f (x)dx = f (x) dx. Si la respuesta es afirmativa justifíquese, si es negativa,

Transcripción

1 CALCULO INTEGRAL.(97).- Sa f() una función tal qu, para cualquira qu sa > s cumpl qu = Pruébs qu, ntoncs, s vrifica qu f( ) = f(), para todo >. f f..(97).- Sa la función f() = -. S pid: a) Hacr un dibujo aproimado d la gráfica d la función. b) Estudiar la drivabilidad d la función n =. c) Calcular l ára limitada por la gráfica d la función f(), l j d abscisas y las rctas = y =..(97).- Sa f() una función para la qu s vrifica qu f ()d = f ()d. S vrifica ntoncs qu póngas un contrajmplo. f ()d = f () d. Si la rspusta s afirmativa justifíqus, si s ngativa, L.(97).- Sa la función f () =. a) Estudiar l dominio, las asíntotas, los posibls puntos d máimo y mínimo y hacr un dibujo aproimado d la gráfica d la función. b) Calcular l ára limitada por la gráfica d f() l j d abscisas y las rctas = y =. 5.(98).- Calcular l valor d la intgral: π π.sn d 6.(98).- a) Dtrminar las funcions (dfinidas sobr toda la rcta ral y qu toman valors rals) qu satisfacn la condición d qu la pndint d la rcta tangnt n un punto gnérico (,y) d su gráfica vin dada por la prsión.. b) Hallar los máimos y mínimos locals y los intrvalos d crciminto y dcrciminto d aqulla d las funcions dl jrcicio antrior qu pasa por l punto (,). 7.(mod).- D una función f() drivabl s conoc qu pasa por l punto A(, ) y qu su drivada s: si f '() = si > a) Hallar la prsión d f(). b) Obtnr la cuación d la rcta tangnt a f() n =. 8.(mod).- S considran las curvas: y= y=a dond a R (<a<). Ambas curvas s cortan n un punto (,y ) con abscisa positiva. Hallar a sabindo qu l ára ncrrada ntr ambas curvas dsd = hasta = s igual a la ncrrada ntr llas dsd = hasta =. 9().- San las funcions: f() = y g() =. Dtrminar l ára ncrrada por las gráficas d ambas funcions y la rcta =. ().- Sa la función f() = a) Dtrminar los puntos d cort d su gráfica con los js y los intrvalos d monotonía. b) Esbozar la gráfica d la función. c) Calcular l ára dtrminada por la gráfica d f, l j horizontal y las rctas = y =. Manul Ruiz

2 ().- Sa la función f() = sn. a) Calcular a> tal qu l ára ncrrada por la gráfica d f, l j y= y la rcta =a, sa. b) Calcular la cuación d la tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa = π. c) Calcular l ára d la suprfici ncrrada por la tangnt antrior, la gráfica d la función f π π y las rctas =, =. ( ) ().- Sa la función ral, d variabl ral dfinida por: f() =,, si si > a) Razonar si la función s continua n toda la rcta ral. b) Razonar si la función s drivabl n toda la rcta ral. c) Dtrminar l ára ncrrada por la gráfica d f y por las rctas y = 8, =, =. ().- S considran las funcions f() = + g() = a + b. a) Calcular a y b para qu las gráficas d f y g san tangnts n l punto d abscisa =. b) Para los valors d a y b calculados, dibujar las gráficas d ambas funcions y hallar la cuación d la tangnt común. c) Para los mismos valors d a y b, hallar l ára limitada por las gráficas d las funcions y l j vrtical. ().- Sa la función f (t) = + a) Calcular f (t) dt b) S dfin g() = t f (t)dt. Calcular g() lim. 5(mod).- Dada la parábola y =, s considra l triángulo rctángulo T(r) formado por los js coordnados y la tangnt a la parábola n l punto d abscisa = r >. a) Hallar r para qu T(r) tnga ára mínima. b) Calcular l ára d la rgión dlimitada por la parábola, su tangnt n l punto d abscisa = y l j vrtical. 6(mod).- S considra la función: f() =. a) Estudiar y rprsntar gráficamnt la función f. b) Sabindo qu l ára d la rgión limitada por la gráfica d f y l j OX ntr = y =p (p>) val /9, calcular l valor d p. 7().- S considra la función ral d variabl ral, dfinida por: f () = + a) Hallar la cuación cartsiana d la rcta tangnt n l punto d inflión d abscisa positiva d la gráfica d f. b) Calcular l ára dl rcinto plano acotado limitado por la gráfica d f, la rcta antrior y l j =. + + si 8().- S considra la función. f () =. S pid: si < a) Estudiar l dominio y la continuidad d f. b) Hallar las asíntotas d la gráfica d f. c) Calcular l ára dl rcinto plano acotado limitado por la gráfica d f y las rctas: y =, =, =. Manul Ruiz

