( )exp( ) 2. La transformada de Fourier

Transcripción

1 xp F d π La ransormada d Fourr F xp d

2 D la Sr d Fourr a la ransormada d Fourr La sr d Fourr nos prm obnr una rprsnacón n l domno d la rcunca d uncons pródcas. Es posbl xndr d alguna manra las srs d Fourr para obnr una rprsnacón n l domno d la rcunca d uncons no pródcas? Consdrmos la sgun uncón pródca d prodo :

3 rn d pulsos d amplud, ancho p y prodo : / /... p -p / p / < < < < < < p p p p

4 Los cocns d la sr complja d Fourr n s caso rsulan puramn rals: c n p sn n n El spcro d rcunca corrspondn lo obnmos n s caso gracando c n conra n. p p

5 Espcro dl rn d pulsos para p,.6.4 c n wnw

6 S l prodo dl rn d pulsos aumna....5 p, p, p, p,.5 - -

7 ...l spcro s "dnsca"..6 c n.4 p, p, p, -5 5 p, -5 5 n

8 En l lím cuando, la uncón dja d sr pródca:.5.5 p, - - Qué pasa con los cocns d la sr d Fourr?

9 S s hac muy grand, l spcro s vulv "connuo":

10 El razonamno anror nos llva a rconsdrar la xprsón d una uncón no pródca n l domno d la rcunca, no como una suma d armóncos d rcunca n, sno como una uncón connua d la rcunca. Así, la sr: n n c n al cambar la "varabl dscra" n cuando por la varabl connua, s ransorma n una ngral d la sgun manra:

11 Rcordmos: La sr d Fourr s: -/< x < / O bn: n n n d / / / / y π d c n n n n n d / / π π d d / / π π Cuando, n y d y l sumaoro s convr n:

12 La ransormada d Fourr Es dcr, dond: π F d d F Idndad d Fourr o anransormada d Fourr ransormada d Fourr Esas xprsons nos prmn calcular la xprsón F domno d la rcunca a parr d domno dl mpo y vcvrsa.

13 La ransormada d Fourr y la ransormada nvrsa d Fourr F xp d F xp d π

14 Noacón: A la uncón F s l llama ransormada d Fourr d y s dnoa por F o ˆ, s dcr F[ En orma smlar, a la xprsón qu nos prm obnr a parr d F s l llama ransormada nvrsa d Fourr y s dnoa por F,s dcr F ] [ F ] π F ˆ d F d

15 ransormadas ngrals F b a τ K τ, d Kτ,: núclo o krnl. Asoca a cada uncón n l spaco, drco o ral, ora uncón Fτ n l spaco τ o rcíproco. Ejmplos: d Fourr, Wavl, ransormada Z, d Laplac, d Hlbr, d Radon, c

16 Un problma qu s dícl d rsolvr n sus "coordnadas" spaco orgnals, a mnudo, s más sncllo d rsolvr al ransormarlo a spaco τ. Dspués, la ransormada nvrsa nos dvulv la solucón n l spaco orgnal. Ingral ransorm Problm n ransorm spac Rlavly asy soluon Invrs ransorm Soluon n ransorm spac Orgnal problm Dcul soluon Soluon o orgnal problm

17 Ejmplo. Calcular F para l pulso rcangular sgun: Solucón. La xprsón n l domno dl mpo d la uncón s: -p / p / < < < < p p p p

18 Ingrando: Usando la órmula d Eulr: / / p p d d F / / p p / / p p / snc / / p p p p sn p F p sn p p / / /

19 p < < p p < < p p En orma gráca, la ransormada s: F p snc p / Fw Fw con p w

20 La uncón sncx Sncx/ s la ransormada d Fourr d una uncón rcángulo. Snc x/ s la ransormada d Fourr d una uncón rangulo. Snc ax s l parón d draccón d una ranura.

21 Dmosrar qu la ransormada d Fourr d la uncón rángulo, Δ, s snc / Δ F snc / -/ /

22 Ejrcco: Calcular la ransormada d Fourr d la uncón scalón unaro o uncón d Havsd, u: u Graca U F[u]. Qué rango d rcuncas conn U? Cuál s la rcunca prdomnan?

