1. Presentación Inecuaciones (Desigualdades) Funciones y Límites Interpretación Geométrica de la Derivada. 6

Transcripción

1 GUÍA DE: CÁLCULO DIFERENCIAL. Índic. Prsntación.. Incuacions (Dsigualdads).. Funcions y Límits.. Intrprtación Gométrica d la Drivada Drivadas d Funcions Algbraicas por Fórmulas Técnicas d Drivación. 7 A. Rgla d la Cadna. 7 B. Drivación Implícita Drivadas d Ordn Suprior Máimos y Mínimos d una Función Problmas d Aplicación d la Drivada Drivadas d Funcions Eponncials y Logarítmicas. 9. Drivadas d Funcions Trigonométricas (Circulars Dirctas).. Drivadas d Funcions Trigonométricas Invrsas (Circulars Invrsas). 9. La Difrncial. 9. La Difrncial Problmas) Bibliografía 9

2 . Prsntación. El Programa d Estudios d la Unidad d Aprndizaj: Cálculo Difrncial, constituy una part vital dl procso nsñanza-aprndizaj ya qu prmit al docnt contribuir a mjorar la calidad d los aprndizajs a través dl acompañaminto prmannt a lo largo d su trayctoria n l smstr. La viabilidad y factibilidad dl Programa, s sustnta principalmnt n qu las actividads dl profsor incidan dirctamnt n los aprndizajs d los alumnos, por lo qu s spra qu sta guía n principio, rsult atractiva a los studiants y qu nriquzca l conociminto adquirido n l aula n una matria d gran dificultad como las Matmáticas. Considrando qu la ida sustntada para l dsarrollo d sta guía, n cuanto a tmática, s bastant rica n idas matmáticas así como n sus divrsas aplicacions, la introducción d softwar libr intractivo, prmitirá qu l studiant amplí su horizont cultural, pus nadi pud dudar qu n nustro contto las matmáticas jugan un papl d suma importancia afctando, inclusiv, los horizonts artísticos y culturals. Más aún, las idas qu subyacn n l paso d los discrto a lo continuo, así como la rcupración d la noción d función con la qu llga l studiant, y con la qu d aquí db salir, son todas llas custions cntrals para su formación propdéutica matmática. En la actualidad, para tnr un conociminto claro d stas idas matmáticas, s factibl (y tal vz ncsario) qu l studiant intgr dntro d sus posibls instrumntos d conociminto (o d trabajo), a la tcnología informática, custión qu a todos nos atañ. En st sntido, tnmos la firm convicción d qu l mplo d dispositivos informáticos intractivos, como las calculadoras programabls y graficadoras, así como l paqut d gomtría intractiva GoGbra, no sólo ponn al tanto al studiant d la potncia d dicho instrumnto, sino qu l facilitan la ralización d los objtivos plantados para sta Unidad d Aprndizaj, dado qu hacn dl conociminto d las matmáticas algo mucho más agradabl qu l qu s obtin sólo con l uso dl lápiz y papl, o dl gis y l pizarrón, admás d prmitirls avanzar d manra individual.

3 . INECUACIONES (DESIGUALDADES).. Dibuj cada uno d los siguints intrvalos n l j numérico. a) (-, b) -, c), + ) d) (-, -. Us la notación dl problma antrior para dscribir los siguints intrvalos (a) ( ) - 0 (b) ) (c) (d). En los siguints jrcicios complta la tabla. Notación d Intrvalos Notación d Conjuntos Gráfica ) ( 7, + ) - 0, - ) -, -70 : 5 (, 8 : X ( )

4 . Rsulva y vrifiqu las siguints incuacions prsando l rsultado n notación d intrvalos, notación d conjuntos y gráficamnt a) b) c) d) 5 + ) 0 f) 5 g) 9 h) 0 i) j) + 0 k) l) - 0 m) n) o) p) 0 q) 0 r) 5 5. Rsulva y comprub las siguints dsigualdads prsando l rsultado n notación d intrvalos, notación d conjuntos y gráficamnt. a) 5 b) 7 c) 5 d) + 5 ) 6. FUNCIONES Y LÍMITES. 6. Para la función g() = + 5, ncuntr y simplifiqu lo siguint: a) g(/) b) g(0) c) g( + h ) d) g( + h ) g () / h ) g( + h) f) g( h ) g( 7 h ) 7. Para la función f() = 5 +, valú: f ( + h) f() h 0 h 8. Si f s la función dfinida por f y g por g a) ( f + g )() b) ( f g )() c) ( f * g )() d) f g 9. Si f sta dfinida por la función f y g por g a) (g o f)() b) (f o g)(), ncuntr:, dtrminar:

5 0. Dtrmin l dominio, rango y trac la gráfica d las siguints funcions. a) y = 7 + b) y = 5 c) y = - 6 d) y = ) f() = y = + f) f() = 5 g) p()= 5 h) f() = +. Dtrmin l dominio, rango y trac la gráfica d las siguints funcions. a) f() = 5 b) g() = ( + ) ( 9) c) y = ( + ) ( + ) si - si - d) y = ) f() = si si si + 6 si - f) y = 6 si g) f() = si h) h i) g j) p 5. Evalú cada uno d los siguints límits. a) Lím ( + ) b) Lím 5_ c) Lím z z + 5 d) Lím - ) Lím 7 f) Lím _ - / 9 g) Lím h) Lím - t i) Lím t 0 t 9 + j) Lím k) Lím h + h + h 7 8 h h - h 5

6 . INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA.. Dtrmin la cuación d la rcta tangnt a la gráfica n l punto (,f( )). Ralic una tabla d valors d, f( ), m; n l intrvalo crradoa, b. Trac la gráfica y mustr un sgmnto d la rcta tangnt n uno d los puntos trazados. a. y = ;, b. y = 7 6 ;,. Dtrmin las cuacions d las rctas tangnt y normal a la curva dada n l punto indicado. a. y = ; P(-,-) d. y = ; P(, ) b. y = 8 ; P(,). y = ; P(,) c. y = + 8 ; P(,-) f. y = - ; P(,-) 5. Obtnga la drivada d las siguints funcions, utilizando la rgla d los cuatro pasos. a) b) c) d) 5. DERIVADAS DE FUNCIONES ALGEBRAICAS POR FÓRMULAS 6. Driv cada una d las siguints funcions por fórmulas y simplifiqu la drivada rsultant algbraicamnt.. y. r. y * r 7. y * y.. y. 6. y. t 6 r t z y z t r 9. y 7 w z. w y 7. y 5. y t * z 7 9 y y a

7 t 9. y 0. y. s t t t 6 t. y. y = y. y 6. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. A. FUNCIONES COMPUESTAS; REGLA DE LA CADENA 7. Driv cada una d las siguints funcions compustas (dy / d). u u a) y = y u= b) y = y u = u u B. DERIVACIÒN IMPLICITA 8. Driva cada una d las siguints funcions d forma implícita. a) + y = 7y b) y c) + y =5 7 7 d) ) f) ( + ) 5 = 6y y y 9. Hallar la pndint d la rcta tangnt a cada una d las siguints curvas n l punto dado. a) + y + y = 8 ; P(,) b) y +y = ; P(,-) 7. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR 0. Encuntr la sgunda drivada d las siguints funcions. a) y b) y + y + = 0 c) y d) 5 6y y = ) y = + f) y = 8 8. MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN. Dadas las siguints funcions, dtrminar: (a) los intrvalos n qu s crcint o dcrcint, (b) los máimos y mínimos d a. y 6 9 b. y 8 6 c. y 8 7

8 d. y 0. y f. y h. y i. y 6 9 g. y 9. PROBLEMAS DE APLICACIÒN DE LA DERIVADA. S tin una cartulina cuyas dimnsions son 5dm por 8dm.S cortan pquños cuadros idénticos n cada squina y la cartulina sobrant s dobla para formar una caja sin tapa. Hallar las dimnsions d la caja qu proporcionará l mayor volumn posibl indiqu l valor d dicho volumn.. Una plota qu s lanza dirctamnt hacia arriba sgún la ly s(t)= 5t 5t mtros. Hasta qué altura ascndrá?. La suma d dos númros positivos s 0. Hallar los númros si (a) su producto s máimo; (b) la suma d sus cuadrados s mínima; (c) l producto dl cuadrado d uno d llos por l cubo dl otro s máimo. Solución: (a) 0, 0; (b) 0, 0; (c) 8,. 5. El producto d dos númros positivos s 6. Hallar los númros si (a) su suma s mínima; (b) la suma d uno con l cuadrado dl otro s mínima. Solución: (a), ; (b) 8,. 6. Un objto s muv a lo largo dl j coordnado d modo qu su posición (s) satisfac s = t 8t + 9, dond (s) s mid n cntímtros y (t) n sgundos con t 0. Dtrmin la vlocidad dl objto cuando t = y cuando t =6 Cuándo s cro la vlocidad? Cuándo s positiva? 7. Un curpo s muv sobr una rcta sgún la ly s t 9t. Dtrmin su vlocidad y aclración al cabo d 5 sgundos. 8. La trayctoria d una partícula n moviminto rctilíno vin dada por: s = t 9 t + t. a) Encuntr (s) y (a) cuando v = 0. b) Encuntr (s) y (v) cuando a = 0. c) Cuándo s (s) crcint? d) Cuándo s (v) crcint? ) Cuándo cambia la dircción dl moviminto? 9. Una pidra, lanzada vrticalmnt hacia arriba con vlocidad inicial d 90 pis /sg., s muv sgún la ly s = 90 t 6 t, dond (s) s la distancia dl punto d partida, calcular: a) La vlocidad y aclración cuando t = sg. y t = sg. 8

