( t ) ( ) exp( ) 2. La transformada de Fourier
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- Josefa Duarte Rey
- hace 9 años
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1 xp F d La ransormada d Fourr F xp d
2 D la Sr d Fourr a la ransormada d Fourr La sr d Fourr nos prm obnr una rprsnacón n l domno d la rcunca d uncons pródcas. Es posbl xndr d alguna manra las srs d Fourr para obnr una rprsnacón n l domno d la rcunca d uncons no pródcas? Consdrmos la sgun uncón pródca d prodo :
3 rn d pulsos d amplud, ancho p y prodo : / /... p -p / p / p p p p 3
4 Los cocns d la sr complja d Fourr n s caso rsulan puramn rals: c n p sn n n El spcro d rcunca corrspondn lo obnmos n s caso gracando c n conra = n. p p 4
5 Espcro dl rn d pulsos para p =, =.6.4 c n w=nw 5
6 S l prodo dl rn d pulsos aumna....5 p =, = p =, = p =, = p =, =
7 ...l spcro s "dnsca"..6 c n.4 p =, = =n.3. p =, = p =, = p =, =
8 En l lím cuando, la uncón dja d sr pródca:.5 p =, = Qué pasa con los cocns d la sr d Fourr? 8
9 S s hac muy grand, l spcro s vulv "connuo": 9
10 El razonamno anror nos llva a rconsdrar la xprsón d una uncón no pródca n l domno d la rcunca, no como una suma d armóncos d rcunca n, sno como una uncón connua d la rcunca. Así, la sr: n n c n al cambar la "varabl dscra" n cuando por la varabl connua, s ransorma n una ngral d la sgun manra:
11 Rcordmos: La sr d Fourr s: -/< x < / O bn: n n n d / / / / y d c n n n n n d / / d d / / Cuando, n y d y l sumaoro s convr n:
12 La ransormada d Fourr Es dcr, dond: F F d d Idndad d Fourr o anransormada d Fourr ransormada d Fourr Esas xprsons nos prmn calcular la xprsón F domno d la rcunca a parr d domno dl mpo y vcvrsa.
13 La ransormada d Fourr y la ransormada nvrsa d Fourr F xp d F xp d En algunos xos, l acor / s "rpar" nr la ransormada y la an-ransormada para obnr smría n la xprsón, como: /. 3
14 Noacón: A la uncón F s l llama ransormada d Fourr d y s dnoa por F o ˆ, s dcr F[ En orma smlar, a la xprsón qu nos prm obnr a parr d F s l llama ransormada nvrsa d Fourr y s dnoa por F,s dcr F ] [ F ] F ˆ F d d 4
15 ransormadas ngrals F b a K, d K,: núclo o krnl. Asoca a cada uncón n l spaco, drco o ral, ora uncón F n l spaco o rcíproco. Ejmplos: d Fourr, Wavl, ransormada Z, d Laplac, d Hlbr, d Radon, c 5
16 Un problma qu s dícl d rsolvr n sus "coordnadas" spaco orgnals, a mnudo, s más sncllo d rsolvr al ransormarlo a spaco. Dspués, la ransormada nvrsa nos dvulv la solucón n l spaco orgnal. Problm n ransorm spac Rlavly asy soluon Soluon n ransorm spac Ingral ransorm Invrs ransorm Orgnal problm Dcul soluon Soluon o orgnal problm 6
17 Ejmplo. Calcular F para l pulso rcangular sgun: Solucón. La xprsón n l domno dl mpo d la uncón s: -p / p / p p p p 7
18 Ingrando: Usando la órmula d Eulr: / / p p d d F / / p p / / p p / snc / / p p p p sn p F p sn p p / / / 8
19 Fw p p p p p = En orma gráca, la ransormada s: F psnc p / Fw con p= w 9
20 La uncón sncx Sncx/ s la ransormada d Fourr d una uncón rcángulo. Snc x/ s la ransormada d Fourr d una uncón rangulo. Snc ax s l parón d draccón d una ranura.
