3.- Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva del ejercicio 1a en el punto en el que se indica en dicho ejercicio.

Transcripción

1 Matmáticas II Unidad 7 UNIDAD 7 DERIVABILIDAD.- Utilizando la dinición d drivada, hallar las drivadas d las uncions guints n los puntos qu s indican: a b c d 5 n n n n.- Utilizando la dinición d drivada, hallar las drivadas d las uncions guints n los puntos qu s indican: a b 5 n 9 n 0.- Hallar las cuacions d las rctas tangnt normal a la curva dl jrcicio a n l punto n l qu s indica n dicho jrcicio..- Analizar la drivabilidad d la unción dl jrcicio d n l punto = Analizar la drivabilidad d la unción n l punto = Analizar la continuidad drivabilidad d la unción guint n = Utilizando la dinición d drivada, hallar la unción drivada d las guints uncions:

2 Matmáticas II Unidad 7 d E c b a 8.- Hallar las drivadas d las uncions guints: 8. cos sn Hallar las drivadas d las uncions guints: cs sn sn 6. arcsn sn. arc. 0.- Sa la unción sn sn. a Hallar su dominio. b Hallar su unción drivada..- Hallar las drivadas d las guints uncions: h g d c b a.- Hallar los puntos d tangnt horizontal d las uncions guints: c b a cos sn

3 Matmáticas II Unidad 7.- Sa la unción: 5 m n a Hallar m n para qu sa drivabl n todo R b En qué puntos s =0?.- Hallar la drivada n-éma d la unción. 5.- Hallar l valor d la drivada d la unción cos sn 0 n l punto,. 6.- Analizar la drivabilidad d la unción n = Sa la unción = sn, halla un punto n l intrvalo 0, n l qu la tangnt 0, 0,. sa paralla a la curda qu pasa por los puntos 8.- Dmostrar qu ist un punto d la curva arc cua tangnt n s punto s paralla a la rcta = Dtrminar a b para qu la guint unción sa continua n todo R: a b Para sos valors d a b, analizar la drivabilidad d la unción. 0.- Hallar los máimos, mínimos puntos d inlión d las uncions guints:

4 Matmáticas II Unidad 7 a 9 b c d.- Hallar los intrvalos d crciminto dcrciminto los máimos mínimos d: 8 a b c d.- Estudiar concavidad, convidad puntos d inlión d las uncions: a b c d.- Dmostrar qu la rcta s tangnt a la curva 6 8. Hallar l punto d tangncia studiar sa rcta corta a la curva n otro punto distinto al d tangncia..- Hallar l valor d c d modo qu la unción rlativo. S trata d un máimo o d un mínimo?. tnga un único trmo c 5.- Analizar l crciminto d la unción cos sn dtrminar los trmos rlativos para 0,. 6.- Calcular los límits guints:. 5. lim 0 lim. 6. lim 0 lim 0 sn. 7. lim 0 lim 0 sn. 8. lim 0 sn arcsn lim S pud aplicar l Torma d Roll a n l intrvalo [0,]? 8.- Analizar la guint unción satisac l Torma d Roll n l intrvalo [0,] :

5 Matmáticas II Unidad La unción vriica qu - =, n mbargo, su drivada no s anula n ningún punto dl intrvalo -,. Contradic st hcho l Torma d Roll? 0.- Sa a b 7. Hallar a b d manra qu la gráica d la unción tnga para = una inlión cua rcta tangnt n s punto orm un ángulo d 5 con l j OX..- Dmostrar qu ist un punto C d abscisa c, tal qu la tangnt a la gráica d la unción = + n C s paralla a la rcta qu pasa por A, B,5..- Un objto s muv n l j OX sgún la órmula t = 5 + +t t =timpo, calcular la vlocidad mdia ntr t=0 t=. En qué momnto alcanza dicha vlocidad mdia?.- Hallar la bas la altura d una cartulina rctangular d 60 cm d prímtro qu, al dar la vulta complta alrddor d un lado vrtical, gnr un cilindro d volumn máimo..- Qurmos hacr un nvas con orma d prisma rgular d bas cuadrada capacidad 80 cm. Para la tapa la suprici latral usamos un dtrminado matrial, pro para la bas dbmos mplar un matrial un 50% más caro. Hallar las dimnons d st nvas para qu su prcio sa l mnor pobl. 5.- Calcular l punto d la curva n l qu la pndint d la rcta tangnt sa máima. 6.- El consumo d un coch dpnd d la vlocidad n kmh sgún la unción 0,0v v litroskm. v 5

