Tema 1 Funciones analíticas. 1.1 Introducción a los números complejos

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1 Tema 1 Funciones analíticas 1.1 Introducción a los números complejos Los números complejos pueden definirse como pares ordenados de números reales z = (x, y) con las operaciones adición y multiplicación definidas como sigue: (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + y 1 x 2 ) Se define la parte real y la parte imaginaria de z de la forma: Re(z) = x, Im(z) = y. Los números complejos de la forma (0, y) son llamados imaginarios puros. Observación (x, y) = (x, 0) + (0, 1) (y, 0). 2. El par (x, 0) se identifica con el número real x. Así R puede considerarse un subconjunto de C. 1

2 1. Funciones analíticas 2 3. Llamando i = (0, 1) (en ocasiones se utiliza j), cualquier número complejo z = (x, y) puede escribirse como z = x + iy. 4. i 2 = (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0)= 1. Propiedades Conmutativa: z 1 + z 2 = z 2 + z 1, z 1 z 2 = z 2 z Asociativa: (z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 ), (z 1 z 2 ) z 3 = z 1 (z 2 z 3 ). 3. Elemento neutro de la suma: (0, 0) = 0. Elemento neutro del producto: (1, 0) = Elemento inverso de la suma: z = (x, y) z = ( x, y). ( x 5. Elemento inverso del producto: z = (x, y) 0 z 1 = x 2 + y 2, y ). x 2 + y 2 6. Resta: z 1 z 2 = z 1 + ( z 2 ). 7. Cociente: z 1 z 2 = z 1 z 1 2, z C con las operaciones suma y producto tiene estructura de cuerpo conmutativo. 9. En C no es posible definir una relación de orden compatible con la estructura de cuerpo.

3 1. Funciones analíticas 3 Se define el conjugado de un número complejo z = x + iy como el número complejo z = x iy. Propiedades z 1 + z 2 = z 1 + z 2, z 1 z 2 = z 1 z z + z = 2Re(z), z z = 2iIm(z). 3. z = z. Coordenadas cartesianas De manera natural se identifica C con el plano R 2 : z = x + iy = (x, y) Se denominan las coordenadas cartesianas de z. y z z = (x, y) x Se define el módulo de z = (x, y) como el número real no negativo z = x 2 + y 2. Esta magnitud representa la distancia en R 2 entre el punto (x, y) y el origen (0, 0).

4 1. Funciones analíticas 4 Propiedades z 2 = (Re(z)) 2 + (Im(z)) Re(z) Re(z) z, Im(z) Im(z) z. 3. z z = z Utilizando el módulo se puede definir una métrica en C: dist(z 1, z 2 ) = z 1 z 2, z 1, z 2 C, como consecuencia de las siguientes propiedades del módulo: (a) z 0 y z = 0 z = 0. (b) z 1 + z 2 z 1 + z 2. (c) z 1 z 2 = z 1 z 2. Coordenadas polares Sean (r, θ) las coordenadas polares del punto del plano (x, y) correspondiente al número complejo z = x + iy 0. y r θ z = (x, y) x x = r cos(θ) y = r sen(θ)

5 1. Funciones analíticas 5 Entonces, r es el módulo de z, pues: r = x 2 + y 2 = z. θ es el argumento de z: el ángulo (en radianes) que forma z con el eje real positivo. Se verifica: arg(z) = θ tal que cos(θ) = x r sen(θ) = y r Observación Para un z dado, el argumento puede tomar infinitos valores, pues si θ es argumento de z también lo será θ + 2kπ, k Z. Se denomina determinación principal del argumento de z, denotado por Arg(z), al único valor de arg(z) tal que π < Arg(z) π. 2. Si z = r y arg(z) = θ entonces z = r(cos(θ) + i sen(θ)). Con frecuencia se utiliza la notación siguiente, conocida como fórmula de Euler: por tanto, puede escribirse z = r e iθ. e iθ = cos(θ) + i sen(θ),

