Circuitos no senoidales

Transcripción

1 Crcuos no snodals A6 Objos Famlarzars con los componns d la xpansón d la sr d Fourr para cualqur funcón snodal o no snodal. Enndr cómo la aparnca y la cura n l j d mpo d una forma d onda pudn dnfcar qué érmnos d una sr d Fourr sarán prsns. Sr capaz d drmnar la rspusa d una rd a cualqur nrada dfnda por una xpansón d la sr d Fourr. Aprndr a sumar dos o más formas d onda dfndas por xpansons d la sr d Fourr. A6.1 INTRODUCCIÓN Cualqur forma d onda qu dfra d la dscrpcón básca d la forma d onda snodal s conoc como no snodal. Las formas d onda más obas y conocdas son las d cd, las ondas cuadradas, las rangulars, las d dn d srra y las rcfcadas, qu s musran n la fgura A6.1. (a) (b) (c) (d) () FIG. A6.1 Formas d onda no snodals comuns: (a) cd; (b) cuadrada; (c) rangular; (d) dn d srra; () rcfcada. Las saldas d muchos dsposos lécrcos y lcróncos no son snodals, aun cuando la sñal aplcada puda sr puramn snodal. Por jmplo, la rd d la fgura A6. ulza un dodo para rcorar la par ngaa d la sñal aplcada n un procso llamado rcfcacón d mda onda, l cual s ulza n l dsarrollo d nls d cd a parr d una nrada snodal. En sus cursos d lcrónca nconrará qu l dodo s smjan a un nrrupor mcánco, pro s dfrn porqu pud conducr corrn n sólo una drccón. La forma d onda d salda s dfnamn no snodal, pro obsr qu su prodo s gual al d la sñal aplcada y concd con la nrada duran la mad dl prodo. Es anxo dmusra cómo una forma d onda no snodal como la salda parcda a la d la fgura A6. pud sr rprsnada por una sr d érmnos. Tambén xplca cómo drmnar la rspusa d una rd a una nrada como sa. NON

2 1 CIRCUITOS NO SENOIDALES Dodo dal s R s T T T T FIG. A6. Rcfcador d mda onda qu produc una forma d onda no snodal. A6. SERIE DE FOURIER La sr (o srs) d Fourr s una sr d érmnos, dsarrollada n 18 por l barón Jan Fourr (fgura A6.3), qu pud usars para rprsnar una forma d onda pródca no snodal. En l análss d sas formas d onda rsolmos cada érmno d la sr d Fourr d la sgun manra: f () A A 1 sn A sn A 3 sn 3... A n sn n alor d cd o promdo érmnos sno B 1 cos B cos B 3 cos 3... B n cos n (A6.1) érmnos cosno FIG. A6.3 Barón Jan Fourr. Corsía d la Smhsonan Insuon, foografía núm. 56,8 Francés (Auxrr, Grnobl, París) ( ) Mamáco, gpólogo y admnsrador Profsor d mamácas, Ècol Polychnqu Mjor conocdo por una sr mamáca nfna d érmnos d sno y cosno llamada sr d Fourr, la cual solía ulzar para mosrar cómo s analza y dfn la conduccón dl calor n sóldos. Aun cuando fura sobr odo mamáco, una gran par dl rabajo d Fourr s rfría a sucsos físcos dl mundo ral, como la ransfrnca d calor, las manchas solars y l clma. S unó a la Ècol Polycnqu n París como mmbro dl curpo académco cuando l nsuo abró sus puras por prmra z. Napolón l pdó ayuda n la nsgacón d angüdads gpcas, por lo qu prmancó rs años n Egpo como scraro dl Insu d Égyp. Napolón lo hzo barón n 189, y fu lgdo a la Académ ds Scncs n Sgún la forma d onda, podría rqurrs una gran candad d sos érmnos para aproxmar la forma d onda lo más flmn posbl para fcos dl análss dl crcuo. Como s musra n la cuacón (A6.1), la sr d Fourr s compon d rs pars báscas. La prmra s l érmno d cd A, l cual s l alor promdo d la forma d onda duran un cclo complo. La sgunda s una sr d érmnos sno. No hay rsrccons n cuano a los alors o alors rlaos d las ampluds d sos érmnos sno, pro la frcunca d cada uno srá un múlplo nro d la frcunca dl prmr érmno sno d la sr. La rcra par s una sr d érmnos cosno. D nuo, no hay rsrccons n los alors o alors rlaos d las ampluds d sos érmnos cosno, pro cada uno ndrá una frcunca qu s un múlplo nro d la frcunca dl prmr érmno cosno d la sr. Para una forma d onda parcular, s muy posbl qu odos los érmnos sno o cosno san cro. Las caracríscas d s po pudn drmnars con sólo xamnar la forma d onda no snodal y su poscón n l j horzonal. El prmr érmno d la sr d sno y cosno s llama componn fundamnal. Rprsna l érmno d frcunca mínma rqurdo para rprsnar una forma d onda parcular, y ambén n la msma frcunca qu la forma d onda qu s sá rprsnando. Por consgun, db habr un érmno fundamnal n cualqur rprsnacón d la sr d Fourr. Los dmás érmnos con frcuncas d mayor grado (múlplos nros dl componn fundamnal) s llaman érmnos armóncos. El sgundo armónco s un érmno cuya frcunca s gual a dos cs la fundamnal; l rcr armónco srá aqul cuya frcunca sa gual a rs cs la fundamnal, y así sucsamn. Valor promdo: A El érmno d cd d la sr d Fourr s l alor promdo d la forma d onda duran un cclo complo. S l ára na sobr l j horzonal s

