Ondas acústicas en dominios no acotados

Transcripción

1 Capítulo 3 Ondas acústicas n dominios no acotados 3.1. Introducción Las ondas acústicas qu s propagan librmnt por un dominio no acotado dbn cumplir la cuación d ondas homogéna para l potncial acústico: 1 ψ ψ = c t [3.1] S analizará a continuación las dos solucions más simpls d propagación d ondas acústicas, tanto armónica como no armónica, sin atndr a las causas qu las gnran. 3.. Ondas acústicas planas Una onda acústica qu s propaga a lo largo d una dircción spacial n constant s dnomina onda plana. El frnt d ondas caractrístico d las ondas planas son planos parallos d normal n, tal y como s mustra n la Figura La solución gnral n un dominio no acotado, rprsntado a partir d coordnadas cartsianas, d la cuación d ondas para l potncial acústico [3.1] s la conocida solución d D Almbrt (Rf. []): + ( ( ) ) ( ) ( ) f t n r c + f t+ n r c [3.]

2 14 Capítulo 3. Ondas acústicas n dominios no acotados Figura 3..1 Frnt d ondas d una onda plana Si considramos una onda plana d naturalza armónica propagándos n l sntido positivo d la dircción n (onda progrsiva), s dcir: ( ( nr ) ) ( ) iωt c ψ = ψ ik nr iωt [3.3] su spctro monocromático s scribirá 1 : ik ψω ψ nr = ( ) [3.4] y su amplitud srá constant a lo largo d la dircción d propagación: ψ [3.5] Si por l contrario considramos una onda plana d naturalza no armónica como un pulso acústico gaussiano plano modulado, propagándos n l sntido positivo d la dircción n, s dcir: ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) t t nr c i t nr c ik( ) ( t t c) nr nr i t µ ω ψ µ ω ψ = [3.6] 1 A partir d st rsultado s pudn dfinir los siguints parámtros: kx= knx ; ky= kny ; kz= knz. En conscuncia, s stablc qu: k ( k k k ) = + +. x y z

3 Capítulo 3. Ondas acústicas n dominios no acotados 15 Figura 3... Onda plana armónica con k= π y n= z su spctro s scribirá hacindo uso d la transformada d Fourir : ik ψ ψ ( ) ω nr = ( ) [3.7] dond s ha dfinido ( ω) = πµ ( ω ω ) 4µ i( ω ω) t. Por último, su amplitud srá: µ ( ( ) ) t t nr c ψ [3.8] A la vista d stos rsultados, s concluy qu un pulso acústico gaussiano plano modulado s pud intrprtar como una suprposición infinita d ondas planas armónicas cuya amplitud sigu una ly gaussiana modulada con la frcuncia. Por otro lado, su amplitud sguirá un comportaminto similar al d la onda armónica asociada pro amoldado a su propia naturalza no armónica. Vr nota 1 dl Capítulo

4 16 Capítulo 3. Ondas acústicas n dominios no acotados Figura Pulso gaussiano plano modulado con k= π y n= z 3.3. Ondas acústicas sféricas Las ondas acústicas sféricas s propagan a lo largo d la dircción radial a partir d una posición r' n l spacio. El frnt d ondas caractrístico d las ondas sféricas son sfras concéntricas y cntradas n l punto r', tal y como s obsrva n la Figura La solución gnral n un dominio no acotado, rprsntado a partir d coordnadas sféricas, d la cuación d ondas para l potncial acústico [3.1] tnindo n cunta la xclusiva dpndncia radial, s scrib sgún la solución d D Almbrt aplicada a la propagación sférica (Rf. []): ( ) f t c para r r' [3.9]

5 Capítulo 3. Ondas acústicas n dominios no acotados 17 Figura Frnt d ondas d una onda sférica Si considramos una onda sférica d naturalza armónica propagándos sgún la dircción n, s dcir: iω( t c) ik ψ = ψ iωt [3.1] su spctro monocromático s scribirá: ik ψω= ψ [3.11] y su amplitud sufrirá un dcaiminto a lo largo d la dircción d propagación: ψ 1 [3.1] Por l contrario, si considramos una onda sférica d naturalza no armónica como un pulso acústico gaussiano sférico modulado, propagándos n l sntido positivo d la dircción n, s dcir: µ ( t t c) iω( t c) ik ψ = ψ ( t t r r' ) µ c iωt [3.13]

6 18 Capítulo 3. Ondas acústicas n dominios no acotados Figura Onda sférica armónica con k= π y r' = su spctro s scribirá hacindo uso d la transformada d Fourir: ik ψ ( ) ω [3.14] y su amplitud srá: ψ 1 t t c µ ( r r' ) [3.15] A la vista d stos rsultados, s concluy igualmnt qu un pulso gaussiano sférico modulado s pud intrprtar como una suprposición infinita d ondas sféricas armónicas cuya amplitud sigu una ly gaussiana modulada con la frcuncia. Por otro lado, su amplitud sguirá un comportaminto similar al d la onda armónica asociada pro amoldado a su propia naturalza no armónica.

7 Capítulo 3. Ondas acústicas n dominios no acotados 19 Figura Pulso gaussiano sférico modulado con k= π y r' =