Idea Calcular la pendiente de una recta es relativamente sencillo, basta con aumenta la y entre lo que

Transcripción

1 m Lambrto Cortázar Vinusa 07 DERIVADAS. CCSS EJERCICIOS WIKI Ida Calcular la pndint d una rcta s rlativamnt sncillo, basta con dividir lo qu aumnta la ntr lo qu aumnta la ntr dos puntos cualsquira d la rcta a qu la rcta mantin la misma pndint n todo su trazado. Gráicamnt: Pndint = = = = Pndint = = = Pndint = = = 6 = Si no tnmos la gráica s suicint con conocr dos puntos d la rcta. Para calcular la pndint s divid l rsultado d rstar las sgundas coordnadas d los puntos ntr l rsultado d rstar las primras coordnadas:, ;, = Si la unción s una curva la cosa s complica. En una curva la pndint no s mantin constant n todoo su trazado: A B La pndint d la curva n l punto B s maor qu la pndint n l punto A. No podmos hablar, por lo tanto, d la pndint d una curva sino qu dbrmos dcir la pndint d la curva n un punto para sr más rigurosos tndrmos qu rrirnos a la pndint d la rcta tangnt a la curva n un punto, a qu la pndint s obtin mdiant la rcta tangnt n s punto. En l siglo XVII, Nwton Libniz dscubriron, cada uno por su lado, un método para calcular la pndint d una curva. Estamos ant l cálculo d drivadas drivación dntro d una rama d las matmáticas dnominada cálculo dirncial. Aprndrmos a drivar una unción aplicando unas rglas qu nos prmitirán obtnr su unción drivada, la qu nos dará la pndint n cada uno d suss puntos cuando quramos conocr la pndint n un punto concrto bastará con sustituir su valor n la unción drivada Página d 6

2 Lambrto Cortázar Vinusa 07 Dsarrollo tórico La drivada d una unción,, n un punto P s intrprta gométricamnt con la pndint d la rcta tangnt a la curva n s punto. a+h a P a h a+h-a 0 a 0 a a+h Para conocr la rcta tangnt n s punto studiarmos los alrddors dl punto. La rcta qu pasa por a, a a h, a h tin como pndint l cocint ntr lo qu varía la, a h a, lo qu varía la, a h a h, : a h a h La pndint d la rcta tangnt, s dcir, la drivada, s obtndrá como límit cuando h tind a 0 d las pndints d las rctas scants: a ' lím h0 a h a h a+h a h a+h-a 0 a a+h Est límit pud istir o no, s dcir, la unción pud o no sr drivabl n s punto. Rliona sobr las siguints circunstancias: - Si la unción no s continua n s punto, la unción no pud sr drivabl. - Si la unción s continua pro no tin tangnt n s punto punto anguloso, la unción tampoco pud sr drivabl. - Si la unción s continua pro la tangnt s prpndicular pndint ininita, la unción tampoco srá drivabl n s punto. En conclusión: - Si una unción s drivabl n a tin qu sr continua n a. - Una unción pud sr continua n a no sr drivabl n a. Página d 6

3 Lambrto Cortázar Vinusa 07 Rglas para l cálculo d drivadas En vz d calcular la drivada d una unción n un punto concrto a=, a=5 mdiant l límit antrior, vamos a obtnr la prsión d la unción drivada d n un punto cualquira. Obtndrmos una nuva unción, drivada d la antrior: Normas básicas: Drivando D unción drivada. k 0 k constant.. La drivada d una suma s la suma d las drivadas: g g. La drivada dl producto d una constant por una unción s igual a la constant por la drivada d la unción: k k 5. La drivada d un producto s igual a la drivada d la primra por la sgunda sin drivar, más la drivada d la sgunda por la primra sin drivar: g g g 6. La drivada d un cocint s igual a la drivada dl numrador por l dnominador, mnos la drivada dl dnominador por l numrador, partido todo por l dnominador al cuadrado: g g g g 7. Drivada d la unción compusta: g g Rglas d drivación: n n n ln loga ln a ln a a a g Drivación logarítmica sn cos cos sn tan cos arcsn arccos arctg n n n n Página d 6

