Problemas directo e inverso de la Geodesia

Transcripción

1 Problmas dircto invrso d la Godsia J. B. Mna 1. Introducción. Estudiarmos a continuación algunos d los métodos clásicos para rsolvr los dnominados problmas godésicos principals. Como sabmos, n Godsia sfroidal las coordnadas godésicas d los vértics d la rd stán rfridas a la suprfici dl lipsoid (h = ), si bin cada par d datos n longitud y latitud van acompañados d la altitud ortométrica H (sobr l goid) a la qu s ncuntra la corrspondint sñal dl trrno. Admás d llo, cada uno d los lados d la rd godésica stá caractrizado por su distancia godésica y por los acimuts godésicos d la dircción n ambos xtrmos, lo qu configura la distribución y posición d la rd sobr l lipsoid, así como su orintación rspcto a la rjilla d mridianos y parallos. Los problmas godésicos principals s rfirn n concrto al tma dl transport d coordnadas d los puntos sobr l lipsoid, s dcir, al cálculo d las coordnadas d un punto a partir d las coordnadas conocidas d otro vértic, o bin al cálculo d la distancia y d los acimuts corrspondints ntr dos puntos d coordnadas conocidas. En l primr caso l problma godésico s conoc como problma dircto y s nuncia como sigu: Dadas las coordnadas godésicas ϕ y λ d un punto A sobr l lipsoid, l acimut godésico  AB d la dircción a otro vértic B y la distancia godésica s ntr A y B, s prtndn obtnr la longitud y latitud godésicas d B así como l acimut invrso  BA. Por su part, l sgundo caso constituy l problma invrso cuyo nunciado rsulta sr: Conocidas las coordnadas godésicas d dos puntos A y B sobr la suprfici dl lipsoid, s han d calcular la distancia godésica s ntr ambos y los acimuts d la dircción n los xtrmos d la lína godésica qu los un. Estos dos problmas, qu s complmntan con l cálculo d la convrgncia d mridianos ntr los puntos A y B, son la bas para l stablciminto postrior d la rd godésica. Ambos s pudn rsolvr por distintos procdimintos dsd l punto d vista d la Godsia clásica, si bin cada uno d los métodos s caractriza por l margn d distancias n qu pud utilizars al objto d obtnr rsultados acptabls n prcisión. Atndindo a la magnitud d la distancia d sparación ntr los puntos A y B, clasificarmos los procdimintos xistnts sgún la siguint subdivisión: Métodos para distancias cortas. Emplo hasta ó 4 kilómtros como máximo. Métodos para mdias distancias. Utilizabls hasta los 5 ó kilómtros. Métodos para distancias grands. Pudn mplars hasta los 5 kilómtros. Métodos para distancias muy grands. Útils hasta kilómtros y más. La clasificación xpusta s típica d la Godsia sfroidal. Sin mbargo, con la aparición d las tcnologías qu diron lugar a la Godsia spacial, l studio d los métodos clásicos disñados para transport d coordnadas sobr l lipsoid tin más intrés tórico qu práctico. Por tal razón prscindirmos d tratar aquí los procdimintos laborados para distancias muy grands, limitando nustro studio al d aqullos métodos aplicabls hasta distancias mdias o grands qu aún pudiran sr d utilidad bajo divrsas circunstancias. No obstant, ants d ntrar n los distintos procdimintos s dducn las cuacions difrncials a las qu atind la lína godésica, rpasando a su vz l concpto d convrgncia d mridianos ntr dos puntos situados sobr la suprfici dl lipsoid. 1

2 . Ecuacions d la lína godésica. órmulas d Laplac y Clairaut. Siguindo lo xpusto n l tma 9 d la rfrncia [1], san los puntos A y B rprsntados n la figura 1, situados sobr la suprfici dl lipsoid y sparados por l arco lmntal d curva godésica ds. Dibujmos los corrspondints mridianos godésicos PA y PB, así como l ángulo d acimut  n l punto A. Llvmos st acimut a la prolongación dl arco d godésica n B, y sa BP l otro lado d dicho ángulo, l cual forma con l mridiano d B l ángulo lmntal d convrgncia d mridianos da. Tommos también un arco difrncial dl parallo qu pasa por l punto A, y situémoslo n B prpndicularmnt a las dirccions BP y PA. Llamando BC a st arco, la distancia AC mdida sobr l mridiano d A srá l lmnto difrncial d arco d mridiano dβ ntr los puntos A y B. Dado l caráctr lmntal dl triángulo ABC, considramos iguals n A y n B tanto los radios principals d curvatura M y N como l radio r dl parallo. D st modo, tnindo n cunta por un lado l radio d curvatura M d la lips mridiana y l difrncial d latitud godésica, y por otro l ángulo d acimut y l difrncial ds d arco d lína godésica, s tinn las dos rlacions siguints: (1) dβ = M dϕ; dβ = dscos A $ igura 1. Asimismo, para l lado BC s vrifica: () rdλ = dssn A $ Ncosϕ dλ = dssn A $ Por otra part n l triángulo PCB, rctángulo n C, l ángulo n B tin por valor 9º da, y l ángulo n P val dλ. Podmos scribir ntoncs: cos PB = cotg P cotg B cos 9º ϕ = cotg dλ cotg 9º da D aquí s obtin: b g b g b g b g b g b g b g snϕ = cotg dλ tg da tg da = tg dλ snϕ Y como da y dλ son lmntos difrncials, rsulta finalmnt: da = dλ snϕ () Esta cuación s conoc como fórmula d Laplac, y proporciona la variación dl acimut d una godésica con rlación a dos mridianos infinitamnt próximos. ** A continuación obtndrmos las drivadas con rspcto dl arco d los ángulos d latitud, longitud y acimut godésicos n un punto d la curva d mínima distancia. La primra rsulta d forma inmdiata considrando las dos igualdads (1); s tin así: (4) dϕ A Mdϕ= dscos A $ cos = $ ds M