6 Matmáticas II Unidad 7 6 a Cuál s la vlocidad más conómica?. b Cuántos litros por cada 00 km s gastarán a sa vlocidad? 7.- El valor d un rubí s proporcional al cuadrado d su pso. Divid un rubí d gr n dos parts d modo qu la suma d sus valors sa mínima. 8.- Hallar l radio d la bas la altura d un cilindro inscrito n una sra d radio R n cada uno d los caso guints: a El volumn dl cilindro sa máimo. b El ára latral dl cilindro sa máima. 9.- Si d un disco mtálico quitamos un sctor circular, podmos construir un vaso cónico. Dtrmina l sctor circular qu dbmos quitar para qu l volumn dl vaso sa máimo. 0.- Dos posts d 8 m d altura distan ntr sí 0 m. S dsa tndr un cabl unindo un punto dl sulo ntr los dos posts con los trmos d stos. Dónd ha qu tuar l punto dl sulo para qu la longitud total dl cabl sa mínima?..- Estudio rprsntación d las uncions guints: d c b a 9.- Estudio rprsntación d las uncions guints: d c b a.- Estudio rprsntación d la unción:

7 Matmáticas II Unidad 7.- Una hoja d papl db tnr 8 cm d tto imprso, márgns suprior inrior d cm d altura márgns latrals d cm d anchura. Obtnr razonadamnt las dimnons qu minimizan la suprici d papl. 5.- Hallar las dimnons d un dpóto abirto supriormnt, n orma d prisma rcto d bas cuadrada, d 500 m d capacidad, qu tnga un rvstiminto d cost mínimo. 6.- Estudio rprsntación d las uncions guints: a c sn cos sn b d sn arc 7.- Estudio rprsntación d la unción: 8.- Dado r>0, dmostrar qu ntr todos los númros potivos tals qu r la suma + s máima cuando =., 9.- Hallar a b para qu la unción: a 0 b cumpla las condicions dl torma dl valor mdio n l intrvalo [,6]. Dónd cumpl la ts dl torma? La unción cos, dinida n 0,], cumplirá l Torma d Roll?. Tin algún punto con tangnt horizontal n dicho intrvalo?. 7

8 Matmáticas II Unidad 7 EJERCICIOS DE REPASO Propustos n PAEG 5.- Sa la unción: b a = Dtrminar a b para qu sa continua no drivabl n La unción : 0,5 a b 0 R dada por s c 5 drivabl n 0, 5 vriica qu 0 = 5. Dtrmiar a, b c. 5.- Calcular: sn lim 0 sn 5.- Enunciar la Rgla d LHôpital calcular l límit guint: lim El triángulo BAC s isóscls n A. La bas BC mid cm. la altura AH mid 8 cm. S quir inscribir un rctángulo PQRS d suprici máima. Dtrmina las dimnons d st rctángulo El cost d producción d unidads d un producto vin dado por por la prón C céntimos d uro l prcio d una unidad s U 000 céntimos d uro. Cuántas unidads s dbn vndr para qu l bnicio sa máimo? 57.- Un alambr d 00 m d largo s divid n dos trozos. Con uno d los trozos s orma un cuadrado con l otro una circunrncia. Halla la longitud d los trozos para qu la suma d las áras dl cuadrado dl círculo sa mínima. 8