4 Lambrto Cortázar Vinusa 07 Página d 6 Drivando paso a paso Funcions polinómicas Las uncions más sncillas d drivar son las polinómicas. Ncsitamos las siguints rglas: - 0 k k constant La drivada d un númro s cro - La drivada d s - Drivada d una potncia: n n n - La drivada dl producto d una constant por una unción s igual a la constant por la drivada d la unción: k k - La drivada d una suma s la suma d las drivadas: g g Obsrva, aprnd practica : a 0 5 b 0 5 c d g h i 0 5 t t t t t Ahora tú: j k l m n 5 o 5 p q 7 t t t t

5 Lambrto Cortázar Vinusa 07 Página 5 d 6 r 5 s t u Practiqumos ahora con la drivada d una potncia n n n n casos n los qu la bas s un polinomio. Tndrmos qu drivar la potncia l ponnt por la bas lvada a un grado mnos lugo drivar la bas. Obsrva, aprnd practica : a b c 6 5 d T toca: g h i j k t t t t 00 0 l m n o

6 Lambrto Cortázar Vinusa 07 Página 6 d 6 Funcions racionals Añadimos las siguints rglas a las qu a hmos utilizado ants: - La drivada d un cocint s igual a la drivada dl numrador por l dnominador, mnos la drivada dl dnominador por l numrador, partido todo por l dnominador al cuadrado: g g g g - Drivada d la unción invrsa: Obsrva, aprnd practica : a b c d Ejrcicios: g h i j k l 6 m

7 Lambrto Cortázar Vinusa 07 Funcions irracionals, ponncials logarítmicas Rglas: - Drivada d la raíz cuadrada: - Drivada d la ponncial: a a ln a - Drivada dl logaritmo: ln loga ln a Obsrva, aprnd practica : a b c d ln ln ln ln A practicar! g h ln i ln j ln k l m n ln o ln ln p q Página 7 d 6

8 Lambrto Cortázar Vinusa 07 Página 8 d 6 La rgla dl producto La drivada d un producto d uncions s igual a la drivada d la primra por la sgunda sin drivar, más la drivada d la sgunda por la primra sin drivar: g g g Obsrva, aprnd practica 5: a b c ln ln ln d Ejrcicios: g ln h i ln j k l m ln n ln o p ln q r ln

9 Lambrto Cortázar Vinusa 07 Funcions trigonométricas No s ncsitan n CCSS Rglas: sn cos cos sn tan cos arcsn arccos arctg Obsrva, aprnd practica 6: a sn cos b cos sn sn sn c d sn sn cos cos cos cos sn sn cos tg Ejrcicios: g cos h tg i sn j tan cos cos k Drivación logarítmica No s ncsita n CCSS Drivamos tomando prviamnt logaritmos ln ln ln ln ln ln ln Página 9 d 6

10 Lambrto Cortázar Vinusa 07 Halla la unción drivada d cada una d las siguints uncions: ln ln 9 0 log Calcula la drivada n los puntos indicados: 8 En =0 9 En = 50 En = 5 En = 5 En = 5 En =0 ln En = ln 5 En = log ln ln 5 sn 6 tg 7 ln cos 8 ln 9 cos 0 tg cos ln ln 5 6 sn 7 cos 56 En = 57 En =- 58 En =- 59 sn En =0 Página 0 d 6

11 Lambrto Cortázar Vinusa 07 Calcula las trs primras drivadas simpliica: ln 65 Solucions d los jrcicios d cálculo d drivadas: ln ln0 ln ln sn cos 5 sn 6 cos cos sn ln 7 cos 8 ln 9 sn cos 0 sn tg cos sn cos cos 8 ln No dinida No dinida Página d 6

