TEMA 3: CÁLCULO INTEGRAL DE UNA VARIABLE.

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1 ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA TITULACIONES Ingniría Indusrial (GITI/GITI+ADE) Ingniría d Tlcomunicación (GITT/GITT+ADE) CÁLCULO Curso -6 TEMA : CÁLCULO INTEGRAL DE UNA VARIABLE Connidos: Dfinición y significado d la ingral dfinida Propidads d la ingral dfinida Promdio ingral d una función n un inrvalo Torma dl valor mdio Torma fundamnal dl cálculo Rgla d Barrow Ingrals impropias d primra, sgunda y rcra spci Las funcions y d Eulr Propidads Ára d una rgión plana Longiud d un arco d curva Volumn d un curpo d rvolución Cálculo dl volumn d un curpo por sccions Rsulados d aprndizaj: Calcular ingrals dfinidas Aplicar rgla d Barrow Manjar las funcions Gamma y Ba y sus propidads Calcular áras d rcinos planos, longiuds d arcos d curva y volúmns d curpos sólidos como aplicación gomérica d la ingral Modlar problmas d la vida ral y d la ingniría con écnicas d cálculo ingral Bibliografía básica: Los connidos óricos d sos mas corrspondn al capíulo (cpo los pígrafs,, 6, 7, 8, y ), capíulo (pígrafs,, y capíulos y ) y capíulo (cpo l aparado ) dl libro Cálculo I: Toría y problmas d Análisis Mamáico n una variabl d Alfonsa García, F García, A Lópz d la Rica, A d la Villa y oros HOJA A Probar qu n d para odo n naural Hallar la mpraura mdia d una barra málica siuada n l j X, d rmos y, sindo la mpraura n cada puno d la misma T Log grados cnígrados San las funcions si f ( ) y F( ) f ( ) S pid: si, Esudiar la coninuidad y drivabilidad d F n l inrvalo b) Drminar F n forma no ingral

2 San las funcions si f ( ) y F ( ) f ( ) S pid: si, Esudiar la coninuidad y drivabilidad d F n l inrvalo b) Drminar F n forma no ingral Calcular la drivada d las siguins funcions F ( ) b) F ( ) c) F ( ) sn 6 Calcúls lim sn 6 Ln 7 Probar qu la función F ( ) in una sola raíz ral sn 8 Hallar l ordn y la par principal dl infiniésimo F ( ) n 9 Sa F f una función impar, drivabl y sricamn crcin n Sa f S pid: Drminar los inrvalos d crcimino y d dcrcimino d F b) Hallar, si isn, l máimo y l mínimo absoluo d F Calcular y sudiar la convrgncia d las siguins ingrals impropias: d b) d c) d, p p d ) d, p f) d p Calcular las siguins ingrals d b) d c) d d Calcular las siguins ingrals d b) sn d c) b p q ( ( b ) d sindo b a y p, q ) f) a 8 a d a d cog d para a Calcular l valor d la ingral para a para a

3 Hálls l ára ncrrada por la gráfica d y y l j X nr las rcas y b) Hálls l ára ncrrada por la curva y y su asínoa c) Hallar l ára ncrrada por una lips d smijs a y b 7 cos Calcúls d 6 7 Hallar l ára ncrrada por la asroid d cuacions paraméricas a cos,, ( a ) y asn b) Hallar l ára d la rgión inrior a la circunfrncia d cnro l orign y radio uno, y rior a la curva cuya prsión n coordnadas polars s r cos,, 6 Hallar la longiud d la circunfrncia y b) Hallar la longiud d la asroid d cuacions paraméricas a cos,, y asn c) Hallar la longiud dl arco d la spiral ( a ) r,, 7 Hallar l volumn dl oro obnido al girar l círculo d cuación y b a con b a, alrddor dl j OX 8 Calcular l volumn ncrrado por l lipsoid y z, sindo a, b, c a b c Como aplicación, dducir l volumn d una sfra d radio R HOJA B cos n Pruébs qu d Ln, n N Calcular la vlocidad mdia d un coch qu raliza l rayco Madrid-Barclona n horas, sindo V sn Km/h la vlocidad dl coch n cada insan d impo - San las funcions si f ( ) si y F ( ) f ( ) S pid: si, Esudiar la coninuidad y drivabilidad d F n l inrvalo b) Drminar F n forma no ingral