9 Matmáticas II Unidad Dtrminar b c para qu la unción a Sa drivabl n todo R. : b c b Halla la cuación d la rcta tangnt n l punto d abscisa = D todos los prismas rctos d bas cuadrada tals qu l prímtro d una cara latral s d 0 cm, halla las dimnons dl qu tin volumn máimo Estudia l crciminto la concavidad d la unción : 0, R dinida por 6.- a Halla los valors d los coicints b, c d para qu la gráica d la unción b c d cort al j OY n l punto 0, -, pas por l punto,, n s punto, tnga tangnt paralla al j OX. b Una vz hallados sos valors, halla los máimos mínimos rlativos los intrvalos d crciminto dcrciminto d la la citada unción. 6.- Dtrminar los valors a, b c R para los qu la unción a b c pas por l orign d coordnadas, tnga un punto d inlión n = -, su rcta tangnt n = tnga pndint. 6.- Enuncia l torma d Roll. En los jmplos guints - = pro no ha nigún valor c, tal qu c = 0. Justiica n cada caso por qué no contradicn l torma d Roll. a, b g. 6.- Para la unción, s pid: a Dominio continuidad. b Dtrmina sus puntos d cort con los js. c Obtén las coordnadas d los máimos mínimos rlativos. d Dtrmina las coordnadas d los puntos d inlión. 9

10 Matmáticas II Unidad a Din l concpto d unción continua n un punto. b Establc d orma razonada l dominio d c Dtrmina l valor ral para l qu. a g sa continua. b a 66.- Enuncia l Torma d Lagrang. Sa la unción, s pid: a S pud aplicar dicho torma a n [, 6]?. b Y n l intrvalo [, ]?. c Si n algún caso s cump las hipóts dl torma, calcula l valor para l cual s vriica la ts dl mismo Sa 9 6, s pid: a Halla los puntos n los qu la rcta tangnt a la gráica d tin pndint. b Calcula los puntos d inlión d En agosto d 58 l matmático Ludovico Frrari l propuso a su colga Niccolo Fontana, apodado Tartaglia, l guint problma: Halla dos númros rals no ngativos cua suma sa 8 d manra qu su producto multiplicado por su dirncia sa máimo. Obtén las solucions d st problma con dos dcimals d aproimación. a b 69.- D la unción, con a, b R, sabmos qu pasa por l punto,, a qu tin una asíntota oblicua cua pndint s -6. a Dtrmina los valors d a b d la unción. b Dtrminan, istn, las asíntotas vrticals d dicha unción Dada la unción, s pid: a Halla las coordnadas d sus máimos mínimos rlativos. b Calcula, ist, la cuación d la asíntota horizontal por la drcha. 0

11 Matmáticas II Unidad Dtrminar los valors a, b R para qu la unción a sn b cos pas por l punto, n admás cumpla qu la pndint d la rcta tangnt a la unción sa 5. Calcular la drivada 008-éma d dicha unción. 7.- Calcular los límits guints: 8 7 a lim b lim cos 0 cos 7.- Enuncia l Torma d Lagrang. Eplica su intrprtación gométrica. Dtrmina los valors d los parámtros k, p R para qu la unción = dinida k p 0 0 vriiqu las hipóts d dicho torma n [-, ]. 7.- a Enuncia l torma d Bolzano. b S pud aplicar dicho torma a la unción n algún intrvalo?. c Sa g, dmostrar qu g s cortan n algún punto La vlocidad d una partícula, mdida n msg, stá dtrminada n unción dl timpo t 0, mdido n sgundos, por la prón v t t t t. S pid: a En qué instant d timpo dl intrvalo [0, ] s alcanza la vlocidad máima? b Calcula limv t. Intrprta l rsultado. t 76.- Sa la unción a Dtrmina su prón polinómica

