TEMA 4:Transformaciones geométricas

Transcripción

1 TEM 4:Transformacions gométricas BJETIVS: Contactar con la gomtría proyctiva como ampliación d la conocida g. ucldiana. Ralizar transformacions n l plano, tals como la homología y sus casos particulars, afinidads invrsións. mpliar dichas transformacions a otros tipos d problmas. Conocr las rlacions d las transformacions con la gomtría dscriptiva qu s studiará más adlant. Transformacions gométricas Una transformación gométrica s una corrspondncia (o aplicación) ntr lmntos d dos formas gométricas. El concpto d transformación n gomtría s quivalnt al concpto d función n álgbra. Transformacions proyctivas. Es una transformación tal qu cuatro puntos n lína rcta s transforman n cuatro puntos n lína rcta, sindo la razón dobl d los cuatro primros igual a la razón dobl d los cuatro sgundos. Existn también transformacions ntr hacs d rctas, hacs d planos, tc. En gomtría s dic qu dos formas son proyctivas si una pud obtnrs d la otra mdiant proyccions y sccions. Homografía. S dnomina así a la corrspondncia ntr dos formas gométricas tal qu a un lmnto d una forma l corrspond un lmnto d la misma spci d la otra forma (a un punto l corrspond un punto, a una rcta l corrspond una rcta, tc.), sgún una dtrminada ly. Corrlación. Es la corrspondncia ntr lmntos d distinta spci (a un punto l corrspond una rcta, a una rcta l corrspond un plano, tc.). Son transformacions homográficas: la homología, la afinidad, la homotcia, la traslación, la simtría y l giro. RZÓN SIMPLE: San Y B los puntos fijados sobr una rcta, dibujar un punto P para qu la razón simpl h d PB sa igual a m/n. Para construir l punto P cuya razón h s conocida, s trazan por y B dos rctas parallas cualsquira, tomando sobr llas dos sgmntos qu stán n la rlación m/n, al mismo o a distinto lado, sgún qu l valor d h sa positivo o ngativo. El sgmnto qu un los xtrmos obtnidos dtrmina sobr la rcta l punto buscado (P1 para + y P2 para -) PRFESR: Rafal Quintro Vicnt PRTE 1/2 PÁGIN 1

2 CNSTRUCCIÓN GEMÉTRIC DE UN CUTERN RMÓNIC Dados trs puntos N, y B, sobr una rcta r, hallar l punto M conjugado armónico dl N rspcto a los puntos y B s trazan por y B dos línas parallas cualsquira y por M una rcta scant arbitraria qu dtrmina sobr las parallas los sgmntos f y r, cuya razón s prcisamnt, la razón (MB). Trács sobr la prolongación d la paralla trazada por un sgmnto igual a f y su unión con l xtrmo d r dtrmina l cuarto armónico N. HMLGÍ Homología plana s una transformación homográfica qu cumpl las siguints lys (fig. 3): - Dos puntos homólogos stán alinados con un punto fijo llamado cntro d homología. - Dos rctas homólogas s cortan simpr n una rcta fija llamada j d homología. El j, por tanto, s l lugar gométrico d los puntos qu son homólogos d sí mismos (puntos dobls). Coficint d homología Es la razón dobl qu forman dos puntos homólogos y ', l cntro y l punto P d intrscción d la rcta ' con l j. /' k = (P ) = (P') = P/lP' Si -1 a la homología s l dnomina involución. PRFESR: Rafal Quintro Vicnt PRTE 1/2 PÁGIN 2