9 0. DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS. 0. Driv cada una d las siguints funcions: y 5 y ln y 9 y a y y y log y y 5 8 y y ln a y a y ln a. DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (CIRCULARES DIRECTAS).. Driv cada una d las siguints funcions: f sn8 cos cos sn f f tan sc f cos f tan f f 6 csc f sc f sc csc f cos f f sn sn. DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS (CIRCULARES INVERSAS).. Driv cada una d las siguints funcions: tan f 5 f arcsc f arctan f arccos arctan f arctan y y ln arctan y arccsc. LA DIFERENCIAL.. Obtén la difrncial d cada una d las siguints funcions. y y y f sn y f cot f 8 f ln f tan f 9

10 . LA DIFERENCIAL (PROBLEMAS). UTILICE DIFERENCIALES PARA OBTENER UN VALOR APROXIMADO EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS.. Utilic difrncials para aproimar l aumnto n l ára d una burbuja d jabón cuando su radio aumnta d pulgadas a. 05 pulgadas. 5. Una arista d un cubo s midió como. cm con un posibl rror d 0.05 cm. Evalú l volumn dl cubo y proporcion una stimación para l posibl rror n st valor. 6. El radio intrior d una concha sférica s d pulgadas, si l grosor s d 6 d pulgada, utilic difrncials para aproimar l volumn n la rgión intrior. 7. El intrior d un tanqu cilíndrico abirto s d pis d diámtro y d 8 pis d profundidad. El fondo s d cobr y los lados son d acro. Utilic difrncials para ncontrar d manra aproimada cuántos galons d pintura a pruba d agua s ncsaria para aplicar una capa d pulgada a la part d acro d la part intrior dl tanqu ( galón pulgadas cúbicas). 8. Una caja d mtal n forma d un cubo dbrá tnr un volumn intrior d 0 m. Los 6 lados s construirán d acro d 6 mm d spsor. Si l costo dl acro s d 0 cntavos por cntímtro cúbico, usar difrncials para obtnr l costo aproimado dl acro. 9. Cuál s l valor aproimado dl rror qu pud comtrs al calcular l volumn y l ára d un cubo d arista 6 cm, si s comt un rror d 0.0 cm al mdir la arista? 0. Las fórmulas para l ára d la suprfici ( S ) y l volumn d una sfra son: S y r V r. Si al mdir l radio s obtin m a) Cuáls son los rrors máimos aproimados d A y V si las mdidas son sguras hasta 0.0m? 0

11 5. BIBLIOGRAFÍA. Bibliografía Básica. Programa d Estudios d la Unidad d Aprndizaj: Cálculo Difrncial. Méico Purcll, E. J. t al. (00). Cálculo Difrncial Intgral. Méico. PEARSON. Prntic-Hall. Funlabrada, S. (008). Cálculo Difrncial. Méico: Mc. Graw-Hill. Lhmann, Ch. (008). Cálculo Difrncial Intgral. Méico. Limusa, Grupo Noriga Editors Lithold, Louis. (00). Cálculo. Ed. Oford. Swokowsky, E. W. (989). Cálculo con Gomtría Analítica. Méico: Grupo Editorial Ibroamérica. Bcrra, E.,J.M. (005). Matmáticas VI un paso sncillo introductorio al cálculo. Univrsidad Nacional Autónoma d Méico. Bibliografía Virtual. Sitios sugridos. GoGbra 5.0 Sistma Algbraico Computacional (CAS). < < < <