12 Matmáticas II Unidad 7 b Dtrmina sus puntos d inlión su curvatura. 77.-En cirto primnto la cantidad d agua n stado líquido Ct, mdida n litros, stá dtrminada n unción dl timpo, mdido n horas, por la prón 0 0 C t 0t con t,0 t t Halla cuál s la cantidad mínima d agua n stado líquido n qué instant s produc ntr t= hora t=0 horas a Enuncia l Torma d Bolzano b Dmustra qu la cuación 7 0 c Dmustra qu, d hcho, dicha solución s única. tin al mnos una solución ral a Dtrminar los valors d a b para qu la guint unción sa continua drivabl n = 0 : a 0 b 0 b Para dichos valors, dtrmina la rcta tangnt a = n l punto d abscisa = Sa la unción. S pid: a Encuntra sus trmos rlativos analiza su monotonía. b Dtrmina sus asíntotas. SOLUCIONES.- a 0 b c d.- a b.- = -9.- No s drivabl n 6 =. 5.- No s drivabl n = Es continua n = 0 pro no s driv. n = a b c 0 d cos sn

13 Matmáticas II Unidad 7 6 cos 5 8 sn sn cos cos sn cos cos sn cos 8 7 sn cos sn cos sn b sn.- d c b a cos sn g cos h.- a =. b = 0. c Z con k k..- a m =, n = -. b En ningún punto..- n n No s drivabl n = = arccos. 9.- a = 5, b = a Máimo n = -, mínimo n =, P. I. n =. b Mínimo n = 0. c Máimo n = 0, P. I. n.

14 Matmáticas II Unidad 7 d Mínimo n = 0, P. I. n = -..- a Máimo n =. Mínimo n =. Es crcint para : <0, 0<< >. Es dcrcint para: << <<. b Crcint n -, - -, 0. Dcrcint n 0,,. Máimo rlativo n = 0. c Crcint n,,. Dcrcint n,,, Máimo n. Mínimo n. d Mínimo n 0, máimo n,.. Crc n,0,0,,,,. Dcrc n,, a Cóncava n todo R. b Cóncava para >0. Conva para <0. P.I. n =0. c Cóncava para >-. Conva para <-. P.I. n =-. d Conva para >-. No tin puntos d inlión..- Punto d tangncia P,-. Corta también n = 0..- c =. Etrmo rlativo n =. No s máimo ni mínimo. 5.- Crc para cos > 0. Dcrc para cos < 0. Má. n =, mín. n = No. No s continua n =. 8.- No. No s drivabl n =. 0.- a = -. b =..- Aplicar torma dl valor mdio a n [, ]..- Vlocidad mdia v m, la alcanza n t cm..- Lado bas = cm. Altura = 5 cm a v = 90, kmh. b Aproimadamnt 8,97 litros. 7.- Dos parts d gr. 8.- a Radio bas = R. Altura = R. b Radio bas = R R. Altura. 9.- Amplitud dl ángulo dl sctor. 0.- A 8 m dl pi dl post d 8 m d altura o a m dl pi dl post d m

15 Matmáticas II Unidad 7.- Dimnons : 5 0 cm. 5.- Lado d la bas = 0 m. Altura = 5 m. 9.- a =. b = No lo cumpl. Para sr continua n [0, ], dbría sr 0 =, qu no coincid con = -. En 0, no ha puntos d tangnt horizontal. 5.- a R, b 5.- a, b, c bas 6 cm, altura 9 cm unidads Trozo cuadrado : m Trozo circunrncia: m a b = 6, c = -0 b Rcta tangnt: = cm d lado d la bas 5 cm d altura s dcrcint n 0, ; s dcrcint n, +. Mínimo n =. F s conva n 0, cóncava n, 6.- a b = -5, c = 8, d = - b Máimo rlativo n = ; mínimo rlativo n =. Crcint n -,, +. Dcrcint n,. 6.- a =, b = -6, c = b 0, -, 0. c Mínimo rlativo n,. d P. I. n, 65.- b = 0 b b 66.- a No b Si c = a = -, =. b = -, = a a = 6 b = b = a Má n = 0, mín n = - b = 7.- a = 6, b = sn 5 cos 7.- a -7 b. 7.- k = -, p = a t sg b limv t 0 t 76.- a 8 b P I n =, conva,, cóncava. 77.-,8888 litros, t = horas 79.- a a =, b = -. b = a Ma n =- =. Min n = 0. Crc n, 0, ; dcrc n,0,. b Asíntotas: = 5