Fernando Cervantes Leyva

Transcripción

1 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO DE TECNOLOGÍA DIGITAL Mastría n Cincias con Espcialidad n Sistmas Digitals Adaptación d malla n l análisis d disprsión n guías d onda mplando l método d lmnto finito (FEM) TESIS QUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS PRESENTA: Frnando Crvants Lva BAJO LA DIRECCIÓN DE: Dr. Migul A. Álvar Cabanillas OCTUBRE DE 006 TIJUANA, B. C., MÉXICO

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3 iii A mi madr Marisla Lva Camacho; la prsona con la vida más intrsant qu h conocido. A mi padr Migul Crvants Ojda a mis hrmanos Féli, Migul, Eliabth Constantino.

4 iv Agradcimintos Agradco a mis ancstros por prmitirm iniciar n l punto n l qu lo hic. A mi madr por su gran jmplo consjos visionarios. A mis padrs hrmanos por sr mi motivación, crr n mí darm su amor incondicional. A YEL por su apoo. A Emigdio Castro Lva Migul Ángl Romro Lva. Al Dr. Migul A. Álvar Cabanillas por sus consjos prmitirm raliar st trabajo d tsis. Agradco d forma spcial al M.C. Juan J. Tapia Armnta por fungir como codirctor d st trabajo crr n l procto dsd l primr día. A los mimbros d la comisión rvisora: M.C. Ernsto E. Quiro Morons, Dr. Luís Tupak Aguilar Bustos M.C. José Abl Hrnánd Ruda. A los distintos autors citados n st trabajo. Al cntro d invstigación dsarrollo d tcnología digital (CITEDI-IPN). A mis compañros d gnración dl CITEDI: Alfrdo Solís, Noé Villcas, Bonifacio García, Rodrigo Mdina, Brnic Ramír, Luís Vargas Roglio Rodrígu. Finalmnt, agradco al Instituto Politécnico Nacional por l apoo conómico proporcionado durant la raliación d st trabajo.

5 v Tabla d contnido Agradcimintos... iv Lista d figuras... viii Lista d tablas... ii Lista d símbolos... iii Rsumn... v Abstract... vi Introducción... vii Objtivo... I. Fundamntos d toría lctromagnética... I.. Ecuacions d Mawll... I.. Rlacions constitutivas... 3 I.3. Campos státicos... 5 I.3.. Ecuacions d Poisson Laplac... 6 I.4. Campos armónicos n l timpo... 7 I.5. Ecuación d onda d Hlmholt... 8 I.6. Condicions d frontra... 9 I.6.. Intrfas ntr dos mdios con conductividad finita... 9 I.6.. Conductor léctrico prfcto...0 I.7. Guía d onda rctangular mtálica... I.7.. Guía d onda d planos parallos... I.7.. Solución analítica d la cuación d Hlmholt...3 I.7.3. Modo transvrsal léctrico...5 I.7.4. Modo fundamntal...4

6 vi I.7.5. Gráficas d solución analítica para l modo TE I.7.6. Modo transvrsal magnético...6 I.7.7. Gráficas d solución analítica para l modo TM II. Método d lmnto finito n dos dimnsions... 3 II.. Solución numérica d la cuación d Hlmholt...34 II.. Discrtiación dl dominio...37 II.3. Slcción d las funcions d intrpolación...38 II.4. Formulación dl sistma d cuacions...4 II.4.. Dducción d las matrics locals d lmnto finito...4 II.4.. Dducción d las matrics d la frontra virtual...45 II.4.3. Ensamblado dl sistma d cuacions...48 II.5. Aplicación d las condicions d frontra...55 II.5.. Condición d frontra Dirichlt-PEC...56 II.5.. Condición d frontra Numann-PEC...57 II.6. Diagrama d flujo d FEM...60 II.7. Rsolución d la malla...60 II.8. Dtrminación d la rsolución d la malla...64 III. Rsultados numéricos mplando l método d lmnto finito III.. Amplitud d la onda...67 III.. Cálculo numérico d las caractrísticas d disprsión...68 III... Guía d onda n forma d L...69 III... Guía d onda n forma d T...75 III...A. Purto d ntrada: purto...76 III...B. Purto d ntrada: purto IV. Adaptación d malla... 8 IV.. Lao d rtroalimntación d adaptación d malla...85 IV.. Fundamntos d la técnica d quidistribución...86 IV... Formulación dl sistma d cuacions...88

7 vii IV... Solución dl sistma d cuacions...90 IV..3. Plantaminto n una dimnsión...9 IV.3. Equidistribución n dos dimnsions...96 IV.3.. Sistma d cuacions n dos dimnsions...98 IV.3.. Suaviado d la malla...04 IV.3.3. Implmntación d quidistribución n dos dimnsions...06 IV.4. Rsultados numéricos...07 V. Conclusions trabajo futuro... V.. Conclusions... V.. Trabajo futuro...4 Rfrncias...5 A. Ecuacions d Mawll n forma intgral...9 B. Dducción d la formulación débil...0 C. Distribución dl campo... C.. Guía d onda convncional... C.. Guía d onda n forma d L... C.3. Guía d onda n forma d T...

8 viii Lista d figuras Figura.. Intrfas ntr dos mdios...0 Figura.. Guía d onda rctangular ( a : ancho, b : gruso).... Figura.3. Guía d onda d planos parallos... Figura.4. Vista latral d una guía d onda d planos parallos....3 Figura.5. Guía d onda d planos parallos con componnts dl campo para l modo TE0 n...9 Figura.6. Aparición d modos TE n una guía d onda d planos parallos con b = 4 cm...4 Figura.7. Part ral d la componnt E (prsión (.77)) para l modo TE Figura.8. Part ral d la componnt H (prsión (.78)) para l modo TE Figura.9. Part ral d la componnt H (prsión (.79)) para l modo TE Figura.0. Guía d Onda d Planos Parallos con componnts dl campo para l modo TM0 n...7 Figura.. Part ral d la componnt E (n (.07)) para l modo TM Figura.. Part ral d la componnt Figura.3. Part ral d la componnt E (n (.07)) para l modo TM H (n (.08)) para l modo TM Figura.. Guía d onda d planos parallos d dos purtos con frontras virtuals Γ Γ...34 Figura.. Dominio bidimnsional con intrfas Γ d Figura.3. (a) Dominio bidimnsional discrtiado n 8 lmntos triangulars ((), ()-(8)), con 9 nodos (,-9) (b) Comparación ntr numración local global...37 Figura.4. Elmnto triangular: (a) linal, (b) cuadrático (c) cúbico [] Figura.5. Elmnto triangular linal con numración local...40

9 i Figura.6. Funcions forma para un lmnto triangular linal: (a) N, (b) N, (c) N (d) vista suprior dl lmnto Figura.7. Guía d onda d planos parallos discrtiada n lmntos triangulars: (a) Elmnto con 3 Γ, (b) Frontra virtual Γ, (c) Frontra virtual Γ (d) Elmnto con Γ...45 Figura.8. Dominio bidimnsional discrtiado n cuatro lmntos triangulars {( ),( ),( 3 ),( 4 )}, con cinco nodos {,,..., 5 }...48 Figura.9. Elmntos con vctors unitarios normals a las rgions d intgración: (a) lmnto 4, (b) lmnto (c) lmntos Figura.0. Diagrama d flujo d FEM...59 Figura.. Rsolución d malla n rs = 4 para dos difrnts longituds d onda: (a) λ, h =Ω /( 4 lmntos) (b) λ, h =Ω /( lmntos)....6 Figura.. Guía d onda rctangular discrtiada n lmntos triangulars linals....6 Figura.3. Distribución d E para una f op dntro d la banda dl modo TE Figura.4. Error ntr las parts rals d la solución analítica solución numérica para E con difrnts rsolucions: (a) norma L (b) norma L promdiada sobr l númro d nodos totals...64 Figura 3.. Comportaminto d la amplitud d la part ral d E n una guía d onda d planos parallos mplando FEM con n rsg 40, 50, Figura 3.. Guía d onda homogéna n forma d L con pards PEC: (a) Rprsntación gométrica (b) Ejmplo d discrtiación n lmntos triangulars Figura 3.3. Comportaminto dl SWR n una guía d onda n forma d L para l plano-h para l = 0, l b/3.333 l b/.5 n comparación con la Rf. [3]...7 Figura 3.4. Coficints d transmisión rflión n una guía d onda n forma d L para l plano-h...7

10 Figura 3.5. Guía d onda n forma d L con puntos d rfrncia...73 Figura 3.6. Guía d onda homogéna n forma d T con pards PEC: (a) Rprsntación gométrica (b) Ejmplo d discrtiación n lmntos triangulars Figura 3.7. Comportaminto dl SWR n una guía d onda n forma d T para l plano-h: para l = 0, l b/5 l b/.54 n comparación con la Rf. [3] Figura 3.8. Comportaminto d los coficints d transmisión rflión n una guía d onda n forma d T para l plano-h...78 Figura 3.9. Comportaminto d τ p/ p3, τ / 3 ζ p3 n una guía d onda n forma d p p T para l plano-h, para purto d ntrada: purto 3, n comparación con la Rf. [35] Figura 3.0. Comportaminto d τ p/ p3, τ / 3 ζ p3 n una guía d onda n forma d p p T para l plano-h, para purto d ntrada: purto 3, n comparación con la Rf. [34]....8 Figura 4.. Diagrama d flujo dl método d lmnto finito con adaptación d malla [4] Figura 4.. Lao d rtroalimntación d adaptación d malla Figura 4.3. Diagrama d flujo d la técnica d quidistribución...9 Figura 4.4. Diagrama a bloqus gnral dl procso itrativo d la técnica d quidistribución...94 Figura 4.5. Diagrama d flujo d la solución d un problma a través d FEM mplando adaptación d malla Figura 4.6. Dominio bidimnsional físico Ωf R Figura 4.7. Nodos nlacs intrnodals...99 Figura 4.8. Gomtría d dominio Ω n forma d L...08 Figura 4.9. Nodos FEM (malla FEM d ( NX 5) ( NY 5) = = ) malla d solución intrpolada ( puntos) d la rgión III dl dominio n la Fig Figura 4.0. Error para l caso ( NX = 0) ( NY = 0) : (a) L (b) L / puntos d intrp..09 Figura 4.. Error para l caso ( NX = 0) ( NY = 0) : (a) L (b) L / puntos d intrp..09

11 i Figura 4.. Información caso ( NX = 0) ( NY = 0)....0 Figura C.. Distribución d la part ral d E n una guía d onda convncional con b = 4 cm...3 Figura C.. Distribución d la part ral d E n una guía d onda n forma d L con l = Figura C.3. Distribución d la part ral d E n una guía d onda n forma d L con l = b/5...5 Figura C.4. Distribución d la part ral d E n una guía d onda n forma d L con l = b/4...6 Figura C.5. Distribución d la part ral d E n una guía d onda n forma d L con l = b/3...7 Figura C.6. Distribución d la part ral d E n una guía d onda n forma d L con l = b/...8 Figura C.7. Distribución d la part ral d con l E n una guía d onda n forma d L = b....9 Figura C.8. Distribución d la part ral d E n una guía d onda n forma d T con l = Figura C.9. Distribución d la part ral d E n una guía d onda n forma d T con l = b/5...3 Figura C.0. Distribución d la part ral d E n una guía d onda n forma d T con l = b/4...3 Figura C.. Distribución d la part ral d E n una guía d onda n forma d T con l = b/ Figura C.. Distribución d la part ral d E n una guía d onda n forma d T con l = b/...34 Figura C.3. Distribución d la part ral d E n una guía d onda n forma d T con purto d ntrada n purto

12 ii Lista d tablas Tabla.. Rlación ntr nodos globals nodos locals n l dominio mostrado n la Fig Tabla.. Información d ntrada dl cálculo numérico d E (con b = 4 cm ) a través d FEM para difrnts frcuncias d opración con n rsg Tabla 3.. Datos d ntrada dl cálculo numérico d E (con b = 4 cm ) a través d FEM para difrnts frcuncias d opración Tabla 3.. Frcuncias d cort n los puntos d rfrncia d la guía d onda n forma d L d la Fig. 3.5 con b = 4 cm...74

13 iii Lista d símbolos A Ára dl lmnto. B Dnsidad d flujo magnético. c Vlocidad d la lu n un mdio dtrminado. c 0 D Vlocidad d la lu n l vacío. Dnsidad d flujo léctrico. Elmnto dtrminado. E 0 Amplitud d E. E f c Intnsidad dl campo léctrico. Frcuncia d cort. f op Frcuncia d opración. h H J k k c Longitud d un lmnto n una dimnsión. Intnsidad dl campo magnético. Dnsidad d corrint. Númro d onda o constant d propagación. Númro d onda d cort. l Parámtro d modificación d las guías d onda n forma d L T. n p,p,p3 t U Vctor unitario normal a un punto d rfrncia dtrminado. Purtos, 3, rspctivamnt. Timpo. Solución. U Solución numérica n l lmnto. α γ Parámtro d continuación. Parámtro suaviador. Γ Frontra dl lmnto. δ Variabl d corrcción dl método Nwton-Raphson.

14 iv ε ε 0 ε r λ c λ g λ op Prmitividad d un mdio dtrminado. Prmitividad dl vacío. Prmitividad rlativa d un mdio dtrminado. Longitud d onda d cort. Longitud d onda n la guía. Longitud d onda d opración. µ Prmabilidad d un mdio dtrminado. µ 0 Prmabilidad dl vacío. µ r Prmabilidad rlativa d un mdio dtrminado. ρ σ Φ ψ ω Ω Dnsidad d carga. Conductividad d un mdio dtrminado. Potncial scalar. Parámtro d rlajación. Frcuncia angular. Rgión d solución.

15 v Rsumn En st trabajo s obtinn numéricamnt, a través dl método d lmnto finito d Galrkin, las caractrísticas d disprsión, para frcuncias dntro dl modo fundamntal, d guías d onda d planos parallos n forma d L n forma d T n l plano-h, n función d la modificación d la structura d dichas guías n las rgions d discontinuidad. La cuación d Hlmholt tin solución analítica, ntr otros casos, para guías d onda homogénas con pards PEC; sin mbargo, n guías d onda con discontinuidads, dicha solución s inistnt o su obtnción s impráctica. El método d lmnto finito s adcuado para la solución d la cuación d Hlmholt n guías d onda con discontinuidads. Con l propósito d studiar las caractrísticas d disprsión d tals dispositivos, s modifica la structura d las guías d onda n las rgions d discontinuidad. Los rsultados obtnidos n st trabajo mustran considrabl similitud n comparación con información publicada por otros autors (calculada con técnicas distintas). Finalmnt, s prsnta la formulación d un método d adaptación d malla tipo-r qu mpla l principio d quidistribución, l cual s implmnta al rsolvr la cuación d Laplac n un dominio n forma d L.

16 vi Abstract Th scattring charactristics, for svral frquncis in th fundamntal mod, of H- plan L-shapd and T-junction paralll-plat wavguids, ar obtaind using Galrkin s finit lmnt mthod as a function of th modification of th wavguid s structur in th discontinuit rgions. Th Hlmholt quation can b solvd analticall, among othr cass, in a homognous PEC wavguid; howvr, in wavguids with discontinuitis, such solution can b inistnt or impractical to obtain. Th finit lmnt mthod is suitd for th solution of th Hlmholt quation in wavguids with discontinuitis. With th purpos of studing th scattring charactristics of such dvics, th structur of th wavguid in th discontinuit rgions is modifid. Th obtaind rsults ar considrabl similar to th information publishd b othr authors (calculatd with diffrnt tchniqus). Finall, an r-tp msh adaptation mthod that mplos th quidistribution principl is formulatd and implmntd b solving th Laplac quation in an L-shapd domain.

17 vii Introducción Las guías d onda son dispositivos qu s mplan para la transmisión d información n la banda d frcuncias conocida como microondas. Dbido a qu n st rango d frcuncias no son válidas ni la aplicación d la toría d circuitos (válida para RF) ni la toría d raos (válida para frcuncias ópticas), n los casos dond s rquira studiar stos dispositivos s ncsita mplar la toría dl campo, sto s, la solución d las cuacions d Mawll []. Para l studio d microondas s utilian difrnts métodos numéricos, sindo trs d los principals l método d difrncias finitas n l dominio dl timpo (FDTD) (vr [3], ntr otros), l método d lmnto finito (FEM) (vr [5], [7], [3], ntr otros) l método d momntos (MoM) (vr [4], ntr otros). En una guía d onda, una discontinuidad s conoc como cualquir caractrística qu posa dicha structura la cual altr la libr propagación d la onda a través d la guía. Las guías d onda n forma d L n forma d T s pudn vr como structuras constituidas por la unión d guías d onda convncionals. En st tipo d dispositivos, las rgions d discontinuidad son aqullas n dond s unn dichas guías convncionals. Las guías d onda rctangulars n forma d T (o unión-t) son un componnt pasivo básico n los sistmas d microondas. Éstos s utilian n acopladors dirccionals, divisors/mcladors d potncia, filtros multiplors para radars sistmas d comunicación [35], [36]. A través d los últimos años s han raliado difrnts studios d las caractrísticas d disprsión d discontinuidads n guías d onda homogénas (por jmplo [3], [34]-[36], ntr otros). El método d lmnto finito s n la actualidad uno d los métodos numéricos más usados n la solución d problmas d lctromagntismo. D una manra rsumida, FEM consist n subdividir la rgión d solución d un problma dtrminado n un númro finito d subrgions más pquñas conocidas como lmntos. En lugar d obtnr una solución complta para todo l problma, la

18 viii solución aproimada s compon dl nsamblado d las solucions obtnidas dntro d cada lmnto. Los puntos qu dfinn a un lmnto s conocn como nodos, mintras qu l nsambl d stos nodos s conoc como malla. El método d lmnto finito s adcuado para la solución d problmas con gomtrías compljas, tals como las guías d onda n forma d L n forma d T. El studio d las caractrísticas d disprsión (comportaminto d los coficints d transmisión rflión) n st tipo d guías d onda, n función d la variación d su structura n la rgión d discontinuidad, s uno d los casos n dond s aprovcha las vntajas dl mplo d FEM con lmntos triangulars. El objtivo principal d los métodos d adaptación d malla s l d mjorar l dsmpño d los métodos numéricos. Su funcionaminto, n términos gnrals, consist n solucionar un problma con una malla prdtrminada, stimar l rror d aproimación mplar sta información para gnrar mallas qu prmitan obtnr rsultados más prcisos. Est trabajo s compon d cinco capítulos trs apéndics. En l capítulo I s prsnta los concptos básicos d la toría lctromagnética, ncsarios n la solución dl problma d la propagación dl campo lctromagnético dntro d guías d onda d planos parallos homogénas. En l capítulo II s prsnta la formulación dl método d lmnto finito n dos dimnsions, s rsulv numéricamnt la cuación homogéna d Hlmholt n l plano-h s ralia un análisis d la rsolución d la malla n función d la longitud d onda n la guía d onda. Un studio d la amplitud d la onda incidnt, n función d la rsolución d la malla la frcuncia d opración, s prsnta al inicio dl capítulo III. Postriormnt, n st mismo capítulo, s mustran las caractrísticas d disprsión, para difrnts frcuncias d opración dntro dl modo fundamntal, d guías d onda n forma d L n forma d T, n función d la modificación d la structura d dichas guías n las rgions d discontinuidad.

19 i El capítulo IV s ddica a la formulación d un método d adaptación d malla tipo-r qu mpla quidistribución l cual s implmnta n la solución d la cuación d Laplac n un dominio bidimnsional n forma d L. En al capítulo V s prsntan las conclusions d st trabajo. El apéndic A prsnta las cuacions d Mawll n forma intgral. En l apéndic B s dsarrolla la formulación débil d la intgral dl rsiduo pondrado d la cuación d Hlmholt n dos dimnsions. Finalmnt, n l apéndic C s prsntan las distribucions dl campo, dntro d guías d onda convncionals, n forma d L n forma d T, para los distintos casos analiados n l capítulo III.

20 Objtivo El objtivo gnral d st trabajo d tsis s la implmntación dl método d lmnto finito n la solución numérica d problmas dl campo lctromagnético n guías d onda d planos parallos. Admás, la obtnción d solucions numéricas más prcisas, con rspcto a las solucions obtnidas con mallas prstablcidas, a través dl mplo d un método d adaptación d malla Los objtivos particulars qu s plantan son: La formulación dl método d lmnto finito n dos dimnsions. La solución numérica d la cuación d Hlmholt n guías d onda d planos parallos l análisis d su comportaminto, para difrnts frcuncias, n función d la rsolución d la malla n la dircción d propagación. El cálculo numérico d las caractrísticas d disprsión (comportaminto d los coficints d transmisión rflión) n guías d onda n forma d L n forma d T para difrnts frcuncias, n función d la modificación d la structura d dichas guías n las rgions d discontinuidad, mplando l método d lmnto finito. La formulación d un método d adaptación d malla tipo-r qu mpla l principio d quidistribución su implmntación n la solución d la cuación d Laplac n un dominio bidimnsional n forma d L.

21 Capítulo I Fundamntos d toría lctromagnética Pocas tcnologías al inicio dl siglo XXI tinn tanto impacto n la vida diaria como aqullas qu hacn uso d dispositivos dsarrollados a partir d la comprnsión dl comportaminto dl campo lctromagnético; dsd los tléfonos clulars, hasta la rvolución dl Intrnt (impulsada n gran part por las rds d fibra óptica). La solución d un problma n dond s involucra l campo lctromagnético s, n ralidad, la solución d las cuacions d Mawll sujtas a las condicions d frontra proporcionadas por dicho problma. Una guía d onda s un dispositivo qu s utilia para transmitir ondas lctromagnéticas. Las difrnts configuracions qu pud tomar l campo, al propagars a través d una structura d st tipo, s conocn como modos. Estos modos dpndn tanto d la gomtría d la guía, como d la frcuncia d la onda (frcuncia d opración). La volución d computadoras prsonals ha hcho posibl la crcint aplicación dsarrollo d sofisticados métodos numéricos n la solución d problmas d lctromagntismo. Sin mbargo, aunqu lo antrior ha prmitido qu sin dtallado conociminto d la toría lctromagnética sa posibl disñar filtros, mcladors, línas d transmisión d bajas pérdidas, ntr otros dispositivos, solo un vrdadro conociminto d la toría qu rig l comportaminto dl campo prmit obtnr l maor provcho dl mplo d stas hrramintas. El objtivo d st capítulo s l d proporcionar, n forma gnral, concptos d la toría lctromagnética fundamntals n la obtnción d solucions prácticas a problmas d distribución dl campo n guías d onda.

