Problemas de AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS

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1 Problemas de AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS Ingeniería Industrial. Curso 3-4. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Tema : Series. Problema. Halle la representación en serie de McLaurin de las siguientes funciones:. z cosh(z ).. z (e z ). z(z 4 +9). 4. Log( + z ). Problema. Problema.3 Problema.4 Usando la representación en serie de McLaurin de f(z) =sen(z ), pruebe que f 4n) () = f n+) () =, n=,,,... Desarrolle McLaurin de la función z en serie de Taylor centrada en z = i. Derivando el desarrollo en serie de McLaurin de ( z) 3. Problema.5 Integrando la función la función arctan z. Problema.6 Desarrolle las funciones f(z) = cos z z,g(z) = z (z ) en serie de Laurent alrededor del origen. Desarrolle en serie de Laurent las siguientes funciones en los dominios que se indi- Problema.7 can., obtenga el desarrollo de z, obtenga la serie de McLaurin de la rama principal de +z,h(z) =e/z en < z < y z >. z(z +). z 4 en < z <, z > y < z + i <. z 3 +iz z z en z <, < z <, z >, z > 3, y < z + < (z + )( z) Problema.8 Desarrolle en serie de Laurent las siguientes funciones alrededor del punto que se indica. Especifique el dominio de la representación. 35

2 Tema Series... z z +,z=/. z (z ) (z ),z=. sen(z) (z π),z=π. Problema.9 en el punto z =+. Halle la parte principal del desarrollo en serie de Laurent de la función 8z 3 (z +)(z ) Problema. en < z <. Obtenga los tres primeros términos significativos de la serie de Laurent de e z z(z +) 36

3 Problemas de AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS Ingeniería Industrial. Curso 3-4. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Tema : Residuos..Ceros y polos. Singularidades aisladas. Problema. Determine el orden de los ceros de las siguientes funciones. z sen z.. z 9. exp(z ). 4. cos z. Problema. Clasifique las singularidades aisladas de las siguientes funciones. (exp(z ) ).. exp(z +(/z)) e z z(z ). cos(/z ). z z + z5 z 3 + z..el teorema de los residuos. Problema.3 Calculelaintegraldef(z) a lo largo de los contornos que se indican, positivamente orientados z. f(z) = en C(,5). sen z( cos z). f(z) = 3(z ) en el rectángulo de lados x =,x=,y = ±. z 3 3z +4z z f(z) = en el cuadrado de vértices ± ± i. exp(z ) e z 4. f(z) = en el rectángulo de lados x = ±,y = ±π. z(z + π ) 5. f(z) = cosh z en el cuadrado de vértices ± ± i. z 3 37

4 Tema Residuos. Sección. Elteoremadelosresiduos. Problema.4 Sea la función f(z) = Log( z ) z(e z ).. Clasifique las singularidades de f y obtenga los residuos de las singularidades aisladas.. Determine los dos primeros términos significativos de la representación de f en serie de Laurent en el dominio < z <. Calcule Z f(z) C z dz, donde C denota la circunferencia de centro el origen y radio /, orientada positivamente. Problema.5 Sea la función f(z) = Log(z +4)sen(πz). Estudie el dominio de analiticidad de f y determine aquellas singularidades cuyos residuos valen (π log()).. Obtengalostresprimerostérminossignificativos de los desarrollosdelaurentdelafunción g(z) = z ( z) en los dominios < z < y < z <. Calcule el valor de la integral de g/f sobre la circunferencia de centro y radio / orientada positivamente. Problema.6 Sea la función f(z) = cot(πz). z. Estudie las singularidades aisladas de f, determinando los residuos de los polos.. Halle la parte principal del desarrollo en serie de Laurent de f alrededor del origen. Calcule Z f(z)dz, C n donde C n es el contorno, orientado positivamente, del cuadrado cuyos vértices son (n +/)(± ± i). 4. Deduzca que X n = π 6. n= 38

5 Tema Residuos. Sección.3 Aplicacion al cálculo de integrales reales..3aplicacion al cálculo de integrales reales. Problema.7 Calcule el valor de la integral,n, +xn integrando sobre la frontera del sector circular de radio R>yargumento θ π/n. Problema.8 Calcule el valor de cada una de las integrales reales que siguen integrando, en cada caso, una función compleja de variable compleja adecuada, a lo largo de la frontera de un recinto adecuado:.,n N. ( + x ) n. (x +4x +5). x + x 4 +. x 4., a >. (x + a ) Z π π Z π Z π Z π dt +sen t. sen(3t) 5 3cost dt. dt a cos t + b sen t,a,b>. cos(t) dt, <a<, a6=. a cos t + a.4algunos problemas de exámenes Problema.9 se pide: (Junio ) Dada la función f(z) = cosh z senh z, z C,. Hallar su dominio de analiticidad y clasificar sus singularidades.. Obtener los tres primeros términos del desarrollo en serie de f(z) alrededor del origen, indicando eldominiodeconvergenciadelaserie. Calcular Z f(z)dz. C(,) 39

6 Tema Residuos. Sección.4 Algunos problemas de exámenes Problema. (Septiembre ) Probar razonadamente que Z + x 7π = (x +) (x +x +) 5. Problema. (Junio ). Utilizando el teorema de los residuos calcule Z la siguiente integral +x.. Considere la función de variable compleja f(z) = log(z) µ +z donde log(z) =ln( z ) +iθ, con θ π, 3π. Determine, clasifique y calcule el residuo de todas las singularidades de f(z) en el semiplano superior ( Im(z) > ). Considere el contorno cerrado de la figura y demuestre que las integrales de la función f(z) sobre las curvas C ρ y C R se anulan cuando tomamos los límites ρ y R, respectivamente. 4. Empleando los apartados anteriores calcule la siguiente integral log(x) +x. Problema. (Septiembre ). Considere la función de variable compleja f(z) = z 3 +. Calcule el residuo de f en las singularidades situadas en el primer cuadrante (x >,y>).. Integrando la función f(z) sobreelcontornodelafigura, calcule la siguiente integral real x 3 +. CR Rexp(i π/3) y Cρ C3 C -R ρ ρ R C R x Figura Figura 4

7 Tema Residuos. Sección.4 Algunos problemas de exámenes Problema.3 (Segundo parcial -3). Calcular el valor de la integral ( + x ).. Demostrar que ln x ( + x ) = π 4, usando la rama de la función logarítmica dada por log(z) =ln z + i arg(z) con π < arg(z) 3π. Problema.4 (Final 3) Calcular el valor de la integral cos(ax) con a>, b>. (x + b ) Problema.5 (Septiembre 3) Considerar la función compleja f(z) =. Hallar el dominio de analiticidad de f(z). Log( z). Se pide: z( + z). Estudiar las singularidades aisladas de dicha función y obtener el valor del residuo de f(z) en cada una de ellas. Evaluar las integrales Z f(z)dz, donde C = {z C : z =/}, C+ Z ec+ f(z)dz, donde e C = {z C : z + =/}. 4. Obtener el desarrollo de McLaurin de f(z) en el dominio z <. 5. Considerar la serie numérica real dada por X b n nx donde, para cada n, b n n =( ) n+ n k= ( ) k k +. Analizar si es convergente o no dicha serie haciendo uso de algún criterio de convergencia para series numéricas reales. En caso afirmativo, a qué valor converge?. Problema.6 (Febrero 4) Resolver aplicando Z el Teorema de los Residuos: +x. 4 4