Modelo 3 Opción A. , + ) Decreciente: (0, )) = ( , f(

Transcripción

1 Modlo Opción A Ejrcicio º Sa f : (, ) R la función dfinida por f() Ln() (Ln dnota la función logarito npriano). (a) [ 5 puntos] Dtrina los intrvalos d crciinto d dcrciinto los tros rlativos d f (puntos dond s obtinn valors qu s alcanan). (b) [ punto] alcula la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa (a) Estudiaos f () f ().Ln()..Ln() (Ln ) doinio f '( ).(ln ) Monotonía f Signo f : ln ln posibl tro Discontinuidads d f ': no f ().(Ln ) Signo d f n los distintos intrvalos Signo f _ f ( ). (- ) < f (). > Monotonía f Rsuindo rcint: (, ) Dcrcint: (, ) Máio rlativo: no ist Mínio rlativo: (, f( )) (, ) (b) La rcta tangnt n s: f( / ) f ( / ).( / ) f() Ln f ( / ).Ln( / ). / f () (Ln) f ( / ) /.(Ln( / ) ). / La rcta tangnt pdida s. ( ) Eáns Slctividad 7 Modlo - Opción A Página

2 Ejrcicio º onsidra las funcions f : R R g : R R dfinidas por f() g() (a) [ 5 puntos] Esboa las gráficas d f d g dtrina su punto d cort. (b) [ 5 puntos] alcula l ára dl rcinto liitado por l j OY las gráficas d f g. (a) La gráfica d f (), s actant igual qu la d pro dsplaada una unidad a la drcha n abscisas OX (n vrd) oo g(). (n aul), sabos qu la gráfica d s actant igual qu la d pro siétrica rspcto al j d ordnadas OY, al star ultiplicada por, stá dilatada a lo largo d dicho j OY. En concrto si, g(), por tanto un sboo d dichas gráficas s - - Para ncontrar l punto d cort igualaos las funcions Lugo: (b) Ára ( ) d Ejrcicio º [ ] ( ) ( ) (/) u α onsidra las atrics A B (a) [ 75 puntos] Dtrina los valors d α para los qu la atri A tin invrsa. (b) [ 75 puntos] Para α, calcula A - rsulv la cuación atricial AX B. (a) Eist A - dt(a) A α A α - α : Para α, ist A - Eáns Slctividad 7 Modlo - Opción A Página

3 (b) Si α A dt(a) ist A - A.(AdjA)t A (-). A (-). - A (-). - A (-). (AdjA) t A - A.(AdjA)t. Para rsolvr la cuación AX B, coo ist A - ultiplicaos por la iquirda por lla: A -. AX A -.B X A -.B X A -.B. 7 5 Ejrcicio º Sa "r" la rcta dfinida por k 5 "s" la rcta dfinida por (a) [ 5 puntos] Halla k sabindo qu las rctas r s s cortan n un punto. (b) [ 5 puntos] Dtrina la cuación dl plano qu contin a las rctas r s. (a) D r k 5 toaos un punto P r (,k,) un vctor dirctor d r (,,5) D s toaos un punto P s (-,,) un vctor dirctor d s (-,,) Evidntnt las rctas s cortan o s cruan porqu los vctors d r d s no son proporcionals. Las rctas s cortan dt(p r P s, d r, d s ) P r P s (-, -k, ) dt(p r P s, d r, d s ) k 5 (- )( - ) ( - k)(95) ()(6) k 8 (dsarrollando adj. ª fila): k 8 k 7 para qu las rctas s cortn Eáns Slctividad 7 Modlo - Opción A Página

4 (b) Lo vo a hacr d dos foras distintas Fora ª.- Si l plano contin a las rctas contin a sus dirccions a un punto cualquira: π d d P r s s (,,5) (,,) (,,) π 5 dsarrollando adjuntos ª fila.( ).( ).( ) Fora ª.- S calcula l punto d cort, s ponn abas rctas n paraétricas con parátros distintos igualaos, r t t 7 5t s Igualaos t - 5t 9 Rsolvindo st sista obtnos t 9 lo cual vrifica 9 Por tanto l punto d cort s ( - 9,. 9,. ) (, 5, ) El Plano pdido s, s l qu pasa por l punto d cort d las rctas tin coo vctors parallos indpndints d r d s, s dcir dt( - c, d r, d s ) dt( - c, d r, d s ) 5 5 dsarrollando adjuntos ª fila 5 ( - )( - ) ( )(95) ( )(6) Siplificando nos qudaría l plano Eáns Slctividad 7 Modlo - Opción A Página