3 La sgunda s ncuntra a partir d la fórmula (): A d A Ncos d dssn A $ sn d $ λ sn ϕ λ = λ = ds = $ scϕ N cosϕ ds N Y la trcra s obtin al sustituir n () l lmnto dλ qu acabamos d hallar: sn A da A da = $ snϕ sn ds = $ tgϕ N cosϕ ds N (5) (6) Las fórmulas (4), (5) y (6) constituyn las cuacions difrncials d las línas godésicas sobr la suprfici dl lipsoid. Dichas fórmulas pudn sr scritas n l parámtro c dl lipsoid y n la función V cuyas xprsions son ([1]): a c = ; V = 1+ cos ϕ ; M = c ; N = b V c V Rsultan así stas otras cuacions difrncials d la godésica, quivalnts a las antriors: (7) dϕ V dλ V da V = cos A $ ; = scϕsn A $ ; = tgϕsn A $ ds c ds c ds c ** El conjunto d rlacions dducidas nos van a prmitir obtnr la cuación fundamntal d la lína godésica. Con sta finalidad rprsntamos n la figura la scción mridiana n l punto A d la figura 1, dond hmos trazado la rcta tangnt n C. Evidntmnt, si r s l radio dl parallo d A, al punto C l corrspondrá l valor r + dr, sindo: dr = AC snϕ = dβ snϕ = M snϕ dϕ Tommos ahora las xprsions dl cosno y sno dl acimut  rspctivamnt d las drivadas (4) y (5): cos A $ M d ϕ, sn A $ r d λ = = ds ds Multiplicando la primra por r da y la sgunda por dr nos quda: r cos A $ da Mr d ϕ = ds da sn Adr $ = r d λ sn ds dr = r d λ ds M ϕ d ϕ Y sumando ambas mimbro a mimbro: igura. rcos AdA $ sn Adr $ Mr d ϕ ds da Mr d λ + = snϕ dϕ ds A continuación xtramos factor común l producto Mr por la drivada dϕ / ds: r cos AdA $ sn Adr $ Mr d ϕ + = ds da d λsnϕ b g

4 La difrncia ntr paréntsis s nula por la fórmula d Laplac (); s tin ntoncs: rcos AdA $ + sn Adr $ = Esta cuación difrncial s rsulv fácilmnt considrando qu su primr mimbro s la difrncial total siguint, función d  y r: ddrsn A $ i= En conscuncia la cuación d la lína godésica rsulta sr: rsn A $ = Ct. r1sn A $ 1 = rsn A $ = K = rnsn A $ n = Ct. (8) La igualdad obtnida s conoc como torma o fórmula d Clairaut, y nos prmit scribir la siguint dfinición d la lína godésica: las línas godésicas sobr la suprfici dl lipsoid d rvolución son aqullas n las cuals l producto dl radio dl parallo por l sno dl acimut d la curva n cada uno d sus puntos s una cantidad constant. Admás, si n lugar dl radio dl parallo s utiliza como variabl l ángulo d latitud rducida sgún la igualdad: r = a cos u, al sr a constant ncontramos qu l torma d Clairaut adquir la xprsión quivalnt: (9) cosusn A $ = Ct. cosu1sn A $ 1 = cosusn A $ = K = cosunsn A $ n = Ct.. Intgración numérica dl sistma d cuacions d la godésica. El primr procdiminto qu studiarmos para la rsolución d los problmas godésicos principals consist n la intgración d las cuacions difrncials d la godésica utilizando métodos numéricos paso a paso. El margn d distancias para l cual l procdiminto s válido dpnd por lo tanto dl método d intgración, y n particular dl ordn d ést, por lo qu tóricamnt pud xtndrs a grands distancias si rsulta ncsario. Pusto qu s stán tratando los problmas godésicos dsd l punto d vista d la Godsia clásica, n st apartado aplicarmos uno d los métodos numéricos más tradicionals como s l método d Rung Kutta ([] y []), l cual s particulariza para ordn 4 por motivos didácticos. Bajo sta prcisión, l procdiminto rsolutivo qu s xpon s stima válido para distancias hasta los 4 ó 5 kilómtros..1. Problma dircto. Escribamos las cuacions difrncials (4), (5) y (6) mdiant las siguints funcions al objto d abrviar la notación: d A d A da A f (, A $ ϕ cos ) $ ; g(, A $ λ sn ) $ ; h(, A $ sn ϕ = = ϕ = = ϕ ) = = $ tgϕ ds M ds N cosϕ ds N Y supongamos conocidas las coordnadas godésicas d un vértic A, así como l acimut  y la distancia godésica s a un sgundo vértic B. Básicamnt, l procso d rsolución dl problma dircto consist n dividir la distancia s n n tramos sobr la lína godésica qu un A y B, ir obtnindo los incrmntos d latitud, longitud y azimut dl punto final d cada tramo a partir d los datos corrspondints dl punto antrior. D sta forma, tomando como valors ini- 4

5 cials los datos n A, s obtinn los dl punto P 1 xtrmo dl primr tramo, con éstos los d P xtrmo dl sgundo tramo, y así sucsivamnt hasta ncontrar los d B, l cual s l punto xtrmo d tramo nésimo y último. Las xprsions mdiant las qu rsultan los incrmntos n coordnadas y acimut dl punto P i + 1 a partir d los obtnidos n P i, son las qu sigun: k1+ k+ k+k4 l ˆ + + +, 1+ l+ l+l4 a, 1 a a a ϕ = λ = A = (1) Rlacions dond los valors k, l, y a, s dtrminan sucsivamnt a través d las igualdads: k (, ˆ ), (, ˆ ), (, ˆ 1 = δ f ϕi Ai l1 = δ g ϕi Ai a1 = δ h ϕi Ai ) k ( ˆ ), ( ˆ ), ( ˆ = δ f ϕi+k1/,a+a i 1/ l= δ g ϕi+k1/,a+a i 1/ a= δ h ϕi+k1/,a+a i 1/ ) k ( ˆ ), ( ˆ ), ( ˆ = δ f ϕi+k/,a+a i / l= δ g ϕi+k/,a+a i / a= δ h ϕi+k/,a+a i / ) k ( ˆ ), ( ˆ ), ( ˆ 4 = δ f ϕi+k,a+a i l4= δ g ϕi+k,a+a i a4= δ h ϕi+k,ai+a) s δ =, i =, 1, K, n 1, ( i = A, i + 1 = n B) n (11) Basta pus con scogr un valor concrto d n para obtnr una solución al problma. Y vidntmnt, mintras mnor sa l valor δ dl paso d intgración, más prcisa srá la solución obtnida dntro d los márgns d aproximación dl método. Una vz calculadas las coordnadas dl vértic B y l acimut  B d la godésica n st punto, l acimut rcíproco  BA y la convrgncia d mridianos n B con rspcto d A s obtinn sncillamnt mdiant las rlacions siguints:.. Problma invrso. Aˆ BA = Aˆ ± π, Aˆ = Aˆ Aˆ (1) B Conocidas las coordnadas godésicas d dos vértics A y B, para ncontrar la distancia godésica s qu los spara y los acimuts d la lína godésica n ambos puntos, s cominza calculando un valor promdio R para l radio mdio d curvatura n ambos puntos. Atndindo a lo xpusto n [1], dicho valor lo obtndrmos n función d los radios principals d curvatura M y N n cada xtrmo d la godésica mdiant la xprsión: B ( N M N M ) 1 R = + A A B B (1) A continuación, sobr la sfra cuyo radio s R s rsulv l triángulo sférico aproximado dfinido por los puntos A, B y l polo P d la sfra. Considrando l ángulo y los lados conocidos d st triángulo (P, a, b), s obtinn mdiant trigonomtría sférica los valors dl lado p y dl ángulo n l vértic A, por jmplo a través d las cuacions: p = Arccos (cosbcosa + snbsn acos P) sn Psn a A = Arcsn sn p (14) 5