22 I.. Ecuacions d Mawll Las cuacions d Mawll dscribn los fnómnos qu ocurrn n situacions dond s ncuntra involucrada la variación tmporal d los campos léctrico magnético; sto s: l campo lctromagnético []. Estas cuacions, tal como s conocn l día d ho, son un rsumn d la toría propusta por Jams Clrk Mawll (83-879) n 864 [] raliado d manra indpndint por Hinrich Hrt ( ) Olivr Havisid (850-95) []. Est conjunto d ls físicas, comprobadas primntalmnt por Hrt [6], rlaciona dscrib los campos vctorials léctrico magnético, las dnsidads d carga las dnsidads d corrint n cualquir punto n l spacio n cualquir instant d timpo qu s ds [3]. Las cuacions d Mawll n forma difrncial s prsan como dond B E = ( L d Farada ), (.) t D H = J + ( L d Ampr gnraliada ), (.) t i D = ρ L d Gauss, campo léctrico, (.3) i B = 0 L d Gauss, campo magnético, (.4) E = Intnsidad dl campo léctrico (volt/mtro), H = Intnsidad dl campo magnético (ampr/mtro), D = Dnsidad d flujo léctrico (coulomb/mtro cuadrado), B = Dnsidad d flujo magnético (wbr/mtro cuadrado), J = Dnsidad d corrint (ampr/mtro cuadrado), ρ = Dnsidad d carga (coulomb/ mtro cúbico). Las dnsidads d carga d corrint s rlacionan por la cuación d continuidad: ρ i J + = 0. (.5) t

23 3 La prsión antrior, la cual satisfac las cuacions d Mawll, también s conoc como cuación d la consrvación d la carga; a qu si no s cumplira, significaría qu cargas s stán crando (o dstrundo). I.. Rlacions constitutivas Con l propósito d conocr la propagación dl campo lctromagnético n un mdio dtrminado, s ncsario tomar n cunta la forma n qu las propidads dl mdio l campo lctromagnético s rlacionan. Cuando una onda lctromagnética ntra n contacto con un matrial, las partículas cargadas istnts n dicho matrial intractúan con l campo lctromagnético producindo corrints modificando la propagación d la onda n s mdio con rspcto a la propagación n l spacio libr [3]. Las rlacions constitutivas dscribn, n una scala macroscópica, la rlación ntr l campo lctromagnético l mdio bajo studio. Estas rlacions stán dadas por D = ε ε E = E (.6) r 0 ε, dond B = µ µ H = µ H (.7) r 0, ε = Prmitividad dl mdio, (farad/mtro), - ε 0 = Prmitividad dl vacío, ε 0 = (farad/mtro)[5], ε r = Prmitividad rlativa dl mdio, ε r = ε / ε0 (adimnsional). µ = Prmabilidad dl mdio, (hnr/mtro), -7 µ 0 = Prmabilidad dl vacío, µ 0 = 4 π 0 (hnr/mtro)[5], µ r = Prmabilidad rlativa dl mdio, µ r = µ / µ 0 (adimnsional), La prmabilidad prmitividad d un mdio dtrminado s rlacionan ntr sí a partir d c = / µε, dond c s la vlocidad d la lu n dicho mdio. Para l caso

24 4 dl spacio libr ε = µ =, por lo tanto, la vlocidad d la lu n l spacio libr r r stá dada por c µε 8 0 = / mtro/sgundo []. Otra rlación constitutiva s la qu s cumpl n un conductor d la siguint forma: J = σ E, (.8) dond σ s la conductividad (simns/mtro). Los parámtros ε, µ σ son conocidos como parámtros constitutivos caractrian las propidads léctricas d dtrminado matrial. Los matrials s clasifican n función d los parámtros constitutivos, d acurdo a [3], d la siguint forma: Matrials linals o Matrials no linals. Un matrial s conoc como linal cuando sus parámtros constitutivos no son función d la magnitud dl campo aplicado; por l contrario s conoc como no linal cuando sí lo son. Matrials homogénos o Matrials no homogénos. Cuando los parámtros constitutivos d un mdio son función d la posición ést s conoc como un mdio no homogéno; por su part, n l caso d qu no lo san, s conoc como un mdio homogéno. Matrials disprsivos o Matrials no disprsivos. Los matrials disprsivos son aqullos n los qu los parámtros constitutivos son función d la frcuncia; a su v, son matrials no disprsivos aqullos n los qu los parámtros constitutivos no son función d la frcuncia. Matrials isotrópicos o Matrials anisotrópicos. Sí los parámtros constitutivos no son función d la dircción dl campo aplicado stos son scalars l mdio s conoc como un mdio isotrópico; d manra contraria, los parámtros son tnsors cuando son función d la dircción dl campo aplicado l mdio ntoncs s conoc como anisotrópico.

25 5 Al aplicar las rlacions constitutivas a las cuacions d Mawll, éstas dan ε = µ H E, t (.9) = +ε E H J, t (.0) ( E) = ρ, i (.) ( H) 0. µ i = (.) El conjunto d cuacions (.9) a (.) mustra qu, adicional a las cargas a las corrints, la variación con rspcto al timpo d un campo funciona como funt para l otro. I.3. Campos státicos Cuando los campos léctrico magnético no varían con rspcto al timpo las prsions (.9) (.0) son rscritas, rspctivamnt, d la siguint manra: E = 0, (.3) H = 0. (.4) Cuando stos campos s ncuntran státicos no ist intracción ntr llos; por lo tanto, cada uno s dscrito, d forma indpndint, por un conjunto d cuacions rspctivo. El comportaminto dl campo lctrostático s dscrib por (.) (.3) mintras qu las prsions qu gobirnan al campo magntostático son a su v (.) (.4). En l caso stático la prsión (.5) s scrib como i J = 0; (.5)

26 6 lo qu implica qu cuando los campos no varían con rspcto al timpo no ist flujo d corrint n ningún sntido. I.3.. Ecuacions d Poisson Laplac Analiando (.3) tomando n cunta la opración vctorial Φ = 0, s pud stablcr qu E = Φ, (.6) dond Φ s una función scalar conocida como potncial scalar []. Asumindo un mdio homogéno, al sustituir (.6) n (.) s obtin la cuación d Poisson: ρ i. (.7) ε E = Φ = La prsión antrior rlaciona la variación dl potncial Φ n cualquir punto con la dnsidad d carga ρ n cualquir punto d dtrminado dominio. La cuación d Laplac (caso particular d (.7) cuando ρ = 0) stá dada por Φ = 0. (.8) La solución d (.7) (.8) n una rgión dtrminada ( para una distribución d carga spcífica, n l caso d la cuación d Poisson) dpnd d las condicions d frontra dl dominio bajo análisis. En otras palabras, s posibl dcir n forma gnral qu para l mismo dominio istn difrnts configuracions d Φ qu satisfacn stas cuacions, sin mbargo, n forma particular cada una d stas solucions s única n rlación a una condición d frontra spcificada.

27 7 I.4. Campos armónicos n l timpo En la litratura rfrnt a lctromagntismo con nfoqu a ingniría ([], [3], [5], ntr otros) s común ncontrar qu la variación con rspcto al timpo d los campos magnético léctrico s considra como sinusoidal (o variación armónica). Esto prmit qu l campo léctrico, por jmplo, s puda prsntar como E spacio timpo j t ( st) = E( s) ( ω ), R, (.9) dond E ω f ( s) = variación spacial d E ( volts/mtro ), = π fop = frcuncia d opración, ( hrt ), op = frcuncia angular, radians/sgundo, R = conjunto d los númros rals. Tomando n cunta la antrior asunción n la variación tmporal, las cuacions (.5), (.9) (.0) s rscribn rspctivamnt como jωt, E = jωµ H s = jωµ H (.0) j ω t jωt s jωε ( s) jωε, H = J + E = J+ E (.) jωt ωρ. i J = jωρ s = j (.) A partir d st punto, n toda ocasión n dond la cantidad complja jωt s mpl, s asumirá l hcho d qu solo la part ral tin significado físico aunqu no s inclua l acrónimo R. Por otra part, l intrés d st trabajo s l studio d la variación spacial dl campo, por lo tanto, n aqullos dsarrollos matmáticos n dond con fins d simplificación s amrit, la part corrspondint a la variación tmporal d ést s omitirá.

28 8 I.5. Ecuación d onda d Hlmholt Las cuacions d Mawll son un conjunto d cuacions d primr ordn n las cuals los campos léctrico magnético s ncuntran acoplados, stos s, ambos campos s ncuntran prsnts tanto n la l d Farada como n la l d Ampr. Es ncsario, sin mbargo, dsacoplar stos campos con l fin d conocr la solución d un problma d valors n la frontra; por jmplo: obtnr la distribución dl campo léctrico n una guía d onda. S considran campos armónicos n l timpo, la ausncia d cargas ( ρ = 0) s limita a un mdio sin pérdidas ( σ = 0 J = 0), homogéno, isotrópico linal ( µ = µ 0 ε = ε0 ). S inicia aplicando l rotacional a la l d Farada rprsntada n (.0), sto s, E = E+ i E = jωµ H. (.3) Las ls d Ampr gnraliada Gauss para l campo léctrico sin funts, prsadas rspctivamnt como H = jωε E, (.4) i E = 0, (.5) s sustitun n (.3) obtniéndos E+k E = 0, (.6) dond k = ω µε s un parámtro constant conocido como númro d onda. Raliando un procdiminto similar, iniciando con l rotacional d H n la l d Ampr gnraliada, s obtin H+k H = 0. (.7)

29 9 Las cuacions (.6) (.7) s conocn como las cuacions homogénas d Hlmholt para los campos léctrico magnético, rspctivamnt. Estas cuacions difrncials d sgundo ordn modlan la variación spacial d stos campos n la ausncia d funts. I.6. Condicions d frontra En dominios no homogénos, los cuals continn intrfass ntr mdios con caractrísticas léctricas distintas (cambios bruscos ntr un mdio otro d µ, ε σ ), s posibl qu la magnitud dircción d los campos s modifiqun al atravsar dichas intrfass [5]. Estos comportamintos, cua inclusión n cualquir análisis s obligatoria, s dscribn por un conjunto d rlacions drivadas d las cuacions d Mawll n forma intgral (vr apéndic A) conocidas como condicions (o rlacions) d frontra [7]. Dsd l punto d vista matmático, la solución d una cuación difrncial n un dominio dtrminado, como la cuación d onda d Hlmholt (prsión (.6) para campo léctrico (.7) para l campo magnético), no s única a mnos qu s spcifiqun condicions d frontra []. I.6.. Intrfas ntr dos mdios con conductividad finita Las rlacions d frontra qu dbn cumplir los campos n una intrfas ntr dos mdios con caractrísticas léctricas distintas (vr la Fig..), sin funts sin cargas, son, d acurdo a [3], [8], ( ) n E E = 0, (.8) n ( D D ) i = 0, (.9) ( ) n H H = 0, (.30) n ( B B ) i = 0, (.3) Hrmann Von Hlmholt (8-894), físico almán.

30 0 dond σ σ son finitas, n s l vctor normal a la intrfas l sufijo n todos los casos indica los difrnts mdios. La prsions (.8) (.30) indican qu las componnts tangncials d los campos léctrico magnético, rspctivamnt, son continuas n la intrfas. A su v, (.9) (.3) indican, rspctivamnt, qu son las componnts normals a la intrfas d D B las qu dbn sr continuas. Estas rlacions son válidas tanto para campos státicos como para campos variants n l timpo [5] su dducción pud sr consultada n [], [5], [7] (ntr otros). mdio µ, ε, σ n mdio µ, ε, σ Figura.. Intrfas ntr dos mdios. I.6.. Conductor léctrico prfcto Un conductor léctrico prfcto (PEC) s dfin como un matrial n l cual no ist campo léctrico a ninguna frcuncia [4]. Obsrvando la l d Farada (prsión (.)) s pud dducir qu n tals matrials tampoco ist campo magnético variant n l timpo. En la maoría d los problmas prácticos n dond la conductividad s alta (aunqu no infinita), la configuración dl campo, la longitud d onda λ la constant d propagación k, ntr otros parámtros, s pudn calcular con una alta prcisión bajo la suposición d una conductividad infinita [5] (suposición d un matrial PEC). Partindo d lo analiado n scción I.6., sí s considra al mdio como un PEC ( σ = ), las condicions d frontra para dicha intrfas son, d acurdo a [5] (tabla 0-), n (.3) n (.33)

31 I.7. Guía d onda rctangular mtálica Una guía d onda s una structura qu prmit qu una onda lctromagnética s propagu a través d ésta n una dircción dsada [4]. En la práctica, s común ncontrar problmas n los cuals las condicions d frontra s satisfacn por campos qu no stán conformados por todas sus componnts vctorials. Con bas a sta ausncia (o prsncia) d dtrminadas componnts dl campo, n rlación a la dircción d propagación d ést, s pud clasificar su solución n trs catgorías principals []:. Modo Transvrsal Elctromagnético (TEM ). En l modo TEM los vctors d los campos léctrico magnético son transvrsals a la dircción d propagación.. Modo Transvrsal Eléctrico (TE o H ). En l caso dl modo TE l vctor dl campo léctrico s transvrsal a la dircción d propagación. 3. Modo Transvrsal Magnético (TM o E ). Los modos TM son aqullos n los qu l vctor dl campo magnético s transvrsal a la dircción d propagación. a b Figura.. Guía d onda rctangular ( a : ancho, b : gruso). Considrando una propagación n la dircción dfinindo los campos léctrico magnético rspctivamnt como ( E E E) E =,,, (.34) ( H H H) H =,,, (.35)

32 una onda TEM implica: E = H = 0. Una guía d onda huca, como la qu s mustra n la Fig.., no pud propagar una onda TEM. Lo antrior, obdc a qu l rotacional d un campo transvrsal léctrico rquir una componnt aial dl campo magnético (cuación (.9)); d forma similar, l rotacional d un campo transvrsal magnético rquir a sa una corrint aial (la cual no pud istir n dicha structura, dbido a la ausncia d un conductor aial) o una componnt aial dl campo léctrico (cuación (.0)). En rsumn, una guía d onda huca pud propagar ondas TE TM, pro no ondas TEM []. Para sta misma structura, l modo TE implica qu la componnt dl campo léctrico sa cro ( E = 0); mintras qu l modo TM qu H = 0. Cuando un problma s rsulv al suponr qu s propaga una onda TE, ést s conoc como un problma dl plano-h; d forma similar, cuando s supon qu la onda qu s propaga s TM, ést s conoc como un problma dl plano-e. I.7.. Guía d onda d planos parallos Una guía d onda d planos parallos s una d las structuras más sncillas para l análisis dl campo. Fundamntalmnt, ésta s conforma d dos placas conductoras sparadas por un diléctrico [4]. S considra qu los campos son los mismos a los qu istiran si las placas furan d un ancho infinito (vr Fig..3), lo qu significa qu no s toman n cunta las variacions dl campo n una dircción transvrsal. a b Figura.3. Guía d onda d planos parallos.

33 3 El objtivo n sta scción s, primramnt, la obtnción d la cuación homogéna d Hlmholt n dos dimnsions a partir d las cuacions d Mawll, postriormnt, su solución analítica dntro d una guía d onda d planos parallos para los casos TE TM. Con bas n la gomtría d una guía d onda d st tipo, s utilian coordnadas rctangulars para su análisis. El método d solución sigu al qu s utilia n Balanis [3]. I.7.. Solución analítica d la cuación d Hlmholt S considra una guía d onda d planos parallos PEC, sparados por una distancia b como la qu s prsnta n la Fig..4. Esta guía s tind dsd hasta + n las dirccions. S asum qu l mdio dntro d la guía s l spacio libr, la ausncia d funts, qu l campo varía d forma armónica con l timpo qu ést s propaga n la dircción +. Figura.4. Vista latral d una guía d onda d planos parallos. Dbido a qu la structura s indpndint d, los campos dbn srlo también, por lo tanto E = 0. (.36) H La prsión (.36) implica qu E H son únicamnt funcions d, sto s, E = E,, E = E,, E = E,, H = H,, H = H,, H = H,. (.37)

34 4 S inicia con las cuacions d Mawll corrspondints al rotacional d E H : E = jωµ H, (.38) H = jωε E. (.39) Dsarrollando (.38) (.39), para cada una d las componnts d los campos, s obtin l conjunto d cuacions E E E E E E = jωµ H, (.40) = jωµ H, (.4) = jωµ H, (.4) H H = jωε E, (.43) H H = jωε E, (.44) H H = jωε E, (.45) Las prsions rlacionadas a la divrgncia dl campo ((.) (.)) s prsan rspctivamnt, n coordnadas rctangulars tomando n cunta la ausncia d cargas n l mdio ( ρ = 0), como E E E + + = 0 (.46) H H H + + = 0. (.47)

35 5 Aplicando la rstricción (.36), las prsions (.40), (.4), (.43) (.44) s rducn a E = jωµ H, (.48) E = jωµ H, (.49) H = jωε E, (.50) H = jωε E. (.5) Emplando la misma rstricción, (.46) (.47) s rscribn como E E + = 0 (.5) H H + = 0. (.53) El conjunto d cuacions (.4), (.45), (.48)-(.53) s l corrspondint a las cuacions d Mawll n forma difrncial, n coordnadas rctangulars, cuando s han aplicado las rstriccions rfrnts a las caractrísticas léctricas dl mdio la variación nula d los campos con rspcto a la dircción. I.7.3. Modo transvrsal léctrico Para qu una onda lctromagnética s propagu n l modo TE s ncsario aplicar n l conjunto d cuacions (.4), (.45), (.48)-(.53) una rstricción qu asgur qu l vctor dl campo léctrico sa transvrsal a la dircción d propagación. La rstricción para l modo TE implica qu E 0 E = E = 0. Aplicando lo antrior a (.4), (.48) (.49) s obtin rspctivamnt

36 6 H = 0, (.54) H H j E = ωµ j E =. ωµ, (.55) (.56) S pud obsrvar qu las prsions (.48) (.49) no son afctadas por la rstricción para l modo TE; sin mbargo, éstas son rscritas rspctivamnt como (.55) (.56) con fins prácticos qu s justifican a lo largo dl análisis. La rstricción para l modo TE s aplica a (.45), (.50) (.5), sto s, H H = jωε E, (.57) H H = 0, = 0. (.58) (.59) La cuación dl Hlmholt, para la componnt E dl campo léctrico, s obtin al sustituir la drivada con rspcto a d (.55) la drivada con rspcto a d (.56) n (.57), obtnindo así E E + + ke 0 = ; (.60) dond k también s conoc como constant d propagación para la onda al viajar n un mdio sin frontras. La solución d (.60) s obtin al aplicar la técnica d sparación d variabls [9]. S asum qu la solución E (, ) s igual al siguint producto: (, ) E = E E, (.6)

37 7 dond E ( ) s la solución d (.60) cuando E varía rspcto. D la misma forma E s la part d E qu varía, solamnt, con rspcto a. Sustitundo (.6) n (.60) dividindo l rsultado por E E s tin E E E E + + k = 0, (.6) la cual s pud rscribir como E E + = k. (.63) E E Analiando (.63) s pud obsrvar qu l primr término d la part iquirda s solo función d, mintras qu l sgundo s solo función d ; por lo tanto, tomando n cunta qu k s una constant, sta cuación solo s pud satisfacr si cada uno d los términos d la iquirda s igual a una constant, sto s, E E E E = k (.64) = k, (.65) dond la condición para qu (.64) (.65) satisfagan (.6) s k + k = k. (.66) Las constants d sparación k k s conocn como constants d propagación n la dircción n la dircción, rspctivamnt.

38 8 Eistn distintos tipos d solución qu pudn satisfacr (.64) (.65); sin mbargo, l objtivo principal d st análisis no s l d ncontrar la solución a una cuación difrncial dsd l punto d vista puramnt matmático, sino l d ncontrar las solucions a (.64) (.65) qu, dsd l punto d vista físico, modln l comportaminto dl campo lctromagnético. D acurdo a Balanis n [3], dbido a qu la guía d onda tin una longitud infinita, la variación dl campo n la dircción db rprsntar una onda viajra dada por jk E A B + jk = +. (.67) La prsión (.67) rprsnta ondas viajando n ambas dirccions d, dond A B son constants arbitrarias. El primr ponncial d la part drcha rprsnta ondas viajando hacia +, mintras qu l sgundo ondas viajando hacia ([3], [5]). En st trabajo s considra qu la funt s coloca d tal forma qu la propagación s n la dircción +, por tanto, B = 0 (.67) s rscrib como E A jk =. (.68) Con rspcto a E Balanis stablc n [3] qu, dbido a qu la guía d onda s ncuntra dlimitada n la dircción, la forma más apropiada para E sr db cos sin E = C k + D k, (.69) dond C D son constants arbitrarias. Al sustituir (.68) (.69) n (.6), s tin como rsultado = + jk E, Ccos k Dsin k A. (.70)

39 9 Hasta st punto dl análisis s pud stablcr lo siguint: El campo lctromagnético, para l modo TE n una guía d onda d planos parallos (como la spcificada al inicio d sta scción mostrada n la Fig..4) s conforma por la componnt componnts H H dl campo magnético (vr Fig..5). E dl campo léctrico las La prsión (.70) rprsnta la solución d la cuación d Hlmholt para ondas qu viajan n la dircción + confinadas n. Sin mbargo, sta solución continúa sindo gnral s ncsita, ntoncs, spcificar qu tipo d mdio s l qu confina a la onda n la dircción d la coordnada, sto s, las condicions d frontra n las pards d la guía d onda. < <+ < < + 0 b a b TE0 n H (, ) (, ) H (, ) E Figura.5. Guía d onda d planos parallos con componnts dl campo para l modo TE0 n. En bas a (.3), para una guía d onda d planos parallos como la d la Fig..5, la condición d frontra ncsaria suficint consist n qu la componnt tangncial a la frontra dl campo léctrico (n st caso PEC. Por lo tanto, para los planos infrior suprior, s db cumplir E ) sa igual a cro n la frontra E < < +, = 0 = E < < +, = b = 0. (.7)

40 0 Evaluando (.70) n = 0 s obtin E, 0 cos sin jk = = C k D k + A = 0. (.7) La única forma (no trivial) d qu s satisfaga (.7) s qu C = 0. Entoncs, fijando C = 0, (.73) la prsión (.70) s rduc a ( ) E, sin jk = D k A = 0. (.74) D forma similar, valuando (.74) n = b s obtin ( ) E, sin jk = b = D k A = 0, (.75) dond la única forma d qu sta prsión s satisfaga s cuando ( ) sin kb = 0, lo cual s obtin para k nπ =, n = 0,,, 3,... (.76) b Al sustituir (.76) n (.75) s tin como rsultado la solución complta d (.60), dada por nπ E(, ) = A0 nsin b jk, (.77) dond 0n A s una constant arbitraria dfinida por A ( D )( A) =. 0n

41 Una v qu s ncuntra E, al mplar las cuacions d Mawll, d forma más spcífica a través d (.55) (.56), s ncuntra l rsto d las componnts dl campo: j nπ nπ jk H(, ) = A0 ncos, (.78) ωµ b b k nπ H (, ) 0 sin jk = A n. ωµ b (.79) Las prsions (.77)-(.79) son quivalnts a las solucions dl campo prsntadas n Marcuvit [0] para una guía d onda d planos parallos n l modo TE0 n. El sufijo 0n, d la misma forma qu n dicha rfrncia, s mpla para dfinir los modos n una guía d onda d planos parallos. El sufijo 0 indica qu los campos no varían con rspcto a la coordnada ; mintras tanto, l parámtro n indica l númro d smiciclos n los qu varían E, H H con rspcto a. En pocas palabras, cada valor d n rprsnta una configuración difrnt dl campo (o modo) dntro d la guía d onda. En rsumn, l conjunto d modos TE para una guía d onda d planos parallos s dnota por TE0 n (con n =,, 3... ). Las sis componnts dl campo para l modo TE 0 ( TE0 n para n = ) stán dadas por E ( ), = 0, E ( ), = 0, π jk E (, ) = A0 sin, b j π π jk H (, ) = A0 cos, ωµ b b k π jk H (, ) = A0 sin, ωµ b H ( ), = 0. (.80) (.8)

42 Las prsions (.77)-(.79) indican qu cuando la constant d propagación k s igual a cro no ist propagación d la onda; lo antrior prmit stablcr un caso particular d (.66) como k = k k= 0. (.8) Sustitundo (.76) n (.8) s stablc o simplmnt nπ nπ kc = k = ω µε = k k= 0 = = k= 0 b b, (.83) ( k ) TE c 0n = k = nπ b ; (.84) dond k c s conoc como númro d onda d cort l supríndic indica l modo TE. Partindo d (.84), rcordando qu ω = π fop, s dfin a la frcuncia d cort dl modo 0n, para una guía d onda d planos parallos, como ( f ) TE c 0n n = µε b. (.85) Con bas n (.85) dfinindo a la longitud d onda d opración como λ = c/ f, la longitud d onda d cort s scrib como op op λ = b c 0n n. (.86) TE Los parámtros d cort ((.84)-(.86)) stablcn, para un modo dtrminado, una frontra ntr la propagación o la no propagación d una onda a través una guía d onda. Lo antrior s pud plicar d la siguint forma:

43 3 Dfinindo la constant d propagación ( ) 0 cort s tin, k n términos dl númro d onda d 0n c 0n c n k = k k k = ± k k. (.87) Tomando la raí positiva, n ordn d tnr propagación n la dircción +, la constant d propagación s scrib n términos d ( λ c ) 0 n c 0 f como n ( f ) λ c 0n k = k = k 0n ( λc ) f 0n. (.88) Analiando (.88) s dducn trs posibls casos n función d f c : a) La frcuncia d opración s suprior a la frcuncia d cort ( f > f ); para c st caso, la constant ( ) 0 k s ral al sustituir st valor n (.77)-(.79) l n argumnto dl ponncial continua sindo imaginario por lo tanto las ondas viajan sin sr atnuadas n l modo TE0 n. b) La frcuncia d opración s igual a la frcuncia d cort ( f op = f c ); st caso da como rsultado 0 0 k =, aplicando sto n (.77)-(.79), s obtinn ondas stacionarias (no ist propagación). n c) La frcuncia d opración s mnor a la frcuncia d cort ( f < f ); n st c último caso l parámtro ( ) 0 k s un númro imaginario. Al sustituir st n valor n l ponncial d (.77)-(.79) l argumnto s convirt n ral ngativo, lo cual da como rsultado ondas vanscnts. Los campos vanscnts son campos qu dcan ponncialmnt carcn d potncia ral [3]. op op

44 4 La aparición d los modos n una guía d onda d planos parallos (con mustra n la Fig..6 n función d la frcuncia d opración. b = 4 cm ) s TE0 TE TE 0 03 TE f op (GH) Figura.6. Aparición d modos TE n una guía d onda d planos parallos con b = 4 cm. Otro parámtro qu dpnd d la dimnsión d la scción transvrsal d la guía d onda s la longitud d onda n la guía ( λ g ), dada para l modo 0n, sgún [3], por ( λ ) ( λ ) = = g 0n 0n λ op ( f ) c 0n f op. (.89) Analiando (.89) s pud dducir qu, para un modo dtrminado, a frcuncias d opración mucho más altas qu la frcuncia d cort ( λg ) 0 n λ. A su v, a mdida op qu la frcuncia d opración s aproim a la frcuncia d cort ( f ( f ) 0 op c n ) la longitud d onda n la guía tndrá a infinito (( λg ) 0 n ). I.7.4. Modo fundamntal El modo fundamntal n una guía d onda dtrminada s dfin como aqul cua frcuncia d cort s la más baja [8]. En l caso d una guía d onda d planos parallos l modo fundamntal s l TE 0 su frcuncia d cort s dfin como 0 f c =. (.90) b µε

45 5 El ancho d banda ( BW ) para l modo TE 0 s obtin a través d ( f ) ( f ) =. (.9) BW 0 c 0 c 0 La prsión (.9) indica l ancho d la banda d frcuncias n la cual solo s transmit l modo fundamntal. En la gran maoría d los casos, las guías d onda mpladas n la práctica stán rstringidas a oprar n l modo fundamntal dbido a las dificultads d acoplaminto qu surgn cuando más d un modo s transmitido a través d ésta []. I.7.5. Gráficas d solución analítica para l modo TE 0 S prsntan las gráficas d la distribución d las componnts dl campo, n una guía d onda d planos parallos, para una frcuncia dtrminada dntro dl modo TE 0. S considra una guía d onda d planos parallos con b = 4 cm µ = ε =. Las frcuncias d cort para los modos TE 0 TE 0, calculadas a partir d (.85), stán dadas rspctivamnt por ( f c ) 0 = 3.75 GH ( c ) GH f =. Las figuras.7-.9 mustran las gráficas d las solucions analíticas (.77)-(.79) para una r r frcuncia d opración d f = 6.3 GH ( λ 5.90 cm ). op g Figura.7. Part ral d la componnt E (prsión (.77)) para l modo TE. 0

46 6 Figura.8. Part ral d la componnt H (prsión (.78)) para l modo TE. 0 Figura.9. Part ral d la componnt H (prsión (.79)) para l modo TE. 0 I.7.6. Modo transvrsal magnético Con l fin d obtnr la cuación d Hlmholt para l modo TM n una guía como la mostrada n la Fig..4, s ncsita raliar un procdiminto similar al sguido n l caso TE. Primramnt s db asgurar qu l campo magnético sa transvrsal a la dircción d propagación, por lo tanto, s fija la rstricción para l modo TM como H 0 H = H = 0. Aplicando la antrior rstricción a (.4), (.45), (.48)-(.53) s obtin E = 0, (.9) E = 0, (.93)

47 7 E E = jωµ H, (.94) E E j H =, ωε (.95) j H =, ωε (.96) E = 0. (.97) Dl conjunto d cuacions (.9)-(.97) s pud obsrvar qu l campo para l caso TM s conforma por la componnt E E dl campo léctrico (vr Fig..0). H dl campo magnético las componnts < <+ < < + 0 b a b TM0 n (, ) E (, ) E (, ) H Figura.0. Guía d Onda d Planos Parallos con componnts dl campo para l modo TM0 n. La cuación d Hlmholt para H n l caso TM (obtnida al sustituir la drivada d (.95) con rspcto a la drivada d (.96) con rspcto a n (.94)) stá dada por H H + + kh 0 =. (.98) La solución a sta cuación s = + jk H, Ccos k Dsin k A. (.99)

48 8 La prsión (.98) s soluciona d la misma forma qu n l caso TE : utiliando la técnica d sparación d variabls mplando los mismos critrios n la lcción dl tipo d solución (una onda confinada n la coordnada una onda viajra n la dircción + ). La condición d frontra PEC indica qu la componnt tangncial a la frontra dl campo léctrico s cro, sto s, E < < +, = 0 = E < < +, = b = 0. (.00) A través d (.95) (.99) s obtin jk E(, ) = Csin( k) Dcos( k) A ωε jk. (.0) Evaluando (.0) n = 0 jk jk E(, = 0) = Csin( k) Dcos( k) A = 0 ωε. (.0) La única forma, no trivial, n qu s puda satisfacr (.0) s dfinindo D = 0. (.03) Aplicando (.03) a (.0), ésta s rduc a jk E(, ) = Csin( k) A ωε jk. (.04) Evaluando (.04) n = b s obtin

49 9 jk jk E(, = b) = Csin( k) A = 0 ωε. (.05) Esta última prsión solo s pud satisfacr cuando k s dfin como k nπ = n = 0,,,... (.06) b Aplicando (.03) (.06) a (.99) (.0), obtnindo E a partir d (.96), las componnts qu conforman l campo n l modo TM0 n s pudn scribir como j nπ nπ jk E (, ) = B0n sin, ωε b b k nπ jk E (, ) = B0n cos, ωε b E ( ), = 0, (.07) H ( ), = 0, H ( ), = 0, (.08) nπ jk H (, ) = B0 n cos ; b dond B0n = CA s una constant arbitraria. Las prsions (.07) rprsntan las componnts corrspondints al campo léctrico, mintras qu (.08) las dl campo magnético. Estas solucions concurdan con las prsntadas n Marcuvit [0]. Para l caso TM, d acurdo a [4], [0], los parámtros k c, f c λ c stán dados por las mismas prsions qu para l caso TE, sto s ( k ) TM c k nπ b, (.09) = =

50 30 ( f ) TM c 0n n = µε b, (.0) λ = b c 0n n, (.) TM por lo tanto, la frcuncia d cort dl modo TM 0 s actamnt la misma a la dl modo 0 TM TE, sto s, ( f ) ( f ) TE c 0 c 0 =. I.7.7. Gráficas d solución analítica para l modo TM 0 S prsntan las gráficas d la distribución d las componnts dl campo, n una guía d onda d planos parallos, para una frcuncia dtrminada dntro dl modo TM 0. S considra la misma guía d onda qu n la scción I.7.5 ( b = 4 cm µ r = ε r = ), dond d acurdo a (.0) las frcuncias d cort para los modos TM 0 0 TM, stán dadas rspctivamnt por ( f ) 0 = 3.75 GH GH c f =. Las figuras.-.3 mustran, rspctivamnt, las gráficas d las solucions c analíticas d E, E H (d (.07) (.08)) para una frcuncia d opración d f = 6.3 GH ( λ 5.90 cm ). op g Figura.. Part ral d la componnt E (n (.07)) para l modo TM. 0

51 3 Figura.. Part ral d la componnt E (n (.07)) para l modo TM. 0 Figura.3. Part ral d la componnt H (n (.08)) para l modo TM. 0

52 3 Capítulo II Método d lmnto finito n dos dimnsions En l capítulo I s prsnta una introducción gnral a los concptos d toría lctromagnética ncsarios n l ntndiminto dl problma d la propagación dl campo n guías d onda. La cuación d Hlmholt n una guía d onda tin solución analítica, ntr otros posibls casos, para dominios rctangulars homogénos con pards PEC (tal como s mustra n l capítulo antrior). Sin mbargo, los problmas con gomtrías complicadas /o mdios no homogénos frcuntmnt carcn d solución analítica, o n su dfcto, la obtnción d dicha solución s complicada, por lo tanto, d poco intrés práctico. Gracias al dsarrollo qu las computadoras prsonals han tnido n la sgunda mitad dl siglo XX al inicio dl siglo XXI, l mplo d métodos numéricos n la solución d st tipo d problmas s ha convrtido n una d las hrramintas más importants n l campo d lctromagntismo aplicado [6]. El método d lmnto finito s una técnica numérica utiliada n la obtnción aproimada d la solución a problmas d valors n la frontra [5]. En términos gnrals, FEM consist n discrtiar l dominio d solución n un númro finito d subdominios conocidos como lmntos. Dichos lmntos s dfinn por puntos conocidos como nodos cuo nsambl s conoc como malla. La solución n cada uno d stos subdominios s aproima por un polinomio, postriormnt, la solución complta dl sistma s obtin al nsamblar las solucions individuals d cada uno d los lmntos.

53 33 El dsarrollo dl método s l acrdita a Courant [8] (propusto n 943) [6], [7], [8]. Por otra part, d acurdo a [8], l primr libro ddicado compltamnt a FEM s Zinkiwic-Chung [6] (publicado n 967); dicho tto s nfoca principalmnt al ára d análisis structural. Dos d las primras aplicacions d FEM al ára d lctromagntismo son S. Ahmd [0] (n [9]) publicado n 968 P. P. Silvstr [] n 969. En su documnto d 969 Silvstr, ntr otras cosas, aplica l método a la obtnción d modos d propagación d órdns supriors n guías d onda hucas homogénas hac una comparación con l método d difrncias finitas. Eistn dos formulacions gnrals d FEM [5], [], [3], [7]: FEM d Raligh-Rit, rlacionado con métodos variacionals, FEM d Galrkin (mplado n st trabajo), l cual s una variant d los métodos d rsiduos pondrados n dond la función d pondración s igual a la función d pruba [5], [8]. Otra clasificación important d FEM, tal como s plica n [5], s divid n: FEM d lmntos vctorials (dond la solución dl problma s ncuntra n los lados d los lmntos) FEM basado n nodos (dond la solución dl problma s ncuntra n los nodos d la malla). El método d lmnto finito n dos dimnsions s pud utiliar para studiar l comportaminto dl campo n guías d onda d planos parallos. En st capítulo s prsnta la formulación d FEM d Galrkin basado n nodos para dos dimnsions a partir d la solución d la cuación d Hlmholt n una guía d onda d planos parallos homogéna. A partir d st punto s ntind d forma indistinta, a mnos qu s indiqu lo contrario, a: guía d onda guía d onda d planos parallos homogéna, FEM FEM d Galrkin basado n nodos.

54 34 II.. Solución numérica d la cuación d Hlmholt El análisis d un problma d lctromagntismo utiliando FEM s compon por los siguints pasos básicos [5], [7]:. Discrtiación o subdivisión dl dominio,. Slcción d las funcions d pruba o intrpolación, 3. Formulación dl sistma d cuacions, 4. Solución dl sistma d cuacions. S considra una guía d onda d planos parallos homogéna d dos purtos como la qu s mustra n la Fig... Figura.. Guía d onda d planos parallos d dos purtos con frontras virtuals Γ Γ. La rgión d solución bidimnsional Ω stá limitada n la coordnada por una frontra PEC Γ m ; al mismo timpo, l dominio s acotado n por las frontras virtuals Γ Γ, las cuals corrspondn, rspctivamnt, al purto (ntrada) al purto (salida). El mdio dntro d la guía d onda s l spacio libr. En dicho dominio s rsolvrá la cuación homogéna d Hlmholt U U ku + + = 0, n Ω, (.) dond U (igual a E para l caso TE o a siguints condicions d frontra: H para l TM) db satisfacr las

55 35. Frontra PEC: a) para l caso TE s db satisfacr la condición d frontra d Dirichlt- PEC E= 0, n Γ m, (.) b) para l caso TM s db satisfacr la condición d frontra d Numann- PEC H = 0, n Γ n m, (.3) dond n s la dircción normal a la pard PEC.. Frontras virtuals. Las frontras virtuals simulan, n un dominio computacional finito, la tnsión tórica hacia infinito dl dominio físico. Sí la frontra virtual s localia a una distancia d por lo mnos una longitud d onda d la discontinuidad más crcana, l campo s pud prsar, d acurdo a [5], d la siguint forma: a) En la ntrada (frontra virtual Γ ), l campo s prsa como la suma d las ondas incidnt rfljada. Para la structura d la Fig.. sto s inc rf jk jk 0 0 U = U + U = U + RU, (.4) dond U 0 rprsnta la amplitud d la onda l término jk indica la asunción qu la variación d U con rspcto a la dircción d propagación, n Γ, s la d una onda viajra. b) En la salida (frontra virtual Γ ), l campo s prsa como la onda transmitida. Para la structura d la Fig.. sto s trans U U TU0 jk = =, (.5)

56 36 Los parámtros R T dnotan, rspctivamnt, los coficints d rflión transmisión, mintras qu la constant d propagación s dfin, a partir d (.66), por k = k k. La constant d propagación s dtrmina n función a la dircción n la qu s propaga la onda. Para la guía d onda d la Fig.. dicha constant s prsa por k tanto para Γ como para Γ (a qu n ambas frontras la onda s propaga d forma paralla al j ). La condición para las frontras virtuals qu stablc Jin n [5] s prsntada para un caso particular n dond ist una discontinuidad dntro d la guía d onda. Sin mbargo, n structuras sin discontinuidads como n la Fig.., sta condición también s fctiva para los valors tóricos d R = 0 T =. En tal caso s stablcn puntos d rfrncia AB CD (vr Fig..), a una distancia d por lo mnos una longitud d onda d las frontras d ntrada salida, rspctivamnt. + Γ d Ω + Ω Figura.. Dominio bidimnsional con intrfas Γ d. 3. Discontinuidad n una Intrfas. En casos dond istan cambios bruscos n las propidads léctricas d la rgión d solución no ista una funt d corrint suprficial d ningún tipo n la intrfas (lo qu s rprsnta n la Fig..), s ncsita qu U satisfaga las siguints condicions d continuidad [5]: U = U, n Γ, (.6) + d

57 U U + U + U α + α = α + α, n Γd, i n i n (.7) dond Γ d dnota la intrfas d la discontinuidad, n s l vctor unitario normal a la intrfas los supríndics + indican uno d los dos trmos dl dominio mostrado n Fig... La información rfrnt a las propidads léctricas d ambos lados d la intrfas s ncuntra contnida n los parámtros α α. 7 ( 7 ) ( 8) ( 5 ) ( 6) ( 3) ( 4) ( ) (a) () () ( 3, 3 ) (, ) 5 5 local global Figura.3. (a) Dominio bidimnsional discrtiado n 8 lmntos triangulars ((), ()-(8)), con 9 nodos (,-9) (b) Comparación ntr numración local global. () () (, ) (, ) ( 8) ( 8) ( 3, 3 ) (, ) 8 8 ( 8) () () (, ) (, ) ( 8) ( 8) (, ) (, ) 9 9 (b) ( 8) ( 8) (, ) (, ) 5 5 local global II.. Discrtiación dl dominio La figura.3 mustra un dominio bidimnsional discrtiado n lmntos triangulars basados n nodos. La numración global d los nodos dl sistma, así como l númro asignado a cada lmnto s prsntan n la figura.3(a). En la figura.3(b) s pud obsrvar una comparación ntr las numracions local global para un dominio discrtiado n lmntos triangulars. En dicha figura s mustra como l nodo global 5 s l nodo local 3 dl lmnto () l nodo local dl lmnto (8). Una d las principals vntajas d los lmntos triangulars, sobr los

58 38 rctangulars o cuadrados, s qu stos pudn gnrar mallas más prcisas n suprficis irrgulars. 3 nodos 6 nodos 9 nodos Linal Cuadrático Cúbico (a) (b) (c) Figura.4. Elmnto triangular: (a) linal, (b) cuadrático (c) cúbico []. II.3. Slcción d las funcions d intrpolación La solución dntro d un lmnto triangular s pud aproimar por polinomios d distinto ordn; cada uno dando como rsultado un tipo d solución rspctiva al polinomio mplado. La figura.4 mustra una aproimación d algunos tipos d solucions obtnidas con distintos polinomios. La solución dntro d un lmnto triangular cuadrático (vr Fig..4(b)) s aproima a través d un polinomio d do ordn, rquiriéndos 6 nodos por cada lmnto para su cálculo. D forma similar, con l propósito d valuar la función d intrpolación d 3r ordn rlacionada al lmnto triangular cúbico mostrado n Fig..4(c), s ncsita utiliar 9 nodos por lmnto. Para un númro d lmntos dtrminado, los lmntos d ordn maor provn solucions más prcisas qu sus contraparts d primr ordn; sin mbargo, sto implica un maor costo computacional códigos más compljos. En st studio s utilian lmntos triangulars linals. Algunos d los parámtros para la dscripción d un lmnto, d acurdo a [], son: La forma dl lmnto (n st caso triangular, mostrado n la Fig..5). Las coordnadas d sus nodos. El númro d incógnitas (o grados d librtad). El lmnto qu s prsnta n la Fig..5 tin trs nodos, por lo tanto, trs incógnitas.

59 39 La variabl nodal (U a través d sta plicación, la cual pud rprsntar E o H sgún sa l caso). El polinomio qu aproima la solución dntro dl lmnto. La solución dntro dl lmnto mostrado n la Fig..5 s aproima por la función d intrpolación d primr ordn [5], [], [3] (, ) U = a + b + c, (.8) n dond a, b c son coficints constants dsconocidos a sr dtrminados, s l númro dl lmnto dntro dl cual s aproima la solución. Al valuar (.8) n cada uno d los nodos dl lmnto qu s mustra n la Fig..5 s obtin l siguint conjunto d cuacions U (, ) = a + b + c = U, U (, ) = a + b + c = U, U (, ) = a + b + c = U 3, (.9) dond U, U U 3 son las solucions n cada uno d los nodos dl triangulo. El sistma (.9) s scrib n forma matricial como U a U = b. (.0) U c

60 40 Postriormnt, los coficints constants s pudn dtrminar a partir d U a b = U, (.) c 3 3 U 3 lo qu rsulta n { 3}, { 3}, 3 3 { 3}, 3 3 a = U + U + U A b = U + U + U A c = U + U + U A (.) U (, ) 3 U Ω 3 (, ) 3 3 U (, ) Figura.5. Elmnto triangular linal con numración local. Γ dond A s l ára dl lmnto s dfin por la fórmula para la obtnción dl ára d un triangulo con vértics n (, ), (, ) ( 3, 3) [9], A = ( )( 3 ) ( 3 )( ). (.3) Finalmnt, la solución dntro dl lmnto n términos d las solucions n los nodos s obtin al sustituir (.) n (.8) stá dada por 3 U, = N U j. (.4) j= j

61 4 nodo N nodo N 0 nodo nodo 3 nodo 0 nodo 3 (a) (b) nodo 3 nodo N 3 nodo nodo 0 nodo nodo 3 (c) (d) Figura.6. Funcions forma para un lmnto triangular linal: (a) N, (b) N, (c) N (d) vista 3 suprior dl lmnto. Dond las funcion forma N, N N 3 (mostradas n la Fig..6) s dfinn por = {( ) + ( ) + ( ) } N, , A = {( ) + ( ) + ( ) } N, , A = {( ) + ( ) + ( ) } N3,. A (.5) Las funcions forma tinn dos propidads importants [3]:. El valor d la función n los nodos dl lmnto s da por i = j, N j( i, i ) = i, j =,,3. (.6) 0 i j,

62 4. La suma d las funcions forma s igual a la unidad, sto s, 3 N j (, ) =. (.7) j= II.4. Formulación dl sistma d cuacions Una v qu s han slccionado las funcions d intrpolación, s dduc l sistma d cuacions a través dl cual s obtin la solución numérica dl problma. II.4.. Dducción d las matrics locals d lmnto finito El rsiduo para la cuación difrncial (.) s dfin por U U r (, ) = + + k U. (.8) Emplando l método d Galrkin, dond la función d pondración s igual a la función d pruba (vr [5], [3], [7], ntr otros), s stablc la prsión corrspondint a la intgral dl rsiduo pondrado para l lmnto como Ri = Ni r dω, i =,, 3. (.9) Ω Al sustituir (.8) n (.9) s obtin U U Ri = N,,,3 i + + k U dω i =. (.0) Ω La formulación débil d (.0), cua dducción pud consultars n l apéndic B, s scrib como

63 43 N i U Ni U R i = + dω + k N i U dω Ω Ω U U + N,,,3, i + i n dγ i = Γ (.) dond son vctors unitarios n la dircción rspctivamnt, n s un vctor unitario normal a la lína d intgración, sto s, normal a la frontra Γ dl lmnto. Con l propósito d compltar la prsión qu dnota la intgral dl rsiduo pondrado dl lmnto s sustitu (.4) n (.); lo antrior arroja como rsultado Al dfinir 3 3 N N i j N N j i R i = U j j + dω + k U N i N jdω Ω j Ω = j= U U + N,,,3. i + i n dγ i = Γ (.) T { U } = { U, U, U3}, (.3) K M N N (.4) Ni j Ni j i, j= d, Ω Ω (.5) i, j= N, in jdω Ω U U gi = N, i + i n dγ (.6) Γ la prsión (.) s scrib n forma matricial como { } { } { } { } R = K U + k M U + g. (.7)

64 44 El rsiduo las matrics vctors locals d coficints para l lmnto (prsión (.7)) s conforman, a partir d (.4)-(.6), como R K, K, K,3 R = R, K = K, K, K,3, R 3 K3, K3, K 3,3 { } (.8) M, M, M,3 g M = M, M, M,3, { g } = g. M 3, M3, M 3,3 g 3 Las matrics dadas por K M (prsntadas n las rfrncias [5], [7], [3]) stán K = ( 3 ) ( 3 ), 4A + K = 4A + K = 4A + K = ( 3 ) ( 3 ), 4A + K = 4A + K33 = ( ) ( ), 4A + K = K, K = K, K = K, ,, (.9), A M =. (.30) Con fins d simplificación s dfin la matri I como I = K + k M. (.3)

65 45 II.4.. Dducción d las matrics d la frontra virtual S considra la guía d onda d planos parallos d la Fig..; cuo dominio s discrtia n lmntos triangulars linals tal como s prsnta n la Fig..7. En sta figura s mustra como n los nodos dond s intrscan una frontra virtual una frontra PEC no s aplica la condición para frontra virtual; lo antrior obdc a qu n dichos nodos l valor prdtrminado d la solución (a causa d qu prdomina [5]. Γ m ) s l Γ m ( 3, 3 ) Γ Γ b (, ) (, ) Γ m (a) (b) Γ m b Γ ( ) 3, 3 (, ) Γ (, ) Γ m (c) (d) Figura.7. Guía d onda d planos parallos discrtiada n lmntos triangulars: (a) Elmnto Γ, (b) Frontra virtual Γ, (c) Frontra virtual Γ (d) Elmnto con Γ. con 3

