(Soluc: a) 1/x b) x 6 /36 c)
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- Aurora Cano Castilla
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1 EJERCICIOS d INTEGRAL INDEFINIDA º BACH.. Calcular las siguints intgrals potncials (s rcominda hacr la comprobación: a d b d c d d d t t dt d g t dt d i d j d t m d n d o d + d ( t dt l d (Soluc: a / b / c j d t 7 /7 l m t / 8 8 n o g t / + i. Calcular las siguints intgrals d funcions compustas: a ( + d b (7 + d c ( + d d ( + d t (t + dt ( + d g ( + d 7 ( + d i d j ( + + ( + + dt l d m + d n d o ( + ( + + d t + t d q d r ( + (8 + d ( + + s + d t + u cos sn d v cos sn d w sn cos d arctg d y + z ε (* ln d α arctg d + d β ln d γ ln arcsn d - δ + + d cos d sn d d arcsn (Soluc: a (+ / b (7+ / c ( + / d ( + / (t + / ( + / g i j l ( + 8 ( + ( t + ( + m ( + n ( o ( ++ 7 / 9( + q + r (8 +- / s + t + u sn / o -cos / v sn / w cos / y cosc z ln / α /ln β ln / γ ε arctg arc sn NOTA: En todas las solucions s omit, por razons d spacio, la ct. d intgración C. arc tg δ arc sn Tto bajo licncia Crativ Commons: s prmit su utilización didáctica así como su rproducción imprsa o digital simpr y cuando s rspt la mnción d su autoría, y sa sin ánimo d lucro. En otros casos s rquir l prmiso dl autor (alfonsogonzalopz@yahoo.s
2 . Calcular las siguints intgrals d tipo logarítmico: a d b d c d d d + a + b + d g + + d d i d j sn cos d + sn + cos d l ln d (+ arctg m d arcsn n sc d + tg o (* d cos d sn (Soluc: a ln b ln (- c ln + d g ln ( + + ln + i ln ( m ln (arcsn n ln ( + tg o ln sn ln (a + b a 9 ln + ln + + j ln ln (ln l ln (arctg sn + cos. Calcular las siguints intgrals d tipo ponncial: a d b d c d d d d d - g d + d i ( + sn + d j cos d ln d tg l sc d m ( d q arctg d n + 7 d r (Soluc: a -/ b / c + i o /ln /ln q 9 d arcsn d + / -+ / d o d g + j sn l tg m arctg n arcsn (7 / ln7 r ln. Calcular las siguints intgrals trigonométricas sncillas: a cos( d b sn d c sn( + d g cos( + d sn d i cos d d sn ( + d cos( + d cos( + d j sn( cos( d l 7 sn( + d m cos d n sn d o cos (arctg d + cos ln d + 7 d sn (Soluc: a b cos c sn d cos (+ sn( + cos (-+ Tto bajo licncia Crativ Commons: s prmit su utilización didáctica así como su rproducción imprsa o digital simpr y cuando s rspt la mnción d su autoría, y sa sin ánimo d lucro. En otros casos s rquir l prmiso dl autor (alfonsogonzalopz@yahoo.s
3 g sn( + m sn n cos cos i sn( + j cos ( + 7 o sn (ln sn(arctg sn ( l 7cos ( +. Calcular las siguints intgrals por l método d sustitución o cambio d variabl: + d mdiant +=t b d hacindo t =- c d con t= + a ( 0 d ( + d hacindo +=t d + ( + 0 d g + d + d (Soluc: a ( + ( + b ( ( + ( + 0 ( + 9 ( Ln g ( 0 9 c arc tg d + + ( + + Ln ( + + ( arctg Rcordar algunos consjos:. En las intgrals NO inmdiatas n las qu haya, sul funcionar l cambio RADICANDO=t. aparzcan d distinto índic, pud funcionar l cambio mcm d los índics RADICANDO=t. En las intgrals NO inmdiatas n las qu aparzca a, pud nsayars a =t. Para intgrals trigonométricas NO inmdiatas vr los cambios vistos n l tma. NOTA: Algunas intgrals d st jrcicio también s podrían habr hcho por parts, como por jmplo l apartado g. 7. Calcular las siguints intgrals d tipo arco tangnt: a d b + + d c d d 8 + d sc d + tg a + a d g + d + 9 d i d ( + j (+ ln d ( + 7 d l d m + d n + + d + (Soluc: a arctg(+ b arctg ( + c arctg d arctg ln( + a ln a g arctg arctg i arctg j arctg(ln arctg( + 7 l arctg ln ln m arctg( + n arctg 8. Calcular las siguints intgrals d tipo npriano-arco tangnt: a d b d c d d d d + Tto bajo licncia Crativ Commons: s prmit su utilización didáctica así como su rproducción imprsa o digital simpr y cuando s rspt la mnción d su autoría, y sa sin ánimo d lucro. En otros casos s rquir l prmiso dl autor (alfonsogonzalopz@yahoo.s