6 Como conscuncia, unos primros valors aproximados para la distancia godésica y l acimut godésico n A son los siguints: s = pr, Aˆ = A (15) Dond hmos nombrado los puntos d manra qu la longitud d A s mnor qu la d B. A partir d aquí las xprsions dl problma dircto prmitirán ncontrar la latitud y la longitud dl punto B así como l acimut godésico n l mismo, si bin d manra igualmnt aproximada. Supongamos qu una vz finalizado st cálculo s han obtnido los valors: ϕ b, λ b y  b. Con llos s inicia ntoncs un procso d aproximacions sucsivas con objto d ncontrar las corrccions qu suprponn l punto b sobr B. Dicha suprposición s consigu proyctando la difrncia n latitud y longitud ntr b y B sobr las tangnts al mridiano y parallo qu pasan por B, para lo cual dbrán calculars inicialmnt los incrmntos longitudinals y l valor angular d giro siguints: π s = ( b B ) Mb, s = ( b B ) Nb cos b, = Aˆ ϕ ϕ ϕ λ λ λ ϕ α b (16) D sta manra, los nuvos valors para las variabls (15) rsultan sr ([]): s cosα = As ˆ sinα sinα sλ cosα sϕ s1 = s s Aˆ 1 = Aˆ + As ˆ / s (17) Mdiant las coordnadas dl vértic A y los rsultados (17) podmos ritrar l problma dircto para calcular unos nuvos valors aproximados dl punto b y con llos unos valors más prcisos d la distancia godésica y dl acimut n A. Est procso pud rptirs por tanto hasta qu la difrncia d posición ntr b y B sté por dbajo d una tolrancia prfijada. 4. Los problmas godésicos mdiant la sfra osculatriz d Gauss undamnto. El sgundo procdiminto qu studiamos para rsolvr los problmas godésicos principals consist n aplicar la toría d Gauss para rprsntar un lipsoid d poco aplanaminto, como s l trrstr, sobr la suprfici d una sfra. Como s sobradamnt conocido, no pud consguirs una proycción dl lipsoid, ni sobr un plano ni sobr una sfra, qu consrv las distancias n todas las dirccions, y mucho mnos qu simultánamnt sa conform, o sa, qu también mantnga las magnituds angulars. Sin mbargo, l ingnio d Gauss l llvó a disñar un procdiminto matmático por l cual podmos obtnr la rprsntación conform d una faja dl lipsoid sobr una sfra, d modo qu las dformacions linals n l caso d un lipsoid d poco aplanaminto rsultn prácticamnt nulas n la zona objto d studio. Sindo así, rsulta vidnt qu una vz dispustas las xprsions d la proycción y calculados los parámtros ncsarios, qudarán stablcidas las rlacions ntr los puntos dl lipsoid y sus corrspondints n la sfra. Con llo podmos trasladar a la sfra los datos corrspondints los distintos problmas plantados sobr l lipsoid, rsolvr stos problmas mdiant las xprsions clásicas d la trigonomtría sférica, y finalmnt transformar n sntido invrso los rsultados al lipsoid. El conjunto d las cuacions y dsarrollos qu sigun con sus corrspondints dduccions, los ncontrará l lctor con todo dtall n la rfrncia [1]. 6

7 4.. Rprsntación conform dl lipsoid sobr la sfra. Una proycción dl lipsoid sobr la sfra s dnomina conform cuando un contorno infinitamnt pquño d la suprfici lipsoidal s rprsnta n la sfra por un contorno smjant. Ello implica la consrvación d los ángulos qu las aristas d las distintas figuras forman ntr sí. Por otra part, y como indica la Cartografía matmática ([1]-tma 14), n cualquir proycción dl lipsoid, ya sa sobr la sfra o sobr l plano, xistn simpr dos dirccions prpndiculars qu s mantinn asimismo prpndiculars n la proycción. Estas dos dirccions s conocn como dirccions principals, y s caractrizan porqu la scala d la rprsntación adquir sobr llas sus valors xtrmos. Como conscuncia, para qu una proycción sa conform s ncsario y suficint qu, salvo n las posibls singularidads, los factors d scala n cada punto tomados n las dirccions principals san iguals. Para obtnr las cuacions d la transformación conform dl lipsoid sobr la sfra, dsignmos con λ y ϕ las coordnadas d un punto dl lipsoid y con λ y ϕ las d su corrspondint n la sfra. Supondrmos como primra condición la inxistncia d puntos impropios, por lo qu a cada parja d valors rals d λ y ϕ l corrspondrá un par d valors rals d λ y ϕ. Admás, y como sgunda condición, rstringirmos la proycción qu buscamos imponindo qu los mridianos y parallos dl lipsoid s transformn rspctivamnt n mridianos y parallos sobr la sfra. En tal caso las cuacions srán d la forma: bg bg λ = 1 λ, ϕ = ϕ (18) Para dtrminar las funcions 1 y dnominarmos m y n a los factors d scala d la proycción n mridiano y parallo n cada punto (vr [1]). Considrando los radios principals d curvatura M y N dl lipsoid n dicho punto y l radio R d la sfra, dichos factors, para un lmnto d arco n mridiano y otro n parallo, rsultan dados mdiant las razons: m = Rd ϕ ; Mdϕ n = Rcosϕ dλ Ncosϕdλ (19) Pro sindo qu la proycción buscada ha d sr conform, dbrá cumplirs qu ambos factors d scala san iguals n todo punto. Hacindo pus m = n rsulta: dϕ M d d = N ϕ λ cosϕ cosϕ dλ () Esta rlación, al objto d qu la latitud sobr la sfra sólo dpnda d la latitud n l lipsoid, implica qu la fracción dλ / dλ ha d sr ncsariamnt una magnitud constant K, por lo qu la dsglosamos n las dos cuacions difrncials siguints: dλ dϕ K K M d = dλ ϕ = N ϕ, cos cosϕ (1) * Ecuación n longitud. Intgrando la primra igualdad rsulta la siguint xprsión para la proycción n longitud, sindo K una constant a dtrminar: λ = K λ () Lo qu supon la lcción d un mismo mridiano orign d longituds tanto n l lipsoid como n la sfra (constant d intgración igual a cro). 7