12 m Lambrto Cortázar Vinusa 07 Funcions drivabls Obsrva stos jmplos: o Estudimos si la siguint unción s continua drivabl: si si La unción s polinómica n sus dos tramos por tanto continua drivabl n todos sus puntos, cpto tal vz n. Estudimos la continuidad n : lím no s continua n. Al no sr continua tampoco srá drivabl n s punto. o Estudimos ahora si la siguint unción s continua drivabl: si si La unción consta d una unción polinómica una ponncial qu son continuas n todo IR. El único punto dudoso s l qu hac rontra ntr ambos tramos,. Continuidad: Db cumpli lím lím lím Drivabilidad: ln si si lím irs qu lím No ist l límit, lugo la unción La unción s continua n La unción no s drivabl n ln Est s un jmplo d qu una unción pud sr continua n un punto sin mbargo no sr drivabl n dicho punto. En st caso un punto anguloso: Página d 6

13 o Estudimos una nuva La unción s continua d Continuidad: lím lím lím Drivabilidad: si si Driva o S considra la unción Calcúls l valor d a Continuidad: a a lím a a lím Drivabilidad: si si a Lambrto C m unción: si si rivabl n cada tramo. Estudimos l punto d Continua n abl n n ral d variabl ral dinida por: si si a para qu sa continua drivabl n a a a Cortázar Vinusa 07 Página d 6 d ruptura.

14 Lambrto Cortázar Vinusa 07 Practica Estudiar la continuidad la drivabilidad d las siguints uncions: ln si si si 0 si si si si si 68 si 0 si 0 7 ln si si Dtrminar l valor d k para qu las siguints uncions san drivabls n : k si 7 7 si k k si si D slctividad 7 Junio 0 puntos S considra la unción ral d variabl ral dinida por: si si i. Estúdis la continuidad la drivabilidad d la unción. ii. Rprsénts gráicamnt la unción. 75 Junio 0 puntos S considra la unción ral d variabl ral dinida por: a b si si i. Calcúlns los valors d a b para los qu la unción s continua drivabl. ii. Para a 0 b, hálls la cuación d la rcta tangnt a la gráica d n los puntos n los qu dicha tangnt s paralla a la rcta Junio 0 puntos Dada la unción: a si si si i. Dtrminar l valor d a para qu sa continua n 0. ii. Para s valor d a, studiar la drivabilidad d n 0. iii. Hallar, si las tin, las asíntotas d la gráica. Página d 6

15 Lambrto Cortázar Vinusa 07 Aplicacions d las drivadas Rcta tangnt n un punto n l punto La cuación d la rcta tangnt a una curva 0, 0 vin dada por la prsión: 0 m 0 Dond m s la pndint d la rcta tangnt n s punto, s dcir la drivada d la unción n 0 0. Si la tangnt s horizontal la pndint s nula por lo tanto la drivada srá 0. Nos jrcitamos: 77 Obtnr la cuación d la rcta tangnt a la gráica d la unción n l punto. m 0 0 m Drivada n 0 0,, m 78 Hallar la rcta tangnt a la unción qu s paralla a. 0 m 0 No conocmos l punto pro conocmos la pndint: Al sr paralla a, tin la misma pndint: m. Los puntos n los qu la tangnt tin pndint -, srán los qu hagan qu la drivada sa -: 79 Hallar la cuación d la tangnt a la parábola 5 la rcta. 80 Calcular la rcta tangnt a qu s paralla a n l punto d abscisa 7. 8 Obtnr las cuacions d las rctas tangnts a la unción parallas a la bisctriz dl primr cuadrant qu son 8 En qué punto la rcta s tangnt a la parábola? 8 Obtnr la rcta tangnt a la unción n l punto n. 8 Hallar la cuación d la rcta tangnt a n. 85 Cuál s la cuación d la rcta tangnt a la unción n? 86 Obtnr la cuación d la rcta tangnt a la curva qu pasa por l orign d coordnadas. 87 Calcular l punto d la gráica d n l qu la rcta tangnt s paralla a la rcta 0. Página 5 d 6

