Solución. Se deriva en forma logarítmica. Se empieza por tomar logaritmos neper1anos en ambos miembros.

Transcripción

1 . Drivar simplificar: a. S driva n forma logarítmica. S mpiza por tomar logaritmos npranos n ambos mimbros. ln ln Aplicando las propidads d los logaritmos s baja l ponnt. ln ln S drivan los dos mimbros d la igualdad, tnindo n cunta qu compusta qu la drivada d s. ln ( ) ln s una función S sustitu por su prsión s dspja ordnando todo lo posibl. ln ln b. f () tg Por tratars d una función compusta s aplica la rgla d la cadna, mpzando por drivar la potncia (cuadrado), sin drivar lo qu llva dntro, a continuación la tangnt, sin drivar l monomio por último, l monomio. 3 f () tg tg tg tg c. g () S driva como producto. S opra simplifica. g () g () d. Ln ² Aplicando las propidads d los logaritmos s transforma Ln ² ln ² ln ( ² ) ln( ² ) ( ² ) Ln S driva aplicando la rgla d la cadna al primr término la dl producto al sgundo ² ² ² 3 º TÉRMINO º TÉRMINO

2 S ordna para lugo podr oprar más fácil ² ² ² S suma l paréntsis los dos últimos términos ² ² ² ² En l primr término s simplifica ², n l sgundo l cuadrado con la raíz, s suman los términos qu qudan por último s racionaliza. ( ) ² ² ² ² ² ² cos. ln cos Aplicando las propidads d los logaritmos s transforma la prsión ants d mpzar la drivada, vitando d sta forma la drivada d la raíz dl cocint. ln cos cos ln cos cos cos ln cos S driva como rsta aplicando a cada término la rgla d la cadna 0 ( sn ) 0 sn cos cos ( ) [ ln( cos ) ln( cos ) ] S ordna s suman las fraccions sn sn sn cos sn cos cos cos ( cos ) ( cos ) sn sn cos sn sn cos cos cos S simplifican los términos sn cos s aplica al dnominador la prsión notabl suma por difrncia. sn cos Simplificando los tnindo n cuanta qu cos sn sn sn sn f. S driva como función compusta: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 () g. arctg S driva como función compusta: h. arcsn S driva como función compusta:

4 i. Ln Aplicando las propidads d los logaritmos s transforma la prsión ants d mpzar la drivada., nos ahorramos la drivada dl cocint. Ln Ln Ln S driva como rsta aplicando a cada término la rgla d la cadna 3. Hallar la drivada sgunda d: a) ² arcsn. b) Ln a. ² arcsn arcsn arcsn arcsn

5 b. Ln Ln Ln 4. Calcular la drivada, a la izquirda a la drcha dl orign, d ( ) 5. Calcular la drivada nésima d las siguints funcions: k i. (k ct.). ii. sn iii. iv. cos En algunas funcions s posibl ncontrar una scuncia d rptición n sus sucsivas drivadas, qu prmit llgar a stablcr una prsión gnral para la drivada d cualquir ordn. Para llgar a obtnr la drivada nésima, s calculas las primras drivadas s busaca la scuncia. i. k k : k : k k : k k 3 : n k k n ii. sn Para calcular la drivada nésima d la función sno, ha qu tnr n cunta la π rlación ntr las razons trigonométricas d ángulos qu difrncia radians. π cos α sn α π π π π π cos sn : cos sn sn π π π π π cos sn sn 3 n sn n iii. Para calcular la drivada nésima d st tipo d funcions s más sncillo si s prsa l cocint como un ponnt ngativo. ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( 3) ( ) 4 ( ). n n n! n n iv. cos Para calcular la drivada nésima d la función cosno, ha qu tnr n cunta la π rlación ntr las razons trigonométricas d ángulos qu difrncia radians. π sn α cosα

6 π sn cos π π π π sn cos cos π π π 3 π 3 sn cos cos 3. n π n cos n 6. Drivar la función cos f () calcular l valor d la drivada n cos π. 7. Sa f() L(a b 3 ). Qué rlación ha d istir ntr a b para qu f'(). 8. Encontrar las funcions drivadas d f() tg hasta l ordn 4 f i f f tg f 3 0 tg ( tg ) ( tg tg ) 4 4 ( tg 3tg ( tg ) ( tg 3tg 3tg ) ( 4tg 3tg ) v ( 0 8tg ( ta ) tg ( ta ) ( 8tg 8ta tg tg ) ( 8tg 3 5 0tg tg )