8 * Ecuación n latitud. Por su part la intgración d la cuación n latitud, algo más complicada, proporciona l siguint rsultado: tg I K J = K I + KJ ϕ π 1 1 snϕ ϕ π + K tg () 4 k 1+ snϕ 4 Exprsión dond k s una sgunda constant a calcular. * actor d scala n mridiano y parallo. Las rlacions () y () constituyn la ly d rprsntación conform dl lipsoid sobr la sfra, y como s ha visto las hmos obtnido imponindo la igualdad n cada punto ntr los factors d scala n l mridiano y l parallo. Por tanto dicho factor srá único n cada uno d los puntos d la zona proyctada, pudindo xprsars su valor concrto sin más qu tnr n cunta () n la sgunda d las igualdads (19): I K J m n K R cosϕ = = N cosϕ (4) Evidntmnt no srá posibl calcular st parámtro n un punto dado n tanto no s dfina l radio R d la sfra y s obtngan las constants K y k d la proycción. Sin mbargo, ya podmos vr qu l factor d scala, al no dpndr d la longitud, srá igual n todos los puntos d un mismo parallo. Ello nos induc a pnsar qu las dformacions linals n la proycción d Gauss han d studiars sgún nos dsplazamos n latitud. D hcho s sta coordnada la qu dtrminará, n la forma qu vrmos más adlant, l margn d distancias hasta l cual pud xtndrs la proycción con objto d obtnr rsultados prcisos. 4.. Dtrminación d las constants d la proycción. Como l factor d scala sólo varía n sntido d la latitud, dtrminarmos las constants d la proycción d modo qu rsultn satisfchas las siguints condicions: 1. Qu dicho factor sa igual a la unidad a lo largo d la proycción sobr la sfra d un parallo prviamnt dsignado por su latitud ϕ. Est parallo, qu s dnomina parallo d latitud normal, srá por tanto lína automcoica d la transformación, y s scográ n cada caso n función dl problma concrto qu s prtnd rsolvr.. Qu la variación d la scala sgún nos distanciamos dl parallo d latitud normal n uno u otro sntido sa lo más lnta posibl. Con stas condicions, la toría d Gauss trata d ncontrar una proycción conform, dond admás la scala puda considrars prácticamnt igual a la unidad hasta una cirta distancia a ambos lados dl parallo d latitud normal. En conscuncia las corrccions para pasar dl lipsoid a la sfra y vicvrsa srán pquñas y las dformacions rsultarán mínimas. Sindo m la scala d rprsntación sobr l parallo d latitud normal, la primra d las citadas condicions s xprsa n la forma: m n K R cosϕ = = N cosϕ = 1 (5) En cuanto a la sgunda condición, l cálculo d las dos primras drivadas d m rspcto dl ángulo d latitud y su postrior igualdad a cro al objto d qu la variación d m con st ángulo sa lo mínima posibl, proporcionan sucsivamnt las siguints rlacions (vr [1]): 8

9 1 snϕ = sn ϕ, K = 1+ K 4 cos 1 ϕ (6) Por tanto, una vz dfinida la latitud normal ϕ podmos obtnr la rspctiva constant K y también la corrspondint latitud normal sobr la proycción sférica. A partir d aquí, la sgunda constant s obtin sustituyndo l parallo normal n la cuación n latitud y dspjando dspués l parámtro k. Rsulta así: K ϕ tg π + 4 k = ϕ πi tg + K J 4 I K J 1 snϕ 1+ snϕ inalmnt, l valor dl radio R d la suprfici sférica dpnd, al igual qu las constants K y k, dl parallo d latitud normal. Est valor pud calculars fácilmnt a partir d la condición (5); sin mbargo, y como s dmustra n [1], R coincid prcisamnt con l radio mdio d curvatura n los puntos dl lipsoid d latitud ϕ, s dcir, qu s igual a la mdia gométrica d los radios principals d curvatura calculados para la mncionada latitud. Esta s la razón por la cual la sfra d curvatura mdia s dnomina también sfra d Gauss. Como conscuncia d lo dicho, las siguints xprsions d R son quivalnts: I KJ K (7) R = N cosϕ K cosϕ R = NM (8) 4.4. Extnsión d la proycción. Corrccions. Para studiar l margn n distancia a ambos lados dl parallo d latitud normal dond la proycción pud considrars automcoica admás d conform, s hac ncsario obtnr la xprsión dl factor d scala m n cada punto como función d la difrncia ϕ ϕ. Ello no s difícil, pus con los valors ncontrados para K, k y R tras anular las dos primras drivadas d m n l parallo d latitud normal, l citado factor rspond al dsarrollo d Taylor dl factor m n torno al valor d ϕ cuyos dos primros términos son los siguints: m = + L N M Md d m ϕ O QP b ϕ ϕ Calculando ntoncs sta drivada, sgún [1] s obtin: m = j g snϕcosϕ ϕ ϕ (9) sn ϕ Admás, pusto qu m s una función qu tind a la unidad sgún nos acrcamos al parallo d latitud normal, su logaritmo tndrá a m 1 n tals circunstancias. Por lo tanto, también podmos scribir: 1 jsnϕcosϕ Lm = bϕ ϕ g () 1 sn ϕ j j b g 9