16 Lambrto Cortázar Vinusa 07 D slctividad 88 Junio 0 puntos S considra la unción ral d variabl ral dinida por: i. Obténgas la cuación d la rcta tangnt a la gráica d n l punto Sptimbr 0 puntos S considra la unción dinida por: 9 i. Hállns las asíntotas d. ii. Dtrmíns la cuación d la rcta tangnt a la gráica d n l punto d abscisa. 90 Modlo 0 puntos Sa a si b si i. Dtrmínns los valors d a b qu hacn qu sa continua n qu. ii. Para l caso n l qu a b, hálls la cuación d la rcta tangnt a la gráica d n. 9 Junio 0 puntos Dada la unción ral d variabl ral i. Dtrmíns la cuación d la rcta tangnt a la gráica d n l punto d abscisa. 9 Sp. 0 puntos S considra la unción ral d variabl ral dinida por i. Calcúls l valor d para qu la rcta tangnt a la gráica n sa paralla a la rcta. 9 Junio 06 punto S considra la unción dinida por: 8 i. Calcúls la cuación d la rcta tangnt a la gráica n l punto. 9 Junio 06 punto S considra la unción dinida por: a b i. Dtrmínns los valors d los parámtros rals a b si s sab qu la rcta n l punto d abscisa 0. s tangnt a la gráica d 95 Junio 06 punto S considra la unción dinida por: i. Escríbas la cuación d la rcta tangnt a la gráica d n. Página 6 d 6

17 m Lambrto Cortázar Vinusa 07 Monotonía: intrvalos d crciminto dcrciminto Etrmos rlativos: máimos mínimos rlativos Curvatura: concavidad convidad. Puntos d inlión Dcrc Máimo Cóncava Conva Crc Mínimo,, Dcrc, Punto d inlión, Dcrcint;, Mínimo rlativo; Drivando sucsivamnt una unción s obtinn los datos consignadoss arriba: ª drivada Crcint Máimo rlativo ;, Dcrcint,0 o Si a 0 la unción s CRECIENTE n o Si a 0 la unción s DECRECIENTE n a. 0 Punto d in lión a. Conva; 0, Cóncava o Si a 0 la unción ni crc ni dcrc PUNTO SINGULAR n a. Máimo o mínimo rlativo Máimo n a si la unción pasa d crcint a dcrcint. Mínimo n a si la unción pasa d dcrcint a crcint. ª drivada Máimo n Mínimo n a si a 0 a si a 0 o Si a 0 la unción s CÓNCAVA n a. o Si a 0 la unción s CONVEXA n a. o Si a 0 pud habr un PUNTO DE INFLEXIÓN n a. Punto d inlión n a si la unción pasa d cóncava a conva o vicvrsa. ª drivada o Si a 0 la unción prsnta un PUNTO DE INFLEXIÓN n a. Página 7 d 6

18 Lambrto Cortázar Vinusa 07 Obsrva aprnd 5 E. S considra la unción: Calcular: o Dominio. Puntos d cort con los js. o Asíntotas vrticals, horizontals oblicuas, si istn. o Intrvalos d crciminto dcrciminto. Máimos mínimos rlativos. Solución: o Dominio. Como s una unción racional cocint d polinomios l dominio stá ormado por todos los númros rals mnos aqullos qu anulan l dnominador: 0 Dom IR, o o Cort con l j = 0: Cort con l j = 0: 5 5 Asíntotas. Vrticals Valors qu anulan l dnominador:. 5 Horizontals lím 0, lugo 0 asíntota horizontal. Oblicuas Si ha horizontals no ha oblicuas. Máimos mínimos. Los puntos singulars s obtinn cuando la ª drivada s anula: son los valors críticos. Signo d n cada intrvalo: ' 5 0 ' 0 ' 0 La unción s dcrcint n,,, La unción s crcint n,, En la unción pasa d dcrcint a crcint Mínimo rlativo, En < Dcrc Crc Dcrc Mínimo > 0 > 0 < 0 < 0 Máimo 0, la unción pasa d crcint a dcrcint Máimo rlativo Página 8 d 6

