Universidad Nacional del Litoral

Transcripción

1 Univrsidad Nacional dl Litoral Facultad d Ingniría y Cincias Hídricas ESTADÍSTICA Ingnirías: Rcursos Hídricos-Ambintal-Agrimnsura- Informática Mg. Ing. Susana Vanlsbrg

2 MODELOS DE VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

3 INTRODUCCIÓN La aplicación d la toría d probabilidad n situacions rals, concrtas qu prsntan una rgularidad n l planto, ha originado una sri d modlos qu las rsulvn. Los ingniros ralizan supustos rspcto dl problma a rsolvr, sto los llva a dscripcions análogas y a formas matmáticamnt iguals a las d los modlos probabilísticos. En st capítulo no sólo s prsntan los modlos para variabls alatorias continuas más usados para fins prácticos, sino qu también s brindan algunas nocions d los mcanismos por los cuals s ha originado cada distribución. Esto último s d suma importancia para un ingniro, ya qu la istncia d tals mcanismos pud dscribir una situación física d su intrés, y ésta s una razón más important qu la buna aproimación matmática d algún modlo.

4 Modlos qu s dsarrollarán:

5 Modlo Eponncial Modlo Gamma Modlo Normal Modlos rlacionados al Normal Modlo Log Normal Modlos d Valors Etrmos

6 Situación ral Si l númro d tormntas por ms n una zona s una variabl alatoria qu tin distribución d Poisson con valor mdio igual a 6. Intrsa obtnr la probabilidad d qu pasn más d 5 días ntr dos tormntas sucsivas.

7 Situación ral En cirta ciudad l consumo diario d nrgía léctrica n millons d kilowatts hora, s una variabl alatoria con distribución gamma con valor mdio 6 y varianza. Intrsa conocr la probabilidad d qu n cualquir día l consumo d nrgía diario cda millons d kilowatts hora.

8 Situación ral 3 La cantidad d oígno disulto n l agua d ríos dpnd d la tmpratura, la cantidad d matria orgánica n dscomposición, d la prsncia d contaminants, tc. El Council of Environmntal Quality CEQ considra qu un contnido d oígno disulto mnor d 5 mg/l s indsabl porqu no sría capaz d sustntar la vida acuática. Una planta industrial dscarga sus rsiduos n l río y las mdicions d oígno disulto corrint dbajo d la dscarga tinn una distribución Normal con mdia d 6.5 mg/l y dsviación stándar d 0.6 mg/l.

9 Qué proporción d los días srá l contnido d oígno disulto considrado indsabl por l CEQ?

10 Situación ral 4 En cirta rgión hay dlimitadas 4 cuncas. Cada una drna anualmnt una cantidad d agua qu pud dscribirs por una distribución normal. Las 4 variabls alatorias,,3,4 son indpndints con mdias 0,0,30 y 40 millons m3 rspctivamnt y dsvío stándar 3 millons m3. S dsa dtrminar la probabilidad d qu l drnaj anual total d agua para las 4 cuncas sa infrior a 90 millons m 3.

11 Modlo ponncial Est modlo surg al considrar l timpo hasta la primra ocurrncia d un vnto qu puda sr considrado como procso d Poisson. La variabl alatoria s ahora l timpo transcurrido hasta qu s vrifica la primra ocurrncia dl tipo dscripto. La probabilidad qu T cda algún valor t s lo mismo qu dcir qu no s vrificaron ocurrncias hasta s t, lo qu s quivalnt a dcir qu la variabl alatoria Nº d ocurrncias d tipo Poisson tom l valor 0 n s príodo

12 P T t P O P t 0 0 t 0! Ft PT t - PT t l - -t, con t 0 ft -t

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14 0 0 0 du dt du t u u du u dt si dt t E T u u t E T

15 0 0 t t t t dt u du dt tdt dv t v si dt t T E T E T E T Var

16 T E tdt dt t t T E t t t T Var

17 Una caractrística d los procsos d Poisson s qu no tinn mmoria. Esto significa qu l comportaminto futuro s indpndint d lo rgistrado n l prsnt o n l pasado. Para comprndrlo mjor s pud calcular la probabilidad condicional PT t/t>t 0 Esto s la probabilidad condicional dl timpo ntr ocurrncias dado qu no s han rgistrado ocurrncias ants dl timpo t 0

18 P a igual s t para cro s numrador l t / t T t t t para t T P t T t T P t T t T P

19 P / t F t F t F t T P t T t t T t T P T t t t t t 0 0 0

20 S vrifica así la indpndncia dl orign ya qu la prsión obtnida vulv a sr ponncial y cuya variabl vulv a sr l intrvalo d timpo T