10 Atndindo a la última xprsión obtnida y dando distintos valors a ϕ, s posibl stablcr los límits n distancia ntr los cuals la proycción conform d Gauss pud ntndrs también automcoica para una dtrminada latitud normal. En latituds mdias, d unos 4º como s l caso d la Pnínsula Ibérica, dntro dl intrvalo [ϕ 1º, ϕ + 1º] incluso algo más allá la scala d la proycción s prácticamnt 1, ya qu l valor d Lm s mid n términos d 1 7. Por tanto, si tnmos n cunta qu 1º d latitud supon casi 1 kilómtros sobr la suprfici trrstr, podmos acptar n gnral qu la proycción conform d Gauss dl lipsoid sobr la sfra también consrva las distancias n una franja d 5 kilómtros d anchura cuyo parallo cntral s l d latitud normal d la rprsntación. Esta conscuncia vin a dmostrar la idonidad d lgir una sfra para proyctar la suprfici dl lipsoid trrstr. Rsulta así qu para rsolvr los problmas godésicos n una zona d la rd godésica situada hasta 1 kilómtros al nort o al sur dl parallo normal, y sin limitación n longitud gográfica, s pudn trasladar los lmntos d la triangulación dl lipsoid a la sfra sin sufrir dformacions aprciabls: ni angulars por sr la proycción conform, ni linals dbido al valor casi unidad d m n todos los puntos d la zona proyctada. * Corrccions a los acimuts y distancias. Dada la conformidad d la proycción d Gauss, toda lína godésica sobr l lipsoid s rprsnta n la sfra por una curva cuyo acimut n cada punto s igual al rspctivo d la godésica. Sin mbargo pud dmostrars qu dicha curva no s xactamnt un arco d círculo máximo n la sfra d curvatura mdia, razón por la cual s hac ncsario introducir una corrcción n los acimuts si s quirn utilizar las fórmulas d la trigonomtría sférica. Con llo los triángulos lipsoidals cuyos lados son línas godésicas s rprsntarán n la sfra por triángulos formados por arcos d círculo máximo. Sindo A y B dos puntos sobr l lipsoid,  AB y  BA los acimuts godésicos dircto y rcíproco ntr ambos puntos, y s la distancia godésica, d acurdo con [] los corrspondints ángulos a considrar n la suprfici d la sfra rsultan dtrminados por las siguints xprsions: ÂAB = ÂAB ca + cbi + K J c I s   =  + A cb AB BA BA K J s 1 snϕ i = cosϕbϕi ϕ i = A B g l, q 1 sn ϕ j c sn, sn ÂAB No obstant, como l aplanaminto trrstr s muy pquño, stas corrccions angulars sólo s tinn n cunta n aqullas dirccions cuyos xtrmos s ncuntran más allá d los 6 ó 7 kilómtros dl parallo d latitud normal. En tal caso dbrmos considrar las indicadas fórmulas tanto n l paso dl lipsoid a la sfra como n l procso invrso. inalmnt rmarcar qu n rigor m sólo s igual a 1 n l parallo d latitud normal. En conscuncia, si alguno d los puntos dl problma a rsolvr s ncuntra próximo a los márgns d la citada franja, n concrto a más d 1º dl parallo d latitud normal, han d tnrs n cunta las distorsions linals d la proycción. Para llo s atind a las siguints igualdads qu rlacionan las distancias ntr l lipsoid (s) y la sfra (s ): m ds = ds z s = mds s = mms mamb s D st modo podmos corrgir la distancia qu convnga tomando un valor mdio d m apropiado, como pud sr por jmplo la mdia gométrica d los valors d st factor n los xtrmos d la dircción considrada. (1) () 1

11 4.5. Rsolución d los problmas godésicos principals. Estudiada la proycción d Gauss, l camino gnral para rsolvr los problmas godésicos principals, así como otros qu s nos pudn plantar sobr la suprfici dl lipsoid, consist n trasladar a la sfra sgún la ly d rprsntación conform l conjunto d datos godésicos inicials, rsolvr l problma sobr la sfra mdiant las fórmulas d la trigonomtría y, con la misma ly d rprsntación pro aplicada n l sntido invrso, fctuar l paso al lipsoid d los rsultados obtnidos n la sfra. Aunqu l procdiminto s bastant simpl, la prcisión d los rsultados dpnd notablmnt d la lcción dl parallo d latitud normal ya qu, sgún hmos visto, las fórmulas d la proycción y l margn d validz d la misma son función d la latitud ϕ tomada como rfrncia. Por lo tanto, una acrtada lcción dl parallo d latitud normal proporcionará rsultados muy bunos simpr qu l problma no sobrpas los límits prfijados n la toría. Como norma gnral, l valor d ϕ s dfin procurando qu l parallo normal rsult lo más cntrado posibl n l conjunto d los puntos qu intrvinn n l problma. Cuando s trata d rsolvr l problma dircto, la latitud normal s dtrmina n función d los datos d acimut y distancia godésicos. Así por jmplo, un acimut próximo a 9º ó 7º nos prmit tomar por latitud d rfrncia la corrspondint al punto d coordnadas conocidas aunqu la distancia godésica sa grand, pusto qu l vértic incógnita qudará bastant cntrado n la zona d proycción. Sin mbargo, a mdida qu l acimut sñala dirccions más crcanas al mridiano, la influncia d la distancia godésica s hac más dtrminant, pudindo incluso prohibir la utilización dl método. En un caso gnral dl problma dircto, l stablciminto dl parallo ϕ s raliza valuando prviamnt las coordnadas dl vértic incógnita d forma aproximada; lo qu podmos hacr con los datos dl problma n l supusto d Tirra sférica. Entoncs tomarmos como latitud normal l valor promdio d las latituds d los dos puntos qu intrvinn n l problma. En l caso dl problma godésico invrso, al disponrs como dato d las coordnadas d los dos vértics d la dircción, srá común lgir como parallo d latitud normal l corrspondint a la latitud mdia. Una vz dtrminado l parámtro ϕ s procd a construir la ly conform d rprsntación sgún s ha xplicado n la toría; s dcir, hmos d obtnr los valors d K, ϕ, k y R. Dispustas así las cuacions, ralizarmos l traslado d los datos a la sfra tnindo n cunta la consrvación d los acimuts, y la ncsidad d convrtir las distancias n magnituds angulars mdiant l valor dl radio R. Asimismo, introducirmos las corrccions ncsarias n aqullos acimuts y distancias qu lo rquiran. Establcido l problma sobr la sfra, s calculan a continuación los valors d las incógnitas dl problma mdiant la trigonomtría. Para llo srá común utilizar l triángulo cuyo trcr vértic s uno d los polos d la sfra. El último paso consist n l traslado d los rsultados al lipsoid; lo qu harmos aplicando la ly d proycción () y () n sntido invrso. D llo rsulta: I K J L = NM λ ϕ π ϕ π ϕ λ = K 1 sn, tg + k tg + K snϕ 1 I K JO QP I KJ () La sgunda d stas cuacions rquir d aproximacions sucsivas. Dicho procso, qu sul sr d rápida convrgncia, s raliza considrando n l dnominador dl sgundo mimbro l valor d ϕ como aproximación inicial d ϕ. 11

