n n ... = + : : : : : : : [ ]

Transcripción

1 Considérs l siguin sisma d cuacions difrncials linals d rimr ordn d coficins consans, n dond las incógnias son las funcions x x ( ), x x ( ),, x ( ) n xn / d a x ( ) a x ( ) a x ( ) f ( ) n n / d a x ( ) a x ( ) a x ( ) f ( ) n n / d a x ( ) a x ( ) a x ( ) f ( ) n n n n n Uilizando vcors y marics s ud scribir d la siguin forma Una noación abrviada s / d a a a n x ( ) f( ) / d a a a x( ) f( ) / d a a a x ( ) f ( ) n n n n n n ( ) A ( ) F( ) Para rsolvr l sisma s imiará l rocdimino ralizado ara rsolvr una cuación difrncial d rimr ordn d coficins consans no omogéna or variación d arámros, s dcir, rsolvr una cuación d la forma a x( ) f ( ) d Rcordmos qu n l rocdimino d or variación d arámros ara rsolvr la cuación a x( ) f ( ), rimro s rsulv la cuación omogéna a x( ) 0 d d a x 0 a x a d a d ln( x) a c x( ) C d d x x Así, x( ) C a x ( ) s la solución d la cuación omogéna a Aora, ara consruir una solución aricular x ( ) or s méodo, s cambia l arámro C a d x ( ) C a or la variabl u( ), qudando qu x ( ) u( ) - -

2 a a a Si x ( ) u( ) x ( ) u ( ) a u( ) Susiuyndo x ( ) y ( ) x n s obin a a a u ( ) a u( ) a u( ) f ( ) a a a u ( ) f ( ) u ( ) f ( ) u( ) f ( ) d a a Así, x ( ) f ( ) d Por ano, la solución d la cuación a x( ) f ( ) d s ( ) a a ( ) a x C f d a Si llamamos φ ( ), noncs la solución s scrib x( ) C φ ( ) φ( ) f ( ) φ ( ) d Aora, Cómo imiar s rocdimino ara rsolvr ( ) A ( ) F( )? Primro s alla la solución dl sisma omogéno asociado k Suóngas qu ( ) K k n ( ) K y ( ) K ( ) A ( ) Cómo? s la solución d ( ) [ A ] ( ) [ ] s susiuyn n [ ] K [ A ] K [ 3 ] La xrsión [ 3 ] simlificada s K [ A ] K [ A ] K K 0 ([ A ] I) K 0 La solución rivial dl sisma omogéno ([ A ] ) I K 0 s k 0 K 0 k 0 Rcordmos qu l sisma ([ A ] I) K 0 in solución rivial si ([ ] ) in solucions no rivials si d ([ A ] I) 0 La xrsión ([ ] ) d A I 0, y d A I 0 conduc a la cuación olinómica P( ) 0, llamada cuación caracrísica, la cual ud nr raícs rals difrns, rals iguals o comljas Cada raíz d ( ) 0 A I P s un valor roio d la mariz ([ ] ) - -

3 Al rmlazar l valor roio n l sisma omogéno ([ A ] ) I K 0, s obin como solución un vcor roio K, l cual s un vcor d consans Así, una solución dl sisma ( ) A ( ) s ( ) K Si las raícs d P( ) 0 son númros rals difrns,, 3,, n, s obinn n vcors roios difrns K, K, K,, K 3 n Enoncs, la solución gnral dl sisma omogéno n ( ) A ( ) s ()c K c K c K n n Si l olinomio P( ) in coficins rals y las raícs d P( ) 0 son comljas, y cada una aarcrá con su conjugado, s dcir, si z α β i s una raíz, z α β i ambién lo srá Suóngas l caso n qu A s una mariz d amaño x, las raícs son α β i α β i, los vcors roios son comljos K y K, noncs las solucions dl sisma son ( ) ( ) K αβi y ( ) ( ) K αβi Uilizando la fórmula d Eulr Cos ( ) isn( ) α α ( ) K [ Cos( β ) i Sn( β ) ] y ( ) K [ Cos( ) i Sn( ) ] α ( ) [ B Cos( β ) B Sn( β) ] roducos s obinn a las solucions rals α ( ) [ B Cos( β) B Sn( β) ] B i ( KK) y B ( K K) θ θ θ las solucions s udn xrsar como β β Al ralizar los Finalmn la solución s ()c c y, n dond Si la cuación P( ) 0 in m raícs o valors roios qu s rin, rsularán m vcors roios linalmn indndins K, K,, K m als qu A I K 0 [ ] [ ] [ ] [ ] A I K K A I K K 3 A I K K 4 3 A I K K m m- Con sos vcors roios, s consruy la solución d la forma ( ) ck c K K c3 K K K3!!! c K K K K 3!!!