6 1. Funciones analíticas 6 3. arg(z 1 z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 ). (Es falso para determinaciones concretas. Por ejemplo: Arg, z 1 = 1, z 2 = i.) Propiedades 1.4 Sean z 1 = r 1 (cos(θ 1 ) + i sen(θ 1 )), z 2 = r 2 (cos(θ 2 ) + i sen(θ 2 )) entonces: 1. z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(θ 1 + θ 2 ) + i sen(θ 1 + θ 2 )). 2. z 1 1 = 1 r 1 (cos( θ 1 ) + i sen( θ 1 )). 3. z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(θ 1 θ 2 ) + i sen(θ 1 θ 2 )). Potencias y raíces Sea z = r(cos(θ) + i sen(θ)). Entonces, utilizando la fórmula de Moivre: (cos(θ) + i sen(θ)) n = (cos(nθ) + i sen(nθ)) se tiene: z n = r n (cos(nθ) + i sen(nθ)), n Z.

7 1. Funciones analíticas 7 Las raíces n-ésimas de la unidad son aquellos complejos z tales que z n = 1. Si z = r(cos(θ) + i sen(θ)), como Arg(1) = 0, se tiene: r n = 1 = r = 1, nθ = 0 + 2kπ = θ = 2kπ n, k Z. Entonces, por la periodicidad del seno y el coseno, existen n raíces n-ésimas de la unidad distintas: n 1 = 1 1/n = cos( 2kπ n ) + i sen(2kπ ), k = 0, 1,..., n 1. n Observación Geométricamente, las raíces n-ésimas de la unidad son los vértices de un polígono regular de n lados inscrito en la circunferencia unidad centrada en el origen (con un vértice en 1). 2. Si llamamos: ω n = cos( 2π n ) + i sen(2π n ), entonces las n raíces n-ésimas de la unidad son: 1, ω n, ω 2 n,..., ω n 1 n. Sea ω = ρ(cos(φ) + i sen(φ)) un número complejo cualquiera. Las raíces n-ésimas de ω son: n ω = ω 1/n = ρ 1/n (cos( φ + 2kπ n ) + i sen( φ + 2kπ ) ), k = 0, 1,..., n 1. n

8 1. Funciones analíticas Funciones de variable compleja Sea S C. Una función de variable compleja es una función: f : z S f(z) = w C. S se denomina dominio de definición de f. Observación 1.4 La definición puede generalizarse al concepto de función multivaluada: regla que asigna más de un valor a un punto z del dominio. Por ejemplo: f : z C f(z) = z 1/2 C. Consideremos de nuevo la función f : S C. Para z = x + iy, w = u + iv, se tiene: f(x + iy) = u(x, y) + i v(x, y) donde u y v son dos funciones de R 2 en R parte imaginaria de f. denominadas, respectivamente, la parte real y la

9 1. Funciones analíticas 9 Ejemplo Función real de variable compleja: f : z S C f(z) = w R, es decir, la parte imaginaria v es nula. 2. Función polinómica: f(z) = a 0 + a 1 z + + a n z n, a i C, es decir, un polinomio de grado n (si a n 0) y está definida en todo C. 3. Función racional: (cociente de polinomios) f(z) = P (z) Q(z) está definida en todo C excepto en las raíces de Q. Las propiedades de una función real de variable real se ponen de manifiesto mediante la gráfica de la función, pero las funciones complejas no pueden representarse gráficamente ya que tanto z como w están en un plano. Sin embargo, puede obtenerse información sobre la función representando cómo transforma puntos, rectas, circunferencias, parábolas,...

10 1. Funciones analíticas 10 Ejemplo Traslación: dado z 0 C f : z S C f(z) = z + z 0 C 2. Rotación: dado z 0 C, tal que z 0 = 1 f : z S C f(z) = z 0 z C 3. Reflexión: por ejemplo, respecto al eje real f : z S C f(z) = z C 4. Estudiar la transformación: f : z C f(z) = z i Im(z) C

