UNA INVITACIÓN AL ESTUDIO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. Maritza de Franco
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- Jaime Castellanos Ortiz de Zárate
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1 UNA INVITACIÓN AL ESTUDIO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. Marita d Franco
2 A Francisco José, Shrl, Marión, Paola, Constanc, Luis Migul Migul.
3 AGRADECIMIENTOS Al Ing. Pdro Rangl por su comprnsión, confiana apoo, a los bachillrs Danil Rui, Pascual D Ruvo Priscilla Mndoa sin cuo sfuro ddicación no hubis podido raliar st tto a todos los profsionals bachillrs qu laboran n l Cntro d Tcnologías d la Univrsidad Nuva Esparta, Sd los Naranjos, por star simpr dispustos a colaborar.
4 PREFACIO Est trabajo sta disñado para facilitar l studio d las Ecuacions Difrncials Ordinarias d Primr Ordn Primr Grado a los studiants d matmáticas n las sculas d computación ingniría d la Univrsidad Nuva Esparta. A los fctos d lograr l objtivo, s ha tratado d prsntar cada uno d los casos n forma sncilla, vitando l uso riguroso dl cálculo, introducindo artificios sncillos, fácils d comprndr aplicar sin mnoscabar la profundidad dl tma. A la prsntación tórico práctica dl objto d studio l sucd un problmario qu prsnta los jrcicios rsultos n trs parts d manra qu l studiant vaa logrando tapas n la mdida qu avana n la rsolución dl jrcicio. Est trabajo constitu una rcopilación d información qu prtnd orintar stimular a todo studiant dl trcr curso d matmática a fin d prmitirl adquirir la dstra ncsaria n l manjo d las Ecuacions Difrncials Ordinarias d Primr Ordn Primr Grado.
5 ÍNDICE Pág. Ecuacions Difrncials 6 Ecuacions Difrncials Sparabls 8 Ecuacions Difrncials Homogénas Ecuacions Difrncials Con Coficints Linals Ecuacions Difrncials Eactas 5 Ecuacions Difrncials Transformabls a Eactas Ecuacions Difrncials Linals 5 Ecuacions Difrncials d Brnoulli 0 Ecuacions Difrncials d Ricatti 5 Ejrcicios d Ecuacions Difrncials 50 Ejrcicios d Ecuacions Difrncials Sparabls 5 Ejrcicios d Ecuacions Difrncials Homogénas 58 Ejrcicios d Ecuacions Difrncials Con Coficints Linals 67 Ejrcicios d Ecuacions Difrncials Eactas 7 Ejrcicios d Ecuacions Difrncials Transformabls a Eactas 8 Ejrcicios d Ecuacions Difrncials Linals 97 Ejrcicios d Ecuacions Difrncials d Brnoulli 05 Ejrcicios d Ecuacions Difrncials d Ricatti 7 Bibliografía 6 5
6 ECUACIONES DIFERENCIALES Una cuación s llama difrncial porqu contin una o más drivadas ó difrncials. Eistn cuacions difrncials ordinarias parcials. En st trabajo s studiarán las Ecuacions difrncials Ordinarias, qu son aqullas qu continn una o más drivadas d una función d una sola variabl indpndint. Las cuacions difrncials también s pudn clasificar por l ordn l grado. El ordn d una cuación difrncial s l d la maor drivada involucrada n la prsión l grado l d la potncia d la drivada d maor ordn. Est studio s cntrará n las cuacions difrncials ordinarias d Primr Ordn Primr Grado, s dcir cuacions qu continn funcions qu s han drivado una sola v, con rspcto a una variabl indpndint dicha drivada stá lvada a la potncia uno. Ejmplos: a b sn 0 En las funcions d ambos jrcicios s drivó la variabl " " con rspcto a la variabl " " una sola v unidad. sa drivada stá lvada a la potncia 6
7 Si n l jrcicio "b " s dspja, la cuación quda como sigu: b sn En gnral sul prsars una cuación difrncial ordinaria d primr ordn primr grado d la siguint manra: f (. ` f (. M (. d N(. d 0 La primra cuación stá dada n forma plícita, s dcir s prsa claramnt qu la función " " fu drivada con rspcto a la variabl indpndint " ", la solución db prsars d la misma forma. La sgunda cuación stá dada n forma implícita, s dcir no sñala cual s la variabl indpndint, por lo tanto dicha variabl pud lgirs a convnincia la solución db dars también n forma implícita. Eistn difrnts métodos para rsolvr st tipo d cuacions, n st trabajo s prsntarán los métodos d solución d las cuacions difrncials: Sparabls, Homogénas, Con Coficints Linals, actas, Linals, d Brnoulli d Riccati. 7
8 ECUACIONES DIFERECIALES SEPARABLES También llamadas d variabls sparabls, si la cuación stá prsada d la siguint forma: f (. f (. s una constant o una función sólo d " ", ntoncs dicha cuación sría quivalnt a f (, pud rsolvrs intgrando dirctamnt ambos lados d la cuación, usando los métodos ordinarios d intgración. Si n la cuación M (, d N(, d 0, s pud scribir " M " como una función solo d " " " N " como una función solo d " ", s obtndría d manra quivalnt M ( d N( d 0, la cual s llama cuación d variabls sparabls a qu pud scribirs también así: M ( d N( d su solución s obtin intgrando dirctamnt ambos mimbros d la cuación así: M ( d N( d C ó M ( d N( d C Está solución s llama " Solución Gnral d la Ecuación Difrncial" La constant d intgración s scrib d la forma más convnint, así n muchos jrcicios, múltiplos d constants o combinacions d constants suln sustituirs por una sola constant. 8
9 Ejmplo : d d 0 La structura d sta cuación ncaja dntro d la fórmula: M ( d N( d 0 ; por lo tanto la solución pud obtnrs aplicando dirctamnt los métodos d intgración a conocidos. d d 0 C Ejmplo : 5 Hacindo transposición d términos la cuación pud scribirs como: d (5 d Intgrando mimbro a mimbro quda: d (5 d d 5 d d 5 C 5 C Las solucions d las cuacions difrncials pudn comprobars, si s driva la función obtnida, db ncontrars la cuación original, así procdindo a drivar la solución antrior, s tin: 9