21 Modlo Gamma Est modlo surg al considrar como variabl l timpo transcurrido hasta qu s vrifiqu la k- ésima ocurrncia d un procso d tipo Poisson. Cada uno d los timpos d ocurrncia son indpndints y ponncialmnt distribuidos con parámtro común λ. La variabl X k, s la suma d sos timpos T +T T k. f k! k con 0

22 S dic qu stá distribuida como Gamma con parámtros λ y k k-! = Гk para valors d k ntros. Esta función s dnomina función Gamma. Para cualquir valor d k s obtin a través d la siguint prsión: 0 k k d

23 Ya qu la distribución Gamma s ha originado como la suma d k variabls indpndints idénticamnt distribuidas como ponncials, sus caractrísticas pudn drivars d st hcho: k k E X Var X

24 Función d dnsidad Gamma para distintos k

25 Ejmplo: lluvia diaria

26 Modlo Normal Est modlo sul conocrs como Modlo d las sumas, ya qu la incrtidumbr n algunas variabls pud sr l rsultado d fctos combinados d algunas causas qu contribuyn, sindo difícil d sparar y obsrvar a cada una.

27 En algunas situacions si s conoc l mcanismo por l cual las causas individuals afctan a la variabl d intrés, s pud dtrminar un modlo para la variabl rsultant sin studiar n dtall los fctos individuals, particularmnt no s ncsario conocr la distribución d las causas.

28 Est hcho stá contnido n l Torma dl Límit Cntral: Bajo condicions gnrals, cuando l númro d variabls qu intrvinn n la suma qu origina una variabl, s cada vz más grand, la distribución d sta suma tind a aproimars al modlo Normal.

29 La inmnsa importancia práctica dl modlo Normal rsid ntr otras razons n qu lo qu s planta n l Torma dl Límit Cntral, pud hacrs sin l conociminto acto d: - las distribucions marginals d cada variabl qu intrvin n la suma - d su númro - d su distribución conjunta

30 Como la variación alatoria n algunos fnómnos naturals s origina d un númro d variacions aditivas, no db sorprndr l hcho qu s obsrv con frcuncia n la naturalza qu s asmj su distribución al modlo Normal.

31 La función d probabilidad d st modlo tin la forma d una dobl ponncial con la siguint prsión:

32 -, m c k f lugo dy, d y, a llamando d k d k c c

33 c k c por c a c a d sindo dy k a y c k : tin s simtría a 0

34 Var c -c - d

35 a 0 0 lugo c f, : origina caso st, ', F propidad siguint la aplicando Fc llamando 0 para c c c a c c c f n dt t f F dt t f y d c d

36 c 4 : rsulta c 4 - dc d dc df F'c como F'c cual lo c c c d y c d lugo c d c pro d con c c c c

37 VarX c c

38 f -

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40 F t dt

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44 dy y sindo d d f X E y y EX dy d y

45 0 y y y y - y - X E y d dy dy dy dy dy y y y y y

46 d dy y d y dy y y d X Var y y

47 , dv X Var dy dy Entoncs v y d y u y y y y

48 Modlo Normal stándar z=-µ / variabl alatoria standarizada

49 0 z E E E E E z E 0 0 z Var E E E Var Var Var Var z Var

50 f z z, - z

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53 MANEJO DE TABLA CASOS MÁS FRECUENTES

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56 n E n n n! n! n n, 4,... As 3 3 0

57 K ! ! K 3

58 Ejmplo d un análisis d una imagn satlital n la qu s dtrminan áras d suscptibilidad al dslizaminto.

59 Distribución d la suma d variabls alatorias Normals. con parámtros, ~..., ~, ~ n i i n n n U N N N

60 n i i n i i n i n i i i n i i n i n i i i n i i ntoncs U E ; N U ~ E EU

61 Distribucions rlacionadas con la distribución Normal. Distribución Chi-cuadrado. Est modlo dscrib la distribución d la suma d los cuadrados d variabls alatorias indpndints, con distribución N0,: V i X i ~

62 i i i i ~ X V caso otro n 0, 0 para, f

63 Distribución χcon 5 g.d.l. Distribución χcon 0 g.d.l.

64 Las caractrísticas d sta distribución son: E Var

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66 Distribución t d Studnt Est modlo surg como l cocint ntr una variabl N0, y la raíz cuadrada d una variabl alatoria distribuida χ dividida por sus grados d librtad, sindo stas dos variabls indpndints: t ~ V N0,, V ~

67 t - para, t t f, t 0 E t

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70 Distribución F d Sndcor Si X Y son dos variabls alatorias indpndints cada una con distribución χ, con y grados d librtad; lugo la distribución F stá dfinida por l siguint cocint: F, X Y