3 SERIE DE FOURIER 13 gual a la qu sá dbajo n un cclo complo, A, y l érmno d cd no aparc n la xpansón. S l ára sobr l j s mayor qu la d dbajo duran un cclo complo, A s poso y aparcrá n la rprsnacón d la sr d Fourr. S l ára dbajo dl j s mayor, A s ngao y aparcrá con l sgno ngao n la xpansón. Funcón mpar (smría d puno) S una forma d onda s al qu su alor para s l ngao dl d, s llama funcón mpar, o s dc qu n smría d puno. La fgura A6.4(a) s un jmplo d una forma d onda con smría d puno. Obsr qu la forma d onda n un alor pco n 1 qu concd con la magnud (con l sgno opuso) dl alor pco n 1. Para formas d onda d s po, odos los parámros B 1Sq d la cuacón (A6.1) srán cro. D hcho, solamn los érmnos d cd y sno d la sr d Fourr dscrbn dl odo las formas d onda con smría d puno. f() Forma d onda no snodal Funcón mpar f() Valor promdo = (A = ) Smría d puno Onda sno 1 1 Smría d punos (con rspco a s puno) Valor promdo = (A = ) (a) (b) FIG. A6.4 Smría d puno. Obsr n la fgura A6.4(b) qu una onda sno s una funcón mpar con smría d puno. Para las dos formas d onda d la fgura A6.4 funcona la sgun rlacón mamáca: f 1 f 1 (funcón mpar) (A6.) En oras palabras, sablc qu la magnud d la funcón n s gual al ngao d la magnud n [ 1 n la fgura A6.4(a)]. Funcón par (smría d j) S una forma d onda s smérca con rspco al j rcal s llama funcón par, o s dc qu n smría d j. La fgura A6.5(a) s un jmplo d una forma d onda como sa. Obsr qu l alor d la funcón n 1 s gual al alor n 1. Para formas d onda d s po, odos los parámros A 1Sq srán cro. D hcho,

4 14 CIRCUITOS NO SENOIDALES f() f() Funcón par Valor promdo (A ) Onda cosno Promdo = (A = ) 1 1 Forma d onda no snodal Smría con rspco al j rcal Smría con rspco al j rcal (a) (b) FIG. A6.5 Smría d js. solamn los érmnos d cd y sno d la sr d Fourr dscrbn dl odo las formas d onda con smría d j. Obsr n la fgura A6.5(b) qu una onda cosno s una funcón par con smría d j. La sgun rlacón mamáca funcona para las dos formas d onda d la fgura A6.5: f 1 f 1 (funcón par) (A6.3) En oras palabras, sablc qu la magnud d la funcón s la msma n 1 qu n [ 1 n la fgura A6.5(a). Smría d spjo o d mda onda S una forma d onda n smría d spjo o d mda onda como lo dmusra la fgura A6.6, los armóncos pars d la sr d érmnos sno y cosno srán cro. f() T 1 T T 1 T T 3 T FIG. A6.6 Smría d spjo. En forma funconal, la forma d onda db sasfacr la sgun rlacón: f 1 f a T b (A6.4)

5 SERIE DE FOURIER 15 La cuacón (A6.4) sablc qu la forma d onda qu ocurr n un nralo T s rprá n l sgun nralo T, pro n l sndo ngao ( 1 n la fgura A6.6). Por jmplo, la forma d onda n la fgura A6.6 d cro a T s rprá n l nralo T a T pro dbajo dl j horzonal. Rpa n l mdo cclo La nauralza rpa d una forma d onda pud drmnar s habrá armóncos spcífcos n la xpansón d la sr d Fourr. En parcular, s una forma d onda s rpa n l mdo cclo como lo dmusra la forma d onda d la fgura A6.7, los armóncos mpars d la sr d érmnos d sno y cosno son cro. f() 1 T 1 T T FIG. A6.7 Una forma d onda rpa n l mdo cclo. En forma funconal, la forma d onda db sasfacr la sgun rlacón: f 1 f a T b (A6.5) La cuacón (A6.5) sablc qu la funcón s rp dspués d cada nralo T/ ( 1 n la fgura A6.7). Sn mbargo, la forma d onda ambén s rprá dspués d cada prodo T. Por consgun, para una funcón d s po, s l prodo T d la forma d onda s slccona para qu sa dos cs l prodo mínmo (T/), odos los armóncos pars srán cro. Méodo mamáco Las consans A, A 1Sn y B 1Sn s drmnan con las sguns fórmulas ngrals: A 1 T T A n T T B n T T f 1 d f 1 sn n d f 1 cos n d (A6.6) (A6.7) (A6.8) Esas cuacons s prsnan sólo para propósos d rconocmno; no s ulzan n l análss sgun.