19 Lambrto Cortázar Vinusa 07 E. S considra la unción: Calcular: o Máimos mínimos locals los intrvalos d crciminto dcrciminto. o Puntos d inlión los intrvalos d concavidad convidad. Solución: o Intrvalos d crciminto dcrciminto. Máimos mínimos. Estudiamos primro la monotonía dducimos d lla los puntos críticos: 0 0 Vamos l signo qu toma n cada intrvalo La unción s dcrcint n, 0, La unción s crcint n,0, En ; 0; la drivada s anula lugo son puntos críticos: En En 0 En la unción pasa d dcrcint a crcint Mínimo rlativo, la unción pasa d crcint a dcrcint Máimo rlativo 0,0 la unción pasa d dcrcint a crcint Mínimo rlativo, Otra orma studiando la sgunda drivada: 0 Mínimo Máimo 0 Mínimo o Dcrc Crc Dcrc Crc Mínimo Máimo Mínimo Intrvalos d concavidad convidad. Puntos d inlión. 0 posibls puntos inlión Cóncava Conva Cóncava s cóncava n:,, conva n, Posibls puntos d inlión:, 5, Como 0 s conirma qu son puntos d inlión. Página 9 d 6

20 Lambrto Cortázar Vinusa 07 E. Un studio ralizado por una mprsa d producción d plículas d acción pruba qu l cost anual n millons d uros d contratación d los actors scundarios qu utiliza n sus plículas sigu la unción: s s Cs , dond s 0 s l númro d actors scundarios contratados. 00s Calcula l númro d actors scundarios contratados qu hac mínimo l cost d contratación. A qué cantidad ascind s cost mínimo? Solución: El mínimo s hallará ntr aqullos valors s s qu hacn qu la drivada d la unción cost sa cro: C s s 6000s 00s 60s s 0 00s 6000s 00s 6000s s s s 00 0 Dscartamos 0 al sr s 0 Comprobmos si s 0 s un mínimo. Podríamos hallar la sgunda drivada o studiar la monotonía. En st sgundo caso: 0 c c Dcrc Mínimo Crc Lugo s 0 s un mínimo. Contratando a 0 actors scundarios l cost d contratación sría mínimo. Calculmos dicho cost sustitundo s 0 n la unción d cost: C s s 60s s C , millons d uros Página 0 d 6

21 Lambrto Cortázar Vinusa 07 E. Una mprsa d productos d limpiza abrica cajas d cartón con tapa, para comrcializar un dtrminado tipo d dtrgnt. Las cajas son prismas rctos d 9000 cm d volumn bas rctangular d largo igual al dobl d su anchura. Calcúlns las dimnsions n cntímtros largo, anchura altura qu ha d tnr cada caja para qu la suprici d cartón mplada n su abricación sa mínima. Solución: La suprici d cartón mplada n la construcción d una caja s:, S 6 Ncsitamos prsar dicha suprici n unción d una sola variabl. Para rlacionar contamos con l dato dl volumn d la caja: V 9000, d dond Sustitundo n la prsión d la suprici: S S, Esta s la unción qu dbmos drivar para calcular l mínimo: S Comprobmos qu 5 s un mínimo utilizando la sgunda drivada: S S En cto, s trata d un mínimo. Las dimnsions d las cajas han d sr: cm anchura; cm largo; 0cm altura Página d 6