21 Dmosrar qu la ransormada d Fourr d la uncón rángulo, D, s snc / D F snc / -/ /
22 Ejrcco: Calcular la ransormada d Fourr d la uncón scalón unaro o uncón d Havsd, u: u Graca U = F[u]. Qué rango d rcuncas conn U? Cuál s la rcunca prdomnan?
23 La uncón dla d Kronckr y dla d Drac mn, m m n n 3
24 La uncón mpulso o dla d Drac Rcordmos qu podmos pnsar n la uncón dla como l lím d una sr d uncons como la sgun: m = m xp[-m ]/ 3 4
25 Y rcordmos algunas propdads d la uncón d a d a a d a xp d xp[ ] d 5
26 ransormada d Fourr d la : ˆ d Obsrva qu la ransormada d Fourr d = / s: ˆ d Rcordmos 6
27 ,,, ˆ sn 7
28 ,,, ˆ sn d ˆ 8
29 ransormada d Fourr d la uncón cosno cos d ˆ cos d d ˆ ˆ cos F {cos } 9
30 ransormada d Fourr d la uncón sno: sn ˆ sn d d d ˆ sn F { sn } 3
31 La ransormada d Fourr d la onda plana xp F{ } d d Im R xp F {xp } La F d xp s una rcunca pura. 3
32 Im R xp F F {xp } F Sum 3
33 Enconrar la ransormada d Fourr d la uncón:,, a a ˆ d a a a a a a a a a a d a a 33
34 La ransormada d Fourr d una Gaussana, xp-a, s ora Gaussana. F {xp } xp xp a a d xp / 4 a xp a xp / 4 a F Más adlan lo dmosrarmos. 34
35 La ransormada nvrsa d Fourr Dada la uncón n l spaco rcíproco Gk, podmos rornar al spaco drco mdan la nvrsa d la ransormada d Fourr: g x F G k G k kx' G k dk kx dk k x' x g x dk dx x' x g x' g x G k kx dx g x kx' kx dk dx 35
36 A parr d su dncón, obnr la ransormada nvrsa d Fourr d la uncón g polod ordn oría d rsduos : d Cálculo z z z d I I d d d g F d g g F zx x I x I x x x 36
37 x ; I x ; x 5 π z π I x z 3 polo d ordn 3 z 3 z z dω 3 ω 5 I oría d rsduos: I Cálculo d x ; I x ; πx z 4π I x z 3x 3 z 3x 3 z 3 zx ωω 3 3x -3 z 3x -3 z Rs Rs Rs Rs 37
38 Lugo la ransormada nvrsa F g x 5x 3x 3x ; x ; x d Fourr s : 38
39 6 3 6 g d g x x A parr d la dncón, obnr la ransormada nvrsa d Fourr d la uncón: Rspusa. Ingrando n l plano compljo: z z z z z z z g 3, 3, 6 39
40 zx omando Gz gz S x > : C g z R zx dz G z dz Hacndo lm R R R k Rs G z, z G w dw k Como lm g z lm z z 6z -R R 3z 6 4
41 3d Jordan Lma lm R R zx dx z g Enoncs: x x k z z G x 3 3 5, Rs S x < : R R R k k zx dw w G dz z G z z G dz z g, Rs 4
42 Hacndo lm R Como lm z g z -R R lm z 6z 3z 6 lm R R g z zx dx Lma 3d Jordan Enoncs: x Rs G z, z k x π 5, x 3 x x 3, x 4
43 Algunas uncons no posn ransormada d Fourr La condcón d sucnca para qu la ransormada d Fourr d x, F xsa s: g x dx s dcr, qu x sa d cuadrado sumabl. Funcons qu no vayan asnócamn a cro cuando x nd a y n gnral no nn ransormadas d Fourr. 43