66 46 Sustitundo la condición (.4) n (.6) para l lmnto cuo lado 3 s ncuntra n la frontra Γ s obtin: N U g = N d Γ, para 3 Γ, (.3) Γ N 3 { } dond U = jk U + jk RU jk 0 0 jk = jk U jk U, n Γ, jk 0, (.33) ntoncs, fijando qu n Γ 0 rplanta como = aplicando N ( ) N ( 3 3), =, = 0, (.3) s U N g jk N N U = d 3 N 3 U 3 { } 0 { 0 3} 0 3 Γ 3 N 3 jk U 0 d, para, N (.34) { } dond la solución d U n los nodos dl lmnto s dnota por,, U U U 3. Dbido a qu l nodo no participa n sta opración s pud obsrvar con l auilio d la Fig..7(a), qu la intgral crrada s convirt n una intgral abirta dsd 3 hasta. La primra part dl lado drcho d (.34) s un caso particular d (.5), mintras qu la sgunda part s una intgral no complicada. Rsolvindo (.34) s tin como rsultado T

67 47 0 U ( 3) g = jk U 6 0 U 3 ( 3) jku0 0, para 3 Γ. { } (.35) Durant l procso d nsamblado, la primra part dl lado drcho d (.35) s suma a la matri I dl lmnto, lo qu rsulta n 0 ( 3) Ib = I + jk 0 0 0, para 3 Γ, (.36) 6 0 dond I b s la matri I para l lmnto cuo lado 3 s ncuntra n la frontra Γ. D forma similar, s dfin l vctor ( 3) g = jku0 0, para 3 Γ. { b} (.37) Siguindo un procdiminto similar, tomando n cunta qu a partir d (.5) U = jk U, n Γ, (.38) s dduc l valor dl vctor { } n la frontra Γ (vr Fig..7(c)), como g, para l lmnto cuo lado s ncuntra 0 U ( ) 0 g = jk U, Γ U 3 { b} (.39)

68 48 Las prsions (.35) (.39) s aplican actamnt igual tanto para l caso TE con U = E, como para l TM con U = H. II.4.3. Ensamblado dl sistma d cuacions Con la finalidad d plicar l procso d nsamblado, s considra un dominio dmostrativo con valors prdtrminados n la frontra (vr Fig..8). Est dominio cuadrilatral Ω s discrtia n cuatro subdominios triangulars linals ( Ω, con =,, 3, 4 ). U 4 4 ( 4) ( 4) A ( 3) A U U Figura.8. Dominio bidimnsional discrtiado n cuatro lmntos triangulars {()(, )(, 3 ),( 4 )}, con cinco nodos {,,..., 5 }. U 5 ( 3) A 5 3 A U 3 En l caso d dominios bidimnsionals no ist una rgla gnral n la numración global d los nodos qu constitun la rgión d solución discrta. La numración local, por su part, db sguir l mismo ordn n cada lmnto; sto s, l sntido d las mancillas dl rloj o l sntido contrario a las mancillas dl rloj. En sta plicación s utilia la numración global qu s prsnta n la Fig..8. A su v, como lo indican las flchas n dicha figura la información n la Tabla., cada lmnto s numra localmnt n l sntido contrario a las mancillas dl rloj. El sntido n l qu s numran los lmntos localmnt indica la dircción n la cual s ralia la intgral crrada d lína (.6) alrddor d la frontra lmnto. Γ dl

69 49 Tabla.. Rlación ntr nodos globals nodos locals n l dominio mostrado n la Fig..8. Elmnto Nodo local Nodo global A partir d (.3) s rdfin (.7) como { } { } { } R = I U + g, (.40) con R ng Ing,ng Ing,ng I ng,ng3 R = Rng, I = Ing,ng Ing,ng Ing,ng3, R ng3 Ing3,ng Ing3,ng I ng3,ng3 { } (.4) U ng g ng { U } = U ng, { g } = gng, U g ng3 ng3 dond l subíndic ngi, con i =,, 3., indica l nodo global qu l corrspond al nodo local i dl lmnto. Por jmplo, la numración local-ng para ( 4) { } R s: ( 4) ( 4) Rng R4 ( 4) ( 4) ( 4) { R } = Rng = R ( 4) ( 4) Rng3 R5.

70 50 Dsd l punto d vista local, utiliando la información d un solo lmnto, no s posibl dtrminar l rsiduo n cada nodo; sto s, para l nodo : () R =? ( 4) R =.? Sin mbargo, d acurdo a la toría dl método d rsiduos pondrados (vr [5], [3]) R = 0 ; por lo tanto, como ambos rsiduos stán rlacionados al nodo s db cumplir R ( 4) R 0 + =. Dsarrollando R ( 4) R s obtin rspctivamnt, () () () () () R = I U + I U + I U + g,,,5 5 ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) R = I U + I U 4 + I U5 + g,,4,5 raliando la suma () () () () () 4 5 R + R = I + I U + I U + I U + I + I U + g + g = (.4) ,,,,4,5,5 0 La prsión (.4) (una cuación con cuatro incógnitas) inclu la solución n cada uno d los nodos involucrados n los lmntos 4. Al dsarrollar la prsión dl rsiduo n cada uno d los cinco nodos, s pud conformar un sistma d cinco cuacions con cinco incógnitas. Con bas n la información d la Tabla., l rsiduo pondrado { R } s pud dfinir como { } numración numración global local-ng () ( 4 ) R + R () R + R ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 4) R5 R5 R5 R5 R 0 R 0 R = R = R R = 0. R R R 0 R (.43)

71 5 Con l propósito d construir (.43), s dsarrolla (.40) para los cuatro lmntos qu conforman l dominio d la Fig..8 d la siguint manra: () () () () () =, +, +,5 5 + () () () () () =, +, +,5 5 + () () () () () 5 = 5, + 5, + 5, R I U I U I U g R I U I U I U g R I U I U I U g, para =, (.44) R = I,U + I,3U3 + I,5U5 + g R3 = I3,U + I3,3U3 + I3,5U5 + g3 R = I U + I U3 + I U5 + g 5 5, 5,3 5,5 5, para =, (.45) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) R3 = I3,3U3 + I3,4U4 + I3,5U5 + g3 ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) R4 = I4,3U3 + I4,4U4 + I4,5U5 + g4 ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) R = I U3 + I U4 + I U5 + g 5 5,3 5,4 5,5 5, para = 3, (.46) finalmnt ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) R = I,U + I,4U 4 + I,5U5 + g ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) R4 = I4,U + I4,4U 4 + I4,5U5 + g4 ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) R = I U + I U 4 + I U5 + g 5 5, 5,4 5,5 5, para = 4. (.47) Al sustituir (.44)-(.47) n (.43) s obtin l siguint conjunto d cuacions () ( 4) () ( 4) () ( 4) 4,,,,4 4,5,5 5 ( () ) () () () 3 5 ( () ) ( 3) ( 3) ( 3) ( ( 3) ) ( 4) ( 3) ( 3) 4 3 ( 3) ( 4) ( 3) ( 4) U 4 I4,5 I4,5 U5 ( g4 g4 ) ( () ( 4) ) ( () ) ( ( 3) ) ( ( 3) ( 4) ) () () 3 ( 4) ( 3) ( 4) I5,5 + I5,5 + I5,5 + I5,5 U5 + ( g5 + g5 + g5 + g5 ) = 0, R = I + I U + I U + I U + I + I U + g + g = 0, R = I U + I + I U + I U + I + I U + g + g = 0,,,,,3,5,5 R = I U + I + I U + I U + I + I U + g + g = 0, 3 3, 3,3 3,3 3,4 3,5 3,5 3 3 R = I U + I U + I + I 4 4, 4,3 4,4 4, = 0, R = I + I U + I + I U + I + I U + I ++ I U , 5, 5, 5, 5,3 5,3 3 5,4 5,4 4 (.48)

72 5 l cual s pud scribir n forma matricial como () ( 4) () ( 4) () ( 4 ) I, + I, I, 0 I,4 I,5 + I U,5 () () () I, I, + I, I,3 0 I,5 + I,5 U ( 3) ( 3) ( 3) R = 0 I3, I3,3 + I3,3 I3,4 I3,5 + I 3,5 U 3 + ( 4) ( 3) ( 3) ( 4) ( 3) ( 4) I4, 0 I4,3 I4,4 + I4,4 I4,5 + I4,5 U 4 () ( 4) () () 3 () 3 ( 4) () () 3 I5, + I5, I5, + I5, I5,3 + I5,3 I5,4 ++ I5,4 I5,5 + I5,5 + I5,5 + I ( 4 ) 5, 5 U 5 { } (.49) () ( 4) g + g () g + g ( 3) g3 + g3 ( 3) ( 4) g4 + g4 () () 3 ( 4) = g g g g Al dfinir [ ] () ( 4) () ( 4) () ( 4) I, + I, I, 0 I,4 I,5 + I,5 () () () I, I, + I, I,3 0 I,5 + I,5 ( 3) ( 3) ( 3) I = 0 I3, I3,3 + I3,3 I3,4 I3,5 + I3,5, (.50) ( 4) ( 3) ( 3) ( 4) ( 3) ( 4) I4, 0 I4,3 I4,4 + I4,4 I4,5 + I4,5 ( 4) ( 3) ( 3) ( 4) ( 3) I5, + I5, I5, + I5, I5,3 + I5,3 I5,4 ++ I5,4 I5,5 + I5,5 + I5,5 + I ( 4) 5, 5 { } T { U} = U, U, U3, U 4, U5, (.5) { } () ( 4 ) g + g () g g ( 3) ( 3) ( 4) () () 3 ( 4) g5 g5 g5 g5 g g + g = g =, (.5) g + g g g g g + + +

73 53 l sistma (.49) s rscrib como { } [ ] { } { } { 0} R = I U + g =, (.53) o lo qu s quivalnt [ ] { } { } I U = g. (.54) La dimnsión d [ I ], por lo tanto d forma similar la d [ K ] [ M ], s d [ N N ] T, mintras qu T { } U { g } son vctors d [ N ] T ; dond N T s igual al númro d nodos totals dl sistma ( N = 5 para l dominio n la Fig..8). Al dsarrollar g (con (.6)) aplicando la propidad (.6) s obtin: T ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) nodo 4 U U 4 nodo 5 ( 4) ( 4) U U ( 4 ) ( 4) g = N + i n dγ + N + dγ + nodo 4 i n nodo () () () () () () nodo U U nodo () () U U () () + N + i n dγ + N + dγ, nodo 5 i n nodo (.55) dond, como lo indica la Fig..8, la intgración s ralia n l sntido contrario a las mancillas dl rloj. Emplando la notación qu s indica n la Fig..9, dond los vctors unitarios n () a, n (), n ( 4) a n ( 4) son, rspctivamnt, normals a las rgions d intgración Γ, b Γ, b ( 4) a Γ Γ ( 4) b b, s rscrib (.55) como a ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) nodo 4 U U 4 nodo 5 ( 4) ( 4) U U ( 4 ) ( 4) g = N + i na dγ a + N + nodo 4 nodo b dγ b + i n () () () () () () () () () + + Γ + + Γ nodo nodo () U U U U N i na d a N nodo 5 i n nodo b d b. (.56)

74 54 (a) (b) Figura.9. Elmntos con vctors unitarios normals a las rgions d intgración: (a) lmnto 4, (b) lmnto (c) lmntos 4. (c) Con bas n N = N, n ( 4) b = n a (.7) s stablc lo siguint: ( 4) () () () () i i. 4 4 nodo 5 ( 4 4 nodo ) U U 4 U U N + n a a nodo b dγ b = N + n dγ nodo 5 (.57) Lo antrior indica qu las intgrals a lo largo dl lado por l qu stán unidos los lmntos 4 s anulan mutuamnt; por lo tanto, (.56) s simplifica a ( 4 ) () nodo ( 4) U ( 4 nodo ) U (). (.58) g = N dγ + N dγ nodo 4 nodo Emplando l mismo critrio, las prsions para los nodos -5 stán dadas, rspctivamnt, por

75 55 () ( ) nodo () U () nodo 3 U, (.59) g = N dγ + N dγ nodo nodo ( ) ( ) nodo 3 U ( nodo 4 ) ( 3) U ( 3), (.60) g3 = N3 dγ + N3 dγ nodo nodo 3 ( 3 ) ( 4 ) nodo 4 ( 3) U ( 3 nodo ) ( 4) U ( 4), (.6) g4 = N4 dγ + N4 dγ nodo 3 nodo 4 g 5 = 0. (.6) Con bas n (.58)-(.6) s pud dducir qu los lados d los lmntos qu s ncuntrn dntro d la rgión d solución (no n la frontra) no contribun al vctor { g }; por lo tanto, l valor d st vctor n los nodos dond s unn solo lados intrnos, como lo indica (.6), srá igual a cro. II.5. Aplicación d las condicions d frontra El último paso prvio a la solución dl sistma d cuacions s l d la aplicación d las condicions d frontra. Para l caso d guías d onda, tal como s mustra n la scción II.4., la condición d las frontras virtuals s aplica al mismo timpo qu s valúa la matri local I l vctor local { } g cuando uno d los lados dl lmnto s ncuntra n una frontra virtual. En contrast, la condición d frontra PEC s aplica una v qu las matrics locals { g } s han valuado nsamblado para todos los lmntos dl sistma. I los vctors locals A continuación s prsnta l procso d aplicación d las condicions d frontra PEC mplando l sistma nsamblado (.54), dsarrollado a partir dl dominio n la Fig..8. Con st propósito, s considra a los nodos -4, d dicha figura, como prtncints a una frontra Dirichlt-PEC para l caso TE a una Numann-PEC para l caso TM.

76 56 II.5.. Condición d frontra Dirichlt-PEC En st caso s dfin U = E (.49) s rscrib como () ( 4) () ( 4) () ( 4) () ( 4) ( I, + I, ) E + ( I, ) E ( I,4 ) E4 + ( I,5 + I,5 ) E5 = ( g + g ) () () () () ( I, ) E + ( I, + I, ) E + ( I,3 ) E ( I,5 + I,5 ) E5 = ( g + g ) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) 0 + ( I3, ) E + ( I3,3 + I3,3 ) E3 + ( I3,4 ) E4 + ( I3,5 + I3,5 ) E5 = ( g3 + g3 ) ( 4) ( 3) ( 3) ( I4, ) E ( I4,3 ) E3 + I4,4 + ( 4 ( 3) ( 4) ( 3) ( 4) I4,4 ) E4 + ( I4,5 + I4,5 ) E5 = ( g4 + g4 ) () ( 4) () ( 3) ( 3) ( 4) ( 3) ( 4) ( I5, + I5, ) E + ( I5, + I5, ) E + ( I5,3 + I5,3 ) E3 + ( I5,4 + I5,4 ) E4 + ( I5,5 + I5,5 + I5,5 + I5,5 ) E5 = 0, (.63) T dond { E } = { E, E, E, E, E } son las solucions n los nodos dl dominio mostrado n la Fig..8. Con fins dmostrativos s asum qu los nodos corrspondints a la frontra d T Dirichlt tinn valors prdfinidos { Db} = { Db, Db, Db, Db }. S sustitu E = Db n (.63), ntoncs, ésta s modifica a 3 4 E = () () () () 0+ ( I, + I, ) E + ( I,3 ) E ( I,5 + I,5 ) E5 = ( g + g ) ( I, ) Db ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) 0 + ( I3, ) E + ( I3,3 + I3,3 ) E3 + ( I3,4 ) E4 + ( I3,5 + I3,5 ) E5 = ( g3 + g3 ) ( 3) ( 3) ( I4,3 ) E3 + I4,4 + I ( 4 ( 3) ( 4) ( 3) ( 4) ( 4) 4,4 ) E4 + ( I4,5 + I4,5 ) E5 = ( g4 + g4 ) ( I4, ) Db () ( 3) ( 3) ( 4) ( 3) ( 4) () ( 4) 0 + ( I5, + I5, ) E + ( I5,3 + I5,3 ) E3 + ( I5,4 + I5,4 ) E4 + ( I5,5 + I5,5 + I5,5 + I5,5 ) E5 = ( I5, + I5, ) Db. Db (.64) D la misma forma s sustitu E = Db, E 3 = Db3, E 4 = Db4 d sta manra (.63) s transforma a E = 0 + E = E = E + 0= 4 Db Db Db Db 4 5,5 5,5 5,5 5,5 5 5, 5, 5, 5, 3 () ( 3) ( 3) ( 4) ( 5,3 5,3 ) ( 5,4 5,4 ) ( I + I + I + I ) E = I + I Db I + I Db I + I Db I + I Db, 3 4 (.65)

77 57 scrito n forma matricial Db E Db E Db E3 = Db E 4 () ( 4) () ( I + I 5, 5, ) Db I + I Db 3 4 5, 5, ( I5,5 I5,5 I5,5 I5,5 ) E5... I + I Db3 I + I Db4 ( 3) ( 3) ( 4) ( 5,3 5,3 ) ( 5,4 5,4 ) (.66) El sistma (.66) prsa al sistma (.54) una v qu las condicions d frontra d Dirichlt s han aplicado. Al imponr (.) n l sistma dmostrativo (.66), s obtin qu todos los lmntos dl vctor { g } son igual a cro, sto s E E 0 ; (.67) E 4 0 ( 3) ( 4) ( I5,5 + I5,5 + I5,5 + I 5,5 ) E E3 = 0 sin mbargo, tal como s mustra n la scción II.4., n sistmas d cuacions dsarrollados a partir d dominios prácticos (como l d la Fig..7), d forma indistinta para los casos TE TM, l vctor { g } cunta con valors difrnts d cro n los nodos corrspondints a la frontra virtual d ntrada (prsión (.37)). II.5.. Condición d frontra Numann-PEC En st caso s dfin U = H. La condición d Frontra d Numann-PEC s implmnta al sustituir dirctamnt n (.5) (tomando n cunta (.58)-(.6)) la condición H n = 0, sto s,

78 58 ( 4) () nodo ( 4) H ( 4 nodo ) H () N = 0 dγ + N = 0 dγ nodo 4 nodo () nodo nodo 3 () H () H N = 0 dγ + N = 0 dγ 0 nodo nodo 0 g = ( ) nodo 3 no H ( do 4 ) ( 3) H ( 3) = 0. N3 = 0 dγ + N3 = 0 dγ nodo nodo 3 0 ( 3) ( 4) 0 nodo 4 nodo ( 3) H ( 3) ( 4) H ( 4) N4 = 0 dγ + N4 = 0 dγ nodo 3 nodo 4 0 { } (.68) Considrando lo antrior, l sistma (.54) s prsa d la siguint forma: () ( 4) () ( 4) () ( 4) ( I, I, ) I, 0 I,4 ( I,5 I,5 ) () () I, ( I, + I, ) I,3 0 ( I,5 + I,5 ) ( 3) ( 3) ( 3) 0 I3, ( I3,3 + I3,3 ) I3,4 ( I3,5 + I3,5 ) ( 4) ( 3) ( 3) ( 4) ( 3) ( 4) I4, 0 I4,3 ( I4,4 + I4,4 ) ( I4,5 + I4,5 ) () ( 4) () ( 3) ( 3) ( 4) ( 3) ( 4) ( I5, + I5, ) ( I5, + I5, ) ( I5,3 + I5,3 ) ( I5,4 + I5,4 ) ( I5,5 + I5,5 + I5,5 + I5,5 ) + + H 0 H 0 H3 = 0. H 4 0 H 5 0 (.69) El sistma (.69) prsa a (.54) una v qu las condicions d frontra d Numann-PEC s han aplicado. Como s mnciona n l caso antrior, n sistmas prácticos, l vctor { g } cunta con valors difrnts d cro n los nodos corrspondints a la frontra virtual d ntrada, indpndintmnt dl tipo d condición d frontra PEC qu s apliqu n dicho sistma. Al comparar ambas condicions d frontra s pud concluir qu, n la práctica, la condición d frontra d Numann s implmnta con maor simplicidad; n contrast, l sistma con condicions d frontra d Dirichtlt cunta con un númro mnor d incógnitas (dbido a qu la solución dl sistma n los nodos n la frontra s prviamnt conocida).

79 Rdfinindo rspctivamnt a [ I b ] { g b }, como [ I ] { } 59 g dspués d la aplicación d las condicions d frontra d (Dirichlt, Numann /o virtual, sgún sa l caso), los valors d U s pudn ncontrar a través d { } { U} = [ Ib] { gb}. (.70) Inicio Establciminto dl problma (.) Discrtiación dl dominio (dfinición d NT ). Aplicación d: Dirichlt (.) ó Numann (.3). Slcción d las funcions d intrpolación (.8). Evaluación d K (.9) M (.30) para l lmnto. si = Prtnc a la frontra virtual? Evaluación d (.35) para purto d ntrada ó (.39) purto d salida. no { g } = 0 Evaluación dl sistma [ ] { } { b} I U = g. b Obtnción d { U }. Cálculo d solución aproimada n cualquir punto dl dominio a partir d (.4). Fin Ensamblado d K { g } n [ ] M,, I, { } g. si = + < NT no Figura.0. Diagrama d flujo d FEM.

80 Rcordando qu l vctor { U } prov los valors aproimados a la solución d (.) n los nodos, la solución aproimada n cualquir punto dntro dl dominio Ω s pud obtnr a través d la prsión (.4). 60 II.6. Diagrama d flujo d FEM El análisis d un problma d lctromagntismo, con variación armónica con rspcto al timpo, mplando l método d lmnto finito s dscrib a través dl diagrama d flujo mostrado n la Fig..0. II.7. Rsolución d la malla La rsolución d la malla s un parámtro qu indica l númro d lmntos por longitud d onda mplados n la solución d un problma. Para casos unidimnsionals s dfin, sgún [30], como λ n rs = constant, (.7) h dond λ s la longitud d onda d la solución h s la longitud d los lmntos n los qu s discrtia l dominio. Para problmas qu s rsulvn para n longituds d onda ( λ, λ,..., λ n ) la prsión (.7) s quivalnt a n rs λ λ λ... constant h h h n, (.7) n dond h, h,..., h n son las longituds d los lmntos ncsarias para satisfacr (.7) con rspcto a λ, λ,..., λ n. D acurdo a Babuska t al. [30], usualmnt s rcominda n la práctica n rs = 0. La figura. mustra como un mismo dominio

81 6 unidimnsional Ω, con l propósito d cumplir con la condición n rs = 4, s discrtia n dos cantidads d lmntos distintas n rlación a dos longituds d onda distintas. El propósito dl uso d una rsolución d malla dtrminada s: qu n los casos n dond s prtnda solucionar problmas con difrnts valors d λ, l rror por discrtiación sa dl mismo ordn para cada uno d llos. (a) Ω h h n λ rs = = h 4 h h λ Ω h h (b) h h λ λ λ n λ rs = = h 4 Figura.. Rsolución d malla n = 4 para dos difrnts longituds d onda: (a) λ rs, h =Ω /( 4 lmntos) (b) λ, h =Ω /( lmntos). Para problmas bidimnsionals d guías d onda, s dfin la rsolución d la malla n la dircción d propagación como nrsg = λg / hg constant, (.73) dond λ g s la longitud d onda n la guía (dtrminada a partir d (.89)) h g la longitud d los lmntos n la dircción d propagación (quivalnt a la dircción n la Fig..).