3 Hallar l homólogo B' d B, conocindo l cntro, l j y un par d puntos homólogos y '. 1 S unn los puntos y B mdiant la rcta r qu corta al j n l punto C-C'. 2 El punto C-C' s un con l punto ' mdiant la rcta r', homóloga d la rcta r. 3 S un l cntro con l punto a hasta cortar a la rcta r' n l punto B' solución. B RECTS LíMITE Es l lugar gométrico d los puntos cuyos homólogos stán n l infinito. Son dos: I I, parallas al j. Dadas dos rctas homólogas r y r', l cntro y l j, hallar las rctas límits: 1 Por l cntro d homología s traza la paralla a la rcta r' hasta cortar a la otra rcta (n l punto K. 2 Por K s traza la rcta límit I paralla al j. 3 Por l cntro d homología s traza la paralla a la rcta r hasta cortar a la otra rcta r' n l punto J'. 4 Por J' s traza la rcta límit l' paralla al j. r i r Propidads Todas las rctas qu s cortan n un mismo punto P d la rcta límit) tinn sus homólogas. parallas a P. La distancia d una d las rctas límit al cntro d homología s la misma qu hay dsd la otra rcta límit al j d homología. PRFESR: Rafal Quintro Vicnt PRTE 1/2 PÁGIN 3

4 Las rctas límit stán simpr ntr l cntro y l j, o bin fura d llos. i i i i CNSTRUCCiÓN DE FIGURS HMÓLGS Una homología quda dtrminada conocindo los siguints datos: a) El j, l cntro y un par d puntos homólogos. b) El cntro y dos pars d rctas homólogas. c) Un punto dobl y dos pars d puntos homólogos. d) El cntro, l j y una rcta límit. ) El cntro, una rcta límit y dos puntos homólogos. f) El cntro, l j y l coficint d homología. g) El cntro y las dos rctas límit. h) Dos figuras homólogas. Hallar l homólogo ' d un punto conocindo l cntro d homología, l j y la rcta límit l. 1 S traza una rcta r cualquira qu pas por ; dicha rcta corta al j n P ya la rcta límit n K. 2 S un l cntro con K y por l punto P s traza la paralla r' (homóloga d r) a K. 3 Dond la rcta corta a r' s obtin l punto '. B C D E I Construir la figura homóloga dl polígono BCDE conocindo l cntro, l j y un punto '. 1 plicando l procdiminto gnral, s un l punto con cualquir otro, l B por jmplo, hasta cortar al j n l punto M. 2 El punto M s un con ' mdiant una rcta qu PRFESR: Rafal Quintro Vicnt PRTE 1/2 PÁGIN 4

5 corta al rayo B n l punto B'. 3 S un l punto C con l punto B, o con cualquir otro dl qu ya s conozca su homólogo, y s sigun las mismas opracions antriors hasta dtrminar los homólogos d todos los vértics. Hallar l homólogo B' d un punto B, conocindo l cntro, l j y un par d puntos homólogos y ' alinados con B. 1 S lig un punto C, arbitrario, y s un con mdiant la rcta r qu corta al j n R. 2 S un R con ' mdiant la rcta r' (homóloga d r). 3 S traza la rcta qu un l cntro con l punto C hasta cortar a r' n G'. 4 S un C con B hasta cortar al j n S. 5 S traza la rcta s' (homóloga d s) unindo S y C'. 6 Dond la rcta s' corta a la rcta B s obtin l punto B' buscado. B CNICS HMLGICS DE UN CIRCUNFERENCI La figura homológica d una circunfrncia s una cónica qu dpnd d la posición rlativa d la circunfrncia y su rcta límit: La rcta límit s xtrior: la figura s una lips. La rcta límit s tangnt: la figura s una parábola. La rcta límit s scant: la figura s una hipérbola. Propidads - La tangnt común a una cónica y a su homóloga pasa por l vértic d homología. - Si dos cónicas homológicas s cortan, la rcta qu un los puntos d intrscción s l j d homología y si son tangnts, la tangnt común s l j. - El cntro d una cónica s transforma n l polo d la rcta límit rspcto d la figura homológica. ELIPSE HMLÓGIC DE L CIRCUNFERENCI Sa la circunfrncia d cntro, un j, la rcta límit I y l vértic V : PRFESR: Rafal Quintro Vicnt PRTE 1/2 PÁGIN 5