23 La uncón dla d Kronckr y dla d Drac δ mn, m m n n δ δ

24 La uncón mpulso o dla d Drac Rcordmos qu podmos pnsar n la uncón dla como l lím d una sr d uncons como la sgun: m m xp[-m ]/ π δ 3

25 Y rcordmos algunas propdads d la uncón δ δ δ d δ a d δ a a d a xp ± d π δ xp[ ± ] d π δ

26 ransormada d Fourr d la δ: δ δ ˆ δ d Obsrva qu la ransormada d Fourr d s: ˆ d πδ π δ Rcordmos

27 , <,, < ˆ sn π π

28 , <,, < ˆ sn ˆ d π δ

29 ransormada d Fourr d la uncón cosno cos d ˆ cos d π ˆ d [ δ δ ] ˆ π [ δ δ ] cos F {cos }

30 ransormada d Fourr d la uncón sno: sn ˆ sn d d d ˆ π [ δ δ ] sn F { sn }

31 La ransormada d Fourr d la onda plana xp F{ } d d π δ Im R xp F {xp } La F d xp s una rcunca pura.

32 Im R xp F F {xp } F Sum

33 Enconrar la ransormada d Fourr d la uncón:,, > < a a ˆ d a a a a a a a a a a d a a

34 La ransormada d Fourr d una Gaussana, xp-a, s ora Gaussana. F {xp } xp xp a a d xp / 4 a xp a a xp / 4 F Más adlan lo dmosrarmos.

35 La ransormada nvrsa d Fourr Dada la uncón n l spaco rcíproco Gk, podmos rornar al spaco drco mdan la nvrsa d la ransormada d Fourr: g x kx F G k dk π { G k } π G k kx' dk k x' x g x dk dx π δ x' x g x' g x G k kx kx g x dx dx kx' dk

36 A parr d su dncón, obnr la ransormada nvrsa d Fourr d la uncón g polo d ordn oría d rsduos : Cálculo d z z z d I I d d d g F d g g F zx x I x I x x x

37 Rs I I I z I I z -3 ; ; [ z ] Cálculo d I 4π Rs z 3 3 z 3 [ z ] π Rs z -3 x x > zx 5 3 Rs z 3 < x [ z ] oría d rsduos: 3 z x 3x [ z ] πx d 3x 3 polo d π 5 x 3x ; 3x x ordn 3 ; < x >

38 Lugo la ransormada nvrsa d Fourr s : F g πx 5πx 3x 3x ; x < ; x >

39 6 3 6 g d g x x A parr d la dncón, obnr la ransormada nvrsa d Fourr d la uncón: Rspusa. Ingrando n l plano compljo: z z z z z z z g 3, 3, 6

40 omando Gz S x > : zx gz γ C Γ g z γ R zx dz G z dz π Hacndo lm R R R k Rs G z, G w dw z k Como lm g z lm z z 6z -R R 3z 6

41 Lma 3 d Jordan lm R R zx dx z g γ Enoncs: x x k z z G x 3 3 5, Rs π π S x < : Γ R R R k k zx dw w G dz z G z z G dz z g, Rs γ π

42 Hacndo lm R Como lm z g z -R R lm z 6 z 3z 6 γ lm γ R R g z zx dx Lma 3 d Jordan Enoncs: x π Rs G z, z k x π 5, x < 3 x x 3, x

43 Algunas uncons no posn ransormada d Fourr La condcón d sucnca para qu la ransormada d Fourr d x, F xsa s: g x dx < s dcr, qu x sa d cuadrado sumabl. Funcons qu no vayan asnócamn a cro cuando x nd a y n gnral no nn ransormadas d Fourr.

44 La F y su nvrsa son smércas. S la F d s F, noncs la F d F s: Qu podmos scrbr: F xp d π F xp[ ] d π Rnombrando la varabl d ngracón d a, podmos vr qu llgamos a la F nvrsa: π F xp[ ] d π π Es l movo por l qu a mnudo y F s dc qu son un "par ransormado."