10 5 d d d ( 5 d 5 d d Solución Particular d una Ecuación Difrncial Si s suministran condicions inicials n l jrcicio propusto, ntoncs srá posibl ncontrar la solución particular d la cuación difrncial. Ejmplo : Hallar la solución particular d la cuación difrncial: d d 0 Sujta a la condición inicial: ( 0, s dcir cuando 0 d d d d Intgrando mimbro a mimbro, s obtin la solución gnral. C 0
11 Para obtnr la solución particular s sustitun los valors d " " d " " d la siguint manra: C C C C 7 Lugo la solución particular s: 7 7
12 ECUACIONES DIFERECIALES HOMOGÉNEAS La cuación difrncial M (, d N(, d 0s homogéna sí M N son funcions homogénas dl mismo grado, o también si la cuación pud scribirs como: d d f ( / ó n su forma quivalnt f ( / d d Dfinición d función Homogéna: Sa la función Z f (,, s dic qu s homogéna d grado " n " si s n vrifica qu f ( t, t t f (, ; sindo " n " un númro ral. En muchos casos s pud idntificar l grado d homognidad d la función, analiando l grado d cada término: Ejmplo: f (, 5 f (, consta d trs términos, l grado d cada término s obtin sumando los ponnts d las variabls, así: ; 5 ;. Todos los términos tinn grado cuatro por lo tanto f (, s homogéna d grado cuatro. Ejmplos: a f (, 5, aplicando la dfinición s tin: ( t ( t 5 ( t ( t ( f ( t, t t f ( t, t t 5t t
13 f ( t, t t ( 5 ( t, t t f (, f Por lo tanto la función s homogéna d grado. 5 b f (. 0 ( t t t ( t 5t 5 f ( t. t 5 f 0 ( t. t t 5 0 ( t, t t f (, f Entoncs la ƒ(, s Homogéna d grado 0. c f (, 5, No s una función homogéna a qu: ( t, t 5( tt t f ( t, t 5t t f f f n ( t, t t( 5t t ( 5 n ( t, t t f (, Si s dtrmina qu n la cuación M (, d N(, d 0 ; M N son funcions homogénas dl mismo grado, o si la cuación pud scribirs como: d d d d f ( / ó n su forma quivalnt f ( /
14 El cambio d variabl v. ó v. transforma la Ecuación Homogéna n Ecuación Sparabl Ejmplo : Rscribindo la cuación s tin: d d d ( d Transponindo los términos s tin: ( d d 0, dond M ( N M N son funcions homogénas d grado. Probando: Sa M f (, ntoncs: f ( t, t ( t ( t f ( t, t t t f ( t, t t ( f ( t, t t f (, Visto d otra manra ( d grado por lo tanto ( f,, ambos términos d la cuación son f, s homogéna d grado. Sa N g(, ; ntoncs: g( t, t ( t( t g g ( t, t tt ( t, t t
15 g( t, t t g ( t, t t ( g(, Por lo tanto "N" s homogéna d grado S pud nfocar también d la siguint manra: d d d d d d Lugo l cambio d variabl: v ó v. Su drivada s: d vd dv Transforma la cuación n sparabl d ( d ( v ( vd dv ( ( v d v ( vd dv ( v d v d v dv d v d Rducindo términos smjants s tin: v dv d v dv d 5
16 v dv d Intgrando s obtin: v dv d v In C Dvolvindo l cambio d variabl s tin: Si v. ntoncs: v ln C ln C ( C ln Ejmplo : ( arctg Rscribindo la cuación s tin: d arctg d 6
17 Dspéjs: d d d d d d arctg arctg d d arctg S aprcia qu: d d f El cambio d variabl v. ; d vd dv Transformará la cuación n sparabl: vd dv v d arctgv Transponindo d : d vd dv vd arctgv Simplificando: dv d arctgv Transponindo términos d nuvo: 7
18 d arctgvdv Intgrando: d a arctgvdv Intégrs arctg (v usando método d intgración por parts, comnando con l cambio d variabl s tin: Cambio d variabl: arctgv u Drivando: v dv du dv dt dv dt v t Rsulta v arctgvdv v. arctgv v La intgral v dv v dv S rsulv por: Cambio d variabls: v v. dv d 8
19 d v. dv Sustitundo n la intgral s obtin: v d dv ln v Rgrsando l cambio d variabl v v dv ln v Por lo tanto la intgral arctgv. dv v. arctgv ln v Sustitundo st rsultado n la intgral (a s conclu qu v. arctgv ln v ln C Simplificando dvolvindo l cambio v S obtin: arctg ln ln ln C arctg ln C 9
20 0 C arctg ln C arctg ln C arctg ln Buscando la invrsa d la función logarítmica rsulta: C arctg
21 ECUACIONES DIFERECIALES CON COEFICIENTES LINEALES Estas cuacions difrncials tinn la siguint structura: ( a b c d ( d f d 0 También suln llamars cuacions difrncials transformabls a homogénas. Para rsolvr stas cuacions difrncials s dbn raliar algunos cambios d variabls qu prmitan liminar l término indpndint dl coficint linal (" c " " f " consguido sto, la cuación s transforma n homogéna. Ejmplo : d d 9 Pasos a sguir:. Hacr transposición d términos, d manra d darl la structura adcuada. ( d ( 9 d ( 9 d ( d 0 ( 9 d ( d 0. Escribir un sistma d cuacions n h k con los coficints linals ncontrar los valors d h k. h k 9 h k
22 Al rsolvr l sistma rsulta: h k. Hacr l cambio d variabls: u h v k s dcir, u d du v d dv. Sustituir los cambios d variabls n la cuación. ( 9 d ( d 0 Rsultando: [ ( u ( v 9] du [ u v ] dv 0 Efctuar opracions rducir términos smjants [ u 6 v 9] du [ u v] ( u v du ( u v dv 0 dv 0 Esta s una cuación difrncial homogéna; procdr n conscuncia. 5. Efctuar un nuvo cambio d variabl v u. dv u. d. du 6. Hacr la sustitución n la última cuación obtnida ( u u du ( u u( ud du 0 7. Efctuar opracions hasta transformarla n sparabl u ( du u( ( ud du Al simplificar rducir términos smjants rsulta: du du ud du ud ( du u( d Al sparar las variabls intgrar mimbro a mimbro s obtin: du
23 du d u (* La intgral dl lado iquirdo s inmdiata; la dl lado drcho s rsulv por cambio d variabls así: Por lo tanto; d t ( d dt ( d dt dt Al sustituir los cambios n la intgral rsulta: dt t ln t ln dt t Sustitundo st rsultado n cuación s obtin: intgrando l lado iquirdo d sa ln u ln ln C 8. Aplicar las propidads d los logaritmos para simplificar la prsión ln u ln ln u( lnc lnc u( C
24 Elvar al cuadrado ambos mimbros u ( C Dond C C lugo: u ( C 9. Rvrtir todos los cambios d variabls simplificar ( v u v u C ( ( ( ( C ( ( ( ( ( ( C ( ( ( ( C Solución Gnral.