6 16 CIRCUITOS NO SENOIDALES Insrumnos Hay rs pos d nsrumnos dsponbls qu rlan la cd, l conndo fundamnal y armónco d una forma d onda: l analzador d spcro, l analzador d onda y l analzador d Fourr. El propóso d als nsrumnos no s úncamn drmnar la composcón d una forma d onda parcular, sno ambén rlar l nl d dsorsón qu pudra habr nroducdo algún ssma. Por jmplo, un amplfcador pud sar ncrmnando la sñal aplcada por un facor d 5, pro n l procso pud habr dsorsonado la forma d onda d al manra qu no s noa n la panalla dl oscloscopo. La candad d dsorsón aparc n la forma d armóncos a frcuncas qu son múlplos d la frcunca aplcada. Cada uno d los nsrumnos anrors rla cuáls frcuncas mpacan más la dsorsón, lo qu prm lmnarlas con flros adcuadamn dsñados. En la fgura A6.8 s musra l analzador d spcro, l cual n la aparnca d un oscloscopo, pro n lugar d mosrar n la panalla una forma d onda d olaj (j rcal) conra frcunca (j horzonal), gnra una magn a mnor scala n db (j rcal) conra frcunca (j horzonal). S dc qu al magn sá n l domno d la frcunca, n conras con l domno dl mpo dl oscloscopo sándar. La alura d la lína rcal n la magn d la fgura A6.8 rla l mpaco d sa frcunca sobr la forma d la onda. Los analzadors d spcro no son capacs d proporconar l ángulo d fas asocado con cada componn. FIG. A6.8 Analzador d spcro. (Corsía d Tlronx, Inc.). EJEMPLO A6.1 Drmn cuáls componns d la sr d Fourr sán prsns n las formas d onda d la fgura A6.9. Solucons: a. La forma d onda n un ára na sobr l j horzonal y por consgun ndrá un érmno d cd poso A. La forma d onda n smría d j, d lo qu rsula qu n la xpansón hay sólo érmnos cosno. La forma d onda n smría n l mdo cclo, d lo qu rsula qu n la sr d cosno hay sólo érmnos pars. b. La forma d onda n la msma ára sobr y bajo l j horzonal dnro d cada prodo, por lo qu l rsulado s A. La forma d onda n smría d puno, por lo qu n la xpansón hay sólo érmnos sno.

7 SERIE DE FOURIER 17 1 V T T (a) 5 ma T T (b) 5 ma FIG. A6.9 Ejmplo A6.1. EJEMPLO A6. Escrba la xpansón d la sr d Fourr para las formas d onda d la fgura A ma Forma d onda snodal V (b) V (a) V prom = 8 V (c) Solucons: FIG. A6.1 Ejmplo A6.. a. A y A 1Sn B 1Sn b. A A A Sn B 1Sn sn V c. A 8 A 1Sn B 1 1 B Sn y 8 1 cos V EJEMPLO A6.3 Bosquj la sgun xpansón d la sr d Fourr: y 1 cos a sn a

8 18 CIRCUITOS NO SENOIDALES Solucón: Examn la fgura A = 1 cos sn.36 V = q sn 1 cos FIG. A6.11 Ejmplo A6.3. La solucón podría obnrs gráfcamn s razamos prmro odas las funcons y lugo consdramos un númro d punos sufcn sobr l j horzonal, o podría ulzars álgbra fasoral como sgu: 1 cos a sn a 1 V 9 V j 1 V V V j 1 V.36 V sn 1a 6.57 y y.36 sn 1A 6.57 la cual s smplmn la par d la onda sno monada sobr un nl d cd d V. Es dcr, su máxmo poso s d V.36 V 4.36 V, y su mínmo s V.36 V.36 V. EJEMPLO A6.4 Bosquj la sgun xpansón d la sr d Fourr: 1 sn 1 sn Solucón: Va la fgura A6.1. Obsr qu n s caso la suma d las dos formas d onda snodals d frcuncas dfrns no s una onda sno. Rcurd qu l álgbra complja pud aplcars sólo a formas d onda qu nn la msma frcunca. En s caso, la solucón s obn gráfcamn puno por puno, como s musra para 1. = 1 sn q 1 sn q q 1 sn q 1 ( = ) 1 sn q FIG. A6.1 Ejmplo A6.4.