82 6 hp = h h h g = h h Figura.. Guía d onda rctangular discrtiada n lmntos triangulars linals. En la scción I.7.3 s stablc qu la solución d la cuación d Hlmholt n la dircción prpndicular a la propagación, cuando la frcuncia d opración s ncuntra dntro dl modo fundamntal ( ( f ) f ( f ) < < ), s igual a un smiciclo. c 0 op c 0 Esto s prsnta n la Fig..3, la cual mustra l comportaminto d E con rspcto a n una guía d onda como la d la Fig.., a una frcuncia d opración dntro dl ancho d banda dl modo TE 0. ( E ) 0 n rsp b = = 6 h p 0 hp h = h b Figura.3. Distribución d E ( ) para una f op dntro d la banda dl modo TE. 0 Partindo d lo antrior, con bas n (.73), s dfin la rsolución d la malla n la dircción prpndicular a la propagación como n rsp b =, (.74) h p

83 63 dond b s l ancho d la guía d onda (quivalnt a la longitud d un smiciclo) h p s la longitud d los lmntos n la dircción prpndicular a la propagación; h p = h para una guía d onda como la qu s mustra discrtiada n la Fig... S supon un problma qu s rsulv con n difrnts frcuncias d opración ( f < f <... < f ), por lo tanto, rspctivamnt, con n difrnts longituds d op op opn onda d opración ( λ > λ >... > λ ); a partir d las cuals, también op op opn rspctivamnt, s obtinn n difrnts longituds d onda n la guía dnotas por λg > λg >... > λgn. (.75) Al fijar una rsolución n la guía d n rsg constant, con bas n (.73) s stablc: n n... n constant, (.76) rsg rsg rsgn dond n rsgi s rlaciona a λ gi para i =,,..., n. Con l propósito d satisfacr (.76), dbido a qu (.75) s un dato fijo dl problma, s db cumplir: h > h >... > h, (.77) g g gn dond h gi s rlaciona a λ gi para i =,,..., n. Tomando n cunta qu n st trabajo s utilian solamnt mallas dond h g = h, con bas n (.74)-(.77) s dduc: p n < n <... < n, para hg = hp. (.78) rsp rsp rspn La prsión (.78) indica, n contrast con (.76), qu n rsp s mnor a mdida qu la frcuncia d opración disminu. En la siguint scción s analia (.78) n función d la frcuncia d opración d difrnts valors d n rsg.

84 64 II.8. Dtrminación d la rsolución d la malla S obtin l rror ntr la solución analítica d E (prsión (.77)) la solución numérica calculada a través FEM n l modo TE, mplando mallas con difrnts valors d n rsg guía d planos parallos con, para difrnts frcuncias d opración. Lo antrior s ralia n una b = 4 cm, n la cual las frcuncias qu dlimitan la banda dl modo fundamntal son ( f c ) 0 = 3.75 GH ( c ) GH f =. Para l caso dl rror norma L [5], las mdicions s hacn a una distancia d por lo mnos una longitud d onda λ g d las frontras virtuals (ntrada salida). Para l caso dl rror norma L [5], s considran todos los nodos dntro dl dominio. rror L n rsg 40 n rsg 50 n rsg 70 n rsg 00 rror L / NodosTotals n rsg 40 n rsg 50 n rsg 70 n rsg f op /(f c ) f op /(f c ) 0 (a) (b) Figura.4. Error ntr las parts rals d la solución analítica solución numérica para E con difrnts rsolucions: (a) norma L (b) norma L promdiada sobr l númro d nodos totals. La figura.4 mustra qu l comportaminto dl rror s similar n las normas L L. Para ambas normas, l rror con rspcto a las frcuncias disminu a mdida n rsg aumnta. Con rspcto a los valors d n rsg calculados, l rror aumnta a mdida qu la frcuncia d opración disminu; sin mbargo, para n rsg 00 la

85 65 magnitud dl rror con rspcto a las frcuncias valuadas s rlativamnt uniform. Adicional a lo antrior, la Tabla. mustra qu para la frcuncia d opración mnor calculada ( f 4.44 GH λ = 6.75 cm ), cuando s utilia op nrsg 00, l valor d la rsolución n la dircción prpndicular a la propagación s nrsp 64, la cual s sustancialmnt maor qu la rcomndada por Babuska t al. n [30] d n rs = 0. op Tabla.. Información d ntrada dl cálculo numérico d E (con b = 4 cm ) a través d FEM para difrnts frcuncias d opración con n 00. rsg λ ( GH) (cm) op f / f λ (cm) f op op ( c ) 0 g h g = h (cm) p rsg n n rsp nodos n p

86 66 Capítulo III Rsultados numéricos mplando l método d lmnto finito Hasta st punto s han prsntado los fundamntos d la toría lctromagnética la formulación dl método d lmnto finito n dos dimnsions. Con bas n dicha información s dsarrollan programas d computadora n MATLAB (vr [46]) para la obtnción d la distribución dl campo léctrico dl cálculo d los coficints d transmisión rflión (caractrísticas d disprsión), n l plano-h, d guías d onda d planos parallos. En sta scción s prsntan los rsultados numéricos obtnidos al aplicar FEM n l análisis d las caractrísticas d disprsión para l plano-h d guías d onda homogénas n forma d L n forma d T.

87 67 III.. Amplitud d la onda S analia la amplitud dl campo léctrico ( E 0 ) al rsolvr la cuación d Hlmholt (cuación (.)) para U = E (plano-h), n una guía d onda d planos parallos como la qu s mustra n la Fig.., mplando FEM. Est análisis s ralia con difrnts frcuncias d opración ( f k( c/π ) op = ) dntro dl modo fundamntal (vr Tabla 3.). Los cálculos numéricos n sta scción s ralian con las siguints considracions para todos los casos: Los cálculos s ralian para una onda incidnt n l modo TE 0 (plano-h, dntro d la banda dl modo fundamntal). S considran guías d onda d planos parallos, homogénas, con un gruso b = 4 cm ( ( c ) GH f b =, S utilian mallas con h g = h p. ( c ) GH f b = ). Las mdicions n todos los casos s ralian a una distancia d por lo mnos una longitud d onda ( λ g ) tanto d la discontinuidad como d las frontras virtuals. Los rsultados para n rsg 40, nrsg 50, nrsg 70 n rsg 00, s prsntan n la Fig. 3.. Tabla 3.. Datos d ntrada dl cálculo numérico d difrnts frcuncias d opración. E (con b = 4 cm ) a través d FEM para λ ( GH) (cm) op f / f (cm) f op op ( c ) 0 λ g La figura 3. mustra como a mdida qu l valor d n rsg aumnta, la magnitud d la amplitud d E, n cada una d las frcuncias valuadas, convrg a un valor

88 68 dtrminado. Para l caso n rsg 00, la difrncia ntr E 0 dl problma valuado con l mnor valor d n rsp ( fop = 4.44 GH nrsp 64 n la Tabla.) E 0 dl problma valuado con l maor valor d n rsp ( f = 7.06 GH nrsp 60 n la op Tabla.) s dl ordn d 0 4. E 0 (n rsg, f op ) / E 0 (n rsg 00, f op =.88(f c ) 0 ) n rsg 40 n rsg 50 n rsg 70 n rsg f op /(f c ) 0 Figura 3.. Comportaminto d la amplitud d la part ral d E n una guía d onda d planos parallos mplando FEM con n 40, 50, rsg La distribución d E dl caso n rsg 00, para cada una d las frcuncias calculadas n sta scción, s mustra n l apéndic C. III.. Cálculo numérico d las caractrísticas d disprsión En sta scción s obtinn numéricamnt las caractrísticas d disprsión n guías d onda n forma d L n forma d T. Los cálculos numéricos n sta scción s ralian con las siguints considracions para todos los casos: Los cálculos s ralian para una onda incidnt n l modo TE 0 (plano-h, cua frcuncia s ncuntra dntro d la banda dl modo fundamntal).

89 69 S valúan los casos qu s prsntan n la Tabla 3.. S considran guías d onda d planos parallos, homogénas, con un gruso = = = = ( f ( b ) =, b b b b3 4 cm S utilian mallas con h g = h p. ( c ) GH ( c ) GH f b = ). S utilia una rsolución n la dircción d propagación n rsg 00. inc S considra como amplitud d la onda incidnt ( E 0 ), a la información obtnida n la scción III., para una guía d onda d planos parallos convncional, con n rsg 00. Lo antrior s quivalnt a colocar la frontra virtual d salida n la lína qu divid a RI RIII n la Fig. 3.(a); así como si ésta s colocara n la lína qu divid a RI RIV (o a RIII RIV) n la Fig. 3.6(a) Las mdicions n todos los casos s ralian a una distancia d por lo mnos una longitud d onda ( λ g ) tanto d la discontinuidad como d las frontras virtuals. III... Guía d onda n forma d L S obtinn numéricamnt los coficints d transmisión (τ ) rflión (ζ ), así como la rlación d onda stacionaria (SWR ), d la guía d onda homogéna n forma d L mostrada n la Fig. 3., para las frcuncias d la Tabla 3. n l plano- H. El jmplo d una posibl discrtiación d la malla d lmnto finito s mustra n la Fig. 3.(b). El parámtro l, n dicha figura, s mpla para modificar la structura d la guía d onda con l objtivo d analiar l comportaminto d las caractrísticas d disprsión. Para l caso d l = 0, la structura d la guía d onda s la qu s prsnta n la Fig. 3.(a). La rgión d discontinuidad d sta structura s dnota por la rgión III (RIII).

90 70 (a) (b) Figura 3.. Guía d onda homogéna n forma d L con pards PEC: (a) Rprsntación gométrica (b) Ejmplo d discrtiación n lmntos triangulars. El coficint d transmisión n l purto ( τ p ), dnota la rlación ntr la potncia d la sñal transmitida a través dl purto ( P incidnt qu ingrsa por l purto ( P siguint prsión: inc p trans p ) la potncia d la sñal ). Dicho parámtro s calcula mplando la trans RII P E p 0 p inc inc Pp E0 τ = =, (3.) RII dond E 0 indica la amplitud d la onda n RII (sñal transmitida), mintras qu inc E 0 la amplitud d la onda incidnt. La rlación (3.) s válida para cálculos n los cuals la solución dl problma sa dl tipo (.77), la frcuncia d opración s ncuntr dntro dl modo fundamntal la rgión d solución s homogéna. Con bas n la l d la consrvación d la nrgía ( ζ + τ = ), l coficint d rflión n l purto ( ζ p ) s calcula a partir d ζ = τ. (3.) p p

91 7 Por último, l SWR [3] s obtin a partir d + ζ + ζ SWR= ζ ζ p p. (3.3) La figura 3.3 mustra una comparación ntr los rsultados obtnidos para l SWR utiliando difrnts valors d l la información prsntada n la Rf. [3]. En sta figura s obsrva qu los datos obtnidos n st trabajo a través d FEM mustran clnt similitud con los prsntados n dicha rfrncia mplando Boundar Elmnt Analsis. SWR l = 0 (FEM) l b / (FEM) l b /.5 (FEM) l = 0 (Rf.[ 3 ], Fig.4b) l b / (Rf.[ 3 ], Fig.4b) l b /.5 (Rf.[ 3 ], Fig.4b) f op /( f c ) 0 Figura 3.3. Comportaminto dl SWR n una guía d onda n forma d L para l plano-h para l = 0, l b/3.333 l b/.5 n comparación con la Rf. [3]. Al analiar la Fig. 3.3 s pud stablcr qu los mjors rsultados s obtinn cuando l b/.5, a qu no solo s st caso l qu prsnta los valors más bajos d SWR sino qu también st parámtro s comporta con maor uniformidad n l ancho d banda dl modo fundamntal. En la Fig. 3.4 s prsnta l comportaminto d los coficints d transmisión rflión para l = 0, l b/5, l b/4, l b/3, l b/, l b/.5 l b.

92 7 Potncia Normaliada Potncia Normaliada Potncia Normaliada τ p ( l b / 4 ) ζ p (a) f op /( f c ) τ p (FEM) ζ p (FEM) τ (Rf.[ ], Fig.4.0) p 33 ζ p (Rf.[ 33], Fig.4.0) τ p ( l = 0 ) τ p ( l b / 5 ) τ p ( l b / 4 ) τ p ( l b / 3 ) (c) l = f op /( f c ) f /( f ) op c 0 Potncia Normaliada Potncia Normaliada Potncia Normaliada τ p ( l b / 5 ) ζ p f /( f ) op c (b) τ p ( l b / 3 ) ζ p f op /( f c ) (d) τ p ( l b / ) ζ p f /( op f ) c 0 () (f) Figura 3.4. Coficints d transmisión rflión n una guía d onda n forma d L para l plano-h: (a) l = 0, (b) l b/5, (c) l b/4, (d) l b/3, () distintos casos, (f) l b/.

93 73 Potncia Normaliada τ p ( l b /.5 ) ζ p f /( f ) op c 0 Potncia Normaliada τ p ( l b ) ζ p f /( f ) op c 0 (g) (h) Figura 3.4 (continuación). (g) l b/.5, (h) l b. La figura 3.4(a) mustra una comparación ntr los rsultados obtnidos con FEM los prsntados n la Fig. 4.0 d la Rf. [33]. A continuación, con la auda d la Fig. 3.5, s intnta plicar una posibl causa parcial dl comportaminto d los coficints d transmisión rflión n distintos casos. l l 90 d d b b Figura 3.5. Guía d onda n forma d L con puntos d rfrncia. La figura 3.5 mustra una guía d onda n forma d L con dos puntos d rfrncia (, ), n dond s calculan las frcuncias d cort para los modos TE 0 TE 0, con bas n las distancias d ( c ) d, rspctivamnt; sto s, f ( d ), 0 ( c ) f d, 0

94 ( fc ( d )) c 0 f d. La Tabla 3. mustra la información d las distancias 0 frcuncias d cort para los difrnts valors d l calculados. 74 Tabla 3.. Frcuncias d cort n los puntos d rfrncia d la guía d onda n forma d L d la Fig. 3.5 con b = 4 cm. d ( f ( d )) ( ) caso l d ( c ) ( f 0 c( d )) f 0 c 0 c d (cm) (cm) (GH) (GH) (cm) (GH) (GH) l = l b/ l b/ l b/ l b/ l b/ l b La figura 3.4() mustra como a mdida qu l valor d l aumnta, dsd l = 0 hasta l b/3, la magnitud dl coficint d transmisión aumnta ligramnt para todas las frcuncias; sin mbargo, para f op = 7.06 GH ( fop.88( fc ) 0 ) l coficint d transmisión no supra l 5% d la nrgía total para ninguno d stos casos. Lo antrior s podría plicar con bas n qu, a psar qu dicha frcuncia d opración s ncuntra dntro dl modo fundamntal RI RII d la guía d onda, ésta s ncuntra fura dl modo fundamntal d los puntos para los casos prsntados n dicha figura (vr Tabla 3. para l 0, l b/5, l b/4 b l/3); lo qu podría afctar la transmisión d la nrgía cuando la onda viaja través d la discontinuidad. D forma similar, s analian las figuras 3.4(f) ( l = b/) 3.4(g) ( l b/.5 ), n dond la transmisión para todas las frcuncias mjora significativamnt con rlación a los casos antriors. D acurdo a la información para l b/ n la Tabla 3., para st caso la frcuncia d opración f op = 7.06 GH ( fop.88( fc ) 0 ) s ncuntra ligramnt fura dl modo fundamntal dl punto ligramnt dntro dl modo fundamntal dl punto ; n contrast, para l b/.5, la Tabla 3. indica qu 7.06 GH op f = ( fop.88( fc ) 0 ) s ncuntra dntro dl modo

95 75 fundamntal d ambos puntos d rfrncia, lo qu podría plicar su mjora con rspcto al caso d l b/. Finalmnt, s analia la Fig. 3.4(h) ( l b), dond s obsrva qu l coficint d transmisión disminu a mdida qu la frcuncia d opración lo hac también. D acurdo a la Tabla 3., para l 5.30 GH (.4( f c ) 0 b la frcuncia d cort ( c ) 0 f para l punto s d ), por lo tanto, a psar d qu todas las frcuncias valuadas s ncuntran dntro dl modo fundamntal d RI RII d la guía d onda ( dl punto a qu para st caso b = d), ntr más baja sa la frcuncia d opración ( c ) con rspcto a d la discontinuidad. f d, maor srá la rflión qu sufra la onda qu viaj a través 0 Las distribucions d E dntro d una guía d onda n forma d L, para los difrnts casos d f op l analiados n sta scción, s prsntan n l apéndic C. III... Guía d onda n forma d T D forma similar al caso antrior, s obtinn a través d FEM los parámtros τ, ζ SWR, para l plano-h, d la guía d onda homogéna n forma d T mostrada n la Fig (a) (b) Figura 3.6. Guía d onda homogéna n forma d T con pards PEC: (a) Rprsntación gométrica (b) Ejmplo d discrtiación n lmntos triangulars.

96 76 Para l problma d la guía d onda n forma d T s analian dos situacions: A. El purto d ntrada s l purto los purtos d salida son los purtos 3 (la onda incidnt ingrsa por l purto ). B. El purto d ntrada s l purto 3 los purtos d salida son los purtos (la onda incidnt ingrsa por l purto 3). El parámtro l tin la misma función qu n la guía d onda n forma d L. En una guía d onda d st tipo la rgión d discontinuidad s dnota por la rgión IV (RIV n la Fig. 3.6(a)). III...A. Purto d ntrada: purto Para st caso, la guía d onda n forma d T óptima s aqulla qu prsnta la mínima rflión n l purto a lo largo dl ancho d banda más amplio posibl, mintras qu la potncia n los purtos 3 s divid quitativamnt. Los coficints d transmisión n l purto 3, con rspcto a la onda incidnt a través dl purto (vr Fig. 3.6(a)), s calculan rspctivamnt por trans RII P E p 0 p / p inc inc Pp τ = = (3.4) E 0 trans RIII P E p3 0 p3/ p inc inc Pp τ = =, (3.5) E 0 dond (3.4) (3.5) son válidas para problmas n los cuals la solución sa dl tipo (.77), ( f op ) 0 la rgión d solución s homogéna. El coficint d rflión n l purto s obtin a partir d ζ = ( τ + τ ). (3.6) p p / p p3/ p

97 77 Primramnt, s obtin l comportaminto dl SWR para difrnts frcuncias dntro dl modo fundamntal. La figura 3.7 mustra los datos obtnidos comparados con la información prsntada n la Rf. [3]. SWR l = 0 (FEM) l b / 5 (FEM) l b /.54 (FEM) l = 0 (Rf.[ 3 ], Fig.5b) l b / 5 (Rf.[ 3 ], Fig.5b) l b /.54 (Rf.[ 3 ], Fig.5b) f op /( f c ) 0 Figura 3.7. Comportaminto dl SWR n una guía d onda n forma d T para l plano-h: para l = 0, l b/5 l b/.54 n comparación con la Rf. [3]. Como s obsrva n la Fig. 3.7 los datos obtnidos mplando FEM mustran una considrabl similitud con la información publicada por Yong-Yaogn n [3]. Pud obsrvars también qu, dntro d los casos analiados, l qu arroja mjors rsultados s l b/.54. La Fig. 3.8 mustra l comportaminto d los coficints d transmisión rflión, obtnidos mplando FEM, para l = 0, l b/5, l b/4, l b/3 l b/. La información para l = 0 s compara n la Fig. 3.8(a) con los datos publicados por Cho n la Rf. [36] (l cual mpla un procdiminto itrativo funcions d Grn).

98 78 Potncia Normaliada l = f op /( f c ) 0 τ p/p = τ p3/p (FEM) ζ p (FEM) τ p/p = τ p3/p (Rf.[ 36 ], Fig.4) ζ p (Rf.[ 36 ], Fig.4) (a) Potncia Normaliada τ p/p ( l b / 5) τ p3/p ζ p f op /( f c ) 0 Potncia Normaliada τ p/p ( l b / 4 ) τ p3/p ζ p f /( op f ) c 0 Potncia Normaliada (b) τ p/p ( l b / 3 ) τ p3/p ζ p f op /( f c ) 0 Potncia Normaliada (c) τ p/p ( l b / ) τ p3/p ζ p f op /( f c ) 0 (d) () Figura 3.8. Comportaminto d los coficints d transmisión rflión n una guía d onda n forma d T para l plano-h : (a) l = 0, (b) l b/5, (c) l b/4, (d) l b/3 () l b/.

99 79 A partir d los rsultados prsntados n la Fig. 3.8(a) s pud stablcr para l caso l = 0 qu: Las frcuncias rcomndadas para la máima transmisión s ncuntran aproimadamnt ntr (.3) ( f c ) 0 (.5) c 0 f. Una v suprada dicha banda d transmisión rcomndada, l coficint d transmisión disminu a mdida qu la frcuncia d opración aumnta. Por otra part, comparando los cinco casos calculados s pud concluir qu cuando l b/ (Fig. 3.8()) no solo s consigu l coficint d transmisión más alto sino qu admás l comportaminto d ést n las difrnts frcuncias dl modo fundamntal s prácticamnt uniform. Las distribucions d E dntro d una guía d onda n forma d T, para los difrnts casos d f op l analiados n sta scción, s prsntan n l apéndic C. III...B. Purto d ntrada: purto 3 En sta scción s analia, para l = 0, la sgunda situación rspcto a la propagación dntro d la guía d onda n forma d T: cuando l purto d ntrada s l purto 3 los purtos d salida son los purtos (vr Fig. 3.6). Para st caso los coficints d transmisión n los purtos s calculan rspctivamnt por trans RI P E p 0 p/ p3 inc inc Pp3 τ = = (3.7) E 0 trans RII P E p 0 p / p3 inc inc Pp3 τ = =, (3.8) E 0

100 80 dond, d igual forma a los casos antriors, (3.7) (3.8) son válidas para problmas cua solución sa dl tipo (.77), ( f op ) 0 la rgión d solución s homogéna. Mintras tanto, l coficint d rflión n l purto 3 s obtin d forma similar a (3.6) al mplar ζ = ( τ + τ ). (3.9) p3 p/ p3 p / p3 El comportaminto d los coficints d transmisión rflión para st caso ( l = 0 ), s compara n las Figs , con la información prsntada n Liang t al. [35] Park-Eom [34], rspctivamnt. En stas figuras s pud confirmar la similitud d la información obtnida n st trabajo a través d FEM con la calculada a través d la técnica Mod Matching n la Rf. [35] con la prsntada mplando una sri analítica n la Rf. [34]. A difrncia dl caso antrior, n dond la onda ingrsa por l purto s divid n igual proporción ntr los purtos d salida 3, n st caso la nrgía qu ingrsa por l purto 3 s transmit n proporcions distintas a través dl purto (vr Figs ). Potncia Normaliada τ p/p3 (FEM) τ p/p3 (FEM) ζ p3 (FEM) τ p/p3 (Rf.[ 35 ], Fig.4) τ p/p3 (Rf.[ 35 ], Fig.4) ζ p3 (Rf.[ 35 ], Fig.4) f op / (f c ) 0 Figura 3.9. Comportaminto d τ p/ p3, τ p/ p3 ζ p3 n una guía d onda n forma d T para l plano-h, para purto d ntrada: purto 3, n comparación con la Rf. [35].

101 8 Potncia Normaliada τ p/p3 (FEM) τ p/p3 (FEM) ζ p3 (FEM) τ p/p3 (Rf.[ 34 ], Fig.) τ p/p3 (Rf.[ 34 ], Fig.) ζ p3 (Rf.[ 34 ], Fig.) f op / (f c ) 0 Figura 3.0. Comportaminto d τ p/ p3, τ p/ p3 ζ p3 n una guía d onda n forma d T para l plano-h, para purto d ntrada: purto 3, n comparación con la Rf. [34]. Con bas n los datos prsntados s pud concluir qu: Con l propósito d obtnr la máima transmisión n ambos purtos d salida s rcominda utiliar st dispositivo n la banda aproimada d (.3) ( f c ) a 0 (.5) ( f c ). 0 En las Figs s obsrva qu a mdida qu la frcuncia d opración s aproima a la frcuncia d cort dl siguint modo ( f ()( f ) ( f ) = ) l coficint d transmisión n l purto s op c 0 c 0 aproima a la unidad, n forma invrsa τ p/ p3 s aproima a cro.