25 ECUACIONES DIFERECIALES EXACTAS S dic qu una cuación difrncial M (, d N (, d 0 s acta si s vrifica qu: M (. N(. d d Para rsolvr st tipo d cuacions s procd d la siguint manra:. S intgra M (, con rspcto a (cuando s intgra con rspcto a, ntoncs s constant s rmplaa la constant d intgración por una función d (G(. f (, M (, d f (, G(. S driva la función ƒ(, G ( con rspcto a, s iguala con N (, d f (. G( N(. d d Al dspjar d G( Rsulta: G( N(. f (. d d d 5
26 . S intgra ambos lados d la cuación antrior con rspcto a, para obtnr l valor d G ( s sustitu st rsultado n l paso "". El jrcicio también pud rsolvrs comnando l procso d intgración n l paso " " con rspcto a "". Ejmplo : ( M (, N(, d d 0 Es una cuación difrncial acta a qu: M (, d N(, d Lugo M (, N(, d d S procd a sguir los pasos d "" a "".. S intgra M (, con rspcto a M (, d ( d d d f (, d f (, G( 6
27 . S driva con rspcto a "" f (, G( d d S iguala a N (, d f (, N(, d G( d Dspjando s obtin: G( d G( 0 d. S intgra l rsultado antrior con rspcto a para obtnr: d G( 0d G( C S sustitu G( n " " obtniéndos f (, C 0 7
28 8 Ejmplo : 0 d d, ( M, ( N ( d d d N d d M Es una cuación difrncial acta a qu, (, ( N d M d. Intgrar con rspcto a "" * (, (, (, (, ( G f d f d N f. Drivando F (, con rspcto a "" s tin: (, ( G d d d f d
29 9 ( 0, ( G d f d Igualando, ( f d con, ( M s tin ( G d Dspjando 0 ( ( G d G d. Intgrando l rsultado antrior con rspcto a "" s obtin: C G C d d G 0 ( 0 ( Sustitundo l rsultado obtnido n " * " s tin: 0, ( C f ó n su forma quivalnt C f, (
30 f (, C f (, C 0
31 ECUACIONES DIFERECIALES TRANSFORMABLES EXACTAS Algunas cuacions difrncials M (, d N (, d 0 pudn rsultar no sr actas, s dcir no s cumpl qu: M (, N(, d d Pro si s da l caso d qu: N(. d d M (, d d N(, h( s una función solamnt d, ntoncs h( d s un factor intgrant; s dcir, si s multiplica M (, d N(, d por dicho factor, la cuación s transforma n una cuación difrncial acta. D la misma manra sí: M (, d d N(, d d M (, k( s una función solamnt d " " ntoncs k ( d Intgrant d la cuación difrncial. s un Factor Ejmplo : d ( ln d 0
32 d M (, d N(, d d No rsulta sr una cuación difrncial acta; probando a consguir un factor intgrant: k( M (, d d N(, d d M (, k( k( Por lo tanto d, s un factor intgrant d ln ln Multiplicando la cuación por l factor obtnido rsulta: d ln 0 d ln d 0 d Probando l critrio d actitud: d d M (, N(, d d Por lo tanto s obtuvo una cuación difrncial acta, Procdindo sgún st caso: d. d ln G( *
33 . Drivando ( con rspcto a " " igualando con "N " ln `( ln G Simplificando s obtin: G `( Intgrando mimbro a mimbro C G d d G (. `( Sustitundo st rsultado n " * " rsulta: 0 ln, ( C f Ejmplo : 0 ( ( d d M d d, ( N d d, (, (, ( N d d M d d Entoncs, ( f no s una cuación difrncial acta, probando a consguir un factor intgrant: (, (, (, ( ( h N d d M d d N h
34 Lugo h ( n función d solo " ", por lo tanto h d ( s un factor intgrant d f. I Multiplicando la cuación por l factor intgrant s obtin: (. d ( d 0 ( d ( d 0 d d M (, d d N(, Rsulta una cuación difrncial acta, procdindo n conscuncia:. ( d G( *. Drivando l rsultado con rspcto a " " igualando " N " rsulta: G`( Rducindo términos smjants s obtin: G`( Intgrando mimbro a mimbro G`( G( d C Sustitundo n " * " s obtin: f (, C 0
35 ECUACIONES DIFERECIALES LINEALES Si una cuación difrncial M (, d N (, 0, pud scribirs d la forma d P( Q( d ó n forma quivalnt ` P( Q( ntoncs rcib l nombr d " Ecuación Difrncial Linal. Si s multiplica ambos lados d la cuación por un factor intgrant d la forma p d ( s intgra mimbro a mimbro la solución s inmdiata, s dcir `P( Q(. Multiplíqus ambos lados por p d : ( P( p ( d p( d p( d Q( d El primr mimbro d la cuación no s otra cosa qu la drivada con rspcto a " " dl producto p( d. d P( d Q( P( d. Intgrando mimbro a mimbro s obtin: P( d Q( P( d d C Solución d la Ecuación Difrncial D la misma manra la cuación pud scribirs como: 5
36 ` P( Q( como: El factor intgrant tndría la forma p d ( la solución vndría dada P( d Q( d C P ( d Ejmplo : d d ó n su forma quivalnt `. Idntificar P ( Q ( P( Q (. Encontrar l factor intgrant F d d P( d ln ln. I. Multiplicando ambos mimbros d la cuación por l factor intgrant s obtin: ` ` 5 El primr mimbro d la igualdad no s otra cosa qu la drivada con rspcto a " " dl producto ², por lo tanto intgrando mimbro a mimbro s tin: 6
37 d d ( ` 5 d 6 6 C Solución d la cuación difrncial. Hacindo l procdiminto más simpl, s pud trabajar d la siguint manra: `.. Idntificar P ( Q (. Encontrar l factor intgrant, n st caso ²(como s obtuvo n l paso dos.. Aplicar dirctamnt la fórmula P( d P( d Q( d C, obtnindo: d C 5 d C 6 6 C 7
38 Ejmplo : ` Rcuérds qu para qu la cuación sa linal db tnr la siguint structura: `P( Q(, dond ' dnota la drivada d " " con rspcto a "", por lo tanto, la cuación dada no llva sa structura pro si s dividn ambos lados d dicha cuación por la variabl "" s obtin: ` Siguindo los pasos:. P( Q (. Buscando l Factor Intgrant. d d In In. Aplicando la fórmula: P( d P( d Q( d C ( d C d C C C C 8
39 Ejmplo : ` ' dnota la drivada d "" con rspcto a "", dividindo ambos lados d la cuación ntr "" s obtin: `. P( Q (. Obtnindo l Factor Intgrant: P( d d In ln. Aplicando la fórmula: P( d P( d Q( d C ( d C ln C Dspjando " " s obtin: ln C 9
