Solución de modelos matemáticos, utilizando el software Derive 6.1 en aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden

Transcripción

1 Solución d modlos matmáticos, utilizando l softwar Driv 6.1 n aplicacions d cuacions difrncials d primr ordn Jhon Franklin Espinosa Castro* RESUMEN Con l avanc d la cincia a través d la tcnología, s utilizan modlos matmáticos rprsntados por cuacions difrncials d primr ordn qu dscribn l fnómno. Por tal motivo, s ralizó l prsnt documnto n l cual s xplican divrsas aplicacions n difrnts áras por mdio dl softwar Driv. Existn dos grupos; n l primro s ncuntran: tmpratura d un objto al salir d un horno, crciminto d una colonia bactriana, carga intnsidad d corrint d un circuito RC, concntración d sal n un tanqu con salmura; y n l sgundo stán: l ácido valproic n l curpo, contaminación dl lago Michigan y un fósil dotado con carbono 14. Palabras clav: Softwar, modlo, cuación difrncial, driv. * Dirctor dl smillro d invstigación matmática, Univrsidad Francisco d Paula Santandr. UFPS. Dircción lctrónica: jhon_franklin_spinosa@hotmail.com. 1065

2 JHON F. ESPINOSA C. INTRODUCCIÓN A mdida qu l mundo va volucionando la cincia también lo hac d manra rápida y progrsiva, utilizando tcnologías qu van facilitando la comprnsión d cada una d las incógnitas qu s prsntan n los difrnts campos d acción, n spcial n la matmática. Con bas n lo antrior, n st scrito, s utilizó l softwar matmático Driv 6.1 como manipulador algbraico para ralizar cálculos numéricos, optimizando timpo n l procso analítico y gráfico, como hrraminta tcnológica n la solución d aplicacions d cuacions difrncials d primr ordn, n contxtos spcificados. MATERIALES Y MÉTODOS Con la finalidad d optimizar timpo y procsos, s mpló como hrraminta computacional l softwar matmático Driv 6.1 [5]. E igualmnt s utilizaron dos tipos d mtodología: aplicativa y xplicativa; la primra, nfocada n l mplo dl programa como un mcanismo tcnológico, y la sgunda, qu spcifica la sintaxis d la función p (x), q (y), rspctivamnt, la asignación d las variabls y las condicions inicials dadas, qu s dbn utilizar n la solución d los modlos matmáticos qu dfinn la aplicación. Los jrcicios propustos furon xtraídos d los siguints libros: Ecuacions difrncials con aplicacions d modlado [1], Ecuacions difrncials [] y Cálculo aplicado [3]. RESULTADOS Y DISCUSIÓN A continuación, s stablcn los nunciados d las aplicacions analizadas, tnindo n cunta la siguint sintaxis gnralizada qu s db digitar n l programa para cada jrcicio. Es dcir, sparabl (p, q, x, y, x 0, y 0 ) qu proporciona la solución dl problma d valor inicial, dond s asum y = p (x) * q (y) para y (x 0 ) = y 0 [4]. Admás, para cada aplicación las variabls dpndints indpndint s rfrncia por x y. a. Al sacar un pastl d un horno, su tmpratura s d 300 F, n un timpo t = 0. A una tmpratura ambint d 70 F. Lugo d trs minutos, su tmpratura s d 00 F. Hallar, a. La cuación qu dtrmina la tmpratura n cualquir instant d timpo t, y b. La rspctiva tabla y gráfica. Modlo: dt/dt = k (T - 70); Asignación d variabls: x = t = 0; y = T = 300. #1: SEPARABLE ( 1, yk 70 k, x, y, 0, 300 ) SOLVE SEPARABLE ( yk k x y ) # : ( 1, 70,,, 0, 300, yral, ) 1066