45 La ransormada d Fourr s n gnral complja La ransormada d Fourr Fk y la uncón orgnal x son ambas n gnral compljas. D modo qu la ransormada d Fourr pud scrbrs como: { } k F k F x F r { } spcro d ponca A as spcral amplud o magnud spcral Θ Θ r r k F F F A F F k F A k A k F x F

46 La ransormada d Fourr cuando x s ral La F Fk s parcularmn smpl cuando x s ral: F { x } F k F k r Fr k F k xcos kx dx xsn kx dx

47 Propdads d las ransormadas d Fourr:. Lnaldad: g F.. F.. ˆ g ˆ g F.. ˆ ˆ g F.. ˆ a b a b ˆ F..

48 La ransormada d Fourr d la combnacón lnal d dos uncons. F g G F{ a bg } af{ } bf{ g } g F G

49 Calcular la ransormada d Fourr d la sgun uncón:, > a b, < < a, < b ; a > b > La uncón s pud scrbr ambén dl sgun modo: g h, > a dond g, < a ; h, > b, < b

50 Lugo: ˆ ˆ g ˆ h ˆ a π a sn a b π b sn b

51 Calcular la ransormada d Fourr d la sgun uncón: -a -b b a

52 nmos qu calcular la ransormada d Fourr d la sgun uncón:, < a, a < <b, b < < b, b < < a, > a g h g, > a, < a ; h, > b, < b

53 g, > a, < a F.. g ˆ a π sna a h, > b, < b F.. h ˆ b π snb b ˆ ˆ g ˆ h a π sna a b π snb b

54 . Escalado: { } F a ˆ ˆ { } F F a a { a } a ' a a ' a a d' a d a ˆ d a a a

55 Eco d la propdad d scalado Pulso coro F Mnras más coro s l pulso, más ancho s l spcro. Pulso mdo Esa s la snca dl prncpo d ncrdumbr n mcánca cuánca. Pulso largo

56 3. raslacón n l domno d mpos F.. ˆ F.. a a ˆ a g gˆ gˆ g d ua u du a d a u u du gˆ ˆ a

57 4. : * ˆ ˆ * R Im [ ] [ ] ˆ R ˆ [ ] [ ] ˆ Im ˆ ˆ d 5. : ˆ d π

58 5. Idndad d Parsval : * gd ˆ * g ˆ d ˆ * d gˆ ' ' d' d d d' gˆ ' d En parcular: ˆ * ' g δ' d ˆ d orma d Raylgh ˆ * gˆ d

59 oda uncón pud scrbrs como la suma d una uncón par y una uncón mpar Sa x una uncón cualqura. E-x Ex Ex Ex [ x x]/ Ox O-x -Ox Ox [ x x]/ x x E x O x

60 ransormadas d Fourr d uncons pars, -: d ˆ d d ˆ d d d cos ˆ d

61 ˆ d d ransormadas d Fourr d uncons mpars, --: d ˆ d d d ˆ d sn

62 La ransormada d Fourr rspco al spaco S x s uncón d la poscón, F ˆ { } k x x dx k x k s conoc como rcunca spacal. odo lo xpuso sobr la ransormada d Fourr nr los domnos y s aplca los domnos x y k. k

63 . Enconrar la ransormada d Fourr d la uncón: x x. A parr dl rsulado anror y una conocda propdad d la ransormada d Fourr, drmna la ransormada d Fourr d la uncón: g x x x. kx Nos pdn la ngral F k dx x Pasamos la ngral al plano compljo: I kz dz ngral"po 3"con z z z s analíca z C, xcpo z - y z z

64 k k kz z kz z k kz z kz z k F z z k F z z k F lím lím < π π π π π π π D modo qu : : crcuo C ngramos n l k Para : crcuo C ngramos n l k Para Rs Rs C C [ ] : y Puso qu k k k x x F k G k x x F x x F x x dx d kf dx d F π π.

65 6. ransormada d la drvada: F x kfx kfk Y n gnral: F n x n k Fk 7. ransormada xx: x x F x F k F Y n gnral: F x n x n F k Ejrcco: dmosrar las propdads anrors.