9 SERIE DE FOURIER 19 Como un jmplo más dl uso dl méodo d la sr d Fourr, consdr la onda cuadrada qu s musra n la fgura A6.13. El alor promdo s cro, por lo ano A. Es una funcón mpar, así qu odas las consans B 1Sn son cro; sólo hay érmnos sno n la xpansón d la sr. Como la forma d onda sasfac los crros para f () f( T>), los armóncos pars ambén son cro. V m Funcón mpar con smría d mda onda T V m FIG. A6.13 Onda cuadrada. La xprsón obnda dspués d aluar los drsos cofcns ulzando la cuacón (A6.8) s y 4 p V m a sn 1 3 sn sn sn sn n b n (A6.9) Obsr qu l fundamnal n la msma frcunca qu la onda cuadrada. S sumamos l fundamnal y l rcr armónco, obnmos los rsulados qu s musran n la fgura A6.14. Incluso, con solamn los dos prmros érmnos mpzan a aparcr algunas caracríscas d la onda cuadrada. S sumamos los dos érmnos sguns (fgura A6.15), l ancho dl pulso s ncrmna, y l númro d pcos ambén. V m Fundamnal Fundamnal rcr armónco Númro d pcos = númro d érmnos sumados Fundamnal 3º, 5º, 7º armóncos 4 V p m V m Onda cuadrada p T 4. p p V m 3 3 p (T) p q p p 3 p q p Trcr armónco FIG. A6.14 Fundamnal más rcr armónco. FIG. A6.15 Fundamnal más rcro, quno y sépmo armóncos.

10 CIRCUITOS NO SENOIDALES Al connuar sumando érmnos, la sr s aproxma mjor a la onda cuadrada. Obsr, sn mbargo, qu la amplud d cada érmno subsgun s rduc a al grado qu s nsgnfcan comparada con las d los prmros érmnos. Una buna aproxmacón s suponr qu la forma d onda s compon d los armóncos hasa, ncluso, l nono. Cualsqur armóncos más alos srían mnors qu un décmo dl fundamnal. S la forma d onda qu acabamos d dscrbr s dsplazara sobr y dbajo dl j horzonal, la sr d Fourr s modfcaría sólo por un cambo dl érmno d cd. La fgura A6.16(c), s la suma d las fguras A6.16(a) y (b). La sr d Fourr para la forma d onda compla s, por consgun, y y 1 y V m Ecuacón 1A6.9 V m 4 p V m a sn 1 3 sn sn sn 7... b y y V m c 1 4 p a sn 1 3 sn sn sn 7... bd V m 1 (a) V m = V m 3 3 V m (b) (c) FIG. A6.16 Dsplazamno d una forma d onda rcalmn con la adcón d un érmno d cd. La cuacón para la forma d onda pulsan rcfcada d mda onda d la fgura A6.17(b) s y.318v m.5v m sn a.1v m cos.44v m cos 4a... (A6.1) La forma d onda d la fgura A6.17(c) s la suma d las dos n las fguras A6.17(a) y (b). La sr d Fourr para la forma d onda d la fgura A6.17(c) s, por consgun, y T y 1 y V m Ecuacón 1A6.1.5V m.318v m.5v m sn a.1v m cos a.44v m cos 4a... y y T.18V m.5v m sn a.1v m cos a.44v m cos 4a... V m 1 a V m p p 3p a T = V m p V m p 3p a (a) (b) (c) FIG. A6.17 Dscnso d una forma d onda con la adcón d un componn d cd ngao. S cualqura d las formas d onda s dsplazara a la drcha o a la zqurda, l dsplazamno d fas s rsaría d o s sumaría a, rspcamn, los érmnos sno o cosno. El érmno d cd no cambaría con un dsplazamno a la drcha o a la zqurda.

11 RESPUESTA DE UN CIRCUITO A UNA ENTRADA NO SENOIDAL 1 S la sñal rcfcada d mda onda s dsplazara 9 a la zqurda como n la fgura A6.18, la sr d Fourr s ul.318v m.5v m sn( 9 ).1V m cos ( 9 ).44V m cos 4( 9 ) y cos.318v m.5v m cos.1v m cos( 18 ).44V m cos(4 36 ).318V m.5v m cos.1v m cos.44v m cos 4 V m p p p 3 p p 5 p 3p FIG. A6.18 Cambo dl ángulo d fas d una forma d onda. A6.3 RESPUESTA DE UN CIRCUITO A UNA ENTRADA NO SENOIDAL La rprsnacón d sr d Fourr d una nrada no snodal pud aplcars a una rd lnal aplcando l prncpo d suprposcón. Rcurd qu s orma nos prmó consdrar los fcos d cada fun d un crcuo d forma ndpndn. S rmplazamos la nrada no snodal con los érmnos d la sr d Fourr qu s consdrn ncsaros para consdracons práccas, podmos ulzar la suprposcón para drmnar la rspusa d la rd a cada érmno (fgura A6.19). = A A 1 sn... A n sn n... B 1 cos... B n cos n... Rd lnal A A 1 sn A n sn n B 1 cos B n cos n Rd lnal FIG. A6.19 Prparacón d la aplcacón d una sr d érmnos d Fourr a una rd lnal.