4 - San las funcions si f ( ) y F ( ) f ( ) S pid: si, Esudiar la coninuidad y drivabilidad d F n l inrvalo b) Drminar F n forma no ingral Calcular la drivada d las siguins funcions cos F ( ) b) cos sn F ( ) c) F( ) sn 6 Calcular los siguins límis: g lim sn b) cos sn Log( ) lim ( sn g) 7 Hallar l ordn y la par principal dl infiniésimo n f sh sn Ln sn sn d arc sn 8 San f : una función drivabl n con f ( ) y f ( ) para odo y F ( ) rmos rlaivos d 9 Sa F f ( ) Esudiar l crcimino y dcrcimino y hallar los f una función par y drivabl n y al qu f ( ), f ( ), vrificando f ( ) S considra la función F Hallar los rmos absoluos (si isn) y las raícs d f '( ) para S pid: f n b) Hallar los inrvalos d crcimino y d dcrcimino, y los rmos rlaivos d F n c) Hallar las raícs d F n Sa f una función par y drivabl n al qu f vrifica lim f ( ) S considra la función F f Dmosrar qu la función F in a lo sumo rs raícs n b) Sabindo qu f númro d raícs d la función sólo in una raíz y qu S pid:, sindo un parámro ral, hallar razonadamn l F sgún los disinos valors d

5 Calcular y sudiar la convrgncia d las siguins ingrals impropias: d b) d c) d d ) d f) d g) d Calcular las siguins ingrals d b) 6 d c) d - d Hallar l valor d n para qu s vrifiqu la igualdad n d! Calcular las siguins ingrals d b) ( ) d c) ( ) ( ) d 8 cos d ) sn d f) d g) d 6 d i) h) d b b a sindo a, b Dígas, jusificando la rspusa, si s cira o falsa la proposición: En la gráfica d la función y B(, ) B(, ) cora al mnos una vz al j X 6 Hallar l ára dl rcino siuado n l primr cuadran, limiado por las parábolas y, y ( ) y l j d ordnadas b) Hallar l ára comprndida nr las gráficas d las funcions f ( ) y g ( ) ( sn ), 7 Calcular n l inrvalo g cos sn cos d 8 Hálls l ára ncrrada por la curva y y su asínoa b) Hallar l ára ncrrada por la curva y y l j OX 9 Hallar l ára ncrrada por una circunfrncia d radio R cuando sa vin dada n forma plícia, paramérica y polar

6 , Sa f una función drivabl n con f 6 S considra la función y f F f S pid: Drminar los inrvalos d crcimino y dcrcimino y los rmos rlaivos d F n b) Sabindo qu F, hallar l ára d la rgión ncrrada por las gráficas d 7 las funcions f y g nr y 7 9 c) Sabindo qu ( ) f, hallar l númro d raícs rals d la función F sgún los disinos valors dl parámro ral Hallar la cuación d la rca qu pasa por l orign d coordnadas y divid a la rgión dl primr cuadran limiada por la parábola y y l j X n dos rgions d igual ára Una vaca sá aada n un véric d un prado cuadrangular d lado L Si la longiud d la curda a la qu sá aada dicha vaca s R, hallar la suprfici d hirba qu pud comrs la vaca Hallar la longiud dl arco d canaria y a ch, a nr los punos d a abscisas a y a b) Hallar la longiud dl arco d cicloid d cuacions paraméricas a sn,, ( a ) y a cos c) Hallar la longiud dl arco d la spiral d Arquímds cuya cuación n coordnadas polars s r a, a con, Hallar la longiud dl arco d hélic d cuacions paraméricas cos y sn,, z Calcular l volumn dl cono d alura h y cuya bas in radio R d dos formas disinas Calcular l volumn d una pirámid d alura h y cuya bas s un cuadrado d lado a 6- Hallar l volumn d un casqu sférico siuado a una alura h n una sfra d radio R d dos formas disinas 7 Hálls l volumn dl sólido d rvolución obnido al girar alrddor dl j OX la rgión limiada por la curva y y su asínoa 8