6 Dtrminación dl polo 1 S lig un punto arbitrario M d la rcta límit I y s trazan las tangnts a la circunfrncia, cuyos puntos d tangncia son C y D. 2 S unn los puntos C y D hasta cortar a la rcta límit n N y dsd st punto s trazan dos tangnts cuyos puntos d tangncia son y B. 3 S unn los puntos y B. La intrscción P d lasrctas B y CD s l polo P. I PRFESR: Rafal Quintro Vicnt PRTE 1/2 PÁGIN 6

7 Diámtros conjugados d la lips 4 Son los sgmntos homólogos d B y CD: por l punto d intrscción d la rcta B con l j, s traza la paralla a VM y por l punto d intrscción d CD con l j s traza la paralla a VN. El homólogo P' dl polo P s l cntro d la lips homóloga. Trazado d la lips 5 Por l polo P s traza una rcta r cualquira qu corta a la circunfrncia n los puntos G y H. Hallando la homóloga r' y los homólogos G' y H', s dtrminan puntos d la lips. 6 Los puntos E-E' y F-F' d intrscción d ambas cónicas con l j son puntos dobls. Transformación homológica d un cuadrilátro cualquira n un cuadrado. Sa cuadrilátro BCD. Hmos d dtrminar la posición dl cntro d homología y d la rcta límit dl polígono dado. situados d modo qu n la transformación nos rsult un cuadrado. Rcordmos q los lados opustos un cuadrado son parallos, lugo s cortan n un punto impropio.;. d aquí qu los lados opusto dl polígono dado han d" cortars n la rcta límit.. Para obtnr la rcta límit basta, por tanto, obtnr las intrsccions d D con B C y d B con DC, las cuals dtrminan los puntos a y d, qu dfinn a RL EL cntro d homología ha d sr un punto dsd l cual s van los lados y las diagonals formando rspctivamnt ángulos rctos, pusto qu n l cuadrado así s vrifica, lugo tomando como diámtro l sgmnto ad tracmos una smicircunfrncia, lugar gométrico dl ángulo d 90º, y con los puntos b y c, dond s cortada R L por las diagonals, procdamos d igual modo, tomando l sgmnto BC como diámtro también. EI punto, común a ambas, s l punto buscado, cntro d la homología. Los sgmntos a y d nos marcan las dirccions d los lados dl cuadrado y los sgmntos C y b d las diagonals. Tracmos n cualquir posición parallamnt a R L l j d homología y obtngamos los vértics ', B', C' y D', homólogos d, B, C y D sgún los procdimintos conocidos. La posición dl j intrvin solamnt n la magnitud dl cuadrado obtnido, mayor cuanto más aljado s tom dl cntro d homología PRFESR: Rafal Quintro Vicnt PRTE 1/2 PÁGIN 7

8 FINIDD La afinidad s una homología d cntro impropio, s dcir, qu stá n l infinito. Por tanto, la afinidad s una transformación homográfica qu cumpl las siguints lys. La rcta qu un dos puntos afins s paralla a una dircción d d afinidad. Dos rctas afins s cortan n un punto dl j d afinidad. En afinidad no xistn rctas límit. Coficint d afinidad Si l coficint d afinidad s positivo, los dos puntos y ' stán al mismo lado dl j, y si s ngativo stán a distinto lado. Hallar l afín B' d un punto B, conocindo la dircción d afinidad d, l j y un par d puntos afins y ': 1 S unn los puntos y B mdiant la rcta r qu corta al j n l punto C-C'. 2 El punto C-C s un con l punto ' mdiant la rcta r', afín d la rcta r. 3 Por l punto B s traza una rcta paralla a la dircción d d afinidad hasta cortar a la rcta r' n l 'punto B' solución. CNSTRUCCiÓN DE FIGURS FINES Una afinidad quda dtrminada conocindo los siguints datos: a) El j y dos puntos afins. b) La dircción d afinidad y l coficint. c) Dos figuras afins. EJERCICI: Hallar l afín B' d un punto B, conocindo la dircción d afinidad d, l j y un par d puntos afins y : PRFESR: Rafal Quintro Vicnt PRTE 1/2 PÁGIN 8