11 1. Funciones analíticas Límites Sea f definida en todos los puntos de un entorno de z 0 C, salvo, a lo sumo, en z 0. Se dice que: lim f(z) = w 0 ε > 0, δ > 0 / 0 < z z 0 < δ f(z) w 0 < ε z z 0 Ejemplo 1.3 Propiedades 1.5 iz lim z 1 2 = i El límite, si existe, es único. 2. Sean f(z) = u(x, y) + i v(x, y), z 0 = x 0 + i y 0, w 0 = u 0 + i v 0. Entonces: lim f(z) = w 0 lim u(x, y) = u 0, z z 0 (x,y) (x 0,y 0 ) lim v(x, y) = v 0. (x,y) (x 0,y 0 ) 3. lim z z0 (f + g)(z) = lim z z0 f(z) + lim z z0 g(z). 4. lim z z0 (f g)(z) = lim z z0 f(z) lim z z0 g(z).

12 1. Funciones analíticas Si lim z z0 g(z) 0, entonces: z z0 f(z) lim f lim z z 0 g (z) = lim g(z). z z 0 6. lim z z0 f(z) = lim z z0 f(z). 7. Sea P un polinomio cualquiera, entonces: lim z z0 P (z) = P (z 0 ). 1.4 Continuidad Una función f es continua en z 0 C si y sólo si: f(z 0 ), lim z z0 f(z), lim z z 0 f(z) = f(z 0 ). Se dice que f es continua en S C si f es continua en cada z 0 S.

13 1. Funciones analíticas 13 Propiedades 1.6 Sean f(z) = u(x, y) + i v(x, y), z 0 = x 0 + iy Entonces f es continua en z 0 u y v son continuas en (x 0, y 0 ). 2. f, g continuas en z 0 f + g continua en z f, g continuas en z 0 f g continua en z f, g continuas en z 0, g(z 0 ) 0 f g continua en z f continua en z 0, g continua en f(z 0 ) g f continua en z Los polinomios son funciones continuas en todo C. 7. Las funciones racionales son continuas en todo C salvo en las raíces del denominador. Se pueden deducir diferentes propiedades de las funciones continuas de variable compleja a partir de las propiedades correspondientes de las funciones continuas de dos variables reales. Teorema 1.1 Sea f continua en una región S cerrada y acotada del plano complejo. Entonces f es acotada en S y f alcanza su máximo en S, es decir: M 0 / f(z) M, z S, z 1 S / f(z 1 ) = M.

14 1. Funciones analíticas Derivación Sea f definida en un entorno de z 0 C. Se dice que f es derivable en z 0 si lim z z0 f(z) f(z 0 ) z z 0. Se denota f (z 0 ) = lim z z0 f(z) f(z 0 ) z z 0 f(z 0 + h) f(z 0 ) = lim. h 0 h Una aplicación Φ : C C es R-lineal si y sólo si: Φ(z 1 + z 2 ) = Φ(z 1 ) + Φ(z 2 ), z 1, z 2 C, Φ(λz 1 ) = λφ(z 1 ), z 1 C, λ R. (Ejemplo: Φ(z) = z es R-lineal.) Una aplicación Φ : C C es C-lineal si y sólo si: Φ(z 1 + z 2 ) = Φ(z 1 ) + Φ(z 2 ), z 1, z 2 C, Φ(λz 1 ) = λφ(z 1 ), z 1 C, λ C. (Observación: Todas las aplicaciones C-lineales son de la forma: Φ(z) = αz, con α C.)

15 1. Funciones analíticas 15 Sea f definida en un entorno de z 0 C. Se dice que f es R-diferenciable en z 0 si existe una aplicación R-lineal Df(z 0 ) : C C tal que f(z 0 + h) f(z 0 ) Df(z 0 )(h) lim h 0 h = 0. Se dice que f es C-diferenciable en z 0 si existe una aplicación C-lineal Df(z 0 ) : C C tal que f(z 0 + h) f(z 0 ) Df(z 0 )(h) lim h 0 h = 0. Teorema 1.2 f derivable en z 0 f C-diferenciable en z 0. Observación 1.5 f derivable en z 0 f R-diferenciable en z 0. (El recíproco no es cierto: f(z) = z es R-diferenciable en z 0 = 0, pero no derivable). Teorema 1.3 f derivable en z 0 f continua en z 0. (El recíproco no es cierto: f(z) = z 2 es continua en todo z 0 0, pero no derivable).