3 9().- S considra la función ral d variabl ral f () = a) Dtrminar sus máimos y mínimos rlativos + b) Calcular l valor d a> para l cual s vrifica la igualdad: f ( ) d = + (mod).- Calcular la siguint intgral indfinida: d (mod).- S considra la función: f () = +. S pid: a) Hallar sus máimos y mínimos rlativos y sus asíntotas. b) Hallar los puntos dond la gráfica d f tin tangnt vrtical. c) Rprsntar gráficamnt la función. d) Calcular l ára dl rcinto plano acotado limitado por la gráfica d f, l j OX y las rctas =, =. sn () Sa la función f() =, dfinida n l intrvalo crrado y acotado [ π,π]. S pid: cos a) Calcular los puntos dl intrvalo dado dond f alcanza sus valors máimo y mínimo absolutos. b) Dibujar la gráfica d la función f n l intrvalo dado. c) Calcular π / f ()d ().- Sa la función f() =. a) Estudiar su continuidad y drivabilidad. b) Dibujar su gráfica. c) Calcular l ára dl rcinto acotado por la gráfica d f, las rctas =, = 5 y l j OX. (mod).- a) Calcular l límit d la sucsión cuyo término gnral s: b) San las funcions: F() = 5 + 5().- S considra la función: f() = ( ) + t dt a n n n, g() =. Calcular: (F(g())). a) Calcular las asíntotas, l máimo y l mínimo absolutos d la función f(). b) Calcular: f ()d 6().- Sa la función f() = + ( + + ) a) Hallar sus máimos y mínimos rlativos y sus asíntotas. b) Dibujar la gráfica d la función, utilizando la información obtnida n l apartado antrior, tnindo n cunta, admás, qu f tin actamnt trs puntos d inflión cuyas abscisas son: + =, =, =, rspctivamnt. c) Calcular l ára dl rcinto limitado por la gráfica d la función f, l j OX, la rcta = y la rcta =. 7(mod) a) Dtrminar l punto P, contnido n l primr cuadrant, n l qu s cortan la gráfica d la función f() = / y la circunfrncia + y = 8. b) Calcular l ára d la rgión limitada por la rcta qu un l orign y l punto P hallado n l apartado antrior, y l arco d curva y = / comprndido ntr l orign y l punto P. Manul Ruiz

4 8(5).- Sa f() una función drivabl n (,) y continua n [,], tal qu f() = y f '()d =. Utilizar la fórmula d intgración por parts para hallar f ()d. 9(5).- Calcular un polinomio d trcr grado p() = a + b + c + d, sabindo qu vrifica: i) tin un máimo rlativo para = ii) tin un punto d inflión n l punto d coordnadas (,) iii) s vrifica: p()d = 5 (5).- S considra la función: f() = ( + ) a) Calcular los trmos locals y/o globals d la función f(). b) Dtrminar l valor dl parámtro a tal qu f ()d = / (mod).- S considran las funcions: f() =, g() = a) Rprsntar f y g n un mismo gráfico. b) Calcular l ángulo qu forman las dos gráficas n los puntos d cort. c) Calcular l ára comprndida ntr las dos gráficas d dichas funcions. (mod).- a) Dtrminar los intrvalos d concavidad y convidad, para [ π,π] d la función: f() = 5 + cos b) Esbozar la gráfica d la función antrior n l intrvalo [ π,π]. c) Hallar l ára comprndida ntr las gráficas d las funcions: f() = 5 + cos g() = + cos y las rctas =, = (mod).- Dada la función: f () = ( + ) a) Hallar sus máimos y mínimos locals y/o globals. b) Dtrminar l valor dl parámtro a> para l cual s: f ()d = (6) a) Estudiar y rprsntar gráficamnt la función: f () = ( ) b) Hallar l ára d la rgión acotada comprndida ntr la gráfica d la función antrior y las rctas y =, = 5/. d 5(6).- Calcular + 6(6).- Dada la función f() =, s pid: a) Dibujar su gráfica indicando su dominio, asíntotas, intrvalos d crciminto y dcrciminto, máimos y mínimos rlativos, intrvalos d concavidad y convidad y puntos d inflión. b) Calcular l ára comprndida ntr l j OX y la gráfica d f(), ntr. 7(mod).- a) Si f s una función continua, obtnr F () sindo: F() = ( f (t) + t t ) a a + b) Si f() = y admás f (t)dt =, hallar la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d F() n l punto (,F()). 8(mod).- Dada la función f() = 6, s pid: a) Hallar un valor a> tal qu la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto (a,f(a)) sa paralla a la rcta y = 5. b) Hallar l ára d la rgión acotada limitada por la gráfica d f y la part positiva dl j OX dt Manul Ruiz