12 En custión d distancias, una vz transformadas por R a partir d los ángulos rspctivos, éstas s toman idénticas sobr l lipsoid, aunqu si alguna d llas s spara n dmasía dl parallo normal dbrmos aplicar la corrcción () n sntido invrso. Asimismo, también los valors obtnidos n la sfra para los acimuts s mantinn invariabls sobr l lipsoid, salvo qu hubis qu dshacr la corrcción d paso al círculo máximo. En tal caso, los acimuts godésicos d la dircción n custión s calculan mdiant las siguints fórmulas quivalnts a las (1) y cuyos parámtros c A y c B son los allí indicados ([1]): Â AB = Â + AB ca + cbi c c s ÂAB ÂBA Â A + B BA s ÂAB K J I sn, = K J sn (4) inalmnt, cuando sa ncsario obtnr l ángulo d convrgncia d mridianos, ést pud calculars sobr l lipsoid mdiant la sgunda d las xprsions (1). 5. Método d transfrncia dl triángulo lipsoidal a la sfra d Jacobi undamnto. El trcr procdiminto qu studiarmos aquí para la rsolución d los problmas godésicos principals y qu xtramos d las rfrncias [1] y [], pud aplicars cuando la distancia ntr los vértics s xtind n cualquir dircción hasta los 8 ó 1 kilómtros, considrando las fórmulas qu s xponn. Análogamnt al caso antrior, l método s fundamnta n stablcr un nlac analítico dl triángulo lipsoidal qu s quir rsolvr con un triángulo sférico; lo qu s factibl, como indica la toría d Gauss, dbido a la pquñz dl aplanaminto trrstr. El triángulo lipsoidal srá aqul cuyos vértics son los dos puntos A y B qu intrvinn n l problma, junto con l polo P dl lipsoid, sindo sus lados los dos arcos d mridiano AP y BP y l arco AB d lína godésica. En cuanto a la sfra a considrar, n st caso s lig la d Jacobi, también llamada sfra d los acimuts constants, porqu n lla s consrvan los acimuts ntr lipsoid y sfra como conscuncia d las fórmulas d Laplac y Clairaut (vr [1]). D st modo y al igual qu sucd n la toría d Gauss, la rsolución d los problmas godésicos principals supon trasladar los datos lipsoidals a la sfra, rsolvr allí l triángulo sférico obtnido n función d sus lmntos conocidos, y trasladar n sntido invrso los rsultados al lipsoid. La sfra d Jacobi s aqulla cuyo radio s igual al smij mayor dl lipsoid, qu s mantin tangnt a ést n l cuador. En lla, dados dos puntos A y B sobr la suprfici dl lipsoid, xistn A y B cuyas latituds son rspctivamnt iguals a las latituds rducidas d A y B, y tals qu la lína godésica AB s corrspond con l arco d círculo máximo A B d la sfra, sobr l cual l acimut n cada uno d sus puntos s igual al acimut godésico n l punto corrspondint d AB ubicado sobr l lipsoid. Esta important propidad d la sfra d Jacobi, qu s rsum n la consrvación d los acimuts, implica como conscuncia la dtrminación unívoca d todos los lmntos dl triángulo sférico rlativo a dos puntos dados sobr la suprfici dl lipsoid. Para vr sto obsrvmos l triángulo lipsoidal ABP d la figura y l corrspondint triángulo sférico A B P. Por una part las magnituds d los lados A P y B P qudan dtrminadas a partir d las latituds godésicas d A y B por la siguint xprsión: b tgu = tgϕ tgu= 1 tgϕ a (5) 1

13 igura. Admás, los ángulos dl triángulo lipsoidal n los vértics A y B son iguals qu los dl triángulo sférico n A y B por la propidad nunciada antriormnt. Por otra part, si considramos la xprsión (9) d la lína godésica n función d las latituds rducidas, s tin: sn ÂA cosub sn  = B cosua sn ÂA sn 9º ub b g d b i g sn 18º ÂB = sn 9º ua Pro sta rlación s la qu rsulta al aplicar l torma dl sno al triángulo sférico A B P d la figura. Por tanto, la cuación d la lína godésica sobr l lipsoid constituy a la vz una dpndncia xacta d la trigonomtría sférica stablcida n l rspctivo triángulo sobr la sfra d Jacobi. S dduc d sta manra qu los valors d los sis lmntos dl triángulo sférico son únicos para dos puntos dados sobr l lipsoid, si bin la posición n longitud dl triángulo sférico quda indtrminada n tanto no s conozca la rlación ntr longituds lipsoidals y sféricas y s fij un mridiano d rfrncia. También convin sñalar qu, al sr iguals las latituds rducidas y también los acimuts d la godésica AB y dl círculo máximo A B n los puntos corrspondints, la cuación d Clairaut para ambas curvas s la misma. Ello implica qu l acimut  con l cual l círculo máximo corta al cuador s igual al d la godésica a su paso por dicho plano; y asimismo, qu los puntos d latitud rducida u 1 dond l acimut d las dos curvas s 9º, son corrspondints. Considrando stas conscuncias, l valor común d la constant d la lína srá: (6) C = cosuasn ÂA = cosubsn ÂB = sn  = cosu1 (7) Vistas las dpndncias xistnts ntr los triángulos n corrspondncia sobr l lipsoid y la sfra, st método s ocupa d stablcr a partir d llas las rlacions qu ligan las difrncias d longitud λ λ, así como las distancias s y s d la lína godésica AB y dl arco d círculo máximo A B rspctivamnt. 5.. Rlacions difrncials ntr los lmntos lipsoidals y jacobianos. En la figura considrmos un lmnto difrncial d arco ds sobr la lína godésica qu un los puntos A y B n l lipsoid, y l corrspondint lmnto ds d círculo máximo situado n la sfra. Asimismo san dλ y dλ los rspctivos difrncials d longitud abarcados por dichos lmntos. A continuación obtndrmos las cuacions difrncials qu rlacionan 1