44 La F y su nvrsa son smércas. S la F d s F, noncs la F d F s: Qu podmos scrbr: F xp d F xp [ ] d Rnombrando la varabl d ngracón d a, podmos vr qu llgamos a la F nvrsa: F xp [ ] d Es l movo por l qu a mnudo y F s dc qu son un "par ransormado." 44
45 La ransormada d Fourr s n gnral complja La ransormada d Fourr Fk y la uncón orgnal x son ambas n gnral compljas. D modo qu la ransormada d Fourr pud scrbrs como: k F k F x F r spcrod ponca A as spcral spcral amplud o magnud r r k F F F A F F k F A k A k F x F 45
46 La ransormada d Fourr cuando x s ral La F Fk s parcularmn smpl cuando x s ral: F x F k F k r F k r F k x kx dx x x cos kxdx x sn kxdx cos kx sn kx dx 46
47 Propdads d las ransormadas d Fourr:. Lnaldad: g ˆ g ˆ g F.. F.. F.. ˆ g ˆ F.. ˆ a b F.. a b ˆ 47
48 La ransormada d Fourr d la combnacón lnal d dos uncons. F g G F{ a bg } af{ } bf{ g } g F G 48
49 Calcular la ransormada d Fourr d la sgun uncón:, a, b a, b ; a b La uncón s pud scrbr ambén dl sgun modo: g h dond g, a, a ; h, b, b 49
50 Lugo: ˆ ˆ g ˆ h ˆ a a sn a b b sn b 5
51 Calcular la ransormada d Fourr d la sgun uncón: -a -b b a 5
52 nmos qu calcular la ransormada d Fourr d la sgun uncón:, a, a b, b b, b a, a g h g, a, a ; h, b, b 5
53 g, a, a F.. g ˆ a sna a h, b, b F.. ˆ h b snb b ˆ ˆ g ˆ h a sna a b snb b 53
54 ˆ F a a d a a d a a d a a F a a a ˆ ' ' '. Escalado: a a a F ˆ 54
55 Eco d la propdad d scalado Pulso coro F Mnras más coro s l pulso, más ancho s l spcro. Pulso mdo Esa s la snca dl prncpo d ncrdumbr n mcánca cuánca. Pulso largo 55
56 La ransormada d Fourr rspco al spaco S x s uncón d la poscón, F ˆ k x x dx k x k s conoc como rcunca spacal. odo lo xpuso sobr la ransormada d Fourr nr los domnos y s aplca los domnos x y k. k 56
57 3. raslacón n l domno d mpos F.. ˆ F.. a a ˆ a g gˆ gˆ g u d ua du a d a u u du gˆ ˆ a 57
58 4. : * ˆ ˆ * R Im ˆ R ˆ ˆ Im ˆ ˆ d 5. : ˆ d 58
59 5. Idndad d Parsval : * gd ˆ * g ˆ d ˆ * d gˆ ' ' d' d d ˆ * ' En parcular: g d' gˆ ' d ' d ˆ d ˆ * gˆ d orma d Raylgh 59
60 oda uncón pud scrbrs como la suma d una uncón par y una uncón mpar Sa x una uncón cualqura. E-x = Ex Ex E x [ x x]/ Ox O-x = -Ox O x [ x x]/ x x E x O x 6
61 ransormadas d Fourr d uncons pars, = -: d ˆ d d ˆ d d d cos ˆ d 6
62 ˆ d d ransormadas d Fourr d uncons mpars, = --: d ˆ d d d ˆ d sn 6
63 6. ransormada d la drvada: F x kfx kfk Y n gnral: F n x k n Fk 7. ransormada xx: F x x F x F k Y n gnral: F x n x n F k 63 Ejrcco: dmosrar las propdads anrors.