4 En cualquira d los rs casos, la solución d maricial ( ) φ( ) C ( ), dond fundamnal d solucions c C c n ( ) A ( ) s ud scribir n la forma s un vcor d consans y φ( ) s una mariz Siguindo con l rocdimino d variación d arámros, aora s buscará la solución c u ( ) aricular ( ) cambiando n ( ) φ( ) C l vcor C or l U ( ), c n u ( ) n obniéndos ( ) ( ) U ( ) 4 φ Hallamos ( ) ( ) U ( ) ( ) U ( ) φ φ [ 5 ] S susiuyn [ 4 ] y [ 5 ] n ( ) [ A ] ( ) F( ), y s obin φ ( ) U ( ) φ( ) U ( ) [ A ]( φ( ) U ( ) ) F( ) [ 6 ] Como ( ) ( ) C φ s solución ( ) [ A ] ( ) ( ) φ ( ) C n ( ) [ A ] ( ) s obin φ ( ) C [ A ] φ( ) C, quivaln a φ ( ) [ A ] φ ( ) [ 7 ] S susiuy [ 7 ] n [ 6 ] y s obin ( ) A φ( ) U ( ) φ( ) U ( ) A φ( ) U ( ) F( ) φ( ) U ( ) F( ) U ( ) φ ( ) F( ) U ( ) φ ( ) F( ) d, noncs al susiuir ( ) φ( ) C y [ 8 ] Rmlazando [ 8 ] n [ 4 ] s in qu ( ) ( ) ( ) ( ) φ φ F d Finalmn, la solución dl sisma d cuacions no omogéno ( ) ( ) ( ) ( ) φ( ) C φ( ) φ ( ) F( ) d ( ) A ( ) F( ) s Como s ud arciar, la solución dl sisma d cuacions linals d rimr ordn d coficins consans y no omogéno, s similar a la solución d la cuación linal d rimr ordn d coficins consans y no omogéna VS x( ) C φ ( ) φ( ) f ( ) φ ( ) d ( ) φ( ) C φ( ) φ ( ) F( ) d - 4 -

5 Considérs l sisma x ( ) 3 x( ) 3 y ( ) 4 y( ) x ( ) 3 x( ) Primro s rsulv l sisma omogéno y ( ) 4 y( ) 3 La cuación caracrísica s d ( )( 5) 0 4 Los valors roios son y 5 Si, noncs 3 ( ) 0 0 K 4 ( ) 0 0 Si 5, noncs 3 ( 5) 0 0 K 4 ( 5) 0 0 Las solucions son ( ) y ( ) 5 La mariz fundamnal d solucions s 5 φ ( ) 5 La invrsa d la mariz φ ( ) s Enoncs 3 3 φ ( ) ( ) φ( ) φ ( ) F( ) d d Así, la solución dl sisma s ( ) φ( ) C φ( ) φ ( ) F( ) d ( ) c c

6 Rsolvr los siguins sismas d cuacions difrncials 0) x ( ) 5 x( ) Csc( ) y ( ) y( ) Sc( ) 0) x ( ) 3 x( ) y ( ) 3 y( ) 3 03) x ( ) 0 x( ) y ( ) 0 y( ) 3 z ( ) z( ) 04) x ( ) x( ) 0 8 y ( ) 4 y( ) 0 z ( ) 0 3 z( ) ) x ( ) x( ) 3 y ( ) 3 4 y( ) z ( ) 5 6 z( ) 06) Laboraorio Sabmos qu ara rsolvr la cuación x ( ) a x ( ) b x( ) f ( ), nconramos la solución d la cuación omogéna asociada x ( ) a x ( ) b x( ) 0 y lugo or variación d arámros allamos la solución aricular Suóngas qu la solución d x ( ) a x ( ) b x( ) 0 s x ( ) c ( ) ( ) x c x, noncs ara allar la solución aricular or variación d arámros, cambiamos los arámros c y c or funcions u() y u( ) als x ( ) u ( ) ( ) ( ) ( ) x u x saisfaga a la cuación x ( ) a x ( ) b x( ) f ( ) Si W ( ) s l wronskiano d las funcions x( ) y x( ), noncs x( ) f ( ) x ( ) f ( ) u( ) d y u( ) W ( ) d W ( ) x( ) f ( ) x ( ) f ( ) Por lo ano, x ( ) x ( ) d x( ) d W ( ) W ( ) x( ) f ( ) x ( ) f ( ) cuación s x( ) c x( ) c x( ) x( ) d x( ) d W ( ) W ( ), y la solución gnral d la S odría imiar s rocdimino ara rsolvr l sisma d cuacions difrncials d sgundo - 6 -