22 Lambrto Cortázar Vinusa 07 E5. S considra la unción: si si o Dtrmin l dominio studi la continuidad d la unción. o Obtnga los trmos d la unción. o Estudi su curvatura. Solución: o Dominio continuidad: El dominio s todo IR a qu los dos tramos son uncions polinómicas. Por st mismo motivo la unción s continua n sos tramos. Estudimos la continuidad n l punto d ruptura : lím 0 lím 0 s continua n lím 0 Etrmos d la unción: si si dobl, posibl trmo En no ha ni máimo ni mínimo. o Posibl trmo. 0 En ha un máimo rlativo. o Para,, máimo rlativo. Curvatura: Intrvalos d concavidad convidad. Puntos inlión si si. Posibl punto d inlión. 0,5-0,0 n 0, Conva n Cóncava En 0 pasa d conva a cóncava lugo ha un punto d inlión. Para 0, 0 0, punto d inlión. 0 lugo s conva n, En pasa d cóncava a conva lugo ha un punto d inlión. Para 0, 0, 0 punto d inlión. Página d 6

23 Lambrto Cortázar Vinusa 07 Para qu practiqus: i. Hallar su dominio los puntos d cort con los js. ii. Dtrminar las asíntotas studiar la posición d la curva con rspcto a llas. iii. Hallar los intrvalos d crciminto dcrciminto. Calcular los máimos los mínimos. iv. Rprsntar la gráica d. 96 Dada la unción Calcular: i. El dominio los puntos d cort con los js. ii. Las asíntotas studiar la posición d la curva con rspcto a llas. iii. Los intrvalos d crciminto dcrciminto los máimos los mínimos. iv. Rprsntar la gráica d a partir d la inormación d los apartados antriors. 97 Dada la unción 98 Sa la unción ral d variabl ral i. Dtrminar dominio puntos d cort d la gráica con los js d coordnadas. ii. Hallar las asíntotas d la unción. iii. Obtnr: máimos, mínimos intrvalos d crciminto dcrciminto. Solución: Dominio = IR-0. No puntos d cort. Máimos mínimos no tin. Crcint NO, dcrcint -, 00, +. Asíntotas: Vrticals = 0; Horizontals = Slctividad distintas Comunidads 99 Dada la unción dtrminar: i. El dominio los puntos d cort con los js. ii. Las asíntotas. iii. Los intrvalos d crciminto dcrciminto los máimos mínimos. iv. Finalmnt, con los datos obtnidos, dibujar su gráica. Cantabria Sa la unción ral d variabl ral i. Dtrminar dominio puntos d cort d la gráica con los js d coordnadas. ii. Obtnr: máimos, mínimos intrvalos d crciminto dcrciminto. iii. Hallar las asíntotas d la unción. Tin oblicua Solución: Dominio = IR-0. No puntos d cort. Mínimo,, máimo -, -. Crcint -, -, +, dcrcint -, 00,. Asíntotas: Vrticals = 0; Horizontals NO; Oblicuas = 0 Dada la curva d cuación 5 6, halla los máimos mínimos, así como los intrvalos d crciminto dcrciminto. Rprsnta la curva. Solución: Crcint -, 5/. Dcrcint 5/, +. Máimo n = 5/ Página d 6