5 9(7).- Dada la función f() = calcular l ára d la rgión acotada ncrrada por su gráfica y + l j OX. (7).- a) Hallar los máimos y mínimos rlativos y los puntos d inflión d la función : + + f () = + b) Dtrminar una función F() tal qu su drivada sa f() y admás F() = (7).- Sa g() una función continua y drivabl para todo valor ral d, d la qu s conoc la siguint información : I. g () > para todo (,) (, + ), mintras qu g () < para todo (,) II. g () > para todo (, ), mintras qu g () < para todo (,) (, + ) III. g(-) =, g() =, g() = IV. lim g() = lim g() = + tnindo n cunta los datos antriors s pid: a) Analizar razonadamnt la posibl istncia o no istncia d asíntotas vrticals, horizontals u oblicuas. b) Dibujar d manra squmática la gráfica d la función g () c) Si G ( ) = g(t)dt ncontrar un valor tal qu su drivada G ( ) = (mod).- S considra la función f () = a + b si < si S pid: a) Calcular a y b para qu f sa continua y drivabl n todo R b) Para los valors d a y b obtnidos n l apartado antrior, calcular l ára d la rgión acotada limitada por la gráfica d f, l j horizontal y las rctas =, =. (8) a) Para cada valor d c >, calcular l ára d la rgión acotada comprndida ntr la gráfica d la c c función : f() = + + l j OX y las rctas =, =. b) Hallar l valor d c para l cual l ára obtnida n l apartado a) s mínima. (8). Dada la función f () = ( + ). S pid: a) Dibujar la gráfica d f, studiando l crciminto, dcrciminto, puntos d inflión y asíntotas. b) Calcular: f () d 5(8) a) (,5 puntos). Calcular: ln() d dond ln() s l logaritmo nprianot. b) (,5 puntos). Utilizar l cambio d variabl + d. Indicación para dshacr l cambio d variabl utilizar: t t = para calcular: S.Sancho 5

6 t = + + ln 6(mod8-9). Sa la función: ( ) f () = ln() si si > dond ln() significa logaritmo npriano d. Hallar l ára d la rgión acotada limitada por la gráfica d f(), y por la rcta y = 7(9).- Calcular la intgral: F( ) = t t dt 8(9).- Si la drivada d la función f() s: ' f ( ) = ( ) ( 5), obtnr: a) Los intrvalos d crciminto y dcrciminto d f. Los valors d n los cuals f tin máimos rlativos, mínimos rlativos, o puntos d inflión. b) Los valors d n los cuals f tin máimos rlativos, mínimos rlativos, o puntos d inflión. c) La función f sabindo qu f() =. 9(modlo 9-).- Dada la función: f ( ) = + a, sindo a un númro ral, studiar los siguints apartados n función d a: a) (,5 puntos). Hallar los trmos rlativos y los intrvalos d crciminto y d dcrciminto d f b) ( punto). Estudiar para qué valor, o valors, d a la función f tin alguna asíntota horizontal. c) (,5 puntos). Para a, hallar l ára d la rgión acotada comprndida ntr la gráfica d f, l j OX y las rctas =, =. 5) (modlo 9-).- Dada la función: f ( ) =, s pid: d) ( punto). Hallar la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto (, f ( )). ) ( punto). Dtrminar los puntos d intrscción d la rcta hallada n l apartado antrior con la gráfica d f. f) ( punto). Calcular l ára d la rgión acotada comprndida ntr la gráfica d f y la rcta obtnida n l apartado a). S.Sancho 6