16 1. Funciones analíticas 16 Propiedades f derivable en z 0 (cf) (z 0 ) = cf (z 0 ). 2. f, g derivables en z 0 (f + g) (z 0 ) = f (z 0 ) + g (z 0 ). 3. f, g derivables en z 0 (f g) (z 0 ) = f (z 0 ) g(z 0 ) + f(z 0 ) g (z 0 ). ( ) f 4. f, g derivables en z 0, g(z 0 ) 0 (z 0 ) = f (z 0 ) g(z 0 ) f(z 0 ) g (z 0 ). g [g(z 0 )] 2 5. f(z) = c f (z 0 ) = f(z) = z n f (z 0 ) = nz n Regla de la cadena: Sean f derivable en z 0 y g derivable en f(z 0 ), entonces (g f) (z 0 ) = g (f(z 0 )) f (z 0 ). 1.6 Ecuaciones de Cauchy-Riemann Relacionan la derivabilidad de f = u + i v con condiciones sobre las derivadas parciales de u y v.

17 1. Funciones analíticas 17 Teorema 1.4 Teorema de Cauchy-Riemann: Sea f(z) = u(x, y)+i v(x, y). Sea z 0 = x 0 +i y 0. a) Si existe f (z 0 ), entonces existen u x (x 0, y 0 ), u y (x 0, y 0 ), v x (x 0, y 0 ), v y (x 0, y 0 ) y se verifican las condiciones de Cauchy-Riemann en (x 0, y 0 ): u x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ), u y (x 0, y 0 ) = v x (x 0, y 0 ). Además: f (z 0 ) = u x (x 0, y 0 ) + i v x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) i u y (x 0, y 0 ). b) Recíprocamente, si f está definida en un entorno del punto z 0, existen las derivadas parciales de u y v respecto a x e y y son continuas en (x 0, y 0 ), y se verifican las condiciones de Cauchy-Riemann en (x 0, y 0 ), entonces existe f (z 0 ). Observación 1.6 En realidad, se demuestra que si f es R-diferenciable en z 0 y se verifican las condiciones de C-R en (x 0, y 0 ), entonces existe f (z 0 ). Observación 1.7 Si f es derivable en z 0 entonces: Df(z 0 )(h) = f (z 0 ) h. (Ejemplo: f(z) = z 2 ).

18 1. Funciones analíticas Funciones analíticas Sea f definida en un entorno de z 0 C. Se dice que f es analítica (u holomorfa) en z 0 si su derivada existe en cada punto z de un entorno de z 0. Se dice que f es analítica en S C si es analítica en cada punto z 0 de S. Se denota f H(S). Observación Si f es analítica en un punto z 0, entonces también lo es en un entorno de ese punto. 2. Si f es analítica en S, entonces para cada punto z 0 de S existe un entorno donde la función está definida. Por tanto, z 0 ha de ser un punto interior del dominio de definición de f. 3. Si hablamos de f analítica en un conjunto cerrado, se entiende que f es analítica en un abierto que lo contiene. Una función se dice entera si es analítica en todo C. Ejemplo 1.4 Los polinomios son funciones enteras.

19 1. Funciones analíticas 19 Si f es analítica en un entorno de z 0, salvo en z 0, entonces se dice que z 0 es un punto singular de f. Ejemplo z 0 = 0 es un punto singular de f(z) = 1 z. 2. f(z) = z 2 no tiene puntos singulares, ya que no es analítica en ningún punto. 1.8 Funciones armónicas Sea D un dominio de R 2. Sea h : D R 2 R. Se dice que h es una función armónica en D si h es de clase 2 en D y satisface la ecuación de Laplace en D: 2 h x + 2 h 2 y = 0, 2 (x, y) D que suele escribirse, de manera abreviada, h = 0.