40 0 ECUACIONES DIFERECIALES DE BERNOULLI Una cuación difrncial d Brnoulli tin la siguint structura: n Q P ( ( También pud scribirs como n Q P ( ( ` Esta cuación difrncial pud transformars n linal si s divid mimbro a mimbro ntr n, hacindo lugo un cambio d variabl. Procdindo como s indica, s obtin: n n n n Q P ( ( ` ( ( Q P n n ι Hacindo l cambio d variabl w n, drivando parcialmnt con rspcto a " " rsulta: ` ` ( w n n, s dcir ` ` ( w n n Multiplicando mimbro a mimbro la cuación ( por (- n s obtin: ( ( ( ( ` ( Q n P n n n n Sustitundo n sta prsión l cambio d variabl, pud scribirs como: ( ( ( ( ` Q n w P n w
41 Qu s una cuación linal n " w ", a qu ( - n s una constant. Ejmplo : `, dividindo ntr ` ` ( Hágas l cambio d variabl n w, drívs parcialmnt con rspcto a ". En st caso n (ponnt d " " n l jmplo dado qudando: Cambio d Variabl: w, s dcir w Drivando con rspcto a " " ` w` Multiplicando la cuación ( por - rsulta: ` Sustitúas l cambio d variabl: w` w s tin: S obtuvo una cuación linal n " w ", procdindo n conscuncia
42 P ( Q( s: Buscando l factor intgrant d por lo tanto la solución w ( d C w d C w C Rvirtindo l cambio d variabl C Est rsultado pud prsars también como: C Dond C s quivalnt a C. Obtniéndos mdiant l invrso: C Ejmplo : ` 6, pasos a sguir:. Dividir ntr ` 6
43 . Simplificar 6 `. Hacr l cambio d variabl w, calcular w `. Sustituir l cambio d variabl multiplicar toda la prsión por w ` w 5. Rsolvr la cuación difrncial linal dond: P( Q ( Factor intgrant: d In In Rsultando: w d C 6. Rsolvr la intgral w C 7. Dspjar " w " w C 8. Rvrtir l cambio d variabl: C
44 9. Buscar l invrso C C 0. Todavía s pud lvar ambos mimbros a la potncia para obtnr: ( C
45 5 ECUACIONES DIFERECIALES DE RICCATI Est tipo d cuación difrncial tin la structura: ( ( ( R Q P o n su forma quivalnt ( ( ( ` R Q P En la cual si s conoc alguna raí ( S dl polinomio d sgundo grado n, l cambio d variabl: S ( La transforma n una " Ecuación Difrncial Linal". Ejmplo : ` S ( Pasos a sguir:. Hacr l cambio d variabl Calcular; ` sustituir n la cuación difrncial `
46 6. Oprar rducir términos smjants: ` ` ` `. Dspjar ', lo cual s obtin multiplicando mimbro a mimbro por ` `. Rsolvr la cuación sparabl : c 5. Rvrtir l cambio d variabl dspjando " " d la cuación: Obtniéndos: 6. Sustitundo n " " rsulta: C
47 7 C C Ejmplo : d d S ( Pasos a sguir:. Raliar l cambio d variabl, S ( s dcir,. Drivar ambos lados d la prsión antrior con rspcto a ` `. Sustituir los valors d: ' n l jmplo `. Raliar opracions rducir términos smjants ` `
48 5. Multiplicar ambos lados d la cuación por ( ` ` 6. Transponr términos para obtnr una cuación difrncial linal ` 7. Rsolvr la cuación difrncial P( Q ( Factor Intgrant d d In In 8. Solución d la cuación difrncial linal d C C C C 9. Rvrtir l cambio d variabl sustituir n l paso antrior Si 8
49 9 Entoncs: C 0. Solución gnral d la cuación difrncial: Dspjar "" n función d "" C C C C
50 EJERCICIOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 50
51 Ejrcicios d Ecuacions Difrncials Sparabls Ejrcicio : ( 0 Paso : Sparar variabls Paso : Intgrar l lado iquirdo d la igualdad por cambio d variabls l lado drcho por tablas. ln ln c Paso : Transponr términos aplicar propidads d los logaritmos ln ln lnc ( c Ejrcicio : ( ( Paso : Sparar variabls 5
52 Paso : intgrar ambos lados dspués d dividir los polinomios ln ln c Paso : transponr términos aplicar propidads d los logaritmos ( ln c ( c Ejrcicio : Paso : transponr términos ( d Paso : intgrar l lado iquirdo d la cuación usando métodos d intgración por parts l lado drcho por cambios d variabl ( ( c Paso : transponr términos ( ( c 5
53 Ejrcicio : ' ln Paso : scribir ' como d sacar como factor común n l d dnominador d la fracción dl lado drcho. Sparar variabls ln ( Paso : intgrar l lado iquirdo d la cuación por tablas l lado por cambio d variabl ln c Paso : sacar mínimo común dnominador d ambos lados d la cuación aplicar propidads d los logaritmos ln c Ejrcicio 5: t t t t ( Paso : sacar factor común "t" n l numrador d la fracción dl lado drcho transponr términos para sparar variabls t t t 5
54 Paso : intgrar l lado iquirdo d la cuación por tablas l lado drcho por cambio d variabl ln ln t lnc ( t c Paso : aplicar la condición inicial ( 5 ( t 5 Ejrcicio 6: Cos t ( t 0 Paso : transponr términos sparar variabls Cos (t t Paso : intgrar por tablas ambos lados d la cuación ( t c ln Sn Paso : buscar la invrsa d la función logarítmica c Sn ( t 5
55 Ejrcicio 7: Paso : rscribir la cuación Paso : sparar variabls ( Paso : intgrar por tablas ( c Ejrcicio 8: Paso : sparar variabls Paso : Intgrar lado iquirdo por sustitución trigonométrica (o dirctamnt por tablas; lado drcho por tablas arcsn c Paso : dspjar "" 55
56 ( c Sn Ejrcicio 9: ' Paso : rscribir la cuación ( ( ( ( Paso : Sparar variabls Paso : intgrar por tablas ambos lados d la cuación ( c Arc tan tan c Ejrcicio 0: tan ( sc( 0 Paso : Sparar variabls ( Cotg( Cos 56
57 Paso : Intgrar lado iquirdo d la cuación usando l método d intgración por parts l lado drcho por tablas. ( Cos( Sn( ln sn( c Sn Paso : Calcular la invrsa Sn ( Cos( Sn( c Sn( 57
58 Ejrcicios d Ecuacions Difrncials Homogénas Ejrcicio : Paso : Hacr transposición d términos ( Paso : Aplicar l cambio d variabl v v v Para obtnr: v v Paso : Intgrar lado iquirdo por sustitución trigonométrica lado drcho por tablas para obtnr, dspués d rvrtir l cambio d variabl c 58
59 Ejrcicio : ( Paso : Hacr transposición d términos ( Paso : Aplicar l cambio d variabl. v u u Para obtnr: u u u Paso : Intgrar lado iquirdo drcho por tablas, dspués dividir ambos términos dl numrador d la fracción ntr u, lugo rvrtir l cambio d variabl. ln c Equivalnt a: c 59