3 SOLUCIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS, UTILIZANDO EL SOFTWARE DERIVE 6.1 EN APLICACIONES DE ECUACIONES... kx #3: y = Utilizando la condición, x = 3, y = #4 : 00 = 30 k + 70 = + ), k, Ral) 3k #5: SOLVE ( #6: k = Por lo tanto, la solución particular o spcífica, d la cuación difrncial, qu dtrmina la tmpratura n cualquir instant 0,190181x d timpo t s: #7 : y = b. S ralizara un rspctivo análisis d una colonia d bactrias, qu crcn n cultivo a un ritmo proporcional a la cantidad prsnt. Inicialmnt hay 300 colonias d bactrias n l cultivo y n un timpo d horas l númro ha crcido un 0%. Hallar, a. La cuación qu dtrmina la población n cualquir instant d timpo t? y b. La rspctiva tabla y gráfica? Modlo: dp/dt = kp; Asignación d variabls: x = t = 0; y = p = 300. #1: SEPARABLE ( 1, yk, x, y, 0, 300 ) SOLVE SEPARABLE ( yk x y ) # : ( 1,,,, 0, 300, yral, ) #3: y = 300 kx. Utilizando la condición, x =, y = 360. # 4 : 360 = 300 k #5 : SOLVE( k = ), k, Ral) #6: k = Por lo tanto, la solución particular o spcífica, d la cuación difrncial, qu dtrmina la población n cualquir instant d timpo t s: #7 : y = x c. S aplica una furza lctromotriz d 100V n circuito n sri RC, dond función q ( t ), i(t) qu stablc carga y la intnsidad d la corrint para q ( 0) = 0. Modlo: dq/dt = q; Asignación d variabls: x = t = 0: y = q = 0. #1: SEPARABLE (1, y, x, y, 0, 0) #: SOLVE (SEPARABLE (1, y, x, y, 0, 0), y, Ral). Por lo tanto, la solución particular o spcífica, d la cuación difrncial qu dtrmina la carga n cualquir instant d timpo t s: 1067

4 JHON F. ESPINOSA C. 1 #3: y = x. Ahora, la solución particular o spcífica, d la 100 cuación difrncial, qu dtrmina la intnsidad d la corrint n cualquir instant d timpo t. S db ralizar la drivada d la función d la carga. #4: x 100 #5: #6: 50x d 1 dx x Lugo, y = y 50x #7: y = d. Un tanqu mzclador contin 300 galons d salmura (sal disulta n agua). Otra solución s bomba al tanqu a razón d 3 galons por minuto, la concntración d sal n st flunt s d libras por galón. La solución A t, dnota la cantidad d sal mdida n libras n l tanqu n un timpo, ncuntr la cantidad d sal n l tanqu n cualquir instant d timpo t, si había 50 libras d sal disultas n los 300 galons inicials. Modlo: da/dt = 6 - A/100; Asignación d variabls: x = t = 0; y = A = 50. bin agitada s dsaloja a la misma razón. Si a ( ) y #1: SEPARABLE 1, 6, x, y, 0, #: SOLVE y SEPARABLE 1, 6, x, y, 0, 50, y, Ral. Por lo tanto, la 100 solución particular o spcífica, d la cuación difrncial, qu dtrmina la cantidad d sal n cualquir instant d timpo t s: #3: y = x. El ácido valproic s un mdicamnto qu s mpla para controlar la pilpsia; su vida mdia n l curpo humano s d unas 15 horas. Hallar A qué hora qudará 10% d la dosis original? Modlo: dq/dt = - KQ; Asignación d variabls: x = t = 0; y = Q = q. Dond q rprsnta cantidad inicial dl mdicamnto. #1: SEPARABLE (1, - yk, x, y, 0, q) 1068