20 1. Funciones analíticas 20 Observación Si f = u + iv es analítica en S, entonces u y v verifican las condiciones de C-R y son de clase 2 en S como funciones de R 2. (Veremos más adelante que, en realidad, u y v son de clase en S). Entonces, derivando dichas relaciones: Por tanto, u y v son armónicas en S. 2 u x 2 = 2 v y x = 2 u y 2 2 u x u y 2 = 0. 2 v x 2 = 2 u x y = 2 v y 2 2 v x v y 2 = Recíprocamente, si u es armónica en S, puede encontrarse otra función v armónica en S, tal que f = u + iv es analítica en S. Las funciones u y v se denominan armónicas conjugadas. Ejemplo 1.6 La función u(x, y) = x 2 y 2 es armónica en R 2. Una de sus funciones armónicas conjugadas es v(x, y) = 2xy, ya que f(z) = u(x, y) + iv(x, y) = x 2 y 2 + 2xyi = (x + iy) 2 = z 2 una función entera. (Puede probarse que todas las armónicas conjugadas de u son de la forma v(x, y) = 2xy + c, c R. En este caso, la función entera es f(z) = z 2 + ci.) es

21 Tema 2 Funciones analíticas elementales 2.1 Función exponencial Tenemos que definir la función exponencial compleja de manera que generalice la real, esto es: f(x + 0i) = e x, x R. f (z) = f(z), z C. Si la definimos de la forma: f(z) = e x (cos(y) + isen(y)) = e x e iy, z = x + iy entonces se verifican las dos condiciones. Por tanto, esa será la definición de la función exponencial. Propiedades e z H(C). 2. d dz ez = e z. 3. e z 1+z 2 = e z 1 e z 2. 21

22 2. Funciones analíticas elementales f(z) = e z es periódica de periodo 2πi, es decir e z 1 = e z 2 z 1 z 2 = 2kπi, k Z. 5. e z 0, z C. 6. e z = e Re(z). 7. e z = 1 z = 2kπi, k Z. 2.2 Funciones trigonométricas Teniendo en cuenta que para todo x R: sen(x) = eix e ix, cos(x) = eix + e ix, 2i 2 se definen las funciones complejas: sen(z) = eiz e iz, z C, 2i cos(z) = eiz +e iz, z C. 2

23 2. Funciones analíticas elementales 23 Propiedades sen(z), cos(z) H(C). 2. d dz sen(z) = cos(z), d 3. cos 2 (z) + sen 2 (z) = 1. dz 4. e iz = cos(z) + i sen(z), z C. cos(z) = sen(z). 5. sen(z) y cos(z) son periódicas de periodo 2π. 6. sen(z) = 0 z = kπ, k Z. (2k + 1) π cos(z) = 0 z =, k Z sen(z) = sen(x)cosh(y) + i cos(x)senh(y). cos(z) = cos(x)cosh(y) i sen(x)senh(y). A partir de estas expresiones se tiene: sen(z) 2 = sen 2 (x) + senh 2 (y) cos(z) 2 = cos 2 (x) + senh 2 (y) donde se ve claramente que sen(z) y cos(z) son funciones no acotadas.

24 2. Funciones analíticas elementales Funciones hiperbólicas Se definen las funciones complejas: Propiedades senh(z), cosh(z) H(C). 2. d dz senh(z) = cosh(z), d dz senh(z) = ez e z, 2 z C, cosh(z) = ez +e z, 2 z C. cosh(z) = senh(z). 3. sen(z) = i senh(iz), i sen(iz) = senh(z), cos(z) = cosh(iz), cos(iz) = cosh(z). 4. cosh 2 (z) senh 2 (z) = senh(z) y cosh(z) son periódicas de periodo 2πi. 6. senh(z) = 0 z = kπi, k Z. (2k + 1) πi cosh(z) = 0 z =, k Z. 2

25 2. Funciones analíticas elementales Función logaritmo y sus determinaciones Sea ω C, ω = 1. Se llama argumento de ω a cualquier número real θ tal que ω = e iθ. No está unívocamente determinado. Sea z C, z 0. Se define el argumento de z como el argumento θ de z = z e iθ. Es nuevamente una función multivaluada. z, de forma que z Se llama argumento principal ( o índice 0) de z al único argumento de z en el intervalo ( π, π]. Se denomina Arg(z) o arg 0 (z). Dado α R, se llama argumento índice α de z al único argumento de z en el intervalo (α π, α+π]. Se denomina arg α (z). Ejemplo 2.1 Arg(1) = 0, arg π/2 (1) = 0, arg π (1) = 2π.