60 Ejrcicio : Paso : Hacr transposición d términos d ( d Paso : Aplicar l cambio d variabl. u d ud du Para obtnr: u u u Paso : Intgrar ambos lados d la cuación por tablas, dspués d dividir ambos términos dl numrador d la función dl lado drcho ntr "u" para obtnr lugo d rvrtir l cambio d variabl. ln ln ln c Equivalnt a: c Ejrcicio : 0 60
61 Paso : Hacr transposición d términos para obtnr: d ( d Paso : Aplicar l cambio d variabl v u u Para obtnr: u u u Paso : Intgrar lado iquirdo por tablas lado drcho por cambio d variabl ( u t para obtnr, dspués d rvrtir l cambio d variabl ln ln ln c Equivalnt a: ln ln ln c c Equivalnt a: c 6
62 Ejrcicio 5: ( d d 0 Paso : Transponr términos aplicar l cambio d variabl v u u Para obtnr: u u u Paso : Intgrar lado iquirdo por tablas lado drcho por cambio d variabl para obtnr. ln ln u ln c Paso : Aplicar n propidads d los logaritmos rvrtir l cambio d variabl para obtnr. c Equivalnt a: c Ejrcicio 6: t ( t t 0 t 6
63 Paso : Hacr transposición d términos aplicar l cambio d variabl t u dt ud du para obtnr. u u u Paso : Intgrar lado iquirdo por tablas lado drcho mdiant l cambio d variabls u u para obtnr dspués d rvrtir l cambio d variabl. u ln ln u ln c Paso : Transponr términos, rsolvr la cuación rvrtir l cambio d variabl para obtnr. t t c Ejrcicio 7: ' Con la condición inicial ( 0 ( arctg Paso : Hacr transposición d términos l cambio d variabl u d ud du para obtnr. arctg u u Paso : Intgrar lado iquirdo aplicando l método d intgración por parts lado drcho por tablas para obtnr u ( arctgu ln u ln ln c 6
64 Equivalnt a: u u ( arctgu ln u ln ln c ( arctgu ln u c u arctg u u c Paso : Rvrtir l cambio d variabl considrar la condición inicial para obtnr. arctg Ejrcicio 8: sn - cos cos 0 Paso : Transponr términos hacr l cambio d variabl u d ud du para obtnr: cosu u sn u Paso : Intgrar por tablas ambos lados d la cuación para obtnr ln ln snu ln c 6
65 Paso : Transponr términos rvrtir l cambio d variabl: s n c Ejrcicio 9: ln Paso : Hacr transposición d términos l cambio d variabl u d ud du para obtnr; u u ( ln u Paso : Intgrar lado iquirdo hacindo l cambio d variabl ln u t lado drcho por tablas para obtnr; ln t ln ln c Paso : Rvrtir l cambio d variabl n "t" l cambio d variabl n "u" para obtnr; ln c Equivalnt a: c c 65
66 Ejrcicio 0: Paso : Hacr transposición d términos l cambio d variabl u d ud du ud du ( u ud Equivalnt a: u u d Paso : Intgrar mimbro a mimbro por tablas: u ln ln c Paso : Aplicar propidads d los logaritmos rvrtir l cambio d variabl: ln c 66
67 Ejrcicios d Ecuacions Difrncials con Coficints Linals Ejrcicio : ' 5 Paso : Hacr transposición d términos para obtnr la structura M (, d N(,` 0 ( 5 d ( d 0 Paso : Rsolvr l sistma d cuacions h k 5 h k Dond h k Efctuar l cambio d variabl u h u d du v k v d dv Sustituir stos valors n la cuación dl paso "" para obtnr la cuación homogéna. ( u v du ( u v dv 0 Paso : Rsolvr dicha cuación homogéna mdiant l cambio d variabl. 67
68 u v du dv vd S obtin la cuación sparabl v v Intgrando ambos lados d la cuación rvirtindo los cambios d variabl s obtin: ( c( Sugrncia: rsulva usando l método d intgración por fraccions parcials (fraccions simpls. Ejrcicio : ( d ( d 0 Paso : Rsolvr l sistma d cuacions h k h k Dond h ; k Efctuar l cambio d variabl; u h v k 68
69 s dcir, u d du v d dv Sustituir stos valors n la cuación original para obtnr la cuación homogéna. ( u v du ( u v dv 0 Paso : Rsolvr dicha cuación homogéna mdiant l cambio d variabl. v u dv ud du S obtin la cuación sparabl u u Equivalnt a: u u Paso : Intgrar ambos lados d la cuación sparabl rvrtir los cambios d variabl para obtnr; c Sugrncia: rsulva la intgral 69
70 Efctuando l cambio d variabl t ( d dt 70
71 Ejrcicios d Ecuacions Difrncials Eactas Ejrcicio : ( 6 5 d ( d 0 Probar l critrio d actitud M 6 N Paso : Intgrar "M" con rspcto a "" 5 G ( Paso : Drivar l rsultado con rspcto a "" igualarlo con "N" G' ( Paso : Dspjar G ( intgrar con rspcto a "" G' ( G( d G( c Sustituir G ( n l paso "" Solución gnral: 7
72 5 c Ejrcicio : ( d ( d 0 Probar l critrio d actitud M N Paso : Intgrar "M" con rspcto a "" ( d G( Paso : Drivar con rspcto a "" igualarlo a "N" G' ( Paso : Dspjar G' ( intgrar con rspcto a "" G ' ( 0 G( 0 d c Sustituir G( n l paso "" Solución gnral c 7
73 Ejrcicio : ( d ( cos d 0 Probar l critrio d actitud M N Paso : Intgrar "M" con rspcto a "" ( d G( Paso : Drivar st rsultado con rspcto a "" igualarlo a "N" G' cos ( Paso : Dspjar G' ( intgrar con rspcto a "" G ' ( cos G( cos d sn c Sustituir l rsultado n l paso "" Solución Gnral sn c Ejrcicio : ( d ( d 0 Sujt a la condición inicial ( 0 7
74 7 Probar l critrio d actitud N M Paso : Intgrar "N" con rspcto a "" ( ( G d Paso : Drivar l rsultado con rspcto a "" igualarlo con "M" ( G ' Paso : Dspjar ( G' intgrar con rspcto a "", lugo sustituir la condición inicial ( 0. ( c G Solución gnral c Si ( 0 ntoncs la solución particular s: Ejrcicio 5: ( ( 0 cos d d sn Probar l critrio d actitud N M cos
75 Paso : Intgrar "M" con rspcto a "" sn d d sn G ( Paso : Drivar l rsultado con rspcto a "" igualarlo con "N" cos G' cos ( Paso : Dspjar G' ( intgrar con rspcto a "" G ' ( 0 G( c Sustituir G ( n l paso "" Solución gnral sn c Ejrcicio 6: ( cos sn 5 Rscribir la cuación probar l critrio d actitud ( sn 5 d ( cos d 0 M N cos Paso : Intgrar "M" con rspcto a "" 75