66 Enconrar la ransormada d Fourr d la uncón: ax x xp sndo a> consan. Drvando nmos: Vamos una aplcacón d sas dos úlmas propdads: x xp ax x ax xp ax ax x ransormando a ambos lados d la cuacón y usando las sguns propdads d la F: F F x kf x kf k F x F k [ x x ] kf k af k

67 a k u u ax kx ax a k a k F a d a du a du a dx F B dx B k F π π u ax / a k B k F k af k kf u

68 Convolucón S dn la ngral d convolucón d dos uncons y g dl sgun modo: g u g u du u g du

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70 Ejmplo vsual: rcx * rcx Δx

71 Convolucón con la uncón dla δ a u δ u a du a Convoluconar una uncón con una dla, smplmn cnra la uncón sobr la dla.

72 Propdads d la convolucón Commuava: g g Asocava: g h g h Dsrbuva: g h g h

73 El orma d convolucón o orma d Wnr-Khchn F * g F w G w Convolucón n l spaco ral s quvaln a mulplcacón n l spaco rcíproco.

74 Ejmplo dl orma d convolucón rc x rc x Δ x F {rc x} snc k / F { Δ x} snc k / snc k/ snc k/ snc k/

75 du d g d du u g u g u u ' ' ˆ ˆ ' π π π δ d d du g u ˆ ' ' ˆ ' ' ' Dmosrmos l orma d convolucón.

76 ˆ ˆ g d g δ d d g ˆ ' ' ' ˆ ' * w G w F g F Aplcando la F a ambos lados:

77 < >, cos, Ejmplo d aplcacón dl orma d convolucón: Calcular la ransormada d Fourr d la sgun uncón: cos ˆ d d ˆ Podmos hacrlo aplcando la dncón:

78 ˆ sn sn ˆ sn sn < >, cos,

79 < >,, h ; g cos [ ] ˆ δ δ π g ˆ sn h < >, cos, g h F F Pro, ambén podmos usar: g h hg ˆ ˆ ˆ

80 d g h g h π ˆ ˆ g h hg ˆ ˆ ˆ ' ' ' ˆ ˆ ˆ ˆ d g h g h [ ] ' ' ' ' ' δ δ π π d sn ˆ ˆ ˆ sn sn g h π

81 Calcular la ransormada d Fourr dl produco d convolucón d las sguns uncons:, > a b, < a b g π δ a b δ a b

82 El produco d convolucón d las uncons y g s: g π u g udu g u δ a b a b u δ u du g a b a b s dcr qu l produco d convolucón d y g son dos uncons pulso d anchura a-b cnradas n ab/ y -ab/ cuya gráca s la sgun:

83 -a -b b a y cuya ransormada d Fourr calculamos n l jrcco anror: a π sna a b π snb b

84 Una orma alrnava para calcular la ransormada d Fourr dl produco d convolucón d y g s usar l orma d convolucón, sgún l cuál, la ransormada d Fourr dl produco d convolucón d y g s gual al produco d las ransormadas d Fourr rspcvas d y g: g F.. ˆ ˆ g, > a b, < a b F.. ˆ a b π sn a b a b

85 Calculamos la ransormada d Fourr d g: π g ˆ g g ˆ π g ˆ a b ˆ g ˆ a b π d π δ a b δ a b a b cos a b sn a b a b cos a b d

86 ˆ g ˆ a b π sn a b a b cos a b ˆ ˆ g π sn a b cos a b ˆ ˆ g π [ sna sn b ] qu concd con la ransormada qu habíamos calculado dl oro modo.

87 Ulzar l orma d convolucón para calcular la anransormada d Fourr d la sgun uncón: ˆ π sn nmos qu calcular la anransormada: π π 4 ˆ d sn d π π 4 sn π d

88 π sn π sn π d y, llamando: ˆ g sn π Anransormada d Fourr g, >, < nos quda qu: g ˆ ˆ g d π π π g g orma d convolucón

89 Por ano, la ngral d convolucón d g consgo msma quda: g g π gu g udu dond g, >, < S < g g S < < g g π du π

90 S < < g g π du π S > g g Lugo: g g π, <, >