5 Modlo Opción B Ejrcicio º [ 5 puntos] Tnos qu fabricar dos chapas cuadradas con dos atrials distintos. El prcio d cada uno d stos atrials s uros por cntítro cuadrado, rspctivant. Por otra part, la sua d los prítros d los dos cuadrados tin qu sr tro. óo hos d lgir los lados d los cuadrados si quros qu l cost total sa ínio? uadrado : prítro lado ára 6 uadrado : prítro lado Rlación ntr las variabls ára 6 Función a optiiar A Sustitundo A() 8 6.( ) Rcurdo qu: Si f (a) f (a) < a s un áio rlativo Si f (a) f (a) > a s un ínio rlativo A() 8 6.( ) 6 ( ) A () -.( ) A () A ( 5 ) 8 5 > 5 s un ínio Si Los lados d los cuadrados son:.. Eáns Slctividad 7 Modlo - Opción B Página 5

6 Ejrcicio º Sa f : R R la función dfinida por f() ( ). (a) [ punto] alcula los intrvalos d crciinto d dcrciinto d f. (b) [ 5 puntos] Ha un sboo d la gráfica d f. (c) [ punto] alcula l ára dl rcinto liitado por la gráfica d f l j d abscisas. (a) Estudiaos f () ( )..(-) 9 f Monotonía f Signo f : '( ) 9 Discontinuidads d f ': no posibls tros Signo f Monotonía f _ f ().(-).(-) Signo d f n los distintos intrvalos f () 9 > f ()..(-) - < f ().. > Rsuindo rcint: (-, ) (, ) Dcrcint: (, ) Máio rlativo: (, f()) (, ) Mínio rlativo: (, f()) (,) (b) f() ( ) Esta función s fácil calcularl los corts con los js qu junto con los tros onotonía calculado n l apartado antrior los líits n ± basta para dibujarla:» Si f() Puntos d cort (, ) (, )» li.( ) li ( 6 9 ) li.( ) li ( 6 9 )» Máio rlativo: (, ) Mínio rlativo: (,)» Esboo d la gráfica: Eáns Slctividad 7 Modlo - Opción B Página 6

7 Eáns Slctividad 7 Modlo - Opción B Página 7 (c) Ára ) 9 6 ( d u Ejrcicio º onsidra l sista d cuacions (a) [ 5 puntos] Dtrina l valor d para qu l sista sa incopatibl (b) [ punto] Rsulv l sista para (a) La atri d los coficints s A la apliada A* El sista srá incopatibl rango (A) rango (A * ) A ( - )( ) Para rango (A) rango (A*) porqu A S..D. (sista copatibl dtrinado) Para rango (A) porqu A ( ª ª coluna - ª ª fila d A) S studia l rango d la atri apliada para : sus atrics asociadas, A A* Para calcular l rango d A* s orla un nor no nulo: orlados d n A* A rango(a*) Lugo rango (A) rango (A*) S.I. (sista incopatibl)

8 Eáns Slctividad 7 Modlo - Opción B Página 8 : sus atrics asociadas, A A* Para calcular l rango d A* s orla un nor no nulo: orlados d n A* A rango(a*) S pud vr dirctant qu l rango (A*) porqu las filas ª ª son iguals Lugo rango (A) rango (A*) S..I. (sista copatibl indtrinado) Rsuindo: l único valor qu hac l sista incopatibl s (b) Si a sabos qu l sista s S..I. Para rsolvrlo nos fijaos n l nor qu nos da l rango dond s liinan las cuacions qu no foran part dl nor a las incógnitas s ls da un valor paraétrico: A* La solución dl sista s: (,, ) (, -, ) con R Ejrcicio º [ 5 puntos] Halla la cuación d la rcta contnida n l plano d cuación - qu corta prpndicularnt a la rcta dfinida por n l punto (,, - ). Fora ª.- S pid calculos una rcta s contnida n l plano π qu corta a la rcta r prpndicularnt n l punto P(,,-) r cuación paraétrica r

9 d s vctor dirctor d s n π vctor noral dl plano π (,,) d r vctor dirctor d r (,,) P r punto d r (,,) s π d s n π s r s cortan prpndicularnt d s d r d s d r n π d s d r n π i j k (, -5, ) r pasa por l punto d intrscción P(,,-), por tanto la cuación paraétrica s: s 5 Fora ª.- La rcta "s" pdida la vaos a dar coo intrscción d dos planos, uno l π otro π qu srá un plano prpndicular a r pasando por P (la intrscción d stos planos s la rcta pdida porqu pasa por P (qu stá n abos planos) adás s prpndicular a r porqu todas las rctas dl plano π son prpndiculars a r) π r vctor noral d π n π d r (,,) π : D pasa por P(,,-).. (-) D D -5 π : - 5 La rcta s s 5 Eáns Slctividad 7 Modlo - Opción B Página 9

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