24 Lambrto Cortázar Vinusa 07 0 Dada la unción 8 calcula: i. Los intrvalos d crciminto dcrciminto d. ii. Los máimos mínimos d dicha unción. Solución: Crcint -, -0, +, dcrcint -, --, 0. Máimo rlativo -, -7, Mínimos rlativos -, -8 0, -8 0 Sa la unción. i. Estudi la monotonía d hall los trmos rlativos qu posa. ii. Estudi su curvatura calcul su punto d inlión. Solución: Crcint -,, + Crcint n todo IR No tin ni máimos ni mínimos. Conva n -, cóncava, + = punto d inlión 0 Dada la unción a calcular, si ist, l valor d a d orma qu tnga un mínimo rlativo n. a Solución: 05 S considra la unción t, 0 0 i. Para qué valor d t la unción s continua n 0? ii. Calcula los trmos rlativos d 0,. n l intrvalo iii. Calcula los intrvalos d crciminto dcrciminto d Solución: t = 0. Dcrcint 0,, Crcint, + = Mínimo rlativo n, En una ciudad, l rgistro durant cinco horas d la humdad rlativa dl air, mdida n %, s ajusta a la unción t t 5t t 75, 0 t 5, sindo t l timpo mdio n horas. i. A qué hora s rgistró la máima cantidad d humdad rlativa dl air cuál u dicha cantidad? ii. A qué hora s rgistró la mínima cantidad d humdad rlativa dl air cuál u dicha cantidad? Solución: Máimo t ; 86% humdad. Mínimo t ; 59% humdad. 07 S ha rgistrado l ruido qu s produc n una cocina industrial durant,5 horas. La unción R t t 9t t 8, 0 t, 5 rprsnta l ruido mdio n dciblios db t l timpo mdio n horas. i. En la primra hora t=, cuántos dciblios s rgistraron? ii. En qué momnto s produc maor ruido? Cuál u su valor máimo? Solución: t dciblios. Máimo t ; 8 dciblios. 08 S considra la unción, i. Estudia su continuidad n. ii. Etrmos rlativos n l intrvalo,. iii. Intrvalos d crciminto dcrciminto n,. continua n = Continua n todo IR. Mínimo n =,,. Crcint,, + Página d 6

25 Lambrto Cortázar Vinusa Calcul los coicints c, sa un punto d inlión d. Solución: b, c 6 Para qu sigas practicando Slctividad Madrid: 06 0 Sa la unción ral d variabl ral b d la unción b c para qu i. Calcúls su unción drivada. ii. Dtrmínns sus intrvalos d concavidad convidad. Atnción a la orintación d la concavidad la convidad Dada la unción ral d variabl ral i. Dtrmínns sus asíntotas. Tin oblícua ii. Dtrmínns los máimos los mínimos rlativos. Dada la unción ral d variabl ral. i. Estúdins dtrmínns sus asíntotas. Tin oblícua ii. Dtrmínns sus intrvalos d crciminto dcrciminto. 05 S considra la unción ral d variabl ral dinida por a a. Dtrmíns l valor dl parámtro ral a para qu la unción alcanc un trmo rlativo n. Compruébs qu s trata d un mínimo. S considra la unción ral d variabl ral Calcúlns los máimos mínimos locals rprsénts la unción. 5 Dada la unción ral d variabl ral. i. Dtrmínns sus asíntotas. ii. Dtrmínns l dominio los intrvalos d crciminto dcrciminto. i. Dtrmínns sus asíntotas. ii. Estúdis si la unción s crcint o dcrcint n un ntorno d. 6 S considra la unción ral d variabl ral Página 5 d 6

26 Lambrto Cortázar Vinusa 07, contésts razonadamnt a las prguntas: i. Calcúls su dominio d dinición, los puntos d cort con los js los intrvalos d crciminto dcrciminto. ii. Hállns las asíntotas, si las tuvir, sbócs la gráica d la unción. 7 S considra la unción ral d variabl ral dinida por 8 Sa la unción ral d variabl ral dinida a. i. Dtrmíns l valor d a para qu la unción tnga un máimo local n un mínimo local n. ii. Para l caso d a 8, hálls la cuación d la rcta tangnt a la gráica d n S considra la unción ral d variabl ral dinida por. Dtrmínns los trmos rlativos d S considra la unción ral d variabl ral dinida por 0 i. Dtrmínns los intrvalos d crciminto dcrciminto d. ii. Dtrmínns los intrvalos d concavidad convidad d. S considra la unción ral d variabl ral dinida por a i. Hállns a b para qu la rcta tangnt a n sa. ii. Hállns a b para qu la unción tnga n,0 un punto d inlión. b. Página 6 d 6