102 8 Capítulo IV Adaptación d malla La solución d un problma d lctromagntismo a través d FEM rsulta n valors aproimados dl campo dntro dl dominio bajo considración. La prcisión d dicha solución l costo computacional mplado n su obtnción, dpndn d la malla n la qu l dominio s discrtiado. En términos gnrals, mallas uniforms más finas producn solucions más prcisas qu mallas uniforms mnos finas. Una d las caractrísticas d FEM s qu la solución aproimada d un problma n dtrminado dominio s compon d las solucions aproimadas dntro d cada uno d los lmntos n los qu s divid dicho dominio. La solución dntro d un lmnto, por lo tanto, s indpndint d la solución dntro d sus lmntos vcinos. Esta caractrística s aprovchada por los métodos d adaptación d malla, los cuals producn mallas con maor concntración d nodos n áras dond la solución dl problma varía rlativamnt d forma brusca con mnor concntración n las rgions dond la solución s rlativamnt más suav. El dsarrollo la implmntación d los métodos d adaptación d malla cunta con dos motivacions principals: a) la obtnción d una prcisión dtrminada a priori mplando l mnor costo computacional posibl b) la obtnción d la maor prcisión posibl mplando un costo computacional prviamnt dtrminado. El procso gnérico d los métodos d adaptación d malla, mostrado n la Fig. 4., consist n solucionar, con una malla inicial, un problma con un dtrminado método numérico (n st caso FEM), dspués s ralia una stimación dl rror d aproimación a partir d sta información s ajusta la malla; postriormnt s soluciona l problma con dicha malla nuva sprando obtnr una solución más prcisa. El procso continúa d forma itrativa hasta qu la solución

103 83 alcanc un nivl d prcisión dsado o s agot l trabajo computacional prviamnt ddicado a la tara d adaptación. Inicio Gnración d malla inicial Ajust d la malla Procso d nsamblado Estimación dl rror no Solución dl sistma d cuacions Convrgncia? si Fin FEM Adaptación d malla. Figura 4.. Diagrama d flujo dl método d lmnto finito con adaptación d malla [4]. Los métodos d adaptación d malla s difrncian ntr sí, principalmnt, por la forma n qu stiman l rror d aproimación la técnica qu mplan para ajustar la malla. En términos d la forma n qu stiman l rror d aproimación, s tinn los métodos qu stiman l rror lmnto por lmnto (Golias-Tsiboukis [4] Frnads-Girdinio [43], ntr otros) los qu s basan n l principio d quidistribución, l cual busca distribuir l rror d toda la solución d forma quitativa n cada uno d los lmntos n los qu s divid l dominio (por jmplo Thompson t. al [37], Huang-Sloan [39], Chn [38] Mackni [4], ntr otros). En términos d la técnica qu s mpla para ajustar la malla, los métodos d adaptación d malla s dividn, d acurdo a [44], n: tipo-r, tipo-h, tipo-p tipo-hp. En pocas palabras:

104 84 Los métodos tipo- rdistribun los nodos d la malla (cantidad d nodos fija) gnrando una maor concntración n lugars con rlativa alta variación d la solución una mnor concntración n dond la solución s rlativamnt suav. Los métodos tipo-h aumntan l númro d lmntos n las rgions dond la solución varía rlativamnt d forma rápida. Los tipo-p aumntan l ordn dl polinomio (con l qu s aproima la solución dntro d un lmnto) n las rgions d rlativa alta variación n la solución. Finalmnt, los métodos tipo-hp combinan las caractrísticas d los métodos tipo-h tipo-p. La prcisión d la solución al mplar los métodos tipo-h, p, o hp pud sr tan alta como lo dtrmin l usuario ( lo prmita la capacidad computacional disponibl), aunqu su implmntación involucra un nivl d compljidad considrabl. En contrast, a psar d qu los métodos tipo-r s implmntan con maor simplicidad ( cantidad d nodos fija quival a structuras d datos sin modificacions ), la prcisión qu s pud alcanar con una malla con una cantidad d nodos fija stá acotada por la distribución óptima d sus nodos (malla óptima). Una malla óptima, n términos d adaptación d malla tipo-r, s aqulla cua distribución d nodos prmit obtnr la máima prcisión n la solución d un problma dtrminado. En st capítulo s prsnta la formulación d un método d adaptación d malla tipo-r, l cual utilia l principio d quidistribución como stimador (o dtctor) dl rror d aproimación. Para st propósito, s considra al método numérico como un bloqu, cua información d ntrada s una malla cua información d salida s la solución numérica d dtrminado problma. Est dsarrollo prtnd, principalmnt, plicar con cirto dtall la información prsntada n l tto d Thompson t. al [37] las publicacions d Huang-Sloan [39] Mackni [4]. Finalmnt s implmnta l método n la solución d la cuación d Laplac n un dominio bidimnsional n forma d L.

105 85 El procso d adaptación d malla tipo-r mplando quidistribución srá rfrido a partir d st punto como procso d adaptación d malla. IV.. Lao d rtroalimntación d adaptación d malla La figura 4. mustra l diagrama d flujo gnral d la solución d un problma a través d FEM mplando un númro prdtrminado d itracions dl procso d adaptación d malla. Inicio Malla inicial FEM Itracions dl procso d adaptación compltadas? no si Fin PROCESO DE ADAPTACIÓN DE MALLA Malla nuva Figura 4.. Lao d rtroalimntación d adaptación d malla. Idalmnt, l númro d ciclos n l lao d rtroalimntación d adaptación d malla db sr l ncsario para obtnr la malla óptima corrspondint al problma bajo análisis. Sin mbargo, dbido a qu la principal motivación dl uso d adaptación d malla s, prcisamnt, la optimiación dl trabajo computacional mplado n l procso d FEM, n st trabajo s utilia únicamnt una itración

106 86 dl procso d adaptación d malla, sto s: ) l problma s rsulv a través d FEM utiliando la malla inicial, ) a partir d stos rsultados s obtin una malla nuva a través dl procso d adaptación,, finalmnt, 3) s rsulv nuvamnt l problma a través d FEM mplando la malla nuva. IV.. Fundamntos d la técnica d quidistribución D acurdo a lo stablcido por Thompson t al. n [37] confirmado por Mackni n [4], s ha dmostrado qu s posibl rducir l rror n la solución numérica d problmas d valors n la frontra, n una dimnsión, al distribuir los nodos d la malla d tal forma qu una función monitor positiva M U( ), la cual s un indicador dl rror o d variacions n la solución U ( ) dl problma, s distribua quitativamnt a lo largo dl dominio. Lo antrior s pud prsar, al considrar una malla d N lmntos ( N + nodos), { } { a 0... N b} prtncint a un dominio unidimnsional Ω = [, ], como f a b = = < < < =, i + b M ( U ) d = Constant M ( U ) d. (4.) i N a La prsión (4.), la cual rprsnta l principio d quidistribución, s pud scribir n forma discrta utiliando cuadratura d punto mdio como h M = Constant N h M i+ i+ i= 0 i+ i+ N, (4.) dond hi = i i, para i = 0,,..., N, (4.3) + +

107 87 i+ i M = M, para i 0,,..., N i+ =. (4.4) Analiando (4.) s pud stablcr, n términos prácticos, qu para qu una malla s considr quidistribuida n los lmntos n dond la magnitud d M i + sa rlativamnt alta la distancia ntr los nodos d dicho lmnto dbrá sr rlativamnt pquña, d forma similar, n los lmntos n dond la magnitud d la función monitor sa rlativamnt baja la dimnsión d h i + dbrá sr rlativamnt alta, así sucsivamnt. Una d las funcions monitor más mpladas s dsarrolla a partir d la longitud d arco ( ds ), d la variación d U ( ) a lo largo dl lmnto qu va d hasta ( ) / + d, sto s, ds = ( d) + du, la cual s conoc como longitud d arco scalonada s dfin n Thompson t al. [37] por M du = + α d /. (4.5) El parámtro ral α 0 controla l nivl d la influncia dl gradint d U ( ) al valuar la función monitor. Cuando α = 0, o cuando la solución s constant ( du / d = 0), la función monitor (4.5) gnra mallas con spaciaminto uniform. En términos gnrals, l uso d funcions monitor basadas n la longitud d arco hac énfasis n la dtcción dl rror n las rgions dond istn variacions rlativamnt rápidas d la solución, o, n otras palabras, nos prmit obtnr rsultados más actos crca d las parts no suavs d U ( ) Chn [40].

108 88 IV... Formulación dl sistma d cuacions Citando litralmnt a Thompson t al. [37]: Es posibl dmostrar qu la distribución d los nodos n una malla s asintóticamnt óptima sí un indicador dl rror s distribuido quitativamnt, qu st rror óptimo s suficintmnt stabl ant prturbacions n dicha malla. Por lo tanto no s ncsario localiar los nodos con csiva actitud. Tomando n cunta lo antrior, n st capítulo s prsnta una implmntación d la técnica d quidistribución lína por lína, la cual mpla difrncias finitas [7] l método d Nwton-Raphson [45].,.., T U = U0 U N, la función Introducindo l vctor d solucions n los nodos { } { } monitor (4.5) s scrib n forma discrta, al utiliar difrncias cntradas, como U U M = + i = N i+ h i+ / i+ i α, 0,,...,. (4.6) Al valuar la part iquirda d (4.) n cada uno d los N lmntos n los qu s discrtia l dominio, s obtin hm hm + N C, C,... =... h M = C, N = = (4.7) dond C s una constant. Con l propósito d liminar C, s sustran prsions adacnts n (4.7), lo qu da como rsultado l siguint sistma d N cuacions, con N incógnitas ({ h} { h h N },..., T = ):

109 89 hm hm... = 0 + hm hm... = =... 3 N... h M h M = 0 N ( N ) N N h + h + h h + h = N (4.8) La cuación númro N dl sistma (4.8) tin como propósito asgurar qu, indpndintmnt d las modificacions qu pudan sufrir las dimnsions d los distintos lmntos n l intnto d satisfacr (4.), la longitud dl dominio ( [, ] Ω = ) prmanca fija, sto s, f a b N hi+ = ( b a). (4.9) i= 0 Con l fin d considrar válida la solución dl sistma (4.8), s db cumplir h i + > 0 para i = 0,,... N. El conjunto d prsions (4.8), scrito n forma matricial como M M h 0 0 M M h =..., (4.0) h M M N 0 ( N ) N hn... constitu un sistma no linal d N cuacions simultánas. Una forma d solucionar st sistma s mplando l método d Nwton-Raphson [45].

110 90 IV... Solución dl sistma d cuacions En sta scción s rsulv l sistma d cuacions d la técnica d quidistribución mplando l método d Nwton-Raphson. Rscribindo (4.8) como ( n) ( n) ( n) ( n) ( n) ( n) ( n) h M h M... = f h, h =... ( n) ( n) ( n) ( n) ( n) ( n) ( n) N ( N ) N N N N N ( n) ( n) ( n) ( n) N... h M h M = f h, h h + h h + h = N (4.) dond l supríndic n indica la itración d Nwton-Raphson a la qu prtnc la información; por jmplo, l stimado inicial d la malla s rprsnta por ( 0 h ) { } (dond n = 0 ). Al linaliar st sistma a través d la pansión d la sri d Talor [45], s obtin f f n... n δ f h ( n) ( n h h ) N h N , (4.) = ( n) ( n) fn f δ N N f N... h ( n) N ( n h h ) N h N ( n )... δ 0 N dond { δ} { δ δ N },..., T = s conoc como variabl d corrcción. La cuación númro N n (4.) garantia qu, indpndintmnt d la corrcción qu puda sufrir la dimnsión d cada lmnto con l propósito d satisfacr (4.) ( finalmnt (4.)), la longitud dl dominio db prmancr fija, sto s, N δi+ = 0. (4.3) i= 0

111 9 Una v qu s obtin { } δ s calcula l nuvo stimado ( ( n ) { h + } ) como ( + ) n n n h h δ... =... + ψ..., (4.4) ( n+ ) ( n) ( n) hn hn δ N dond l propósito d ψ, conocido como parámtro d rlajación, s l d auiliar a la convrgncia dl procso. El supríndic n + índica qu l stimado nuvo s obtin a partir d la información n n. Tal como s propon n Mackni [4], n st trabajo s utilia únicamnt una itración dl procso d Nwton-Raphson. IV..3. Plantaminto n una dimnsión Considrando un procso qu involucra difrnts tapas, s dfinn los vctors T ( κ) ( κ) ( κ) ( κ) { h } = { h, h,..., hn } : Elmntos n κ, T ( κ) ( κ) ( κ) ( κ) ( κ) { U } = { U0 U UN } { h },,..., : Solucions obtnidas mplando, { + N } T ( κ) ( κ) ( κ) ( κ) κ ( κ) { M } = M M M { h } U { },,..., : Funcs. monitor obtnidas mplando,, (4.5) dond l supríndic κ indica la tapa a la qu s rlaciona la información. Partindo d la notación spcificada n (4.5) asumindo qu κ, n st caso, rprsnt la tapa inicial, s posibl jmplificar la situación más probabl d la información qu ingrsa al procso d adaptación d malla como ( κ) ( κ) ( κ) ( κ) ( κ) ( κ) h M h M... hn M. (4.6) N +

112 La prsión (4.6) indica qu la malla { M κ } { h κ } 9 no stá quidistribuida con rspcto a. Sin mbargo, una v qu s implmnta la técnica d quidistribución, tal como s mustra n la Fig. 4.3, s obtin la malla nuva ( κ+ ) { κ+ } κ+ h h κ+, h,..., hn { } =, (4.7) dond κ + indica qu la malla s adaptada con rspcto a la información n κ. PROCESO DE ADAPTACION DE MALLA ( κ ) ( κ ) ( κ ) ( κ ) ( κ ) ( κ ) h M h M... hn M N + Construcción dl sistma d cuacions simultanas EQUIDISTRIBUCIÓN Método d Nwton-Raphson { h κ + } ( κ + ) ( κ ) ( κ + ) ( κ ) ( κ + ) ( κ ) h M h M... hn M N : Malla nuva + Figura 4.3. Diagrama d flujo d la técnica d quidistribución. Con bas n qu (4.7) s obtin a través d un método numérico s stablc ( κ+ ) ( κ) ( κ+ ) ( κ) ( κ+ ) ( κ) h M h M... hn M ; (4.8) N + lo qu indica qu la malla a { M κ } { h κ + }. Sin mbargo, sí a partir d la malla nuva stá aproimadamnt quidistribuida con rspcto { h κ + } s obtuvira { U κ + },

113 postriormnt s sostin para { } garantia qu la malla palabras, dond M κ +, finalmnt s rptiría lo stablcido n (4.6) (a qu (4.8) { M κ } { h κ + } { M κ } no para lmntos nuvos corrspondints n crcanos) dond los lmntos n { M κ } { h κ + } { } 93 M κ + ). A psar d lo antrior, la cuación (4.8) tom n cunta l comportaminto d tnga una magnitud alta (una variación maor d { h κ + } sta malla nuva s utilia n l cálculo d { U κ } { U κ } ; n otras ) los dbrán sr más pquños (nodos más tnga una magnitud baja (una variación mnor d { U κ }) dbrán sr más largos (nodos más aljados). Por lo tanto, sí { U κ + }, considrando qu (dond { U( )} s la solución acta dl problma), s spra obtnr ( κ ) { U } { U } ( κ+ ) { } { } ( κ) { } { } U U < U U, (4.9) sto s, qu la solución { U κ + } raonaminto antrior n forma dtallada: sa más prcisa qu %% Comntario: La malla inicial d la solución dl problma { U( )}. Paso : S calcula Paso : S obtin { U κ } { h κ + } { h κ } { U κ } mplando la malla inicial a partir d { } %% Comntario: La malla h ( κ + ) { U κ } (dond Paso 3: S calcula ( κ ) { U } { U } ). { U κ + } %% Comntario: S spra obtnr. Los siguints pasos plican l no toma n cunta l comportaminto { U κ }. mplando la malla { h κ }. toma n cunta l comportaminto d { } h κ +. ( κ+ ) { } { } ( κ) { } { } U U < U U.

114 94 Partindo d lo antrior, con l propósito d obtnr mallas más ficints a través d las cuals s pudan raliar cálculos con rsultados más prcisos, s pud implmntar l procso d adaptación d malla como un procso itrativo d la técnica d quidistribución (vr Fig. 4.4). U h κ ( h ) ( κ) ( κ) Malla Inicial Cálculo d U κ con h κ κ = κ + h ( U ) ( κ+ ) ( κ) Obtnción d h κ + (Equidistribución) con U κ U ( h ) ( κ+ ) ( κ+ ) Cálculo d U κ + con h κ + Figura 4.4. Diagrama a bloqus gnral dl procso itrativo d la técnica d quidistribución. La figura 4.4 prsnta l plantaminto n l cual mplando una solución nuva { U κ + } s pud obtnr una malla nuva más ficint { h κ + } { } s pud calcular un rsultado todavía más prciso U ( κ + ), a través d la cual, d tal forma qu, sucsivamnt, s form un ciclo virtuoso n l cual la prcisión d los rsultados aumnt a la par dl númro d itracions. Con l propósito d obtnr rsultados más prcisos, l cálculo sucsivo d la solución nuva dntro dl procso d adaptación ( { U κ + } n la Fig. 4.4) podría raliars mplando FEM; sin mbargo, a qu st cálculo forma part dl procso d adaptación d malla (vr Fig. 4.5), qu, dsd l punto d vista práctico (d acurdo a Mackni [4]) dsd l punto d vista dl comportaminto asintótico dl rror (como s mnciona n Thompson t al. [37]), no ist la ncsidad d utiliar trabajo computacional dl mismo ordn n la solución dl problma n l procso d adaptación d malla, ntoncs la solución nuva través d intrpolación linal mplando { h κ }, { U κ } { } h κ +. { U κ + } s obtin a

115 95 La figura 4.5 mustra l diagrama d flujo d la solución d un problma a través d FEM, mplando adaptación d malla. Inicio ( m) { h } Malla Inicial ( m = 0) :. m : Procsos d Adaptación, κ : Itracions d Equidistribución. FEM ( m) { U } Solución FEM (Malla actual) :. Procsos d Adaptación compltados? si κ = 0 (rinicia) no ( κ ) ( m) { h } = h { } ( κ ) ( m) { U } = { U } Fin PROCESO DE ADAPTACIÓN DE MALLA m = m+ ( actualia) { h m } = h κ { } Construcción dl Sistma d Ecuacions Simultanas Método d Nwton-Raphson { h κ + }: Malla Nuva EQUIDISTRIBUCIÓN si Itracions d quidistribución compltadas? no κ = κ + ( actualia) ( { }) { U κ + } intrp { h κ },{ U κ }, h κ + = Figura 4.5. Diagrama d flujo d la solución d un problma a través d FEM mplando adaptación d malla. En dicho diagrama s obsrva, dlimitado por un cuadrilátro puntado, l procso d adaptación d malla dscrito por l siguint algoritmo:

116 96 INICIO ( κ = 0 ) A. Acción: S constru l sistma d cuacions simultanas (4.8) (cálculo d { M} { M, M,..., M } + N = a través d (4.6) con B. Acción: S obtin una malla nuva { h κ + } { h κ } { U κ }). (solución d (4.8) mplando l Método d Nwton-Raphson). C. Toma d Dcisión: Itracions d quidistribución compltadas? si: DETENER. no: CONTINUAR al paso D. D. Acción: S calcula una solución nuva primr ordn con { h κ }, ( κ = κ + ) REGRESAR al paso A. { U κ } { U κ + } { h κ + }). (mplo d intrpolación d El númro d itracions d la técnica d quidistribución dpnd dl tipo d studio qu s prtnda raliar; ést númro s pud fijar a priori o dtrminar a través d algún mcanismo d mdición d ficincia d la malla adaptada o d la solución dl problma (durant la jcución dl procso d adaptación). IV.3. Equidistribución n dos dimnsions En sta scción s implmnta la técnica d quidistribución, lína por lína, para dos dimnsions. Sí s considra un dominio bidimnsional dond s dfin l problma físico T Ωf R, las coordnadas spacials i, j= { i, j, i, j} las línas d coordnadas ξ i = i, i = 0,,..., NX, (4.0) η j = j, j = 0,,..., NY, (4.)

117 97 dond NX NY son, rspctivamnt, l númro d subdivisions n la dirccions (vr Fig. 4.6), dond las coordnadas n los nodos stán dadas por ( ξ, η ) ( ξ, η ) = =, (4.) i, j i j i, j i j ntoncs, sgún [39], [4], una malla localmnt quidistribuida s aqulla qu M ds = M ds = c ( η j ) NX, (4.3) i+, j NX, j i, j 0, j para i = 0,,..., NX j = 0,..., NY i NY M ds = M ds = c ( ξ j ) NY, (4.4) i, j+, i, j i,0 para j = 0,,..., NY i = 0,,..., NX. S considra localmnt quidistribuida, a n lugar d prtndr qu la malla satisfaga l principio d quidistribución n todo l dominio bidimnsional d forma simultána, sto s, M ds Constant NXNY =, (4.5) Ω f cada una d las prsions (4.3) (4.4) corrspond a un problma unidimnsional cua solución rprsnta, rspctivamnt, una distribución d nodos a lo largo d cada una d las línas d coordnadas (4.) (4.0) (vr Fig. 4.6). Partindo d la longitud d arco scalonada d la variación d U, a lo largo dl T lmnto cua suprfici va d = {, } hasta + d = { + d, + d}, sto s, T T ( α {, }{, } ) {, }[ ]{, } T / / ds = du + d d d d = d d M d d, (4.6)

118 98 η NY ηny NX : Númro d subdivisions n, NY : Númro d subdivisions n, η η 0 ξ0 ξ ξnx ξ NX ( NX,, NX,) = ( ( ξnx, η), ( ξnx, η) ) ( NX ) nodo:, ( 0,0, 0,0) = ( ( ξ0, η0), ( ξ0, η0) ) nodo: 0,0 Figura 4.6. Dominio bidimnsional físico Ω. f R la función monitor unidimnsional (4.5) s dfin, d acurdo a [39], [4], para dos dimnsions como [ M ] U U U 0 U U U 0. (4.7) = α + IV.3.. Sistma d cuacions n dos dimnsions En sta scción s prsnta la formulación dl sistma d cuacions para la implmntación dl método d adaptación d malla n dos dimnsions lína por lína.

