guints its: ln [ ] ) [ ] Porqu una ponncial d bas mayor qu s un ininito d ordn suprior a una potncia. ln ) ln ) Porqu las potncias son ininitos d ordn suprior a los logaritmos. Ejrcicio nº.- Halla los guints its:
13 Ejrcicio nº.- Halla los its: Ejrcicio nº.- Calcula l it: Hallamos los its latrals: Ejrcicio nº.- Calcula: ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ;
14 Ejrcicio nº.- Calcula los guints its: Porqu las potncias son ininitos d ordn suprior a los logaritmos. Ejrcicio nº 7.- Calcula los its: Ejrcicio nº 8.- Calcula: ) ) ) ) ) ) ) ) 8 [ ] log [ ] log
15 Ejrcicio nº 9.- Calcula l guint it: Ejrcicio nº.- Halla l guint it: Ejrcicio nº.- Calcula stos its: ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 9
16 Ejrcicio nº.- Calcula los guints its: Ejrcicio nº.- Halla: Ejrcicio nº.- Calcula: 9 9 ) b 7 8
17 7 Ejrcicio nº.- Calcula l it: Ejrcicio nº.- Obtén l valor d los guints its: Porqu las potncias son ininitos d ordn suprior a los logartimos. Ejrcicio nº 7.- Halla los its: ) ) ) ) 7 8 ) ) ) ) ) ) ) ) ) log log
18 8 Ejrcicio nº 8.- Calcula stos its: Ejrcicio nº 9.- Halla l valor dl guint it: Hallamos los its latrals: Ejrcicio nº.- Calcula l guint it: 9 ) ) 8 ) ) ) ) ) ) ) 9 ) ) ) ) ;
19 ) ) ) ) Continuidad Ejrcicio nº.- Estudia la continuidad d la guint unción. Si n algún punto no s continua, indica l tipo d discontinuidad qu hay: ) Dominio {, }. ) s continua n {, }. Vamos l tipo d discontinuidad qu prsnta n y n : Discontinuidad vitabl n. ) ) ) ) ) Discontinuidad d salto ininito n. ) ). ) ) ; ) ) ) Hallamos los its latrals: Ejrcicio nº.- Halla los valors d a y b para qu la guint unción sa continua: ) a b a < < Dominio Si y ) s continua, pus stá ormada por uncions continuas. En : 9
20 Para qu ) sa continua n, ha d sr: En : ) ) b a b a ) b a a b a a b ) ) b ) ) 7 7 Para qu ) sa continua n, ha d sr: 8 b a 7 a b 8 b a Unindo las dos condicions antriors, tnmos qu: a b a b b a a a a a a ; b Ejrcicio nº.- Estudia la continuidad d la guint unción: ) < < Dominio Si y ) s continua, pus stá ormada por uncions qu son continuas n los intrvalos corrspondints. En : ) ) ) ) ) s continua n. En :
21 ) ) ) s discontinua n ) ) 7 salto inito.. Hay una discontinuidad d Ejrcicio nº.- Calcula l valor d a para qu la guint unción sa continua: ) a a ln > Dominio Si ) s continua, pus stá ormada por uncions continuas. En : ) a ) ) a ln ) a a ) a Para qu ) sa continua n, ha d sr: a a a a Ejrcicio nº.- Estudia la continuidad d la guint unción. En los puntos n los qu no sa continua, indica l tipo d discontinuidad qu prsnta: ) 8 ) 8 Dominio {, } ) ) ) ) ) s continua n {, }. Vamos l tipo d discontinuidad qu prsnta n y n : ) ). Hallamos los its latrals:
22 ) ; ) Discontinuidad d salto ininito n. ) 7 Discontinuidad vitabl n. Ejrcicio nº.- Halla l valor d k para qu la guint unción sa continua n : ) k Para qu ) sa continua n, ha d tnrs qu: ) ) ) ) k 7 Por tanto, ha d sr k Ejrcicio nº 7.- Estudia la continuidad d la unción: ) ) 7 ) ) ) ln < < Dominio Si y ) s continua, pus stá ormada por uncions continuas. En :
23 ) En : ) ) ) ) ) ) ) ln ) ) s continua n. ) s continua n. Por tanto, ) s continua n. Ejrcicio nº 8.- Calcula los valors d a y b para qu la guint unción sa continua: ) a a b b < Si y ) s continua, pus stá ormada por uncions continuas. En : ) a ) ) a a a b ) a b Para qu ) sa continua, ha d sr: a a b b En : ) a ) ) ) a ) Para qu ) sa continua n, ha d sr: a a a Por tanto, ) srá continua a y b.
24 Ejrcicio nº 9.- Dada la unción, studia su continuida d. Indica l tipo discontinuidad qu hay n los puntos n los qu no s continua. ) d ) Dominio {, } ) ) ) ) ) s continua n {, }. Vamos qu tipo d discontinuidad qu prsnta n y n : ) Discontinuidad vitabl n. ) ). Hallamos los its latrals: ) ; ) Discontinuidad d salto ininito n. Ejrcicio nº.- Halla l valor d a para qu la guint unción sa continua: ) a a > Si la unción s continua, pus stá ormada por uncions continuas. En : ) ) a ) a a ) a Para qu ) sa continua n, ha d sr: a a a a
25 Torma d Bolzano Ejrcicio nº.- Dmustra qu la cuación: 7 tin, al mnos, una solución ral. Dtrmina un intrvalo d amplitud mnor qu n l qu s ncuntr la raíz. Condramos la unción ) 7, qu s continua por sr polinómica. Tantando, ncontramos qu ) ; ). Es dcir: ) s continua n [, ] ) gno d ) gno d Por l torma d Bolzano, sabmos qu ist, al mnos, un c, ) tal qu c). La raíz d la cuación s c. Ejrcicio nº.- Dmustra qu la cuación tin, al mnos, una solución ral n l intrvalo [, ]. Condramos la unción ), continua n, pus s suma d uncions continuas. En particular, srá continua n [, ]. Por otra part, tnmos qu: ) ) < gno d > ) gno d ) Por l torma d Bolzano, podmos asgurar qu ist, al mnos, un c, ) tal qu c). La raíz d la cuación s c. Ejrcicio nº - Halla un intrvalo d amplitud mnor qu n l qu la guint cuación tnga, al mnos, una raíz ral: 7
26 Condramos la unción ) 7, continua por sr polinómica. Tantando, ncontramos qu ) ; ). Es dcir: ) s continua n [, ] ) gno d ) gno d Por l torma d Bolzano, sabmos qu ist, al mnos, un c, ) tal qu c). La raíz d la cuación s c. Ejrcicio nº.- Dada la unción ), ncuntra un intrvalo d amplitud mnor qu n l qu ) corta al j OX. ) s continua n, pus s una unción polinómica. Tantando, ncontramos qu ), ). Es dcir: ) s continua n [, ] ) gno d ) gno d Por l torma d Bolzano, podmos asgurar qu ist, al mnos, un c, ) tal qu c). ) cortará al j OX n c. Ejrcicio nº.- Pruba qu la unción ) cos π corta al j OX n l intrvalo [, ]. ) s una unción continua n, pus s suma d uncions continuas. En particular, srá continua n [, ]. Por otra part: ) ) < > gno d ) gno d ) Por l torma d Bolzano, podmos asgurar qu ist, al mnos, un c, ) tal qu c). ) cortará al j OX n c.
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Unidad 11 Derivadas 4
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al siguiente límite si existe: . Se suele representar por ( x )
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