71 0 para F, F F F f,,,,,,,,,,,,,,,, F ddond F F F Lugo : F / / P dcir, s g.d.l. pro con tambiéntin distribución F, / / F / / P F / / P F / / P

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74 Distribución Log-Normal Mintras qu l modlo Normal surgía d la suma d pquños fctos, también s important considrar la distribución d un fnómno qu s origina como l rsultado d un mcanismo multiplicativo. Supóngas, por jmplo, qu dtrminado procso hidrológico pud aproimars por la siguint prsión: y t t yt t zt yt t t z t y t

75 Esto indicaría qu valors sucsivos d una variabl s pudn prsar a través dl valor antrior más l valor d otra variabl z t, modificadas las dos por los parámtros α t y β t, dpndindo dl tipo d fnómno y dl instant d timpo considrado. Eist un gran númro d sistmas físicos qu pudn sr caractrizados por un mcanismo tal qu al incrmnto y t+ -y t n la rspusta dl sistma, cuando s lo somt a un impulso alatorio d ntrada z t, s lo considr proporcional al valor prsnt d la rspusta

76 Un jmplo claro s l d los caudals mdios diarios n una cunca. El caudal d un dtrminado día s compondrá d una part dl valor antrior, dbido a la prsistncia provocada por l almacnaminto n la cunca, más otra part qu s origina por fctos trnos, por jmplo, una lluvia, qu multiplicaría al valor antrior d manra tal qu l valor rsultant srá mayor cuanto mayor sa l valor antrior y/o la humdad d la cunca.

77 Si y t también s prsada n función d los valors antriors, l modlo rsultant sría: y t t t zt t tz t yt La variabl d intrés y t s ha prsado n función dl producto d un gran númro d variabls, qu pudn sr, cada una d llas, difícil d studiar y dscribir. Si s aplica logaritmos al producto s transformaría n una suma d fctos.

78 Pud dcirs qu y s distribuy Normalmnt, si cada uno d los logaritmos d las variabls qu aportan su fcto cumpln con las condicions stablcidas para l modlo Normal. La función d dnsidad dl modlo Log-Normal s obtndrá a partir d considrar qu la variabl alatoria obsrvada cumpl con la rlación y = ln, sindo y distribuida Normalmnt. y ~ Normal fy y y y y, - y y ln

79 0, f 0, y ln- y d dy d dy y f f y y y E y Var

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81 Función d dnsidad Log-Normal para μ = 0 y σ variabl.

82 Est modlo s adoptado particularmnt para modlar caudals diarios, picos d dscarga, crcidas anuals, prcipitacions diarias, mnsuals y anuals. La distribución LogNormal s ajusta a cirtos tipos d fallos, fatiga d componnts mtálicos, vida d los aislamintos léctricos, procsos continuos, procsos técnicos, pud sr una buna rprsntación d la distribución d los timpos d rparación. La distribución LogNormal s important n la rprsntación d fnómnos d fctos proporcionals, tals como aqullos n los qu un cambio n la variabl n cualquir punto d un procso s una proporción alatoria dl valor prvio d la variabl.

83 Modlos d valors trmos En muchas situacions prácticas spcialmnt n ingniría n cincias d la tirra, s d intrés trabajar con l mayor o l mnor valor d un númro d variabls alatorias. Si la variabl y s considrada l máimo d una sri d n variabls alatorias... n s posibl obtnr sris y t qu starán compustas por los máimos anuals por jmplo d caudals mdios diarios n n años. En cada año habrán 365 ó 366 valors d, caudals mdios diarios, d los cuals s obtndrá l mayor para formar así la sri d n años d y t.

84 Es posibl así obtnr una prsión para la probabilidad d qu l máimo sa mnor o igual qu un valor dado Si los valors d son indpndints, ntoncs: Fy PX y PX y... PX n y F y F y... F n y

85 Si los i son idénticamnt distribuidos, s dcir tinn la misma F, cuando n s driva l modlo buscado. D acurdo a las caractrísticas d la distribución inicial s originan trs tipos d modlos asintóticos d valors trmos

86 Modlo Tipo I Surg d aqullas distribucions inicials qu no tinn límit suprior. El trmo d la curva corrspondint a la función d dnsidad db dcrcr tan rápidamnt como una función ponncial. Entoncs, valors trmos provnints d una distribución Normal, Log-Normal, Gamma, pudn sr ajustados por un Modlo Tipo I d máimos. En cambio, si la distribución inicial no s limitada n la dircción d los mínimos, s origina un Modlo Tipo I d mínimos.