9 Construir la figura afín dl polígono BCDE conocindo la dircción d d afinidad, l j y un punto afín '. 1 plicando l procdiminto gnral, s un l punto con cualquir otro, l B por jmplo, hasta cortar al j n l punto M. 2 El punto M s un con ' mdiant una rcta qu corta al rayo parallo a la dircción d afinidad trazado por B, n l punto B. 3 S un l punto C con l punto B, o con cualquir otro dl qu ya s conozca su afín, y s sigun las mismas opracions antriors hasta dtrminar los afins d todos los vértics. Hallar l afín B' d un punto B, conocindo la dircción d afinidad d, l j y un par d puntos afins y ' alinados con B. 1 S lig un punto C, arbitrario, y s un con mdiant la rcta r qu corta al j n R. 2 S un R con ' mdiant la rcta r' (afín d r) 3 Por l punto C s traza la paralla a la dircción d afinidad hasta cortar a r' n C. 4 S un C con B hasta cortar al j n S. 5 S traza la rcta s' (afín d s) unindo S y C. 6 El cort d s' y ' s l punto B' buscado. ELIPSE FíN DE UN CIRCUNFERENCI Caso gnral Dada la circunfrncia d cntro, l j y l punto ' afín d Ejs d la lips 1 S traza la mdiatriz dl sgmnto 00' hasta cortar al j n l punto E y con cntro n E y radio E = E' s traza la circunfrncia qu corta al j n los puntos F-F' y G-G'. 2 Las rctas a y b qu unn stos puntos con tinn sus homólogas n las rctas a' y b' qu unn F-F' y G-G' con '. 3 Por los puntos, B, C y D d intrscción d las rctas a y b con la circunfrncia s trazan parallas a la dircción d afinidad 00', obtnindo así los js 'B' y C'D'. Trazado d la lips (...) d B PRFESR: Rafal Quintro Vicnt PRTE 1/2 PÁGIN 9

10 Si la circunfrncia s cortara con l j, los dos puntos d intrscción srían puntos dobls. Circunfrncia y lips d diámtro común Dada la circunfrncia d diámtro B-'B' y un par d puntos afins C-C : 1 Ej d afinidad. Es l diámtro común B-'B' d ambas cónicas. 2 Dircción d afinidad. Es la rcta C-C. 3 Trazado d la lips. Por l punto C s traza la prpndicular al j hasta cortarlo n l punto M. Por cualquir otro punto N dl j s traza la prpndicular hasta cortar a la circunfrncia n l punto E. Por N s dibuja la paralla a MC y por E la paralla a CC'; ambas parallas s cortan n l punto E' d la lips y así sucsivamnt. - C C B-B PRFESR: Rafal Quintro Vicnt PRTE 1/2 PÁGIN 10

11 SIMETRÍ CENTRL: Hallar 'B'C'D': SIMETRÍ XIL: Hallar 'B'C'D': TRSLCIÓN: Trazar l triángulo BC situando un vértic n cada una d las rctas dadas: 1. Dsd un punto cualquira s traza un arco d radio B qu corta a s n l punto B 2. Hallar C n la intrscción d dos arcos. Uno d cntro y radio C y l otro d cntro B y radio BC 3. Trasladar l triángulo BC n dircción r-s hasta qu C coincida n la rcta t GIR: Girar la rcta r un ángulo f rspcto a 1. Trazar una prpndicular a r por l punto obtnindo como intrscción 2. Con cntro giramos l punto un ángulo f hasta 3. S traza por la rcta girada r qu s prpndicular a. Comprobamos con B PRFESR: Rafal Quintro Vicnt PRTE 1/2 PÁGIN 11