12 CIRCUITOS NO SENOIDALES Enoncs la rspusa oal dl ssma s la suma algbraca d los alors obndos para cada érmno. El cambo más mporan al ulzar s orma para crcuos no snodals así como para los crcuos ans dscros s qu la frcunca srá dfrn para cada érmno n la aplcacón no snodal. Por consgun, las racancas X L pfl y X C 1 pfc cambarán para cada érmno dl olaj o d la corrn d nrada. En l capíulo 8 mos qu l alor rms d cualqur forma d onda lo daba 1 B T T S aplcamos sa cuacón a la sr d Fourr f 1 d y1a V V m1 sn a... V mn sn na V m1 cos a... V mn cos na noncs V rms C V V m 1... V mn V m1... V mn (A6.11) Sn mbargo, como noncs V m1 a V m 1 1 bav m 1 1 b 1V 1 rms 1V 1rms V 1 rms V rms V V 1rms... V nrms V 1rms... V nrms (A6.1) Asmsmo para 1a I I m1 sn a... I mn sn na I m1 cos a... I mn cos na nmos I rms I C I m 1... I mn I m1... I mn (A6.13) y I rms I I 1rms... I nrms I 1rms... I nrms (A6.14) La ponca oal sumnsrada s la suma d la qu sumnsraron los érmnos corrspondns dl olaj y la corrn. En las cuacons sguns odos los olajs y corrns son alors rms: P T V I V 1 I 1 cos u 1... V n I n cos u n... (A6.15) P T I R I 1 R... I n R... (A6.16)

13 RESPUESTA DE UN CIRCUITO A UNA ENTRADA NO SENOIDAL 3 o bn P T I rms R (A6.17) con I rms dfnda por la cuacón (A6.13), y, asmsmo, P T V rms R (A6.18) con V rms como lo dfn la cuacón (A6.11). EJEMPLO A6.5 a. Bosquj la nrada qu rsula d la combnacón d funs n la fgura A6.. b. Drmn l alor rms d la nrada n la fgura A6.. Solucons: a. Obsr la fgura A6.1. b. Ecuacón (A6.1): V rms V B V m 14 V 16 V B B 5.83 V Es parcularmn nrsan obsrar n l jmplo A6.5 qu l alor rms d una forma d onda qu n componns ano d cd como d ca no s smplmn la suma d los alors fcacs d cada uno. En oras palabras, hay una nacón al falar la cuacón (A6.1) d formular qu V rms 4 V.77 (6 V) 8.4 V, lo cual s ncorrco y, d hcho, xcd l nl corrco por cas 41%. Insrumnos V 134 V Es mporan dars cuna qu odos los mulímros lrán l alor rms d formas d onda no snodals como la qu aparc n la fgura A6.1. Muchos sán dsñados para lr l alor rms d sólo formas d onda snodals. Es mporan lr l manual proporconado con l mddor para r s s un mddor rms rdadro capaz d lr l alor rms d cualqur forma d onda. En l capíulo 8 aprndmos qu l alor rms d una onda cuadrada s su alor pco. Comprobmos s rsulado con la xpansón d Fourr y la cuacón (A6.11). 4 V 6 sn 4 V FIG. A6. Ejmplo A6.5. = 4 V 6 sn q 6 V q FIG. A6.1 Parón d onda gnrado por la fun d la fgura A6.. EJEMPLO A6.6 Drmn l alor rms d la onda cuadrada d la fgura A6.13 con V m V ulzando los prmros ss érmnos d la xpansón d Fourr, y compar l rsulado con l alor rms ral d V. Solucón: y 4 p 1 V sn 4 p a 1 3 b1 V sn 3 4 p a 1 5 b1 V sn 5 4 p a 1 b1 V sn p a 1 9 b1 V sn 9 4 p a 1 b1 V sn y sn sn sn sn 7.89 sn sn 11

14 4 CIRCUITOS NO SENOIDALES Ecuacón (A6.11): V rms V C V m 1 V m V m3 V m4 V m5 V m6 1 V V V V V 1.89 V V C V La solucón dfr mnos d.4 V d la rspusa corrca d V. Sn mbargo, cada érmno adconal n la sr d Fourr acrca l rsulado al nl d V. Un númro nfno daría la solucón xaca d V. R R = 3 C = 1 F 8 C EJEMPLO A6.7 La nrada al crcuo d la fgura A6. s 1 1 sn a. Drmn la corrn y los olajs y R y y C. b. Drmn los alors rms d, y R y y C. c. Drmn la ponca sumnsrada al crcuo. FIG. A6. Ejmplo A6.7. Solucons: a. Dbuj d nuo l crcuo orgnal como s musra n la fgura A6.3. Lugo aplqu la suprposcón: R 1 V 1 sn R = 3 C X C = 1 C 1 = 1 = 4 ( rad/s)( 8 F) FIG. A6.3 Crcuo d la fgura A6. con los componns d la nrada d sr d Fourr. 1. Para la par d la fun d 1 V d cd d la nrada, I puso qu l capacor s un crcuo abro an cd cuando y C ha alcanzado su alor fnal (sado sabl). Por consgun, V R IR V y V C 1 V. Para la fun d ca, Z 3 j I E Z 1 1 V A V R 1I u1r a A b V 53.13