64 . Enconrar la ransormada d Fourr d la uncón: x x. A parr dl rsulado anror y una conocda propdad d la ransormada d Fourr, drmna la ransormada d Fourr d la uncón: g x x x. kx Nos pdn la ngral F k dx x Pasamos la ngral al plano compljo : I kz dz ngral "po3"con z z z s analíca z C, xcpo z - y z z 64
65 k k kz z kz z k kz z kz z k F z z k F z z k F lím lím D modo qu : : crcuo C n l ngramos k Para : crcuo C n l ngramos k Para Rs Rs C C : y Puso qu k k k x x F k G k x x F x x F x x dx d kf dx d F. 65
66 Enconrar la ransormada d Fourr d la uncón: ax sndo a> consan. x xp Drvando nmos: Vamos ora aplcacón d sas dos úlmas propdads: x xp ax x ax xp ax ax x ransormando a ambos lados d la cuacón y usando las sguns propdads d la F: F x kf x kf k Fx x F x F k kf k af k 66
67 a k u u ax kx ax a k a k F a d a du a du a dx F B dx B k F u = ax / a k B k F k af k kf u = 67
68 Convolucón S dn la ngral d convolucón d dos uncons y g dl sgun modo: g u g u du u g du 68
69 69
70 Ejmplo vsual: rcx * rcx = Dx 7
71 Convolucón con la uncón dla a u u a du a Convoluconar una uncón con una dla, smplmn cnra la uncón sobr la dla. 7
72 Propdads d la convolucón Commuava: g g Asocava: g h g h Dsrbuva: g h g h 7
73 El orma d convolucón o orma d Wnr-Khchn F * g F w G w Convolucón n l spaco ral s quvaln a mulplcacón n l spaco rcíproco. 73
74 Ejmplo dl orma d convolucón rc x rc x D x F {rc x} snc k / F { D x} snc k / snc k / snc k / snc k / 74
75 du d g d du u g u g u u ' ' ˆ ˆ ' d d du g u ˆ ' ' ˆ ' ' ' Dmosrmos l orma d convolucón. 75
76 ˆ ˆ g d g d d g ˆ ' ' ' ˆ ' * w G w F g F Aplcando la F a ambos lados: 76
77 , cos, Ejmplo d aplcacón dl orma d convolucón: Calcular la ransormada d Fourr d la sgun uncón: cos ˆ d d ˆ Podmos hacrlo aplcando la dncón: 77
78 ˆ sn sn ˆ sn sn, cos, 78
79 ,, h ; g cos ˆ g ˆ sn h, cos, g h F F Pro, ambén podmos usar: g h hg ˆ ˆ ˆ 79
80 d g h g h ˆ ˆ g h hg ˆ ˆ ˆ ' ' ' ˆ ˆ ˆ ˆ d g h g h ' ' ' ' ' d sn ˆ ˆ ˆ sn sn g h 8
81 Calcular la ransormada d Fourr dl produco d convolucón d las sguns uncons:, a b, a b g a b a b 8
82 El produco d convolucón d las uncons y g s: g u g udu g u a b a b u u du g a b a b s dcr qu l produco d convolucón d y g son dos uncons pulso d anchura a-b cnradas n ab/ y -ab/ cuya gráca s la sgun: 8
83 -a -b b a y cuya ransormada d Fourr calculamos n l jrcco anror: a sna a b snb b 83
84 Una orma alrnava para calcular la ransormada d Fourr dl produco d convolucón d y g s usar l orma d convolucón, sgún l cuál, la ransormada d Fourr dl produco d convolucón d y g s gual al produco d las ransormadas d Fourr rspcvas d y g: g F.. ˆ ˆ g, a b, a b F.. ˆ a b sn a b a b 84
85 Calculamos la ransormada d Fourr d g: g ˆ g g ˆ d a b a b d g ˆ ˆ g ˆ a b a b a b cos a b sn a b a b cos a b 85
86 ˆ g ˆ a b sn a b a b cos a b ˆ g ˆ sn a b cos a b ˆ g ˆ sna sn b qu concd con la ransormada qu habíamos calculado dl oro modo. 86
87 Ulzar l orma d convolucón para calcular la anransormada d Fourr d la sgun uncón: ˆ sn 4 nmos qu calcular la anransormada: ˆ d sn d 4 sn d 87
88 sn sn d y, llamando: ˆ g sn Anransormada d Fourr g,, nos quda qu: g ˆ ˆ g d g g orma d convolucón 88
89 Por ano, la ngral d convolucón d g consgo msma quda: g g gu g udu dond g,, S g g S g g du 89
90 S g g du S g g Lugo: g g,, 9
( )exp( ) 2. La transformada de Fourier
xp F d π La ransormada d Fourr F xp d D la Sr d Fourr a la ransormada d Fourr La sr d Fourr nos prm obnr una rprsnacón n l domno d la rcunca d uncons pródcas. Es posbl xndr d alguna manra las srs d Fourr
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