119 99 S dfin como nlac intrnodal, al punto mdio ntr dos nodos conscutivos; por jmplo, l nlac intrnodal ( i j ) ( i, j) = ( i, j, i, j) ( i, j) ( i+, j, i+, j) + rprsnta l punto mdio ntr los nodos, + =, (vr Fig. 4.7). ( i, j+ ) ( i, j+ ) ( i+, j+ ) ( i+, j+ ) ( i+ j ), ( i, j ) ( i+, j) Nodo Enlac intrnodal Figura 4.7. Nodos nlacs intrnodals S discrtian las cuacions (4.3) (4.4) n los nlacs intrnodals ( i j ) ( i, j+ ), rspctivamnt, como +, para i = 0,,..., NX, j 0,,..., NY T / i+, j i, j i+, j i, j M i, j i, j + = + i, j i+, j i, j c ( η j ) =, dond M, i /, j M ξ η + i + j =,, (4.8) T / i, j+ i, j i, j+ i, j M i, j i, j + = + i, j i, j+ i, j c ( ξ ) i, (4.9)

120 00 para i = 0,,..., NX, j 0,,..., NY =, dond M M ( ξ, i, j i η + j+ ) =. Al dfinir ( h ),, i, j i+ j i j + =, (4.30) ( h ),, i, j i+ j i j + =, (4.3) ( h ), +, i, j i j i j + =, (4.3) ( h ), +, i, j i j i j + =, (4.33) las cuacions (4.8) (4.9) s pudn rscribir, rspctivamnt, como ( h) ( h ) ( h) ( h ) / T i+, j i, j M + = c i+, j i+, j i+, j para i = 0,,..., NX, j = 0,,..., NY, ( h) ( h ) ( h) ( h ) / T i, j+ i, j M + = c i, j+ i, j+ i, j+ para i = 0,,..., NX, j = 0,,..., NY. ( η j ) ( ξ ) i,, (4.34) (4.35) dond para un dominio bidimnsional cuadrilatral [(, ),(, )] [(, ),(, )], a a b b a a c c s db cumplir NX ( h) = ( ) i, j b + a, para j 0,,..., i= 0 NX ( h) = ( ) i, j b + a, para j 0,,..., i= 0 = NY, (4.36) = NY, (4.37)

121 0 NY j= 0 ( h) = ( c a), para i = 0,,..., NX, (4.38) NY j= 0 i, j+ ( h ) = ( c a), para i = 0,,..., NX. (4.39) i, j+ Eliminado las constants ( j ) rspctivamnt, como c η c ξ, las cuacions (4.34) (4.35) s rscribn, i T / T / ( h) i, j h h, h, i j i j i, j M + M + i, j i, j ( h ) + h i, j h i, j h i+, j i+, j = 0, (4.40) para i =,..., NX, j = 0,,..., NY T / T / ( h ) ( h ), h, h, i j i j i j i, j M + M + i, j i, j ( h + ) ( h ) i, j h i, j h i, j+ i, j+ = 0, (4.4) para i = 0,,..., NX, j =,..., NY. Con l propósito d rsolvr los sistmas (4.40) (4.4) mplando l método d Nwton-Raphson, éstos s rscribn, rspctivamnt, como / / h MX h MX i, j i, j i+, j i+, j = 0, (4.4) para i =,..., NX, j = 0,,..., NY / / h MY h MY i, j i, j i, j+ i, j+ = 0, (4.43)

122 0 para i = 0,,..., NX, j =,..., NY, dond ( h) ( h ) ( h) ( h ) T / i+, j i+, j h MX = M i+, j i+, j i, j + i+, j i+, j para i = 0,,..., NX, j = 0,,..., NY, /, (4.44) i, j+ ( h) ( h ) ( h) ( h ) T / i, j+ i, j+ h MY = M i, j+ i, j+ i, j+ i, j+ para i = 0,,..., NX, j = 0,,..., NY. /, (4.45) La prsión (4.4) s similar a NY + sistmas (4.8); mintras qu d la misma forma, la prsión (4.43) s similar a NX + sistmas (4.8). Con la intnción d qu las funcions monitor rgistrn con maor ficincia la variación d la solución, éstas s dfinn d la siguint manra [39]: MX = MX + MX, (4.46) i+, j i+, j+ i+, j MY = MY + MY, (4.47) i, j+ i+, j+ i, j+ dond MX ( h ) = U U i, j α + i+, j+ i+, j+ h i+, j+ i+, j ( h) ( h) U U + h h i+, j i+, j i+, j+ i+, j+ i+, j i+, j / +, (4.48)

123 03 MX ( h ) = U U i, j α + i+, j i+, j h i+, j i+, j U U ( h ) ( h ) i+, j i+, j i, j + +, + ( h ) i, j h + i+, j i+, j / (4.49) a su v, MY MY ( h) ( h ) = U U i, j+ α i+, j+ i+, j+ i+, j+ h i, j+ ( h) U U i, j+ i, j + i, j + +, + + i+, j+ h h i, j+ i, j+ ( h) ( h ) = U U i, j+ α i, j+ i, j+ i, j+ h i, j+ ( h) U U i, j+ i, j + i, j + + ; + i, j+ h h i, j+ i, j+ / / (4.50) (4.5) U Ui+, j+ U i, j+ Ui+, j U i, j = +, (4.5) i+, j+ ( h) ( h ) i+, j+ i+, j Ui, j Ui, j Ui, j U U i, j = +. (4.53) i+, j+ ( h ) ( h ) i+, j+ i, j+ Las drivadas U i+, j U i, j+ s obtinn d forma similar a (4.5), lo mismo qu U i +, j U i, j + con rspcto a (4.53).

124 04 IV.3.. Suaviado d la malla Una d las considracions propustas por Thompson t al. [37] para sr tomadas n cunta al momnto d implmntar fctivamnt alguna técnica d adaptación d malla, s la suavidad n la distribución d los nodos, sto s, qu la concntración d nodos ntr rgions con alta baja variación n la solución sa gradual no brusca. La ausncia d sta caractrística n alguna malla pud rducir l grado d actitud n los rsultados numéricos [37], [39], [4]. D acurdo con Mackni [4], l uso d la técnica d quidistribución n dos dimnsions lína por lína pud gnrar mallas no suavs. Con bas n lo mostrado n las sccions antriors, tal como lo rsaltan Huang-Sloan n [39], s pud obsrvar qu la técnica d quidistribución no cunta con ningún mcanismo para l control d la calidad d la malla. Por tal raón, n sta scción s mpla la stratgia d suaviado mostrada n la rfrncia [39]. Dicha técnica stá basada n lo propusto por Dorfi-Drur n [38] consist n suaviar la función monitor d la siguint manra: MX i+, j j k i + l j i+ + γ = MX k, l 9 + k= i l= j γ +, (4.54) para i =,..., NX, j =,..., NY MY i, j+ j k i + l j i+ + γ = MY kl, 9 + k= i l= j γ +, (4.55) para i =,..., NX, j =,..., NY ; dond nuv s l númro d lmntos qu participan n las sumatorias, γ, conocido como parámtro suaviador, s una constant positiva. Las prsions (4.54) (4.55) suavian la función monitor con los lmntos adacnts n su misma lína d coordnadas con los lmntos n las línas d coordnadas adacnts; por jmplo, la implmntación d (4.54) para suaviar MX con + γ = s i, j

125 05 = MX i+ j MX MX MX, 3 9 i, j+ i+, j+ i+, j+ 0 MX MX MX i, j i+, j i+, j MX ( 0.666) + MX ( 0.666) + MX 3 ( ). i, j i+, j i+, j (4.56) La prsión (4.56) mustra como la función MX i +, j s promdia pondradamnt (suavia) con las funcions monitor d los lmntos qu la rodan como la influncia d dichas funcions monitor circundants disminu a mdida qu éstas s ncuntran más aljadas dl nlac intrnodal ( i j ) +. Los límits d las sumatorias n las prsions (4.54) (4.55) stán fijados d tal modo qu éstas solo s pudn aplicar n lmntos qu no s ncuntrn n la frontra; sin mbargo, modificando apropiadamnt dichos límits l númro d lmntos involucrados n l suaviado, stas prsions s pudn aplicar n cualquir punto dl dominio; sto s, i = 0,,..., NX, j = 0,,..., NY para (4.54), i = 0,,..., NX, j = 0,,..., NY para (4.55). Utiliando las cuacions (4.54) (4.55), considrando lo mncionado n l párrafo antrior n rlación a su implmntación n todo l dominio, (4.4) (4.43) s pudn rscribir, rspctivamnt, como, (,, ) i j i + + j / / 0 i, j i, j h MX h MX =, (4.57) para i =,..., NX, j = 0,,... NY ( i, j, i j+ ) / / h MY h MY = 0, (4.58) i, j i, j+ para i = 0,,... NX, j =,..., NY.

126 06 IV.3.3. Implmntación d quidistribución n dos dimnsions En sta scción s prsnta un algoritmo para la implmntación d la técnica d quidistribución n dos dimnsions, lína por lína, basado n l propusto por Mackni n [4]. S dfin ( κ) ( κ) 0,0... κ κ 0, NY 0,0... 0, NY ( κ) ( κ) i, j = , i, j = , (4.59) ( κ) ( κ) ( κ) ( κ) NX,0... NX, NY NX,0... NX, NY como la información d la malla n la tapa κ d un procso d difrnts tapas. Tomando n cunta la notación n (4.59) la técnica d adaptación d malla s implmnta n dos dimnsions al sguir los siguints pasos:. S fija m = 0. Los valors inicials d d NX. S obtin 3. Es m =? NY lmntos. si: DETENER, (, ) ( m ) ( m ) ( m ) ( m) U = U a través d FEM. ( m), ( m) s la malla adaptada, ( m) son los d una malla uniform ( m) U s la solución final. no: ( κ ) ( m) U = U, ( κ ) ( m) =, ( κ ) ( m) =, CONTINUAR al paso S fija κ = 0. (Inicio d procso d adaptación d malla) 5. S calcula κ κ i, j κ κ U U MX = MX +,,, i 0,,..., NX, j 0,,..., NY = = ( κ) ( κ) a través d (4.54). 6. S soluciona (4.57) para ( κ +) con ( κ ) MX n cada una d las j línas d coordnadas j =,..., NY + (mplando (4.), (4.) (4.4)).

127 07 7. S calcula κ κ ( κ+ ) ( κ) U U MY = MY i, j+,,, i 0,,..., NX, j 0,,..., NY = = ( κ) ( κ) a través d (4.55). 8. S soluciona (4.58) para ( κ +) MY n cada una d las i línas d coordnadas i =,..., NX + (mplando (4.), (4.) (4.4)). 9. Es κ = ( valor prdtrminado)? si: ( m) ( κ ) =, ( m) ( κ ) = ; avana índic a m =, REGRESAR al paso. no: CONTINUAR al paso S calcula U ( κ +) a través d intrpolación linal mplando ( κ ), ( κ ), ( κ ) U, ( κ +), ( κ +). Actualia índic κ = κ +. REGRESAR al paso 5 IV.4. Rsultados numéricos En sta scción s aplica la técnica d adaptación d malla a un problma d pruba con solución analítica conocida. La vntaja d st tipo d problmas s qu l rror ntr la solución analítica numérica s pud calcular actamnt n todo l dominio. En st cálculo s mpla α = n la función monitor, ψ = 0.5 n l método d Nwton-Raphson γ = al valuar la función monitor suaviada. Ejmplo 6.. Emplando FEM adaptación d malla, s soluciona la cuación bidimnsional d Laplac U U + = 0, para, Ω, (4.60) con condición d frontra /0 θ ( π ) U = r, sin, /0 + /3, para, dω, (4.6)

128 08 n l dominio n forma d L mostrado n la Fig En (4.6) r(, ) (, ) las coordnadas polars. θ son Figura 4.8. Gomtría d dominio Ω n forma d L. La solución analítica para st problma s /0 θ ( π ) U = r, sin, /0 + /3, para, Ω. (4.6) S calcula la solución dl problma n una malla uniform d ( N ) ( N ) + + puntos n cada rgión ( RI, RII RIII ) a través d la intrpolación linal d la solución obtnida con FEM (vr Fig. 4.9). Figura 4.9. Nodos FEM (malla FEM d ( NX 5) ( NY 5) ( puntos) d la rgión III dl dominio n la Fig = = ) malla d solución intrpolada

129 09 La figuras mustran los rrors norma L L contra l númro d itracions d la técnica d quidistribución (κ ) para los casos n dond l númro d lmntos n cada una d las rgions s ( NX = 0) ( NX = 0) ( NX = 0) ( NX = 0). Ambas normas s valúan tomando n cunta la solución intrpolada con mallas d 0 0 puntos n cada rgión. rror L L, Malla Uniform L, Malla Adaptada ( α =) Itracions Equidist. ( κ ) (a) Figura 4.0. Error para l caso ( NX 0) ( NY 0) rror L / (Puntos d Intrp.) L, Malla Uniform L, Malla Adaptada( α =) Itracions Equidist. ( κ ) (b) = = : (a) L (b) L / puntos d intrp. rror L L, Malla Uniform L, Malla Adaptada( α =) Itracions Equidist. ( κ ) (a) Figura 4.. Error para l caso ( NX 0) ( NY 0) rror L / (Puntos d Intrp.) L, Malla Uniform L, Malla Adaptada( α =) Itracions Equidist. ( κ) (b) = = : (a) L (b) L / puntos d intrp. La figura 4.0 prsnta la rducción convrgncia dl rror a la v qu l númro d itracions aumnta. Sin mbargo, n la Fig. 4. s obsrva qu una v

130 0 qu l rror alcana un punto mínimo, ést aumnta d nuvo ntra n un comportaminto oscilatorio. Con bas n la información obtnida, con l propósito d obtnr una malla qu prmita raliar cálculos más prcisos n la solución dl problma analiado, s rcominda un númro d sit itracions n la técnica d quidistribución. Comparando los rsultados d los dos casos analiados, s obsrva qu l rror obtnido con la malla adaptada para κ = 7 n l caso ( NX = 0) ( NX = 0) (Fig. 4.0) s dl mismo ordn qu l qu s obtin con la malla uniform ( NX = 0) ( NX = 0) (Fig. 4.). La solución dl Ej. 6., n l caso ( NX = 0) ( NX = 0), a través d FEM con adaptación d malla, s prsnta n la Fig. 4., para ants dspués dl procso d adaptación. En la figura 4.(d) s obsrva como los nodos d la malla s muvn hacia l cntro dl dominio (dond ist una maor variación d la solución) (a) Figura 4.. Información caso ( NX 0) ( NY 0) (b) vista suprior, (b) = =. Sol. FEM malla inicial: (a) malla FEM inicial,

131 U (c) (d) () U Figura 4. (continuación). (c) vista latral. Sol. FEM malla adaptada: (d) malla FEM adaptada ( κ = 7 ), () vista suprior (f) vista latral. (f)

132 Capítulo V Conclusions trabajo futuro V.. Conclusions Las conclusions qu s dsprndn a partir d la raliación d st trabajo son: El studio d las caractrísticas d disprsión d guías d onda n forma d L n forma d T contribu a la comprsión dl comportaminto dl campo lctromagnético, lo qu prmit l disño d dispositivos más ficints así como la mjor opración d dispositivos a istnts. El mplo d lmntos triangulars facilita la discrtiación d dominios irrgulars; como n l caso d guías d onda n forma d L n forma d T con modificacions n su structura. Con bas n l análisis d la rsolución d malla raliado s conclu qu, al studiar difrnts frcuncias, l mplo d mallas con hp = hg gnra rsultados más prcisos a mdida qu la frcuncia d opración s incrmnta. Los comportamintos d las caractrísticas d disprsión n guías d onda n forma d L n forma d T obtnidos n st trabajo (mplando l método d lmnto finito d Galrkin basado n nodos) prsntan considrabl similitud con los obtnidos ( rportados) por otros autors mdiant l mplo d técnicas distintas. En la maor part d los casos analiados, las modificacions a la structura n las rgions d discontinuidad d las guías d onda n forma d L n forma d T, rsultan n mjoras a las caractrísticas d disprsión (mjora tanto n la magnitud dl coficint d transmisión como n l ancho d la banda d frcuncias rcomndado para transmisión). Sin mbargo, s posibl qu aun cuando las modificacions n la structura d la

133 3 guía d onda no gnrn mjoras sustancials n la magnitud d la transmisión, éstas pudan modificar las frcuncias d máima transmisión dl dispositivo. Una d los fctos ngativos qu posiblmnt afcta a la propagación d una onda a través d las rgions d discontinuidad n guías d onda n forma d L n forma d T, s la modificación d la frcuncia d cort n dichas rgions d discontinuidad; lo antrior a causa d la variación dl gruso d la structura n tals puntos. El método d adaptación d malla tipo-r, mplando quidistribución, s concptualmnt compljo, aunqu una v comprndido su implmntación s rlativamnt sncilla. Sin mbargo, una d las principals dsvntajas d st método d adaptación d malla, provin, prcisamnt, d su plantaminto tórico; sto s, qu dbido a qu la malla d FEM tin un númro fijo d nodos, l rror mínimo qu s pud obtnr para dicha malla stá acotado por la malla óptima; n otras palabras, para un dtrminado problma, solo s pud rducir l rror hasta un dtrminado ordn. Una dsvntaja dsd l punto d vista d implmntación s la dtrminación d los parámtros α, γ ψ ; sto s, los valors óptimos d dichos parámtros (aqullos qu gnran la malla óptima) son spcíficos al problma bajo solución, lo qu s contradic ampliamnt con l caráctr gnral d FEM (l cual s pud implmntar n difrnts campos, prácticamnt, sin modificacions). El método d adaptación d malla tipo-r s rlativamnt fácil d implmntar auilia n la comprnsión dl concpto gnral d adaptación d malla; sin mbargo, dbido a la rlativa suavidad d la solucions d los problmas d lctromagntismo, la rducción dl rror no s ncsariamnt significativa, por lo qu ist l rigo d qu su mplo n la solución d problmas dl campo lctromagnético sa injustificado.

134 4 V.. Trabajo futuro S propon l siguint trabajo futuro: La solución d problmas con dominios no homogénos. Análisis d la rsolución d la malla n la dircción prpndicular a la propagación. El mplo d FEM d lmntos vctorials. La implmntación d los métodos d adaptación d malla tipo-h tipo-p. Finalmnt, s propon la implmntación d stimadors d rror, con l propósito d raliar studios cuantitativos d la prcisión d la aproimación numérica n problmas sin solución analítica o, n su dfcto, no práctica.

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139 9 Apéndic A Ecuacions d Mawll n forma intgral En st apéndic s prsntan las cuacions d Mawll n forma intgral. d E dl = ds C dt B S (L d Farada) (A.) d H dl = ds+ ds C dt D S J S (L d Ampr gnraliada) (A.) D ds = ρ dv (L d Gauss) (A.3) S V B ds = 0 (L d Gauss - C. Magnético) (A.4) S dond E = Intnsidad dl campo léctrico (volt/mtro), H = Intnsidad dl campo magnético (ampr/mtro), D = Dnsidad d flujo léctrico (coulomb/mtro cuadrado), B = Dnsidad d flujo magnético (wbr/mtro cuadrado), J = Dnsidad d corrint (ampr/mtro cuadrado), ρ = Dnsidad d carga (coulomb/ mtro cúbico). En (A.) (A.) S s una suprfici abirta dlimitada por un contorno C ; así mismo, n (A.3) (A.4) S s una suprfici crrada qu dlimita un volumn V.

140 0 Apéndic B Dducción d la formulación débil En st apéndic s prsnta la dducción d la formulación débil d la intgral dl rsiduo pondrado d la cuación d Hlmholt. Al sustituir l oprador n la formulación furt = + (B.5) s obtin U U Ri = N,,,3 i + + k U dω i = (B.6) Ω R = N U dω + k N U dω, i =,,3. (B.7) i i i Ω Ω Sí s dfin Ni = A U = B, s pud rscribir la idntidad vctorial ( A B) A B ( A) ( B) = + (B.8) como N U = N U N U. (B.9) i i i

141 La aplicación d (B.9) n (B.7) da como rsultado R i = { Ni U Ni ( U )} dω Ω + k N U dω, i =,,3 Ω i (B.0) Aplicando l torma d la divrgncia: s Fds= F dl, (B.) l n n (B.0) para s tin N U = F, Ω = s Γ = l, (B.) i Ω Ni U n d, i,,3., i = i Ω + i Ω Ω R N U d k N U d + Γ = Γ (B.3) dond n s un vctor unitario normal a Γ. Finalmnt, al sustituir l oprador = + (B.4) n (B.3) s obtin la formulación débil como N i U Ni U R i = + dω + k N i U dω Ω Ω U U + N,,3. i + n dγ i = Γ (B.5)

142 Apéndic C Distribución dl campo En st apéndic s prsntan las distribucions dl campo para los difrnts casos analiados n l capítulo III. C.. Guía d onda convncional La figura C. mustra la distribución dl campo n una guía d onda convncional para las difrnts frcuncias analiadas n la scción III. con n rsg 00. C.. Guía d onda n forma d L Las figuras C.-C.7 mustran la distribución dl campo n una guía d onda n forma d L para las difrnts frcuncias valors d l analiados n la scción III... C.3. Guía d onda n forma d T Finalmnt, la distribución dl campo n una guía d onda n forma d T, para las difrnts frcuncias valors d l analiados n la scción III.., s mustra para l caso purto d ntrada: purto n las Figs. C.8-C. para l caso purto d ntrada: purto 3 n la Fig. C.3.

143 3 TE 0 TE 0 E E (a) (b) TE 0 TE 0 E E (c) (d) TE 0 TE 0 E E () (f) Figura C.. Distribución d la part ral d E n una guía d onda convncional con (a) f 4.44 GH ( f.9 ( f ) 0 ) op op c, (b) f f op op ( fc ) GH (.8 ), (c) f 5. GH ( f.39 ( f ) 0 ) op op c, (d) f f op op ( fc ) 0 5.7GH (.5 ), () f 6.3 GH ( f.68 ( f ) 0 ) op op c (f) f f op op ( fc ) GH (.88 ). b = 4 cm :

144 4 E E TE 0 TE 0 (a) (b) E E TE 0 TE 0 (c) (d) E E TE 0 TE 0 () (f) Figura C.. Distribución d la part ral d ( b b 4 cm E n una guía d onda n forma d L con l = 0 = = ): (a) f 4.44 GH ( f.9 ( f ) 0 ) op op c, (b) f f op op ( fc ) GH (.8 ), (c) f 5. GH ( f.39 ( f ) 0 ) op op c, (d) f f op op ( fc ) 0 5.7GH (.5 ), () f 6.3 GH ( f.68 ( f ) 0 ) op op c (f) f f op op ( fc ) GH (.88 ).

145 5 E E TE 0 TE 0 (a) (b) E E TE 0 TE 0 (c) (d) E E TE 0 TE 0 () (f) Figura C.3. Distribución d la part ral d E n una guía d onda n forma d L con l = b/5 = = = ): (a) f 4.44 GH ( f.9 ( f ) 0 ) op op c, (b) f f op op ( fc ) 0 ( b b b 4 cm 4.80 GH (.8 ), (c) f 5. GH ( f.39 ( f ) 0 ) op op c, (d) f f op op ( fc ) 0 5.7GH (.5 ), () f 6.3 GH ( f.68 ( f ) 0 ) op op c (f) f f op op ( fc ) GH (.88 ).

146 6 E E TE 0 TE 0 (a) (b) E E TE 0 TE 0 (c) (d) E E TE 0 TE 0 () (f) Figura C.4. Distribución d la part ral d E n una guía d onda n forma d L con l = b/4 = = = ): (a) f 4.44 GH ( f.9 ( f ) 0 ) op op c, (b) f f op op ( fc ) 0 ( b b b 4 cm 4.80 GH (.8 ), (c) f 5. GH ( f.39 ( f ) 0 ) op op c, (d) f f op op ( fc ) 0 5.7GH (.5 ), () f 6.3 GH ( f.68 ( f ) 0 ) op op c (f) f f op op ( fc ) GH (.88 ).

147 7 E E TE 0 TE 0 (a) (b) E E TE 0 TE 0 (c) (d) E E TE 0 TE 0 () (f) Figura C.5. Distribución d la part ral d E n una guía d onda n forma d L con l = b/3 = = = ): (a) f 4.44 GH ( f.9 ( f ) 0 ) op op c, (b) f f op op ( fc ) 0 ( b b b 4 cm 4.80 GH (.8 ), (c) f 5. GH ( f.39 ( f ) 0 ) op op c, (d) f f op op ( fc ) 0 5.7GH (.5 ), () f 6.3 GH ( f.68 ( f ) 0 ) op op c (f) f f op op ( fc ) GH (.88 ).

148 8 E E TE 0 TE 0 (a) (b) E E TE 0 TE 0 (c) (d) E E TE 0 TE 0 () (f) Figura C.6. Distribución d la part ral d E n una guía d onda n forma d L con l = b/ ( b b b 4 cm 4.44 GH (.9 ) 4.80 GH (.8 ), = = = ): (a) f f op op ( fc ) 0, (b) f f op op ( fc ) 0 (c) f 5. GH ( f.39 ( f ) 0 ) op op c, (d) f f op op ( fc ) 0 5.7GH (.5 ), () f 6.3 GH ( f.68 ( f ) 0 ) op op c (f) f f op op ( fc ) GH (.88 ).

149 9 E E TE 0 TE 0 (a) (b) E E TE 0 TE 0 (c) (d) E E TE 0 TE 0 () (f) Figura C.7. Distribución d la part ral d ( b b b 4 cm E n una guía d onda n forma d L con l = = = ): (a) f 4.44 GH ( f.9 ( f ) 0 ) op op c, (b) f f op op ( fc ) 0 = b 4.80 GH (.8 ), (c) f 5. GH ( f.39 ( f ) 0 ) op op c, (d) f f op op ( fc ) 0 5.7GH (.5 ), () f 6.3 GH ( f.68 ( f ) 0 ) op op c (f) f f op op ( fc ) GH (.88 ).