26 2. Funciones analíticas elementales 26 La función Arg : z C {0} Arg(z) ( π, π] R es continua en C H 0, donde H 0 = { r / r R + } H 0 En general, la función arg α es continua en C H α, donde H α = { re iα / r R + }. α H α Una vez vista la función argumento, estudiemos ahora la función logaritmo (en base e) y sus determinaciones. El logaritmo está definido inicialmente para números reales positivos. Se extiende a números complejos de la siguiente forma: log(z) = log( z ) + i arg(z), z 0. Como el argumento admite diferentes determinaciones, lo mismo ocurrirá con el logaritmo.

27 2. Funciones analíticas elementales 27 Entonces, se define el logaritmo índice α de z como: log α (z) = log( z ) + i arg α (z). El logaritmo principal (o índice 0) de z también se denota Log(z). v log α (z) α + π α π β + π β π logβ (z) Log(z) π π u La función log α es analítica en todo C salvo en H α. En particular, Log(z) es analítica en C H 0. Para calcular su derivada, la escribimos en coordenadas polares: Log(z) = log(r) + i θ, z = r(cos(θ) + isen(θ)).

28 2. Funciones analíticas elementales 28 Por el teorema de Cauchy-Riemann en coordenadas polares se tiene: f (z) = e iθ r = 1 z. También se verifica: (a) e Log(z) = z, (b) k Z / Log(e z ) = z + 2kπi. Por tanto, las funciones Log(z) y e z se consideran inversas al restringirlas a la banda R ( π, π]. De igual forma, log α (z) y e z son inversas al restringirlas a la banda R (α π, α + π]. Propiedades d dz log α(z) = 1 z. 2. log(z 1.z 2 ) = log(z 1 ) + log(z 2 ) (falso para determinaciones concretas; ej.: Log, z 1 = z 2 = 1.) 3. log( z 1 z 2 ) = log(z 1 ) log(z 2 ). 4. z n = e n log(z). 5. z 1/n = e log(z)/n.

29 2. Funciones analíticas elementales Potencia con exponentes complejos Dada una constante c C se define la función: z c = e c log(z), z 0. La función así definida es multivaluada, pero si fijamos una determinación del logaritmo, entonces ya es univaluada. Entonces, la función: es analítica en C H α. Además: z c α = ec log α(z), d dz zc α = c.zc 1 α. Ejemplo 2.2 Calcular la determinación principal de z i. Evaluar ( i) i.

30 2. Funciones analíticas elementales Exponencial de base c Dado c C, c 0, se define la función: c z = e z log(c), z C. La función así definida también es multivaluada, pero fijando una determinación del logaritmo se hace univaluada. Entonces, la función: c z α = e z logα(c), es analítica en todo C. Además: d dz cz α = cz α.log α(c).

31 2. Funciones analíticas elementales Funciones inversas Ejemplo 2.3 Comprobar las siguientes igualdades: 1. arc sen(z) = i log(iz ± 1 z 2 ) 2. arc cos(z) = i log(z ± i 1 z 2 ) 3. arg senh(z) = log(z + z 2 + 1) 4. arg cosh(z) = log(z + z 2 1) Por ejemplo, determinemos arc sen(z): ω = arc sen(z) sen(ω) = z e iω e iω = z (e iω ) 2 2ize iω 1 = 0 2i e iω = iz ± 1 z 2 iω = log(iz ± 1 z 2 ) arc sen(z) = i log(iz ± 1 z 2 ).