12 INVERSiÓN La invrsión s una transformación qu cumpl: - Dos puntos invrsos stán alinados con otro fijo llamado cntro d invrsión. - El producto d distancias dl cntro d invrsión a dos puntos invrsos s constant. Potncia d invrsión Sa un punto, una circunfrncia d cntro C y una rcta r qu pasa por l punto y corta a la circunfrncia n dos puntos y ' ; tal como s vio n l tma antrior, s llama potncia p d un punto rspcto d la circunfrncia d cntro al producto: p = x ' Todos los pars d puntos qu s obtinn al trazar dsd un punto rctas scants a una circunfrncia son invrsos rspcto al punto (cntro d invrsión). Si la potncia s positiva, los pars d puntos invrsos s ncuntran a un mismo lado dl cntro d invrsión, s dcir, l cntro s xtrior a la circunfrncia; n cambio, si la potncia s ngativa los pars d puntos s ncontrarán a distinto lado y l cntro s intrior a la circunfrncia. Propidads d una invrsión a) Dos pars d puntos invrsos, ', By B' dtrminan una circunfrncia. b) Dos rctas invrsas qu unn ntr sí dos puntos B y sus invrsos 'B' son antiparallas d las rctas qu unn los pars d ' puntos invrsos ' y B' (cuatro rctas son antiparallas cuando n l cuadrilátro qu forman al cortars, cada ángulo intrior s igual al ángulo xtrior dl vértic opusto, s dcir, cada ángulo s complmntario dl opusto). Hallar l invrso B' d un punto B (conocindo l cntro d invrsión y un par d puntos invrsos y ' no alinados con B: 1 S dibuja la circunfrncia qu pas por los puntos, ' Y B; para llo, s trazan las mdiatrics d los sgmntos ' y B qu, al cortars, dtrminan l cntro d la circunfrncia. 2 El punto B' dond s cortan la circunfrncia y la rcta B srá l invrso dl punto B. También podría habrs hallado trazando la rcta 'B' antiparalla d la rcta B rspcto d las rctas y B. B Hallar l invrso B' d un punto B, conocindo l cntro d invrsión y un par d puntos invrsos y ' alinados con B: 1 S lig un punto cualquira, no alinado con y ', Y s halla l invrso C' trazando la circunfrncia qu pasa por, ' y C. 2 S halla l invrso B' trazando la circunfrncia qu pasa por B, C y C. PRFESR: Rafal Quintro Vicnt PRTE 1/2 PÁGIN 12

13 Figuras Invrsas Una invrsión quda dtrminada por: a) El cntro y un par d puntos invrsos. b) El cntro y la potncia. c) Dos figuras invrsas. CIRCUNFERENCI QUE PS PR EL CENTR DE INVERSiÓN La figura invrsa d una rcta r, qu no pasa por l cntro d invrsión, s una circunfrncia qu pasa por dicho cntro, Y rcíprocamnt, la figura invrsa d una circunfrncia, d cntro C, qu pasa por l cntro d invrsión s una rcta r prpndicular al diámtro qu pasa por y C. Dado l cntro d invrsión y un par d puntos invrsos y ', hallar la figura invrsa d una rcta r qu no pasa por l cntro d invrsión : 1 S lig un punto B' cualquira d la rcta r y s halla su invrso B mdiant la circunfrncia d cntro 01 qu pasa por los puntos, ' y B'. 2 Por l cntro d invrsión s traza la prpndicular a r; como la circunfrncia db pasar por, basta con trazar la mdiatriz d B hasta cortar a la prpndicular antrior n 2, cntro d la circunfrncia buscada. r Dado l cntro d invrsión y un par d puntos invrsos y ', hallar la figura invrsa d una circunfrncia d cntro 01 qu pasa por l cntro d invrsión: 1 S lig un punto B cualquira d la circunfrncia y s halla su invrso B' mdiant la circunfrncia d cntro 2 qu pasa por los puntos, ' Y B. 2 Por l cntro d invrsión s traza la rcta qu un y 01, Y por B' (invrso d B) la rcta r prpndicular a la rcta 1. PRFESR: Rafal Quintro Vicnt PRTE 1/2 PÁGIN 13

14 1 PRFESR: Rafal Quintro Vicnt PRTE 1/2 PÁGIN 14