15 RESPUESTA DE UN CIRCUITO A UNA ENTRADA NO SENOIDAL 5 y V C 1I u1x C 9 a A b V En l domno dl mpo, Obsr qu aun cuando l érmno d cd suo prsn n la xprsón para l olaj d nrada, l érmno d cd d la corrn n s crcuo s cro: y sn y R 6 sn y C 1 8 sn b. Ecuacón (A6.14): I rms 1 1 A 1 A A C Ecuacón (A6.1): V Rrms 1 16 V 118 V 4.43 V C c. Ecuacón (A6.1): V Crms 11 V 18 V 1176 V V C P I rms R a 1 A b 13 6 W R R = 6 L =.1 H L EJEMPLO A6.8 Drmn la rspusa dl crcuo d la fgura A6.4 a la nrada qu s musra..318e m.5e m sn.44e m cos E m cos Solucón: Para propósos d análss sólo s ulzan los prmros rs érmnos para rprsnar. Conrndo los érmnos cosno n érmnos sno y susuyndo n lugar d E m obnmos sn 4.4 sn 1 9 Ulzando noacón fasoral, mos qu l crcuo orgnal llga a sr como l qu s musra n la fgura A6.5. (a) q = 377 rad/s E m = p p 3p q (b) FIG. A6.4 Ejmplo A6.8. V R E = 63.6 V E 1 = 7.71 V E = 9.98 V 9 I 6 q = 377 rad/s Z T q = 754 rad/s I 1 I L =.1 H V L FIG. A6.5 Crcuo d la fgura A6.4 con los componns d la nrada d la sr d Fourr.

16 6 CIRCUITOS NO SENOIDALES Aplcando suprposcón Para l érmno d cd (E 63.6 V): X L I E R La ponca promdo s Para l érmno fundamnal (E V, 377): X L1 L 1377 rad/s1.1 H 37.7 Z T1 6 j I 1 E V 1.85 A 8.96 Z T V R1 1I 1 u1r A V 8.96 V L1 1I 1 u1x L A V 9.4 La ponca promdo s Para l sgundo armónco (E 9.98 V 9, 754): El ángulo d fas d E s cambó a 9 para darl la msma polardad qu los olajs d nrada E y E 1. Tnmos X L L 1754 rad/s1.1 H 75.4 Z T 6 j I E 9.98 V A Z T V R 1I u1r A V V L 1I u1x L A V La ponca promdo s 1coro para cd Z T R V 6 V R I R E 63.6 V V L P I R 11.6 A W P 1 I 1 R A W P I R A W La xpansón d la sr d Fourr para s 1.6 A sn sn y I rms 11.6 A A A 1.77 A La xpansón d la sr d Fourr para y R s y R sn sn y V Rrms V V 1.38 V V

17 ANÁLISIS CON COMPUTADORA 7 La xpansón d la sr d Fourr para y L s y L sn sn y V Lrms V V 75.9 V La ponca promdo oal s P T I rms R A W P P 1 P A6.4 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FORMAS DE ONDA NO SENOIDALES La xprsón d la sr d Fourr para la forma d onda qu rsula d la adcón o la susraccón d dos formas d onda no snodals pud drmnars manjando álgbra fasoral s los érmnos qu nn la msma frcunca s consdran por sparado. Por jmplo, la suma d las sguns dos formas d onda no snodals s drmna aplcando s méodo: 1. érmnos d cd:. : y 3. 4: 4. 6: y con y 1 3 sn... 5 sn 16 3 y 6 3 sn sn 4 1 cos 6 V T 3 V 6 V 9 V V T1 1máx 3 V V 5 V y T1 5 sn y T sn 4 5 sn V V 3 1 cos 6 1 sn V V 9 V T V V V j 1.77 V j 7.7 V 3.7 V j 8.84 V V T V 7.85 y T sn y T y 1 y 9 5 sn sn sn A6.5 ANÁLISIS CON COMPUTADORA PSpc Sr d Fourr El análss con compuadora s nca con una rfcacón d la forma d onda d la fgura A6.15, dond s qu sólo cuaro érmnos d una sr d Fourr pudn gnrar una forma d onda qu n aras caracríscas d una onda cuadrada. La onda cuadrada n un alor pco d 1 V a una frcunca d 1 khz, con lo qu s obn la sgun sr d Fourr aplcando la cuacón (A6.9) (y rconocndo qu pf rad/s): y 4 p 11 Vasn 1 3 sn sn 5 1 sn 7 b sn 4.44 sn sn sn 7