32 Tema 3 Integración en el campo complejo 3.1 Integral de una función compleja de variable real Se define una función compleja de variable real continua a trozos como una aplicación: w : t [a, b] R w(t) = u(t) + i v(t) C tal que u y v son funciones reales continuas salvo, a lo sumo, en un número finito de puntos de [a, b], en donde hay discontinuidades de tipo finito (es decir, la función tiene límites finitos por la derecha y por la izquierda). Sea w : [a, b] C una función compleja de variable real continua a trozos. Se define la integral en [a, b] de w de la forma: b a w(t)dt = b a u(t)dt + i b a v(t)dt. (Análogamente para integrales impropias definidas en intervalos no acotados). 32

33 3. Integración en el campo complejo 33 π/6 π/6 π/6 Ejemplo 3.1 e i2t dt = cos(2t)dt + i sen(2t)dt = sen(2t) ] π/6 + i cos(2t) ] π/6 3 = i 4. Propiedades 3.1 ( b ) 1. Re w(t)dt = a ( b 2. Im 3. b a a 4. z 0 C, 5. b a ) w(t)dt = (w(t) + z(t))dt = b a b a b a b a Re(w(t))dt. Im(w(t))dt. w(t)dt + z 0 w(t)dt = z 0 b w(t)dt w(t) dt. a b a b a z(t)dt. w(t)dt. Sea w : [a, b] R C una función compleja de variable real continua a trozos. Se dice que w es derivable en t 0 [a, b] si existe: w(t 0 + t) w(t 0 ) lim t 0 t = w (t 0 ).

34 3. Integración en el campo complejo 34 Teorema 3.1 w derivable en t 0 u, v derivables en t 0. Además, en ese caso: w (t 0 ) = u (t 0 ) + i v (t 0 ). Teorema 3.2 Sea w : [a, b] C una función compleja de variable real continua a trozos. Entonces: 1. La función z : [a, b] C definida por: z(x) = es derivable y tal que z (x) = w(x), x [a, b]. x a w(t)dt, 2. Si w es de clase 1 en [a, b] (es decir, u y v son de clase 1), entonces: b a w (t)dt = w(b) w(a). 3. Si w es de clase 1 en [a, b] y g : [c, d] g([c, d]) = [a, b] es de clase 1 en [c, d], entonces: b a w(t)dt = d c (w g)(x)g (x)dx.

35 3. Integración en el campo complejo Contornos Una curva (o arco) C en el plano complejo es una aplicación: z : t [a, b] R z(t) = x(t) + i y(t) C donde x e y son funciones reales continuas. Se identifica la curva con la imagen de la aplicación: C = {z(t) = x(t) + i y(t) : t [a, b]}. La orientación de la curva viene dada por los valores crecientes en t. Una curva C es simple si no se corta a sí misma, es decir: t 1 t 2 z(t 1 ) z(t 2 ). Una curva C es simple y cerrada (o de Jordan) si es simple salvo para z(a) = z(b).

36 3. Integración en el campo complejo 36 Ejemplo Todas las curvas estudiadas en R 2 : σ : t [a, b] R σ(t) = (x(t), y(t)) R 2, se pueden considerar como curvas complejas: σ : t [a, b] R σ(t) = x(t) + i y(t) C. 2. z(t) = z 0 + re it, t [0, 2π] representa la circunferencia centrada en z 0 y de radio r. Una curva C se dice derivable de clase 1 si existen y son continuas en [a, b] las derivadas x (t) e y (t). La función real: z (t) = (x (t)) 2 + (y (t)) 2, permite definir la longitud de arco de C: L = b a z (t) dt.

37 3. Integración en el campo complejo 37 Una curva C se dice regular si es una curva derivable de clase 1 y la derivada no se anula en ningún punto. Una curva regular a trozos se llama contorno, esto es: z (t) continua a trozos, z (t) 0, t [a, b] salvo, a lo sumo, en un número finito de puntos. Todo contorno simple cerrado C define dos dominios (un dominio es un conjunto abierto y conexo) en el plano complejo que tienen a C como frontera común. Uno de los dominios es acotado y se llama el interior de C. El otro, no acotado, se llama exterior de C. La orientación positiva de un contorno simple cerrado es aquella tal que al recorrer el contorno el interior queda a la izquierda.