76 5 sn d 5 d sn G ( Paso : Drivar l rsultado con rspcto a "" igualar a "N" cos G' ( cos Paso : Dspjar G' ( intgrar con rspcto a "" G' ( G ( c Sustituir G( n l paso "" Solución gnral sn 5 c Ejrcicio 7: ( 0 ( 0 Probar l critrio d actitud M N Paso : Intgrar M con rspcto a "" G ( 76
77 Paso : Drivar l rsultado con rspcto a "" igualarlo a "N" G' ( Paso : Dspjar G' ( intgrar con rspcto a "" G' ( G 8 ( ln c Sustituir G ( n l paso "" Solución gnral: 8 ln c Solución particular: 8 ln ln Ejrcicio 8: ( sn 0 snd d Probar l critrio d actitud M N sn cos Paso : Intgrar "M" con rspcto a "" snd cos G ( Paso : Drivar l rsultado con rspcto a "" igualarlo a "N" 77
78 sn G' sn ( Paso : Dspjar G' ( intgrarlo con rspcto a "" G' ( G c ( Sustituir G ( n l paso "" Solución gnral cos c Ejrcicio 9. cos d ( sn d 0 Probar l critrio d actitud M N sn Paso : Intgrar "M" con rspcto a "" igualarlo a "N" cos d cos G ( Paso : Drivar l rsultado con rspcto a "" igualarlo a "N" sn G' sn ( Paso : Dspjar G' ( intgrar con rspcto a "" 78
79 G' ( G c ( Sustituir G( n l paso Solución Gnral cos c Ejrcicio 0: ( d ( 5 d 0 Probar l critrio d actitud M Y N Paso : Intgrar "M" con rspcto a "" ( d G( Paso : Drivar l rsultado con rspcto a "" igualarlo a "N" G' ( 5 Paso : Dspjar G' ( intgrar con rspcto a "" G ' ( 5 G ( 5 c 79
80 Sustituir G ( n l paso "" Solución Gnral 5 c 80
81 Ejrcicios d Ecuacions Difrncials Transformabls a Eactas Ejrcicio : d d ( d Rscribir la cuación probar l critrio d actitud ( d d 0 M n N 0 Paso : Buscar un factor intgrant M ' N' N 0 FI Multiplicar la cuación por l factor intgrant probar d nuvo l critrio d actitud. ( d d 0 M N Paso : Intgrar "N" con rspcto a "" G ( Drivar l rsultado con rspcto a "" igualarla a "M" 8
82 G' ( Paso : Dspjar G' ( intgrar l rsultado con rspcto a "" (usar método d intgración por parts. G' ( Cambios d variabls sugridos para cada una d las intgrals: u u d du d du v v G ( c Sustituir G ( n l paso "" simplificar Solución gnral: c Equivalnt a: c Ejrcicio. d d ln d 0 Rscribir la cuación probar l critrio d actitud. 8
83 ( ln d d 0 M N d Paso : Buscar un factor intgrant M ' N' N FI Multiplicar la cuación por l factor intgrant probar d nuvo l critrio d actitud. ln 0 M N Paso : Intgrar "N" con rspcto a "" G( Drivar l rsultado con rspcto a "" igualar a "M" G' ( ln Paso : Dspjar G' ( intgrar l rsultado con rspcto a "" (usar método d intgración por parts. 8
84 ln G' ( Cambio d variabl sugrido ln u u d v v Por lo tanto; G( ln c Sustituir G ( l rsultado n l paso "" Solución gnral: ln c Equivalnt a: ln c Ejrcicio : ( d ( d 0 Sujta a la condición inicial ( Probar l critrio d actitud 8
85 M N X Paso : Buscar un factor intgrant M ' N' N ( FI d Multiplicar la cuación por l factor intgrant probar d nuvo l critrio d actitud ( d ( d 0 M N Paso : Intgrar "M" con rspcto a "" ( G( Drivar l rsultado con rspcto a "" igualar a "N" G' ( Paso : Dspjar G' ( intgrar l rsultado con rspcto a "" G ' ( 0 G( c Solución gnral: 85
86 c Solución particular 0 Equivalnt a: 0 Ejrcicio : 0 Probar l critrio d actitud M N Paso : Buscar l factor intgrant M ' N ' N FI Multiplicar todos los términos d la cuación por l factor intgrant probar d nuvo l critrio d actitud: 0 86
87 M N Paso : Intgrar "M" con rspcto a "" G( Drivar l rsultado con rspcto a "" igualarlo a "N" G' ( Paso : Dspjar G' ( intgrar l rsultado con rspcto a "" G ' ( 0 G( c Sustituir G( n l paso Solución gnral c Equivalnt a: c Ejrcicio 5: ( d tgd 0 Probar critrio d actitud 87
88 M N sc Paso : Buscar l factor intgrant M ' N' sc N tg tg FI tgd ( ln cos cos Multiplicar todos los términos d la cuación por l factor intgrant probar l critrio d actitud ( cos cos d snd 0 dm d cos dn d Paso : Intgrar "N" con rspcto a "" sn d sn G ( Drivar l rsultado con rspcto a "" igualar a "M" cos G' cos ( cos Paso : Dspjar G' ( intgrar l rsultado con rspcto a "" (usar método d intgración por parts G ' ( cos G ( sn cos c Sustituir G ( n l paso 88
89 89 Solución gnral: c sn sn cos Ejrcicio 6. ( ( 0 d d Probar critrio d actitud N M 6 Paso : Buscar l factor intgrant ( ' ' N N M d FI Multiplicar todos los términos d la cuación por l factor intgrant probar d nuvo l critrio d actitud. ( ( 0 d d N G M ( ( Paso : Intgrar "M" con rspcto a "" (usar l método d intgración por parts; ( G Drivar l rsultado con rspcto a "" igualar a "N"
90 G' ( Paso : Dspjar G' ( intgrar l rsultado con rspcto a "" G ' ( 0 G( c Sustituir G ( n l paso rducir términos smjants Solución gnral: c Equivalnt a: ( c Ejrcicio 7: ( ln 0 Probar l critrio d actitud M N Paso : Buscar l factor intgrant N' M ' M 90
91 FI Multiplicar todos los términos d la cuación por l factor intgrant probar d nuvo l critrio d actitud. ln 0 M N Paso : Intgrar "M" con rspcto a "" ln G( Drivar l rsultado con rspcto a "" igualar a "N" ln G' ( ln Paso : Dspjar G' ( intgrar l rsultado con rspcto a "" G' ( G ( c Sustituir G ( n l paso Solución gnral: ln c 9
92 Ejrcicio 8. sn ' cos Rscribir la cuación ( sn d cos d 0 Probar critrio d actitud M N sn sn Paso : Buscar l factor intgrant M ' N ' tg N FI tg sc Multiplicar todos los términos d la cuación por l factor intgrant probar d nuvo l critrio d actitud. ( sc tg sc d sc d 0 M N sc tg Paso : Intgrar "M" con rspcto a "" sc sc tgd sc d tg G ( Drivar l rsultado con rspcto a "" igualarlo a "N" sc G ' ( sc 9
