() t ( )exp( ) 2. La transformada de Fourier

Transcripción

1 1 x d La ransormada d ourr x d

2 La ransormada d ourr Sa una uncón localmn ngrabl cuya ngral valor absoluo sa acoada n R. S dn su ransormada d ourr como: 1 d Esas xrsons nos rmn calcular la xrsón domno d la rcunca a arr d domno dl mo y vcvrsa. d Sndo la an-ransormada o ransormada nvrsa

3 Noacón: A la uncón s l llama ransormada d ourr d y s dnoa or o ˆ, s dcr [ En orma smlar, a la xrsón qu nos rm obnr a arr d s l llama ransormada nvrsa d ourr y s dnoa or 1,s dcr ] 1 [ ] 1 ˆ d d

4 Transormadas ngrals b a K, d K,: núclo o krnl. Asoca a cada uncón n l saco, drco o ral, ora uncón n l saco o rcíroco. Ejmlos: d ourr, Wavl, ransormada Z, d Lalac, d Hlbr, d Radon, c

5 Un roblma qu s dícl d rsolvr n sus "coordnadas" saco orgnals, a mnudo, s más sncllo d rsolvr al ransormarlo a saco. Dsués, la ransormada nvrsa nos dvulv la solucón n l saco orgnal. Problm n Transorm sac Rlavly asy soluon Soluon n Transorm sac Ingral ransorm Invrs ransorm Orgnal roblm Dcul soluon Soluon o orgnal roblm

6 Ejmlo. Calcular ara l ulso rcangular sgun: Solucón. La xrsón n l domno dl mo d la uncón s: - / 0 /

7 Ingrando: Usando la órmula d Eulr: / / d d / / 1 / / 1 / snc / / sn sn / / /

8 0 1 0 =1 En orma gráca, la ransormada s: snc / w 1 w con = w

9 Algunas uncons no osn ransormada d ourr La condcón d sucnca ara qu la ransormada d ourr d x, xsa s: g x dx s dcr, qu x sa d cuadrado sumabl. uncons qu no vayan asnócamn a cro cuando x nd a + y n gnral no nn ransormadas d ourr.

10 La ransormada d ourr s n gnral comlja La ransormada d ourr k y la uncón orgnal x son ambas n gnral comljas. D modo qu la ransormada d ourr ud scrbrs como: k k x r scro d onca A as scral amlud o magnud scral r r k A k A k A k x

11 La ransormada d ourr cuando x s ral La T k s arcularmn sml cuando x s ral: r k k xcos kx dx xsn kx dx

12 Prodads d las ransormadas d ourr: 1. Lnaldad:.T. ˆ.T. g g ˆ g.t. ˆ g ˆ.T. ˆ.T. a b a b ˆ

13 La ransormada d ourr d la combnacón lnal d dos uncons. g G { a bg } a{ } b{ g } + g + G

14 Calcular la ransormada d ourr d la sgun uncón: 0, a b 1, a, b ; a b 0 La uncón s ud scrbr ambén dl sgun modo: g h 0, a dond g 1, a ; h 0, b 1, b

15 Lugo: ˆ ˆ g ˆ h ˆ a a sn a b b sn b

16 Calcular la ransormada d ourr d la sgun uncón: 1 0 -a -b 0 b a

17 Tnmos qu calcular la ransormada d ourr d la sgun uncón: 0, a 1, a b 0, b b 1, b a 0, a g h g 0, a 1, a ; h 0, b 1, b

18 g 0, a 1, a. T. gˆ a sn a a h 0, b 1, b. T. hˆ b sn b b ˆ gˆ hˆ a sn a a b sn b b

19 ˆ a a d a a d a a d a a a a a ˆ 1 ' ' 1 1 '. Escalado: a a a ˆ 1 Prodads

20 Eco d la rodad d scalado Pulso coro Mnra más coro s l ulso, más ancho s l scro. Pulso mdo Esa s la snca dl rnco d ncrdumbr n mcánca cuánca. Pulso largo

21 3. Traslacón n l domno d mos. T. ˆ. T. a a ˆ a g gˆ gˆ g u d ua du a d a u u du gˆ ˆ a

22 4. Produco or xonncal comlja a T a T ˆ ˆ.... d g g ˆ d a d g a ˆ ˆ a g a

23 5. Produco or cosa o sna ˆ a ˆ cos a a sn a 6. Produco or ˆ dˆ d n, ˆ a ˆ n n d ˆ n d a d ; d ˆ d d

24 7. Idndad d Parsval : * gd ˆ * g ˆ d ˆ * d gˆ ' ' d' d d ˆ * ' En arcular: g d' gˆ ' d ' d ˆ d Torma d Raylgh ˆ * gˆ d

25 8. Transormadas d ourr d uncons ars, = -: d ˆ 0 0 d d 0 0 ˆ d d 0 d 0 cos ˆ d

26 0 0 ˆ d d 9. Transormadas d ourr d uncons mars, = --: d ˆ 0 0 d d 0 d 0 ˆ d sn

27 10. Transormadas d ourr d la drvada, d d d d d d ˆ

28 Convolucón S dn la ngral d convolucón d dos uncons y g dl sgun modo: g u g u du u g du

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30 Ejmlo vsual: rcx * rcx = x

31 El orma d convolucón o orma d Wnr-Khchn * g w G w Convolucón n l saco ral s quvaln a mullcacón n l saco rcíroco.