14 ntr sí cada una d stas parjas d lmntos, pus ni las longituds ni las distancias s consrvan al pasar dl lipsoid a la sfra d Jacobi. Comncmos trayndo aquí las cuacions (4) y (5) qu caractrizan la lína godésica sobr l lipsoid, y por las cuals los lmntos d latitud y longitud stán rlacionados con l difrncial d arco mdiant las igualdads: Mdϕ = dscos Â, Ncosϕdλ = dssn  (8) En la sfra d Jacobi (lipsoid con xcntricidad nula y radio a), dond latituds godésicas y rducidas son una misma cosa y s consrvan los acimuts dl lipsoid, stas igualdads adquirn las siguints formas rspctivas: adu = ds cos Â, acosudλ = ds sn  (9) * Ecuación difrncial ntr los lmntos d arco. Dividindo mimbro a mimbro las dos primras cuacions (8) y (9) obtnmos: ds M d ds = ϕ a du Tngamos n cunta la siguint xprsión d M qu figura n l tma 7 d [1]: M b du = dond W = 1 W dϕ H sn I dϕ b ds b ϕ = = K du WM ds aw Y asimismo, la rlación d los smijs a y b dl lipsoid con la xcntricidad, y la rlación ntr las funcions W y V (tma, rfrncia [1]); s tin ntoncs: ds = 1 W ds ds 1 = V ds Para scribir sta cuación n función d la latitud rducida u, basta considrar la dfinición d la función V sgún la latitud rducida: V = 1 1 cos u Rsulta así la cuación difrncial: ds = 1 cos u ds (4) * Ecuación difrncial ntr los lmntos d longitud. La rlación ntr los difrncials d longitud s stablc dividindo mimbro a mimbro las dos sgundas cuacions (8) y (9): N cosϕ dλ ds acosu dλ = ds dλ acosu ds dλ = N cosϕ ds Considrmos aquí la siguint ligadura ntr los cosnos d los ángulos d latitud, dada por la fórmula [-] d la rfrncia [1]: 14

15 cosu 1 = cosϕ W dλ a ds dλ = NW ds Y tnindo n cunta qu N = a /W, obtnmos qu la proporción ntr los difrncials d longitud s la misma qu la xistnt ntr los difrncials d arco: dλ ds dλ = ds Con llo, al sustituir l sgundo mimbro sgún las mismas rlacions antriors, s tin: d λ = 1 W dλ dλ 1 = V dλ Y por tanto la cuación difrncial d longituds n función d u s la siguint: dλ = 1 cos u dλ (41) 5.. órmulas intgrals n distancias incrmntos d longitud. Las rspctivas intgracions d las cuacions (4) y (41) no son sncillas, admás d qu son distintas dbido a qu ha d xprsars la variabl u como función d s n l primr caso, y como función d λ n l sgundo. No obstant, l lctor intrsado las ncontrará ralizadas con dtall n [1], por lo qu nos limitarmos aquí a xponr los rsultados. * Rlación ntr distancias. Considrando como rfrncia los valors d acimut y latitud rducida n l vértic A, s introducn los parámtros m y n dfinidos y rlacionados mdiant las igualdads siguints: tgu tgn = A, snm= snâacosua (4) cos  A snmcotg  snu cosu cos  cotgn = A, cosm = A = A A snua snn cosn (4) Asimismo, con l smij mayor dl lipsoid s dfin la magnitud angular σ, tnindo lugar ntoncs la rlación siguint para un punto cualquira d la godésica: b g b g s σ =, snu= cosm sn n+ σ cos u= 1 cos m sn n+ σ (44) a Y con la sgunda xcntricidad s considran también los siguints factors: k k k k k k = cos m, K1 = 1+, K = +, K = (45) La intgral solución, dond b s l smij mnor dl lipsoid, rsulta sr: b g b g s= b K1σ + K snσcos n+ σ + Ksnσcos 4n+ σ (46) 15

16 * Rlación ntr los incrmntos d longitud. En la intgral ntr los incrmntos d longitud n l lipsoid y la sfra intrvinn, análogamnt al caso antrior, los parámtros dfinidos n (4), (4) y (44). En st caso, sindo la primra xcntricidad dl lipsoid, la intgral solución d la cuación difrncial (41) s la qu sigu: I 4 snm snmcos m λ = λ 1+ cos m σ snσ n + σ (47) 4 8 KJ cosb g Acimut godésico n l cuador. Acimuts godésicos n A y n B. A continuación s dduc una xprsión para l cálculo dl acimut con l qu corta al cuador la godésica qu pasa por los puntos A y B dl lipsoid. Dicho acimut s igual al corrspondint dl círculo máximo qu un los puntos A y B sobr la sfra d Jacobi. igura 4. Considrmos l triángulo sférico d la figura 4, dond s ha prolongado l círculo máximo A B hasta su intrscción con l cuador. Sa  l acimut n st punto y σ l valor angular dl arco A B. Por los tormas dl sno y l cosno, n st triángulo s vrifican las igualdads: snσ cos, cosσ sn sn cos cos cos λ sn λ = ub sn = ua ub  + ua ub A (48) Atndindo a la primra xprsión aplicarmos la cuación d Clairaut n l punto A, considrando qu sta cuación s común tanto para la godésica AB como para l círculo máximo A B : snσ cos cos cos cos sn sn λ sn λ = ua ub sn   = ua ub snσ Elvando al cuadrado la rlación obtnida, s tin: 16

17 sn λ cos u cos sn sn cos cos sn  A ub σ λ u u = cos  A B = sn σ sn σ Y por tanto: 1 cos sn cos u cos u ctg  = σ λ A B sn λ cos uacos ub Sustituyamos ahora l cosno d σ sgún la sgunda d las xprsions (48): b 1 snuasnub cosuacosubcos sn cos uacos ub ctg  = + λ λ sn λ cos uacos ub A partir d aquí, tras algunas opracions s obtin (vr [1]): g tg u tg tg tg cos ctg  A + ub ua ub λ = sn λ (49) Calculando l valor d  por sta fórmula, la cuación d Clairaut nos prmit obtnr d forma inmdiata los acimuts godésicos n los puntos A y B Cálculo d la convrgncia d mridianos. Aunqu l cálculo d la convrgncia d mridianos sobr l lipsoid s custión d solución sncilla una vz rsultos los problmas godésicos principals, atndindo a la consrvación d los acimuts sobr la sfra d Jacobi vamos a dducir una xprsión qu nos prmit obtnr dircta y rigurosamnt l valor d  sin ncsidad d conocr prviamnt los acimuts d la lína godésica n sus dos puntos xtrmos. Para llo, volvindo sobr l triángulo sférico d la figura 4, san las siguints notacions: u u u u u A + u = B A, m = B, Â= ÂB ÂA, λ = λ B λ A (5) En dicho triángulo las analogías d Npr prmitn scribir la igualdad: I KJ = I K J I K J  tg 9º + A ÂB u cos A ub u + sc 9º A ub λ ctg En l primr mimbro d sta cuación obsrvamos qu aparc la convrgncia d mridianos; por lo qu s tin: O bin, utilizando las notacions (5): I K J I K J  u ctg cos A ub u u sc º A + B λ = 9 ctg u cos  ctg = snu m λ ctg 17