87 Modlo Tipo II Est modlo surg d aqullas distribucions inicials ilimitadas, y qu posn un númro finito d momntos. Est modlo tin muy poco uso n las cincias d la tirra.

88 Modlo Tipo III Est modlo surg cuando la distribución inicial stá limitada n la dircción dl valor trmo, s así qu la distribución d valors mínimos provnints d distribucions Log- Normal, Gamma pudn ajustars por un Modlo Tipo III.

89 Es muy usado n cincias como Hidrología, Mtorología, Mdio ambint, ya qu s común qu las variabls stén limitadas infriormnt por l cro; por lo tanto, s usado para l ajust d valors mínimos.

90 Modlo Tipo I - Gumbl Eistn una sri d condicions qu s dbn stablcr n l dsarrollo dl modlo: -Las obsrvacions d las qu s tran los valors trmos dbn sr indpndints. -Las obsrvacions dbn sr hchas bajo las mismas condicions, s dcir, las distribucions inicials y los parámtros qu continn dbn sr los mismos. -El númro d obsrvacions n d las cuals s tran los valors trmos db sr grand. Día y años son unidads naturals d priodicidad n fnómnos naturals.

91 S dsa obtnr la distribución dl mayor d n valors d i, con n suficintmnt grand. Supóngas qu sólo s conoc qu la distribución d los i no stá limitada n la dircción positiva, y qu su trmo suprior dcrc d forma ponncial. Sindo sto así, pud prsars la función d distribución d los i d la siguint manra:

92 F g Lugo, la distribución dl mayor valor d los i, todos con distribución común y corrspondint a la cuación antrior, pud prsars d la siguint manra: F 0, - sindo α y μ 0 sus parámtros.

93 El parámtro α s una mdida d disprsión, y μ 0 s una mdida d ubicación. Es posibl obtnr la mdia y la varianza d st modlo d las prsions gnrals d momntos: E 0 f d

94 Var f d 6.645

95 Modlo Tipo III Wibull Est modlo s origina con las mismas considracions hchas para l Tipo I, a las cuals s ls agrga las siguints: -La distribución d los Xi stá limitada supriormnt por un valor ω. -La distribución d Xi s dl siguint tipo:

96 0 k, con c X P k k k k k f F ,

97 Esta forma dl modlo no s muy aplicada, quizá por l límit suprior qu prsnta. Una transformación d la variabl rsulta n l conocido modlo d Wibull.

98 Si s trabaja con l valor ngativo d la variabl z = -, al star dfinida para valors mnors qu ω, z stará dfinida para valors mayors qu -ω. Llamando -ω =ε, y obsrvando qu las probabilidads d no cdncias mnor o igual srán ahora d cdncias mayor o igual, la función d probabilidad sría: P Z z z 0 k

99 k z z Z P 0 k z k z k z f 0 0 0

100 Al trabajar con los valors ngativos d una sri y maimizarlos, s stará obtnindo como trmo un valor mínimo, ya qu l mayor valor d una sri ngativa s l mnor valor n valor absoluto. Los parámtros d st modlo son μ 0, k y ε, sindo st último l límit infrior d los valors mínimos.

101 Las caractrísticas son las siguints: k E 0 k k Var 0

102 Gnralmnt s posibl adoptar ε=0, lo cual no s tan dsacrtado n l caso d variabls naturals, lo cual simplificaría las prsions dl modlo: k k z k z z k z f z F

103 Rsolvmos ahora las situacions plantadas

104 P X P X P X t 5 P X 6*5 5 5 Por lo tanto la probabilidad d qu pasn más d 5 días ntr tormntas s 0. Est mismo rsultado s pud obtnr buscando n softwar l valor corrspondint a la distribución Eponncial como s vrá n l siguint jmplo.

105 3 6* 6*? 6 k k X P X P X P k Var k E

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107 P X 5? PZ P Z.5

108 P X 5mg / l? X tin dist. N 6.5mg / l ; 0.6mg / l

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111 El 0,6% d los días s tin un contnido d oígno insuficint para sustntar la vida

112 Z P Z P DT P i i i i

113 Un producto consta d cuatro componnts producidos stadísticamnt n forma indpndint. La longitud gnral d st producto s la suma S d las longituds d los cuatro componnts X, X, X3, X4 todas variabls alatorias normals con mdias y varianzas siguints: = cm = 0.00 = cm = = 0.5 cm 3 = =.5 cm 4 = 0.0 Cuál s la probabilidad d qu la longitud d S cumpla con la spcificación d sr 50.0 cm? P 4.9 S 5.

114 ? S S S P S P S P