INTEGRACIÓN POR RESIDUOS

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1 Capítulo 6 INTEGRACIÓN POR RESIDUOS Problema 6. Halla todas las singularidades de las siguientes funciones y obtén sus correspondientes residuos: z 3 (z + 4), z 2 + 2z +, z 3 3, e z, sen z, (z 3)sen Problema 6.2 Halla los residuos de las siguientes funciones en el punto a indicado: ez, en a =, sen z e z, en a =, z + 2 z 2, en a =, 2z + ez z 4, en a =, e z (z 2, en a =, ) 2 e z2, en a =, z z + 2. e z2, en a =, (z ) 2 ( ) cos z 2, en a =, z z 2 z 4, en a = i. Problema 6.3 Halla el residuo de f(z) = e z+z en la singularidad esencial (expresa el resultado en forma de serie). Problema 6.4 Sea f(z) = + ez z 2 + z. Como el residuo en es el coeficiente de z, entonces Res ( f(z), ) =. Encuentra el error del razonamiento y halla el verdadero residuo. Problema 6.5 Demuestra que Res ( f(z) + g(z), a ) = Res ( f(z), a ) + Res ( g(z), a ). Si f(z) y g(z) tienen polos simples en a, halla una fórmula para el residuo de f(z)g(z) en a. Problema 6.6 Halla la integral z =2 z 2 donde z 2 = z z + y las ramas se eligen de forma que la función sea analítica en C [, ] (el contorno está orientado positivamente).

2 28 6 INTEGRACIÓN POR RESIDUOS Problema 6.7 Sea f(z) una función meromorfa en el dominio Ω C. Prueba que si a Ω es un cero de orden k de f(z), entonces es analítica en un entorno de a. f(z) k z a Prueba que si a Ω es un polo de orden k de f(z), entonces es analítica en un entorno de a. Problema 6.8 (Principio del argumento) f(z) + k z a Sea f(z) una función meromorfa en un dominio simplemente contexo Ω C, y sean a, a 2,...,a r sus ceros y b, b 2,...,b s sus polos (los ceros o polos de multiplicidad k aparecen repetidos k veces en la lista). Prueba que si es un contorno cerrado contenido en Ω que no pasa por ningún cero ni polo de f(z), y Γ = f(), entonces dw 2πi Γ w = r 2πi f(z) = n(, a j ) j= s n(, b k ). Si es la curva z = 2 orientada positivamente, aplica el resultado anterior a calcular tan z, sen z cos z. AYUDA: Para el primer apartado, observa, primero, que si z(t) es una parametrización de, f ( z(t) ) lo es de Γ, y segundo, emplea el resultado del problema 6.7 para probar que es analítica en Ω. f(z) r j= z a j + s k= z b k Problema 6.9 Calcula, empleando el teorema de los residuos, las siguientes integrales: z 2, con dada por z(θ) = 2eiθ θ 2π, D z 4, con D = {z C : z < 2, Re z > }, + z 4, con la circunferencia z = 2 orientada positivamente, + + z, con la circunferencia z = 7 orientada positivamente, cos z k=

3 6 INTEGRACIÓN POR RESIDUOS 29 (j) (k) (l) (m) (n) (ñ) (o) sen πz z(z ) 2, con el cuadrado de vértices ±3 ± 3i, e /z sen(/z), con la circunferencia z = orientada positivamente, (z 2 + )(z ) 2, con la circunferencia z i = 2 orientada positivamente, z 2 e 2πiz3, con la circunferencia z = r orientada positivamente, r3 / N, cosh z cotan z, con la circunferencia z = (n + /2)π orientada positivamente, n N, sen(a/z) cos(a/z) z 2 y también + b z 2, con la circunferencia z = r orientada positivamente, + b siendo a, b C {} y b r 2, z 2 + z 2, con la circunferencia z = r orientada positivamente, siendo a < r < b, (z a)(b z) ( ) z n, con la circunferencia z = /2 orientada positivamente, n= z n e /z, siendo una circunferencia que rodea el origen orientada positivamente, y n N, ( ( + z + z 2 ) e /z + e /(z ) + e /(z 2)), siendo la circunferencia z = 3 orientada positivamente, P(z) ( e /z + e /(z ) + + e /(z k)), siendo la circunferencia z = r > k orientada positivamente, y P(z) un polinomio de grado k,, con la circunferencia z = r orientada positivamente, y a C tal que a r. z a 2 Problema 6. Para a, b >, calcula las integrales dθ a + b cos θ + c sen θ (a2 > b 2 + c 2 ), e 2 cos θ dθ, dθ (a > b), (a + b cos θ) 2 cos(nθ + ϕ) dθ (a >, n N), 2acos θ + a2 dθ (a + b cos 2 (a + b ), θ) 2 cos n θ dθ (n N). Problema 6. Calcula las siguientes integrales:

4 3 6 INTEGRACIÓN POR RESIDUOS 2x 2 x 4 + 5x 2 + 4, x 2 + x 4, + x 6, a 6 (a > ), + x6 cos x x 2 2x + 2, sen x x 2 2x + 2, (j) (k) sen 2 x x 2 +, cos ax x 2 (a, b > ), + b2 cos(πx/2) x 2 sen 2 x x 2 sen 3 x x 3,,, (l) (m) (n) (ñ) sen 2 x x 2 ( + x 2 ), acos x + xsen x x 2 + a 2 x p, (n, p N, + xn p < n ), (a + bx 2 (n N, ) n a, b > ). AYUDA: En (j) integra la función ( e 2ix )/x 2 ; en (k) integra la función ( e 3ix + 3e ix 2)/x 3 ; en (l) integra la función ( e 2ix )/ ( x 2 ( + x 2 ) ). Problema 6.2 Calcula las siguientes integrales, siendo a > y < p < : lnx xlnx x p x p lnx (lnx) 2 x(lnx) 2 (j) (k) (l) x p (lnx) 2 lnx xlnx x p x p lnx (lnx) 2 (m) (n) (ñ) (o) (p) x(lnx) 2 x p (lnx) 2 x(lnx) 3 x p x + a, x p lnx x + a. AYUDA: En, integra sobre la frontera del dominio {z C : ǫ < z < R, Im z > }; en el resto integra sobre la frontera del dominio {z C : ǫ < z < R} {z C : Re z, Im z δ}. En integra la función (log z) 2 /(z + a) 2, y en (l) integra la función (log z) 3 /(z + a) 2. Problema 6.3 Si a R, calcula las siguientes integrales: sen ax senhx, cos ax cosh x, e ax ( a < ), cosh x cosh ax cosh x ( a < ), x 2 cosh x, xcos ax senhx. AYUDA: En usa que senh(z + 2πi) = senh z; en usa que cosh(z + πi) = cosh z; en usa ; en usa ; en usa e integra la función x 3 / cosh x.

5 6 INTEGRACIÓN POR RESIDUOS 3 Problema 6.4 Sabiendo que e x2 = π, demuestra que integrando e z2 sobre un contorno adecuado. Problema 6.5 Halla las integrales de Fresnel e x2 cos(2bx) = πe b2 cos(x 2 ), sen(x 2 ), que aparecen en la teoría de la difracción, integrando la función e iz2 sobre la frontera de {z C : z < R, < arg z < π/4}. Problema 6.6 Sea f(z) una función analítica en un dominio que contiene el semiplano superior y el eje real. Supongamos que para z suficientemente grande, f(z) C/ z µ con C > y µ >. Sea z C tal que Im z ; prueba que 2πi Supogamos que Imz = ; prueba que Problema 6.7 Halla la integral f(x) x z = V. P. 2πi { f(z) si Im z >, si Im z <. f(x) f(z) = x z 2. cosh x considerando el rectángulo de esquinas (±R, ±R + πi). Problema 6.8 Encuentra el error en el siguiente razonamiento y halla el residuo correctamente. La función z (z ) 2 tiene el desarrollo de Laurent alredor de a = z(z ) 2 = (z ) 2 + (z ) = (z ) 3 + z Como no hay término en (z ), el residuo de la función en a = es. Problema 6.9 Halla la suma de las siguientes series (a R): = (z ) 3 (z ) 4 + (z ) 5. n= (a / Z), (a + n) 2 n= ( ) n a 2 + n 2, n= n 2p, n= a 2 + n 2, n= ( ) n (2n + ) 3, n= ( ) n n 2p.

6 32 6 INTEGRACIÓN POR RESIDUOS AYUDA: Para emplea el desarrollo de la cotangente con los números de Bernoulli. El factor ( ) n se puede obtener como cos πz en z = n.