150 30 E E TE 0 TE 0 (a) (b) E E TE 0 TE 0 (c) (d) E E TE 0 TE 0 () (f) Figura C.8. Distribución d la part ral d ( b b b b3 4 cm E n una guía d onda n forma d T con l = 0 = = = = ): (a) f 4.44 GH ( f.9 ( f ) 0 ) op op c, (b) f f op op ( fc ) 0 (c) f 5. GH ( f.39 ( f ) 0 ) op op c, (d) f f op op ( fc ) GH (.8 ), 5.7GH (.5 ), () f 6.3 GH ( f.68 ( f ) 0 ) op op c (f) f f op op ( fc ) GH (.88 ).

151 3 E E TE 0 TE 0 (a) (b) E E TE 0 TE 0 (c) (d) E E TE 0 TE 0 () (f) Figura C.9. Distribución d la part ral d E n una guía d onda n forma d T con l = b/5 = = = = ): (a) f 4.44 GH ( f.9 ( f ) 0 ) op op c, (b) f f op op ( fc ) 0 ( b b b b3 4 cm (c) f 5. GH ( f.39 ( f ) 0 ) op op c, (d) f f op op ( fc ) GH (.8 ), 5.7GH (.5 ), () f 6.3 GH ( f.68 ( f ) 0 ) op op c (f) f f op op ( fc ) GH (.88 ).

152 3 E E TE 0 TE 0 (a) (b) E E TE 0 TE 0 (c) (d) E E TE 0 TE 0 () (f) Figura C.0. Distribución d la part ral d E n una guía d onda n forma d T con l = b/4 = = = = ): (a) f 4.44 GH ( f.9 ( f ) 0 ) op op c, (b) f f op op ( fc ) 0 ( b b b b3 4 cm (c) f 5. GH ( f.39 ( f ) 0 ) op op c, (d) f f op op ( fc ) GH (.8 ), 5.7GH (.5 ), () f 6.3 GH ( f.68 ( f ) 0 ) op op c (f) f f op op ( fc ) GH (.88 ).

153 33 E E TE 0 TE 0 (a) (b) E E TE 0 TE 0 (c) (d) E E TE 0 TE 0 () (f) Figura C.. Distribución d la part ral d E n una guía d onda n forma d T con l = b/3 ( b b b b3 4 cm 4.44 GH (.9 ) 4.80 GH (.8 ), = = = = ): (a) f f op op ( fc ) 0, (b) f f op op ( fc ) 0 (c) f 5. GH ( f.39 ( f ) 0 ) op op c, (d) f f op op ( fc ) 0 5.7GH (.5 ), () f 6.3 GH ( f.68 ( f ) 0 ) op op c (f) f f op op ( fc ) GH (.88 ).

154 34 E E TE 0 TE 0 (a) (b) E E TE 0 TE 0 (c) (d) E E TE 0 TE 0 () (f) Figura C.. Distribución d la part ral d E n una guía d onda n forma d T con l = b/ = = = = ): (a) f 4.44 GH ( f.9 ( f ) 0 ) op op c, (b) f f op op ( fc ) 0 ( b b b b3 4 cm (c) f 5. GH ( f.39 ( f ) 0 ) op op c, (d) f f op op ( fc ) GH (.8 ), 5.7GH (.5 ), () f 6.3 GH ( f.68 ( f ) 0 ) op op c (f) f f op op ( fc ) GH (.88 ).

155 35 TE0 TE0 E E (a) (b) TE0 TE0 E E (c) (d) TE0 TE0 E E () (f) Figura C.3. Distribución d la part ral d ntrada n purto 3, ( b b b b3 4 cm E n una guía d onda n forma d T con purto d 4.44 GH (.9 ), = = = = ): (a) f f op op ( fc ) 0 (b) f 4.80 GH ( f.8 ( f ) 0 ) op op c, (c) f f op op ( fc ) 0 5. GH (.39 ), (d) f 5.7GH ( f.5 ( f ) 0 ) op op c, () f f op op ( fc ) 0 (f) f f op op ( fc ) GH (.88 ). 6.3 GH (.68 )

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157 Encuntro d Invstigación n IE, 5 7 d Abril, 005 Equation Chaptr Sction Encuntro d Invstigación n Ingniría Eléctrica Zacatcas, Zac, Abril 5 7, 006 Análisis d la Propagación Elctromagnética n una Guía d Onda tipo-l utiliando FEM Frnando Crvants Lva, Migul A. Álvar Cabanillas, Juan José Tapia Armnta Instituto Politécnico Nacional Cntro d Invstigación Dsarrollo d Tcnología Digital Av. dl parqu 30, Msa d Ota, Tijuana, B.C., Méico, 50. Tléfono 0 (664) [email protected], [email protected], [email protected] Rsumn S prsnta la solución d la cuación d Hlmholt dntro d una guía d onda utiliando l Método d Elmnto Finito (FEM). S invstiga la distribución dl campo lctromagnético n una guía d onda d planos parallos tipo-l. La cuación d Hlmholt tin solución analítica para algunos problmas d lctromagntismo, sin mbargo, cuando la structura bajo studio prsnta gomtrías irrgulars, o matrials no homogénos, s posibl qu una solución d st tipo no ista, o n su dfcto, sa complicada d obtnr. FEM s adcuado para la solución d problmas con stas caractrísticas. Abstract Th solution of th Hlmholt quation in a wavguid is found using th Finit Elmnt Mthod (FEM). Th fild distribution in an L-tp paralll plat wavguid is invstigatd. Th Hlmholt quation can b solvd analticall for crtain problms, although, whn th structur undr stud has an irrgular gomtr, or is non homognous, solutions of this tp can b inistnt or difficult to find. FEM is fficint to handl problms with ths charactristics. Una guía d onda s una structura mtálica, crrada, huca la cual mantin una misma scción transvrsal durant una dtrminada longitud. Esta tin la capacidad d transportar l campo lctromagnético []. Una guía d onda d planos parallos stá formada por placas planas parallas conductoras, sparadas por un matrial diléctrico. Su forma más simpl pud obsrvars n la Figura. S asum qu los campos dntro d la structura son los mismos a los qu s prsntarían si los planos furan d un ancho infinito ( a, n la Figura ); lo qu significa qu para su studio las variacions n la dircción no son tomadas n cunta []. Las guías d onda tipo-l (vr Figuras 3) s utilian para la modificación d la dircción dl campo transmitido. Palabras clav Elctromagntismo, Guías d Onda, Método d Elmnto Finito, Métodos Numéricos. E I. INTRODUCCIÓN L dsarrollo d computadoras d alta vlocidad ha hcho posibl la ficint utiliación d métodos numéricos para l studio d problmas d lctromagntismo con solución analítica inistnt o complicada d obtnr. Figura. Guía d Onda d Planos Parallos Sncilla. En un problma d lctromagntismo d valors n la frontra, todas las solucions (o configuracions) dl campo, las cuals satisfacn las cuacions d

158 Encuntro d Invstigación n IE, 5 7 d Abril, 005 onda, las cuacions d Mawll, las condicions d frontra, son rfridas como modos [3]. Las caractrísticas d stos modos dpndn, principalmnt, d la dimnsión d la scción transvrsal d la guía d onda, l tipo d matrial diléctrico dntro d sta, la frcuncia d opración [4]. En una guía d onda homogéna los modos s clasifican como: TM (Transvrsal Magnético), dond l vctor dl campo magnético H s transvrsal a la dircción d propagación, TE (Transvrsal Eléctrico), dond l vctor dl campo léctrico E s transvrsal a la dircción d propagación. Para l studio d microondas s utilian difrnts métodos numéricos, sindo los principals l Método d Difrncias Finitas n l Dominio dl Timpo (FDTD), l Método d Elmnto Finito (FEM), l Método d Momntos (MoM). Un par d comparacions d distintos métodos numéricos aplicados a microondas pud consultars n [5], [6]. El Método d Elmnto Finito s actualmnt uno d los métodos numéricos más importants usados n la solución d problmas d Elctromagntismo. D una manra rsumida, FEM consist n subdividir la rgión d solución d un problma dtrminado n un númro finito d subrgions más pquñas, conocidas como lmntos. En lugar d obtnr una solución complta para todo l problma la solución aproimada s compon dl nsamblado d las solucions obtnidas dntro d cada lmnto. Los puntos qu dfinn al lmnto son conocidos como nodos, l nsambl d stos lmntos s conocido como malla. FEM s adcuado para la solución d problmas los cuals prsntn gomtrías irrgulars mdios no homogénos. Figura. Guía d Onda tipo-l. En 996 Coccioli, Itoh, Plosi, Silvstr prsntaron una slcción d bibliografía rfrnt a FEM n microondas [7]. Est documnto stá structurado d la siguint manra: la solución analítica dl campo dntro d una guía d onda para l modo TE, así como l modlo l problma, son prsntados n la scción II; n la scción III s mustra una introducción a FEM; finalmnt n IV s mustran los rsultados numéricos obtnidos. II. ECUACIÓN DE HELMHOLTZ EN UNA GUÍA DE ONDA DE PLANOS PARALELOS La cuación d Hlmholt s una cuación difrncial parcial d sgundo ordn la cual dscrib la variación spacial dl campo lctromagnético. A. Problma tipo TE Ants d rsolvr numéricamnt la guía d onda tipo- L s prsnta la solución analítica dl campo, n l modo TE, para la propagación dntro d la structura mostrada n la Figura. S considra una guía d onda d planos parallos d dos dimnsions, con frontras conductoras prfctas (PEC). Un matrial rfrido como PEC s aqul n l cual no ist campo léctrico a ninguna frcuncia. Estos planos tinn sparación b. La guía s tind dsd hasta + n las dirccions. La dircción d propagación s n la coordnada, s asum qu l mdio ntr los planos s l spacio libr, µ 0ε 0. Dbido a qu la structura s indpndint d, los campos dbn srlo también, por lo tanto E = 0. () H Esto implica qu los campos Eléctrico, E, Magnético,, son funcions d,. H En st análisis s considra qu los campos son p jω t. Esta variación armónicos con l timpo, s suprimida con fins d simplificación. El campo lctromagnético s dscrito por las siguints cuacions E= jωµ 0 H () H = jωε 0 E + J. (3) Dond la dnsidad d corrint J, los campos E, H, son cantidads vctorials. Así mismo ω s la frcuncia angular, µ 0 ε 0 son la prmabilidad prmitividad dl spacio libr rspctivamnt. Aplicando (), considrando la ausncia d corrint ( J = 0 ), l modo d propagación TE las prsions () (3) pudn rducirs a

159 Encuntro d Invstigación n IE, 5 7 d Abril, E / = jωµ H (4) 0 0 E / = jωµ H (5) H / H / = jωε E. (6) La cuación d Hlmholt para l modo TE, s obtin a partir d (4), (5), (6), stá dada por, E / + E / + k E = (7) dond, 0 = π / λ = ω µ ε s l númro d k 0 0 onda, λ s la longitud d onda. Una v rsulta (7), habiéndos impusto las corrspondints condicions d frontra (analiado a fondo n la scción II.B), s ncuntra la componnt E. Dbido a qu la guía s d longitud infinita, las variacions d los campos n la dircción dbn d rprsntar ondas viajras [3]. jk E = E 0. (8) A partir d st punto s rfrirá a una guía d onda d planos parallos simplmnt como guía d onda. A su v s considrará, n todos los casos, qu l matrial qu constitu a los planos s un PEC, l matrial ntr las placas s l spacio libr. dond C s una constant, k = nπ / b, (con n n =,,3,... ). La condición nπ / b asgura qu la solución dl campo con rspcto a sa la d una onda stacionaria. La solución n dtall d la cuación d Hlmholt n una guía d onda pud consultars n [3], [8]. Al implmntar métodos numéricos, dbido a qu s cunta con una mmoria computacional finita, l problma d una guía d longitud infinita db sr rducido al d una longitud finita, por lo tanto s ncsario imponr frontras virtuals qu simuln stas condicions. La condición d frontra qu simula la propagación dl campo hacia infinito, para la ntrada salida d la guía d la Figura, s obtin al aplicar a (8) la drivada con rspcto a la dircción d propagación, E / = jk E. () Dond k k k 0 = +, por lo tanto, k k = k k. 0, k dnotan las constants d Los parámtros propagación n las dirccions,. La ncsidad d () s justificada n la scción III.C. B. Solución dl Campo En ordn d rsolvr (7) s ncsario imponr condicions d frontra. Como s mnciona n la scción II.A, s considra qu l matrial dl cual s componn los planos d la guía s un PEC. Aplicando lo antrior, a la guía d onda d la Figura, significa: Para l modo TE, E = 0, n = 0, b. (9) La cual s conocida como condición d frontra d Dirichlt. Si l spacio ntr los planos dl sistma bajo análisis s mucho maor qu la profundidad d pntración (skin dpth), la asunción dl conductor prfcto d E = 0 s suficintmnt buna para ncontrar las distribucions dl campo [, Scción 3.4]. Aplicando la condición d frontra (9) a la solución d (7) s obtin E, a partir d (4) (5) l rsto d las componnts dl campo dl modo TE, [9], jk (, ) ( / 0 )( / ) cos {( / H = Cn j ωµ nπ b nπ b) } jk (0) H (, ) = C ( k / ωµ ) sin ( nπ / b) n 0 { } jk (, ) = n sin {( π / ) } E C n b C. Guía d Onda d Planos Parallos tipo-l S considra una guía d onda homogéna d dos purtos como la mostrada n la Figura 3. La rgión d solución Ω stá limitada por una frontra d mtal Γ por las frontras virtuals Γ, Γ las cuals m corrspondn al purto (ntrada) al purto (salida), rspctivamnt. En st studio s supon qu la guía d onda transmit n l modo fundamntal TE0, qu la componnt E dl campo léctrico satisfac la cuación d Hlmholt n dos dimnsions: / + / + k E = 0. () ( 0 ) Al mismo timpo qu las siguints condicions d frontra,. La frontra d mtal no produc pérdidas (PEC), por lo tanto, s impon la condición d frontra d Dirichlt, E = 0 n Γ. (3). D acurdo a [, Scción 4.6.], si la frontra virtual corrspondint a la ntrada d la guía s ncuntra localiada a una distancia d por lo mnos una longitud d onda d la discontinuidad, m

160 Encuntro d Invstigación n IE, 5 7 d Abril, l campo n s punto pud prsars como la suma d las ondas incidnt rfljada, inc rf jk jk E = E + E = E0 + RE0 (4) dond E 0 s la amplitud d la onda incidnt R dnota l coficint d rflión. Partindo d () l campo s pud prsar por, jk / E = jke jke0 n Γ. (5) D forma similar, para la salida n l purto pud sr prsado como, trans E jk = E = TE0 (6) dond T s l coficint d transmisión ntoncs l campo pud sr scrito como, E / = jk E n Γ. (7) A. Discrtiación dl Dominio La discrtiación dl dominio consist n subdividir la rgión d solución, Ω, n un dtrminado númro finito d subrgions, Ω. Para st trabajo s utilian lmntos triangulars linals basados n nodos (vr Figura 4). Figura 4. Elmnto Triangular Linal. Una d las principals vntajas d los lmntos triangulars, sobr los rctangulars o cuadrados, s qu stos pudn gnrar mallas más prcisas n suprficis irrgulars. Figura 3. Guía d Onda d Planos Parallos tipo-l. III. MÉTODO DE ELEMENTO FINITO (FEM) Cuando la gomtría d una structura s irrgular, la solución analítica d () pud no istir o tornars complicada. Una altrnativa para rsolvr st tipo d problmas s la implmntación d métodos numéricos. En st trabajo s soluciona la c. d Hlmholt utiliando FEM d rsiduos pondrados d Galrkin. El análisis d un problma d Elctromagntismo utiliando FEM stá compusto por los siguints pasos básicos []: a) Discrtiación o subdivisión dl dominio. b) Slcción d los polinomios d intrpolación. c) Formulación dl sistma d cuacions. d) Solución dl sistma d cuacions. En [], s propon un conjunto d pasos mu similars. B. Slcción d los Polinomios d Intrpolación Para un lmnto triangular linal, l cual cunta con 3 nodos, la solución d la función dsconocida u (campo léctrico E o magnético H ) s aproimada por l siguint polinomio d intrpolación [], [], u, = a + a + a. (8) 3 Dond,, a son coficints constants a a 3 dsconocidos a sr dtrminados, s la solución aproimada dntro dl lmnto. Al valuar (8) n cada uno d los nodos dl lmnto s obtin un sistma línal d 3 cuacions. Est sistma s rsulto para los coficints constants,, a, al sustituir sus rspctivos valors n (8), s obtin la solución aproimada dntro dl lmnto, u a a 3 3 u (, ) = H j (, ) u j= j (9) dond u s l valor d la solución dl nodo j dl j lmnto, mintras qu H, H, H 3 son las funcions bas,

161 Encuntro d Invstigación n IE, 5 7 d Abril, H = ( 3 3) ( 3) ( 3 ) A + + (0) H = ( 3 3) ( 3 ) ( 3) A + + H3 = ( ) + ( ) + ( ) A las cuals también son conocidas como funcions forma. Dond A s l ára dl lmnto triangular. Cada función forma s un plano triangular, prsnta la siguint propidad, i = j Hi ( j, j) = δij =. 0 i j () C. Formulación dl Sistma d Ecuacions El sistma d cuacions s drivado utiliando l método d rsiduos pondrados d Galrkin. En st método la función d pondración s igual a la función bas. El rsiduo corrspondint a () s u u r = + + k 0 u () ntoncs, l rsiduo pondrado para l lmnto s R = H (, ) r dω = 0 i =,,3. (3) i Ω i En ordn d un mjor aprovchaminto d spacio, a partir d st punto H = H (, ). Sustitundo () n (3) da como rsultado u u Ri = H i + + k0 u d Ω Ω i i. (4) Utiliando la idntidad i( A B) = A B+ ( A) i ( B), l torma d la divrgncia, ifds= Fndl s i, la prsión (4) pud sr l scrita como dond R Γ i Hi u Hi u = d + Ω Ω + k H u dω 0 Ω i u u H + i + n d Γ i Γ dnota l contorno qu ncirra (5) Ω, n dnota l vctor normal salint a Γ. La prsión (5) s conocida como la formulación débil dl problma. Sustitundo (9) n (5) nos llva a R Dfinindo, K i, j H 3 Hi j Hi i = Ω j= i, j Ω i j H i j j j + k0 H H u dω u u H + i + n dγ Γ i H H i j = Ω M = H H dω u u gi = H,,,3 i + n dγ i j = Γ i la prsión (6) pud scribirs n forma matricial H i H j. dω como { } { } 0 { } { R = K u + k M u + g } (6) (7) (8) La prsión (8) s valuada para cada uno d los lmntos n los qu stá dividido l dominio, con bas al critrio d discrtiación, s nsamblada para obtnr una cuación matricial global corrspondint a todo l sistma [0], []. Esta matri stá dada por K + k M u = g (9) ([ ] 0 [ ]){ } { } dond [ K ] [ ] vctors { u } { } M son matrics d n n, los g son dl ordn d n, dond n l númro d nodos totals dl sistma. D. Solución dl Sistma d Ecuacions Ants d rsolvr (9) s ncsario imponr las condicions d frontra corrspondints al problma. Estas condicions d frontra particularian la solución d la cuación d Hlmholt. D acurdo a (3), para l caso TE, u = 0 n Γ m, lo qu significa qu l valor d, n los nodos corrspondints a la frontra, s fijo. En l caso d las condicions d frontra para los purtos d ntrada d salida, (5) (7) s sustitun, sgún sa l caso, n la última prsión d (7). Finalmnt, l sistma d cuacions pud sr rsulto como {} [ ] [ ] E ( 0 ) ( { }) u = K + k M g (30) El vctor { } u prov l valor dl campo n los nodos. En ordn d conocr l valor dl campo n cualquir punto dntro dl dominio s ncsario sustituir la solución d (30) n (9).

162 Encuntro d Invstigación n IE, 5 7 d Abril, Para una plicación más amplia sobr l método d lmnto finito s rcominda consultar [0],[], []. IV. RESULTADOS NUMÉRICOS S implmntó FEM a través d un programa dsarrollado n MATLAB. Para validar nustro código s ncontró la distribución dl campo léctrico n una guía d onda sncilla con los siguints parámtros: scción transvrsal b = 4.0 cm, tomándos una scción longitudinal finita L 0 = 6.0 cm. Una structura con stas dimnsions tin una frcuncia d cort para l modo fundamntal d ( f c ) 0 = 3.75 GH, d ( f c ) 0 = 7.5 GH para l siguint modo. El campo con l qu s alimnta la guía varía a una frcuncia d f op = 6.5 GH por TE 0 lo qu solo s transmit n l modo. campo a dicha frcuncia, prsnta un coficint d transmisión a la salida d. T 0.79 V. CONCLUSIONES S prsntaron las solucions analíticas dl campo dntro d una guía d onda para l modo TE. Así mismo, s mostró una introducción al Método d Elmnto Finito. Finalmnt, s dtrminó la distribución d la componnt dl campo lctromagnético dntro E d una guía d onda sncilla, una tipo-l, utiliando FEM. El análisis d st tipo d sistmas auilia n l ntndiminto dl comportaminto dl campo ants d studiar sistmas con frontras más complicadas. Figura 5. Magnitud dl campo léctrico n una guía d onda d planos parallos sncilla. Figura 6. Distribución dl campo onda tipo-l. E n una guía d La Figura 5 mustra la comparación ntr l campo léctrico E, obtnido a través d FEM, la solución analítica d sta guía. Estos valors corrspondn a la rgión dl punto mdio d la scción transvrsal d la guía 0 L, = b/). El rror d la solución ( 0 numérica con rspcto a la analítica s dl ordn d 0.% En ordn d conocr la distribución dl campo E n una guía d onda tipo-l aplicamos nustro programa a una guía con los siguints parámtros: scción transvrsal b = 4.0 cm considramos una longitud finita d cada scción L = L = 6.0 cm. Al igual qu n l caso antrior la frcuncia dl campo con l qu s alimnta la guía s f op = 6.5 GH. La distribución d E n sta guía obtnida a través d FEM s mostrada n la Figura 6. Una guía con stas dimnsions, transmitindo l REFERENCIAS [] Whit, J.F., High Frqunc Tchniqus, Nw York, IEEE Prss, Wil Intrscinc, pp.40, 004. [] Ramo, S., Whinnr, J.R., Van Dur T., Filds and Wavs in communication Elctronics, d, John Wil & Sons, 984. [3] Balanis, C. A., Advancd Enginring Elctromagntics. John Wil & Sons, 989. [4] Sadiku, M. N. Dmarst, K., Wav Propagation, Th Elctrical Enginring Handbook, CRC Prss, 000. [5] Sorrntino, R., Numrical Mthods for Passiv Componnts, IEEE MTT-S Digst, 988. [6] Sadiku, M. N., A Comparison of Numrical Mthods for Computing Elctromagntic Filds, IEEE Proc., 990. [7] Coccioli, R., Itoh, T., Plosi, G., Silvstr, P.P., Finit Elmnt Mthods in Microwavs: A Slctd Bibliograph, IEEE Antnnas and Propagation Magain, Vol. 38, No. 6, pp , Dcmbr 996. [8] Dudl, D.G., Mathmatical Foundations of Elctromagntic Thor, Nw York, IEEE Prss, 994. [9] Marcuvit N., Wav Guid Handbook, McGraw-Hill, Nw York, 95. [0] Kwon, Y. W. Bang, H., Th Finit Elmnt Mthod using Matlab. CRC Prss, 000. [] Jin, J., Th Finit Elmnt Mthod in Elctromagntics, John Wil & Sons, 00. [] Sadiku, M.N., Numrical tchniqus in lctromagntics, CRC Prss, 00.