5 SOLUCIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS, UTILIZANDO EL SOFTWARE DERIVE 6.1 EN APLICACIONES DE ECUACIONES... #: SOLVE (SEPARABLE (1, - yk, x, y, 0, q), y, Ral) kx #3: y = q. Como la vida mdia s d 15 horas, sabmos qu la cantidad rstant Q = 0.5q cuando t = 15 horas. #4: 0.5 q = q 15k 15k #5: SOLVE (0.5 q = q, k, Ral) #6: k = Rmplazando n # x #7: y = q. Utilizando la condición, y = 0.10q. Es dcir, 10% d la dosis original. #8: 0.1q = q x #9: SOLVE (0.1q = x q, x, Ral) #10: x = Aproximadamnt, n un timpo d 50 horas. f. Cuánto timpo tardara para qu l 90% d la contaminación sa liminada dl lago Michigan? Suponindo qu no s virtan más contaminants. Modlo: dq/dt = - rq/v; Asignación d variabls: x = t = 0; y = Q = q. Dond q rprsnta cantidad inicial d contaminación r/v = #1: SEPARABLE ry 1,, x, y, 0, q v #: SOLVE ry SEPARABLE 1,, x, y, 0, q, y, ral v r. x #3: v y = q. Rmplazando l valor d r/v = 0.03 n # x #4: y = q.cuando l 90% d la contaminación s haya liminado dl lago, rsta un 10% d contaminación. Es dcir, y = 0.1q x #5: 0.1 q = q #6: SOLVE 0.03x (0.1 q = q, xral, ) #7: x = Solución: aproximadamnt: 7 años g. S analizó un huso fosilizado y s ncontró qu contnía la milésima part d la cantidad original d C Dtrmin la dad dl fósil. Modlo: da/dt = ka; Asignación d variabls: x = t = 0; y = A = a. Dond a rprsnta la cantidad inicial d C 14. #1: SEPARABLE (1, yk, x, y, 0, a) 1069

6 JHON F. ESPINOSA C. #: SOLVE (SEPARABLE (1, yk, x, y, 0, a), y, Ral) #3: y = a k x. Para calcular l valor d la constant d dcaiminto, s db tnr n cunta la siguint condición, d qu 0.5a = A (5600). Porqu, la vida mdia s l valor qu corrspond n timpo t, A (t) = 0.5 a, para una cantidad inicial. #4: 0.5a = a 5600k #5: SOLVE (0.5a = a 5600k, k, Ral) #6: k = Rmplazando n #3 #7: y = a - 0,00013 x. Utilizando la condición, y = 0,001a qu rprsnta la milésima part d la cantidad original d C 14. #8: 0.001a = a - 0,00013 x #9: SOLVE (0.001a = a - 0,00013 x, x, Ral) #10: x = 56160,6101. Aproximadamnt, años AGRADECIMIENTOS A los studiants dl smillro d invstigación Matmatic y dirctora dl Dpartamnto d Matmáticas y Estadística d la Univrsidad Francisco d Paula Santandr. CONCLUSIONES El aprndizaj qu proporciona la utilización d sta hrraminta n los studiants univrsitarios s innovador, dbido a qu s pud dtrminar si su procso analítico s corrcto o no, y visual, por la sintaxis y las modificacions qu s pudn hacr n él. Por lo tanto, la incorporación d nuvas tcnologías n la matmática (cuacions difrncials) nriquc los ambints d aprndizaj d los alumnos, la transformación d las prácticas ducativas, las structuras curriculars y la capacidad para invstigar, crar y adaptars a nuvos rqurimintos, como también l dsarrollo d habilidads n l avanc técnico, tcnológico y cintífico. 1070

7 SOLUCIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS, UTILIZANDO EL SOFTWARE DERIVE 6.1 EN APLICACIONES DE ECUACIONES... REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] G. ZILL, Dnnis. Ecuacions difrncials con aplicacions d modlado. 7 a dición. Intrnacional Thomson Larning. México, DF. 00. p., 98, , 106. [] COSTA, Bronson. Ecuacions difrncials. 3 a dición. McGraw-Hill Intramricana. México, DF p. 68. [3] H. HALLETT, Dborah. M. GLEASON, Andrw. Cálculo aplicado. 1 a dición. Compañía ditorial continntal. México, DF p [4] SÁNCHEZ RUIZ, Luis M. LEGUA FERNÁNDEZ, Matild P., MORAÑO, José Antonio. Matmáticas con Driv. Editorial Univrsidad Politécnica d Valncia. Dpartamnto d matmáticas aplicada. 1 a dición. Pdf. p. 5 6, [5] Driv. Disponibl n http: //s.wikipdia.org/wiki/driv. Consulta 01/09/