18 8 CIRCUITOS NO SENOIDALES Cada érmno d la sr d Fourr s raa como una fun d ca ndpndn, como s musra n la fgura A6.6, con su alor pco y frcunca aplcabl. La suma d los olajs d fun aparc a raés dl rssor R y gnra la forma d onda d la fgura A6.7. FIG. A6.6 Uso d PSpc para aplcar cuaro érmnos d la xpansón d Fourr d una onda cuadrada d 1 V a un rssor d carga d 1 k. Cada fun ulza VSIN, y como dsamos obnr l rsulado conra l mpo, slccon Tm Doman(Transn) n la opcón Smulaon Sngs. Para cada fun, slccon l cuadro d dálogo Propry Edor. Ponga AC, FREQ, PHASE, VAMPL y VOFF (a V). (Por fala d spaco, sólo s musran VAMPL, FREQ y PHASE n la fgura A6.6.) Bajo Dsplay, ponga odas las candads rsans n Do No Dsplay. Ponga l mpo d jcucón Run o m n ms, d modo qu aparzcan dos cclos d la frcunca fundamnal d 1 khz. La opcón Sar sang daa afr prmanc n l alor prsablcdo d s, y la opcón Maxmum sp sz n 1 ms, aun cuando ms 1 ms, porqu dsamos nr punos adconals para la cura d la forma d onda complja. Una z qu aparc la nana SCHEMATIC1, n la fgura A6.7 rsula la forma d onda Trac-Add Trac-V(R:1)-OK. Para ngrosar la lína horzonal n V, haga clc con l boón drcho n la lína, slccon Proprs, lugo slccon l color rd y la lína más grusa. Haga clc n OK, y n la fgura A6.7 aparc la lína más grusa, lo qu la hac mucho más clara. Mdan l msmo procso, haga la cura d color amarllo y más grusa como s musra n la msma fgura. Al ulzar los cur-

19 ANÁLISIS CON COMPUTADORA 9 sors rsula qu l prmr pco alcanza V n.63 ms y lugo ca a 8.9 V n.14 ms. El alor promdo d la forma d onda s claramn d 1 V n la rgón posa, como s musra por la lína punada qu s ngrsa ulzando Plo-Labl-Ln. En odo rspco, la forma d onda sá comnzando a nr las caracríscas d una onda cuadrada pródca con un alor pco d 1 V y una frcunca d 1 khz. FIG. A6.7 Forma d onda rsulan dl olaj qu pasa a raés dl rssor R n la fgura A6.6. Componns d Fourr Una cura dl spcro d frcunca rla qu la magnud y la frcunca d cada componn d una sr d Fourr pudn obnrs rgrsando al comando Plo y slcconando la opcón Axs Sngs sgudo por X Axs y lugo Fourr bajo la opcón Procssng Opons dl mnú dsplgabl. Haga clc n OK y aparcn aros pcos n l xrmo zqurdo d la panalla, con un spcro d frcunca qu s xnd d Hz a 6 khz. Slccon una z más las opcons Plo-Axs Sngs, ac Daa Rang y slccon Usr Dfnd para cambar l n- FIG. A6.8 Componns d la sr d Fourr d la forma d onda d la fgura A6.7.

20 3 CIRCUITOS NO SENOIDALES ralo a d Hz a 1 khz puso qu és s l nralo d nrés para sa forma d onda. Haga clc n OK y s obn la gráfca d la fgura A6.8 qu da la magnud y la frcunca d los componns d la forma d onda. Al ulzar l cursor zqurdo drmna qu l pco más alo s d 1.74 V a 1 khz, qu s compara muy bn con la fun VI cuyo alor pco s d 1.73 V a 1 khz. S ulza l cursor d clc drcho, pud dsplazars hasa 3 khz y drmnar la magnud d 4.48 V qu, d nua cuna, s compara muy bn con la fun V con un alor pco d 4.44 V. PROBLEMAS SECCIÓN A6. Sr d Fourr 1. Para las formas d onda d la fgura A6.9, drmn s lo sgun sará prsn n la rprsnacón d la sr d Fourr: a. érmno d cd b. érmnos cosno c. érmnos sno d. armóncos d ordn par. armóncos d ordn mpar f() f() A m T T T T A m T T T (I) (II) f() f() A m A 1 T T 3 T T T T A T 3 T T 3 3 T A m (III) (IV) FIG. A6.9 Problma 1.. S la sr d Fourr para la forma d onda d la fgura A6.3(a) s I m p a 1 cos cos 4 cos drmn la rprsnacón d la sr d Fourr para las formas d onda (b) a (d).