93 Paso : Dspjar G' ( intgrar l rsultado con rspcto a "" G ' ( 0 G( c Sustituir G ( n l paso Solución gnral sc tg c Equivalnt a: sn c cos Ejrcicio 9. ( d ( d 0 Probar critrio d actitud M N Paso : Buscar factor intgrant M ' N' N FI Multiplicar todos los términos d la cuación por l factor intgrant probar d nuvo l critrio d actitud 9
94 ( d ( d 0 M N Paso : Intgrar "M" con rspcto a "" d d G ( Drivar l rsultado con rspcto a "" igualarlo a "N" G' ( Paso : Dspjar G' ( intgrar l rsultado con rspcto a "" G ' ( 0 G( c Sustituir G( n l paso Solución gnral. c Ejrcicio 0: d ctgd 0 Probar l critrio d actitud M N 0 cotg 9
95 Paso : Buscar factor intgrant M ' N' N FI Multiplicar todos los términos d la cuación por l factor intgrant probar d nuvo l critrio d actitud. cotg 0 M N 0 Paso : Intgrar "M" con rspcto a "" ln G ( Drivar l rsultado con rspcto a igualarlo a N G' ( ctg Paso : Intgrar l rsultado con rspcto a G ( ln sn c Sustituir G ( n l paso Solución gnral ln ln sn ln c c 95
96 Equivalnt a: sn c 96
97 Ejrcicios d Ecuacions Difrncials linals Ejrcicio. ' cos sn cos Paso : Idntificar P ( Q ( calcular l factor intgrant P ( cos ( sn cos Q d FI cos sn Paso : Aplicar la formula P( P( Q ( X c sn sn sn cos d c Rsolvr la intgral usando primro l método d intgración por cambio d variabl lugo l método d intgración por parts sn t cos d dt Rsultado CV. t dt c CV. Método d intgración por parts u t du dt t u Por lo tanto t dt t t t c 97
98 Paso : Rvrtir los cambios d variabl dspjar la variabl "" sn sn sn sn c sn c sn Ejrcicio : ' Paso. Idntificar P ( Q ( calcular l F.I. P ( ( Q FI Paso : Aplicar la formula P( P( Q ( X c c Sugrncia: Usar método d intgración por cambio d variabl método d intgración por parts. c Paso : Dspjar la variabl "" c 98
99 Ejrcicio : ' 5 Paso : Idntificar P ( Q ( calcular l factor intgrant P Q( ( 5 FI p ( d 5 Paso : Aplicar la formula P( P( Q ( X c 5 5 d c Rsolvr la intgral usando l método d intgración por parts c Paso : Dspjar la variabl 5 5 c 5 Ejrcicio. ' 0 Paso : Multiplicar toda la cuación por l factor para darl la structura d la cuación difrncial linal. ' 99
100 Idntificar P ( Q ( calcular l factor intgrant P( Q ( FI P ( Paso : Aplicar la formula P( P( Q ( X c c Paso : Rsolvr la intgral dspjar la variabl "" c c Ejrcicio 5: ' tg cos Paso : Idntificar P ( Q ( calcular l factor intgrant. P ( tg ( Q cos FI tgd ln cos cos Paso : Aplicar la formula; P( P( Q ( X c 00
101 cos cos d c cos Paso : Rsolvr la intgral dspjar la variabl "" cos c ( c sc Ejrcicio 6: ' Paso : Idntificar P ( Q ( calcular l factor intgrant P Q ( ( FI ( d d p Paso : Aplicar la formula P( P( Q ( X c c Paso : Rsolvr la intgral dspjar la variabl "" c c Ejrcicio 7. ' 5 0
102 Paso : Multiplicar por l factor toda la cuación para obtnr la structura d la cuación difrncial linal. ' Idntificar P ( Q ( calcular l factor intgrant. P( Q ( FI ln Paso : Aplicar n la formula P( P( Q ( X c c Paso : Rsolvr la intgral dspjar la variabl "" c 5 c Ejrcicio 8: ' Paso : Idntificar P ( Q ( calcular l factor intgrant P ( ( Q 0
103 FI d Paso : Aplicar n la formula P( P( Q ( X c d c d c Paso : Rsolvr la intgral dspjar la variabl "" c c Ejrcicio 9: ' ctg csc Paso : Idntificar P ( Q ( calcular l factor intgrant P( ctg Q( csc FI p ( d cot gd ln sn sn Paso : Aplicar la formula P( P( Q ( X c ( c d c sn sn cos Paso : Rsolvr la intgral dspjar la variabl 0
104 0 c sn c cosc cosc Ejrcicio 0: ( ' Paso : Multiplicar la cuación por l factor para darl la structura d la cuación difrncial linal. ' Idntificar P ( Q ( calcular l factor intgrant ( P Q ( FI ln ln Paso : Aplicar la formula c Q X P P ( ( ( c d Paso : Rsolvr la intgral dspjar la variabl "" c c
105 Ejrcicios d Ecuacions Difrncials d Brnoulli Ejrcicio. ' Paso : Multiplicar la cuación por l factor para darl la structura d la cuación difrncial d Brnoulli; ' Multiplicar por cuación linal para transformar la cuación d Brnoulli n ' Paso : Efctuar l cambio d variabl w ' w' Multiplicar la cuación por - sustituir l cambio d variabl ' w' w 05
106 Rsolvr la cuación difrncial linal, idntificando P (, Q ( calcular l factor intgrant P( Q ( FI Paso : Aplicar la formula w p ( d p( d Q ( d c ( d c w Rsolvr la intgral dspjar la variabl "w" 6 w c 6 c w Rvrtir l cambio d variabl c Ejrcicio : ' Paso : Multiplicar la cuación por l factor ' 06
107 Paso : Hacr l cambio d variabl w w' Multiplicar la cuación por "-" sustituir ' w ' w Paso : Rsolvr la cuación difrncial linal Idntificar P( Q( calcular l factor intgrant P( Q ( FI Aplicar la formula w p ( d p( d Q ( d c w d c w ln c Dspjar w rvrtir l cambio d variabl w ln c 07
108 ln c Ejrcicio. ' Paso : Dividir la cuación ntr ' Raliar l cambio d variabl w ' w' Multiplicar la cuación por "-" scribir la cuación linal w' w Paso : Rsolvr la cuación linal: Calcular l factor intgrant FI Aplicar n la formula w p ( d p( d Q ( d c w c Paso : Intgrar l lado drcho rvrtir l cambio d variabl 08
109 w c 5 5 c Ejrcicio : ' cos Paso : Dividir la cuación ntr ' cos Raliar l cambio d variabl w ' w' Multiplicar la cuación por " " scribir la cuación linal w' w sc Paso : Rsolvr la cuación linal. Calcular l factor intgrant FI 09
110 Aplicar la formula w p ( d p( d Q ( d c w sc d c Paso : Rsolvr la intgral aplicando l método d intgración por parts rvrtir l cambio d variabl. w tg tgd c ln cos w tg c ln cos c tg Ejrcicio 5. ' tg cos Paso : Dividir la cuación por ' tg cos Raliar l cambio d variabl w ' w' Multiplicar la cuación por "-" scribir la cuación linal w' wtg cos Paso. Rsolvr la cuación linal: 0