4 + + + d + d g + 7 d d i + + d j + + (Soluc: a + ln arctg b ln + + arctg( + c + ln arctg d + ln + + arctg ln + + arctg ln + + arctg g + + i ln( arctg ln + + arctg ln + + arctg j ln( + + arctg ln( + + arctg d 9. Calcular por parts las siguints intgrals: a ln d b ln d c ln d d ln d d ln( + d g arc cos d sn d i + d j ( d - + sn d l ( + d m cos d n d o ( + sn d Ln d (Soluc: a ln b ln c ln d ln -ln+ 9 9 ( -+ ln(+-+ln(+ g arccos cos - cos+sn i ( + j sn + cos n m ( o (sn cos l sn cos Ln 0. Calcular las siguints intgrals racionals: a + d b + 7 d c + + d d d + d g + + d + + i d j 9 + d 8 + d l m + d n 8 d o + d q + + d r + d + d + 0 d + + d + + d (Soluc: a ln ( ( 7 b ln ( + 7 c ln( d ln ln ln[( ( ] g ln ( + + arctg( + Tto bajo licncia Crativ Commons: s prmit su utilización didáctica así como su rproducción imprsa o digital simpr y cuando s rspt la mnción d su autoría, y sa sin ánimo d lucro. En otros casos s rquir l prmiso dl autor (alfonsogonzalopz@yahoo.s
5 ( + ln ( i ln ( + + arctg j 9 ln( ( 7 ln ( + + arctg ln( m ln( 7 l + n ( ln 0 ( ln( q + ln( r ln( + 9 o ln( +. Calcular las siguints intgrals trigonométricas no inmdiatas, hacindo cambios o transformando los intgrandos: a cos d d sn cos d (Hacr cos=t c sn + tg d (Dscomponr l intgrando cos sc d Sustituir ctg = cos ctg d sn (Hacr sn=t b sn d g cos d cos d + sn cos (hacr tg=t i cos j sn d (Multiplicar por l conjugado d (Ángulo dobl l + cos sn cos m d (hacr tg=t n cos d sn cos sn sn d (sn=t o cos=t o cos cos sn cos d (Soluc: a sn sn sn + b cos cos + cos c sc ln cos d sn 8 sn + π L n, o bin Ln ( sc + tg, o bin Ln tg + cos c sn g sn sn + Ln ( + tg i tg j sn Ln ( tg l m tg tg + n cos Ln cos o sn sn cos d. Calcular por l método más adcuado (ntr paréntsis figura una ayuda las siguints intgrals: a d(inmdiata b d (tipo ln c ( d (por parts ( + d ( ln d (por parts d (raícs R simpls + d (raícsr simpl + g + 8 d (ln-arctg + d (raícs R simpls i sc d (cambio sn=t j + sn d (cambio sn=t cos d sn cos cos (transformar l intgrando l cos sn d (inmdiata m sn d (por parts n arctg d (por parts o d (por parts d (ln-arctg q d (raícsr simpls r ln( + d (por parts + 9 s ln d - (inmdiata t sn(ln d u ln( + d v + d w + d (hacr la división d (hacr la división + Tto bajo licncia Crativ Commons: s prmit su utilización didáctica así como su rproducción imprsa o digital simpr y cuando s rspt la mnción d su autoría, y sa sin ánimo d lucro. En otros casos s rquir l prmiso dl autor (alfonsogonzalopz@yahoo.s
6 y β + d (hacr la división z d α + 9 d (tipo arcsn γ d ln ln ln ( + 7+ tg d cos (hacr ln =t δ sn d (cambio variabl+por parts ε + d ζ + sn d sncos (Sol: a ln + b ln + c d ln ( ln + g + ln( arctg ( + + ln ( i ln sn ln sn + (sn (sn + j sn ln --cosc-ctg l cos sn 9 m cos sn cos + + n 9 7 arctg arctg + o + ln + 9 arctg q ln ln ( ln r ln + + ln + s ln t (snln cosln u ln ln + + v arctg+ln( + w --ln(- ln( + + y γ ln ln( + + z (ln (ln + (ln ln + 9 α δ ( sn cos (7 tg + β arcsn ln sn ε ( + + ζ ( Ln arctg Tórico-prácticos:. Calcular la primitiva d f(=ln qu s anula n =. Dtrminar f( sabindo qu f (=, f(0=0, f (0= y f (0= (Soluc: f(= + +. Hallar un polinomio cuya drivada sa +- y tal qu l valor d su máimo sa trs vcs mayor qu l d su mínimo. (Soluc: p(= /+ /-+7/. a Calcular todas las funcions qu vrifican b Estudiar su drivabilidad. si 0 f '( = + si > 0 + C si 0 Soluc : f( = ; f( drivabl R + + C si > 0 7. Hallar una función F( tal qu F(0= y qu sa una primitiva d f( = + ( Soluc : F( = Ln ( + + Ln Tto bajo licncia Crativ Commons: s prmit su utilización didáctica así como su rproducción imprsa o digital simpr y cuando s rspt la mnción d su autoría, y sa sin ánimo d lucro. En otros casos s rquir l prmiso dl autor (alfonsogonzalopz@yahoo.s
(Soluc: a) 1/x b) x 6 /36 c)
. Calcular las siguints intgrals potncials (s rcominda hacr la comprobación: a d b d c d d d t t dt f d g t dt h d i d j d t m d n d o d p + d ( t dt l d (Soluc: a / b / c j d t / l m t / f 8 8 n o g t
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