18 Invirtindo ambos mimbros rsulta la siguint xprsión para dtrminar la convrgncia d mridianos ntr B y A ; valor igual al mdido n l lipsoid ntr B y A:  snu tg = m u cos λ tg (51) Mdiant las analogías d Npr, y d manra análoga a la sguida para alcanzar la fórmula antrior, s dmustra sta otra xprsión:  cos tg A +  B u = m u sn λ tg (5) Como conscuncia, si liminamos l incrmnto d longitud sférica ntr las dos últimas rlacions, ncontramos la dpndncia d la convrgncia d mridianos con las latituds rducidas d dos puntos y la suma d los acimuts godésicos:  u   tg tgum tg tg A + B (5) = * Torma d Dalby para pquñas distancias godésicas. En la rfrncia [1] s dmustra qu n l caso d pquñas distancias, tals como las propias d los lados d la triangulación godésica clásica, la fórmula (5) pud utilizars dirctamnt n términos d las coordnadas lipsoidals (λ, ϕ) d los puntos A y B, facilitándos con llo la obtnción inmdiata d la convrgncia d mridianos. Dicha afirmación s conscuncia dl torma d Dalby, cuya xprsión y nunciado son los siguints: ϕ λ  = λsnϕm 1+ + cos ϕ (54) m 8 1 Para un lado normal d la triangulación godésica, la convrgncia d mridianos sobr l lipsoid s la misma, hasta los términos d trcr ordn inclusiv, qu la obtnida considrando las coordnadas gográficas λ y ϕ rfridas a la sfra d Jacobi Problma dircto. Para rsolvr l problma dircto, dond los datos son las coordnadas godésicas λ y ϕ d un punto A, así como l acimut y la distancia godésica a un sgundo punto B, los pasos a sguir son los siguints: 1. Cálculo d la latitud rducida d A mdiant (5).. Cálculo d los coficints m y n por las xprsions (4) y (4), utilizando para llo l acimut conocido  AB y la latitud u A.. Obtnción dl valor d k y d los coficints K i por (45), para sguidamnt calcular σ por aproximacions sucsivas n la fórmula (46) a partir d la distancia dada s. 4. Rsolución dl triángulo sférico A B P dond s conocn los lados A P y A B así como l ángulo n l punto A. S obtin ntoncs l incrmnto d longitud sférica λ, l ángulo n l vértic B y la latitud rducida u B d st punto. I KJ 18

19 5. Cálculo dl incrmnto λ lipsoidal a partir dl corrspondint sférico por (47). 6. Obtnción d la latitud godésica d B por (5), así como d su longitud a partir d λ A λ. 7. Cálculo dl acimut invrso  BA sobr la bas dl ángulo obtnido n B, y dtrminación dl valor d convrgncia d mridianos por jmplo mdiant (51) Problma invrso. Para rsolvr l problma invrso, supustas conocidas las coordnadas godésicas d dos puntos A y B, opramos d la siguint forma: 1. Obtnción d las latituds rducidas d ambos puntos por (5).. Cálculo d los valors d  A, m, n, y σ por aproximacions sucsivas. Para llo s supon inicialmnt un valor dl incrmnto d longitud sférica λ igual al d λ sobr l lipsoid, con l qu s obtin por (49) una primra aproximación d Â. Con dicha magnitud, y mdiant la cuación d Clairaut (9), s busca l acimut godésico corrspondint n l punto A. Est valor  A nos srvirá para ncontrar la primra aproximación d m y n n las xprsions (4) y (4). Con dichos parámtros, n las fórmulas (44) (rfridas al punto B) s busca un primr valor para σ. Aplicando ntoncs la rlación (47) s calcula la sgunda aproximación d λ con la qu s rpit l procso. Continuarmos sta sri d opracions hasta consguir la convrgncia dl conjunto d valors.. Dtrminación d la distancia s d lína godésica mdiant (45) y (46), utilizando para llo las magnituds finals halladas n l punto antrior. 4. Cálculo d la convrgncia d mridianos y dl acimut rcíproco a través d (7) ó (51). 6. órmulas d Coticchia Surac. Cuando las distancias son pquñas, dl ordn d los kilómtros, la rsolución d los problmas godésicos principals pud ralizars d una forma sncilla mdiant las siguints fórmulas xtraídas d la rfrncia [1] y dbidas a los godsias italianos Coticchia y Surac Problma dircto. Datos d ntrada: coordnadas godésicas d un punto A, distancia s y acimut godésico  a otro vértic B. (55) s ÂL cos s sn  ϕb = ϕ A + O 1 1+ tg ϕ A M A NM j 6M A QP s tgϕ A sn Â+ cos Âcos ϕ Aj MA NA (56) ssn  λb = λ A + + N Acosϕ A s L  ϕ A s sn tg cos Âsn  tg ϕ A snâi + O + + N A ϕ M AM cos 6 A N A P N KJ Q 19

20 6.. Problma invrso. Las sucsivas opracions a ralizar para rsolvr st problma a partir d las coordnadas godésicas d los puntos A y B son las qu sigun: (57) 1. Cálculo d los parámtros inicials: ϕ ϕ + ϕ ϕ ϕ λ λ =, η = cos ϕ, υ = 1+ η, ε =, λ = υ. Coordnadas auxiliars: A B B A B A tg υ λ snϕ x = snεcos λ, y = sn λcos ϕ, z = cos υ ε. Transformación d coordnadas: L NM L NM 4. Cálculo d los parámtros finals: 5. Distancia y acimuts godésicos: η y η x x = x 1 + IO KJ QP 5 4υ υ cotg ϕ x + x y = y η υ η, z= z 1+ 6 cotg ϕ b IO KJ QP γ = Arctg z, y S = x + y, α = Arctg, υ x a s = Arcsn S, ÂAB = 18º + α γ, ÂBA = α + γ υb g j I KJ 7. Bibliografía. [1] Mna, J.B., 8. Godsia Suprior. Txto n dos tomos. En procso d publicación por l Instituto Gográfico Nacional. Madrid. [] Múgica, El ordnador y l análisis numérico. Boltín dl Srvicio Gográfico dl Ejército, núm.15, [] Zakatov, P.S., Curso d Godsia Suprior. Ed. Mir. Moscú.