111 Calcular l factor intgrant FI tgd ln sc sc Aplicar la formula w p ( d p( d Q ( d c wsc sc cos d c Paso : Intgrar l lado drcho rvrtir l cambio d variabl w sc c c sc sc c Ejrcicio 6: ' Paso : Multiplicar la cuación por ' Raliar l cambio d variabl w ' w' Multiplicar la cuación por "" scribir la cuación linal
112 w' w Paso : Rsolvr la cuación linal: Calcular l factor intgrant FI ln Aplicar la formula w p ( d p( d Q ( d c w c Paso : Intgrar l lado drcho rvrtir l cambio d variabl w c w c c Ejrcicio 7: ' Paso : Multiplicar la cuación por ' Raliar l cambio d variabl
113 w ' w' Multiplicar la cuación por "" scribir la cuación linal w' w Paso : Calcular l factor intgrant ln Aplicar la formula w p ( d p( d Q ( d c w d c Paso : Intgrar l lado drcho rvrtir l cambio d variabl ( c w ln ( ln c Ejrcicio 8: ' Paso : Multiplicar la cuación por '
114 Raliar l cambio d variabl w ' w' Qudando 8 w ' w Paso : Calcular l factor intgrant FI Aplicar la formula w p ( d p( d Q ( d c w 8 c Paso : Calcular la intgral rvrtir l cambio d variabl c Ejrcicio 9: ' Paso : Multiplicar la cuación por ' Raliar l cambio d variabl
115 w ' w' w' w Paso : Calcular l factor intgrant FI p ( d d Aplicar la formula w p ( d p( d Q ( d c w ( c Paso : Calcular la intgral rvrtir l cambio d variabl w c c Ejrcicio 0: ' Paso : Multiplicar la cuación por ' Raliar l cambio d variabls 5
116 w ' w' w ' w Paso : Calcular l factor intgrant p ( d Aplicar la formula w p ( d p( d Q ( d c w d c Paso : Rsolvr la intgral (sugrncia cv t rvrtir l cambio d variabl w c w c c 6
117 Ejrcicios d Ecuacions Difrncials d Ricatti Ejrcicio. ' 5 S ( Paso : Raliar l cambio d variabl ' ' Hacr las sustitucions corrspondints ' 5 Paso : Rsolvr opracions rducir términos smjants para obtnr la cuación linal. ' 8 Paso : Idntificar P(, Q( calcular l factor intgrant P Q ( ( 8 FI 8 Rsolvr la cuación linal n "" rvrtir l cambio d variabl 8 c 8 7
118 8 c c Ejrcicio. 9 6 ' ( S Paso : Raliar l cambio d variabl ' ' Hacr las sustitucions corrspondints 9 6 ' Paso : Rsolvr las opracions rducir términos smjants para obtnr la cuación sparabl, ' Paso : Intgrar mimbro a mimbro para obtnr: c Rvrtir l cambio d variabl c c
119 9 Ejrcicio. 5 5 ' ( S 5 Paso : Raliar l cambio d variabl 5 5 ' 5 ' Hacr las sustitucions corrspondints: ' 5 Paso : Rsolvr las opracions rducir términos smjants para obtnr la cuación linal: 5 ' Paso : Idntificar P(, Q( calcular l factor intgrant ( P 5 ( Q 5 5 FI Rsolvr la cuación linal n "" rvrtir l cambio d variabl 5 5 c
120 0 5 no s una intgral lmntal c c NOTA: s acostumbra, cuando la intgral ( f no s lmntal, scribir como ( t t f 0 dond 0 s una constant así: c u u 5 Ejrcicio : 5 ' ( 5 S Paso : Raliar l cambio d variabl 5 5 ' ' Hacr las sustitucions corrspondints: '
121 Paso : Rsolvr opracions rducir términos smjants ' 6 Paso : Idntificar P (, Q ( calcular l factor intgrant P Q ( ( 6 FI 6 Rsolvr la cuación linal n "" rvrtir l cambio d variabl c c 6 5 Ejrcicio 5: ' 5 5 S ( Paso : Raliar l cambio d variabl ' ' Hacr las sustitucions corrspondints: 5 5 ' 5 5
122 Paso : Rsolvr opracions rducir términos smjants para obtnr la cuación linal; 9 ' Paso : Idntificar P (, Q( calcular l factor intgrant 9 P( Q ( - FI 9 9 Rsolvr la cuación linal n "" rvrtir l cambio d variabl c 0 9 c c Ejrcicio 6: ' csc ctg S ( ctg Paso : Raliar l cambio d variabl -cotg ' cosc ' Hacr las sustitucions corrspondints:
123 cosc ' cosc cotg cotg cotg Paso : Rsolvr opracions rducir términos smjants para obtnr la cuación linal; ' ( ctg Paso : Idntificar P (, Q ( calcular l factor intgrant P ( ctg Q ( FI csc Rsolvr la cuación linal "" rvrtir l cambio d variabl: Variabl: ln cosc cotg c cosc cosc ln cosc cotg cotg c Ejrcicio 7: ' S ( Paso : Raliar l cambio d variabl
124 ' ' Hacr las sustitucions corrspondints ' Paso : Rsolvr opracions rducir términos smjants para obtnr la cuación linal: ' Paso : Idntificar P(, Q( calcular l factor intgrant P( Q ( FI Rsolvr la cuación linal n rvrtir l cambio d variabl c c c Ejrcicio 8: ' 8 6 S ( Paso : Raliar l cambio d variabl
125 5 ' ' Hacr las sustitucions corrspondints 6 8 ' Paso : Rsolvr opracions rducir términos smjants para obtnr la cuación sparabl: ' Paso : Intgrar mimbro a mimbro. ' c Al rvrtir l cambio d variabls s obtin: c
126 BIBLIOGRAFÍA BERMAN, G.N Problmas Ejrcicios d Análisis Matmático ( da Ed. Moscú:Editorial MIR. BRAUN, M. (990 Ecuacions Difrncials sus Aplicacions, Méico: Grupo Editorial Ibroamricana, S.A. EDWARDS, C.H DAVIDE Pnn (986 Ecuacions Difrncials Elmntals con Aplicacions, Méico: Prntic Hall Ibroamricana. LARSON, Robrt HOSTELLER, Robrt (988 Cálculo Gomtría Analítica ( ra Ed., Méico: Mc Graw Hill. LEITHOLD, Louis (99 El Cálculo con Gomtría Analítica (6 ta Ed., Méico: Harla. NAGLE, Knt SALF, Edward Fundamntos d Ecuacions Difrncials ( da Ed.: Wilmington, Addison-Wsl Ibroamricana, S.A. O'NEILL, Ptr V. (998 Matmáticas Avanadas para Ingniría ( ra Ed., Méico: Compañía Editorial Continntal, S.A. STEWARD, Jams (99 Cálculo, Méico: Grupo Editorial Ibroamricano. SWOKOWSKI, Earl (98 Cálculo con Gomtría Analítica, California: Wadsworth Intrnacional Ibroamricana. WEBER, Jan E. (98 Matmáticas para Administración Economía ( ta Ed., Méico: Harla. ZILL, Dnnis (986 Ecuacions Difrncials con Aplicacions ( da Ed., Méico: Grupo Editorial Ibroamricana. 6
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