21 PROBLEMAS 31 I m I m ω ω (a) (b) I m I m ω I m ω (c) (d) FIG. A6.3 Problma. 3. Bosquj las sguns formas d onda no snodals con a como abscsa: a. y 4 sn a b. y (sn a) c. cos a 4. Bosquj las sguns formas d onda no snodals con a como abscsa: a. 3 sn a 6 sn a b. y cos a sn a 5. Bosquj las sguns formas d onda no snodals con como abscsa: a. 5 sn 5 sn 3 b. 5 sn a 5 sn 3a c. 4 3 sn sn 1 sn 3 SECCIÓN A6.3 Rspusa d un crcuo a una nrada no snodal 6. Drmn los alors promdo y fcaz d las sguns formas d onda no snodals: a. y 1 5 sn 5 sn b. 3 sn( 53 ).8 sn( 7 ) 7. Drmn l alor rms d las sguns formas d onda no snodals: a. y sn 15 sn 1 sn 3 b. 6 sn( ) sn( 3 ) 1 sn(3 6 ) 8. Drmn la ponca promdo oal sumnsrada a un crcuo cuyo olaj y corrn son los qu s ndcan n l problma Drmn la ponca promdo oal sumnsrada a un crcuo cuyo olaj y corrn son los qu s ndcan n l problma La rprsnacón d la sr d Fourr para l olaj d nrada al crcuo d la fgura A6.31 s 18 3 sn 4 R R = 1 L FIG. A6.31 Problmas 1, 11 y 1. L =. H a. Drmn la xprsón no snodal para la corrn. b. Calcul l alor rms d la corrn. c. Drmn la xprsón para l olaj qu pasa a raés dl rssor. d. Calcul l alor rms dl olaj qu pasa a raés dl rssor.. Drmn la xprsón para l olaj qu pasa a raés dl lmno raco. f. Calcul l alor rms dl olaj qu pasa a raés dl lmno raco. g. Drmn la ponca promdo sumnsrada al rssor. 11. Rpa l problma 1 para 4 3 sn 4 1 sn 8 1. Rpa l problma 1 para l sgun olaj d nrada: 6 sn 3 1 sn 6

22 3 CIRCUITOS NO SENOIDALES 13. Rpa l problma 1 para l crcuo d la fgura A6.3. *15. Drmn la xprsón d la sr d Fourr para l olaj y s d la fgura A6.34. R 1 ma q = 377 R = 15 C C = 15 mf p p p 3p q (a) FIG. A6.3 Problma mh mf s *14. El olaj d nrada n la fgura A6.33(a), al crcuo d la fgura A6.33(b) s una sñal rcfcada d onda compla qu n la sgun xpansón d la sr d Fourr: 111 V a 1 p 3 cos cos cos 6... b (b) FIG. A6.34 Problma 15. dond 377. a. Drmn la xprsón d la sr d Fourr para l olaj y s ulzando sólo los prmros rs érmnos d la xprsón. b. Drmn l alor rms d y s. c. Drmn la ponca promdo sumnsrada al rssor d 1 k. 1 V SECCIÓN A6.4 Adcón y susraccón d formas d onda no snodals 16. Ralc las opracons ndcadas n las sguns formas d onda no snodals: a. [6 7 sn sn( 9 ) 1 sn(3 6 )] [ 3 sn cos 5 cos 3] b. [ 6 sn a 1 sn(a 18 ) 5 cos(3a 9 )] [5 1 sn a 4 sn(3a 3 )] 17. Drmn la xprsón no snodal para la corrn f dl dagrama d la fgura A sn.5 sn(4 9 ) 1 4 sn( 9 ).5 sn(4 3 ) p p 3 p q f (a) 1 mf 1.1 H 1 k s FIG. A6.35 Problma 17. (b) FIG. A6.33 Problma Drmn la xprsón no snodal para l olaj dl dagrama d la fgura A6.36. y 1 sn 6 1 cos 1 75 sn 18 y 1 15 sn(6 3 ) 5 sn(18 6 )

23 GLOSARIO 33 GLOSARIO SECCIÓN A6.5 1 FIG. A6.36 Problma 18. Análss con compuadora PSpc 19. Trac la forma d onda d la fgura A6.11 para dos o rs cclos. Lugo obnga los componns d Fourr y compárlos con la sñal aplcada.. Trac una forma d onda smrrcfcada con un alor pco d V, ulzando la cuacón (A6.1). Us l érmno d cd, l érmno fundamnal y cuaro armóncos. Compar la forma d onda rsulan con la forma d onda smrrcfcada dal. 1. Dmusr l fco d agrgar dos o más érmnos a la forma d onda d la fgura A6.7, y gnr l spcro d Fourr. Armóncos mpars Térmnos d la xpansón d la sr d Fourr cuyas frcuncas son múlplos mpars dl componn fundamnal. Armóncos pars Térmnos d la xpansón d la sr d Fourr cuyas frcuncas son múlplos pars dl componn fundamnal. Componn fundamnal Térmno d frcunca mínma rqurdo para rprsnar una forma d onda parcular n la xpansón d la sr d Fourr. Forma d onda no snodal Cualqur forma d onda qu dfra d la funcón snodal fundamnal. Sr d Fourr Sr d érmnos, dsarrollada n 18 por l barón Jan Fourr, qu pud ulzars para rprsnar una funcón no snodal. Smría d j Funcón snodal o no snodal qu n smría con rspco al j rcal. Smría d spjo o d mda onda Funcón snodal o no snodal qu sasfac la rlacón. f 1 f a T b Smría d puno Funcón snodal o no snodal qu sasfac la rlacón f(a) f( a). Térmnos armóncos Térmnos d la xpansón d la sr d Fourr cuyas frcuncas son múlplos nros dl componn fundamnal.

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