7 CALCULO INTEGRAL (97).- (Aplicar l torma fundamntal o rgla d Barrow dl cálculo intgral). (97).- a) b) No s drivabl. c) /6 u., si (97).- No. f() = +, si < (97).- a) D=R +. A.V. =. A.H. y=. Máimo n (,/). b) / u o 5(98).- π. 6(98).- a). + k. b) Min. n (,), crc n R +, dcrc n R. 7(mod).- a) +, si b) y (ln+8) = ½.( ) ln + 8, si > 8(mod).- a=/. 9().- 7/ u. ().- a) (,), (,), (,) y (,). Crc: Dcrc: +,, b) c) 98/5 u π ().- (a) a = π/. (b) y = +. (c) 6 67 ().- (a) Si. (b) No. (c) u ().- (a) a=/, b=. (b) y =. (c) A = / u. ().- (a) ln(+ t ) + k. (b) /. 5(mod).- (a) r = /. A = / u. 6(mod).- (a) Min, P.I., +,, +, - π + π u. (b) p = /. 7().- a) y = 5 π +. b) Ara = u 8().- a) D = R {}. Cont n R {}, lim f () = + lim f () = + b) AV: =, AH: y = ( si ), AO: y = + (si + ). c) Ara = 5 + ln u 9().- a) Máimo n,, mínimo n,. b) a = (mod).- 8.ln +.ln +K (mod).- a) Má n,. AH : y =. b) =, =. c) d) u ().- a) ±π/ y ±5π/;. b) c) ln(/). Manul Ruiz 7

8 ().- a) Cont. n R, driv n R {}. b) c) 6 u 8 (mod).- a) /. b) 5 + 5().- a) AH: y=, má. abs.:, mín. abs.: ; b) / ln5. 6().- a) Má n (,), mín n (, ), A.H.: y=. b) c) 6/7u. 7(mod).- a) P(,), b) / u. 8(5).- / 9(5).- /5 + /5 + (5).- a) Má local y global n (, /a). b) a = ln. (mod).- a) b) 7,56º n ambos puntos c) 5/ u (mod).- a) CX: [ π, π/) (π/,π], CV:( π/,π/). b) c) 5/ ln u (mod).- a) Ma: f ( ) =, Min: f ( ) =, b) a = (6).- a) b) 5 u 5(6).- / ln(/). 6(6).- a) D = R, A.H.: y= (si ). Crc (, /), dcrc ( /,+ ). Min( /, /), conv (,+ ), cónc (, ). P.I. (, / ) b) Ara = / + u 7(mod).- a) F () = f() + +. b) y = - 7/ 8(mod).- a) a=5. b) 8 u. 9(7).- 6π/ u 5 7 (7).- a) min (-, ); má (, ) ptos d inflión ((, ); (-, b) F() = + ln ( + ) + + ); (, (7).- a) No tin asíntotas vrticals porqu la función s continua y drivabl n todo R. Asíntota horizontal: la rcta y = porqu lim g( ) =. Pud tnr asíntota oblicua cuando. + ) S.Sancho 8

9 b) c) = (mod) a) 5 a =, b = b) Ara = u 6 8 c 5 ( 8). a) + + u ; b) c = 5 c (8). a) Dcrcint n R, puntos d inflión: I (, ), (, I ), asíntota y = b) 6 + ( ln ) 6 5(8). a) + + Ct 6(mod 8-9). ára = u b) ln ct 7(9). ( + + ) 8(9) a) f s dcrcint n (, 5); f s crcint n (,) (5, + ) ; b) f prsnta: máimo 5 ( ) 6 n =, mínimo n = 5 y punto d inflión n = ; c) f() = ( ) (modlo 9-).- a) a =, a < f s crcint, si a > f s dcrcint n (,ln a ), f s crcint n (ln a, + ) ; mínimo (ln a, a ) b) a >, a < no tin asíntotas horizontals, si a = asíntota horizontal la rcta y = ; c) ára: + a( ) u 6,8 +,86 a u 7 5(modlo 9-).- a) y = +; b) (-,), (,6); c) u S.Sancho 9