38 3. Integración en el campo complejo Integrales curvilíneas Sea C un contorno. Sea f : z C C f(z) = u(x, y) + i v(x, y) C continua a trozos sobre C, es decir: f(z(t)) = u(x(t), y(t)) + i v(x(t), y(t)) continua a trozos en [a, b]. Se define la integral de contorno de f sobre C como: C f(z)dz = b a f(z(t))z (t)dt C, es decir: C f(z)dz = = = b a b a [u(x(t), y(t)) + i v(x(t), y(t))] [x (t) + i y (t)]dt [u(x(t), y(t))x (t) v(x(t), y(t))y (t)]dt b +i [u(x(t), y(t))y (t) + v(x(t), y(t))x (t)]dt a (u dx v dy) + i (u dy + v dx). C C

39 3. Integración en el campo complejo 39 Propiedades Cualquier cambio de parametrización conservando la orientación no afecta a la integral. 2. Sea C el mismo contorno C, pero recorrido en sentido contrario: C = {z( t) : t [ b, a]}. Entonces: f(z)dz = C C f(z)dz. 3. Sea C 1 un contorno de z 1 a z 2 y sea C 2 un contorno de z 2 a z 3. Consideramos C = C 1 + C 2 el contorno de z 1 a z 3. Entonces: C 1 C 2 z z 3 2 f(z)dz = f(z)dz + f(z)dz. C C 1 C 2 z 1 4. Sea C 1 un contorno de z 1 a z 3 y sea C 2 un contorno de z 2 a z 3. Consideramos C = C 1 C 2 = C 1 + ( C 2 ) el contorno de z 1 a z 2. Entonces: C z z 3 2 z 1 C 1 C 2 C f(z)dz = f(z)dz f(z)dz. C 1 C 2

40 3. Integración en el campo complejo (f(z) + g(z))dz = f(z)dz + g(z)dz. C 6. z 0 C, C C z 0 f(z)dz = z 0 C C f(z)dz. 7. Sea L la longitud de arco de C. Sea M una cota de f en C, esto es, f(z) M, z C. Entonces: f(z)dz ML. C Ejemplo 3.3 Calcular la integral 1. γ = [ i, i] en sentido positivo. 2. El indicado en la figura, desde i hasta i. 3. El indicado en la figura, desde i hasta i. γ z dz siendo el contorno γ: γ i i

41 3. Integración en el campo complejo Teorema de Cauchy-Goursat Un dominio D C es simplemente conexo si todo contorno cerrado dentro de D encierra en su interior únicamente puntos del dominio. En caso contrario se dice que D C es múltiplemente conexo. simplemente conexo múltiplemente conexo Teorema 3.3 Primera versión del teorema de Cauchy-Goursat Sean D una región simplemente conexa y f(z) = u(x, y) + i v(x, y) una función analítica en D con derivada f continua. Entonces, si C es un contorno simple cerrado orientado positivamente dentro de D, se tiene: f(z)dz = 0. C

42 3. Integración en el campo complejo 42 Observación 3.1 Goursat demostró el teorema pidiendo menos hipótesis. Basta con que f sea analítica sobre C y en su interior para que el resultado se verifique: Teorema 3.4 Segunda versión del teorema de Cauchy-Goursat Sea f analítica en una región D simplemente conexa. Entonces, para todo contorno C simple cerrado en D, se tiene: f(z)dz = 0. C Observación 3.2 Como consecuencia inmediata, si D es simplemente conexa y si C 1 y C 2 son dos contornos en D con los mismos extremos, se tiene que C 1 C 2 es un contorno cerrado en D. Entonces, para toda f analítica en D: f(z)dz = 0 f(z)dz = f(z)dz. C 1 C 2 C 1 C 2 Es decir, la integral es independiente del camino.

43 3. Integración en el campo complejo 43 Teorema 3.5 Versión del T. Cauchy-Goursat para dominios múltiplemente conexos Sea C un contorno simple cerrado. Sean C j, j = 1,..., n contornos simples cerrados en el interior de C tales que los interiores de C j no tengan puntos comunes entre sí. Entonces, si R es la región: R = int(c) n int(c j ) C 1 R C j=1 C 2 y B es su frontera positivamente orientada, se verifica para toda f analítica en R y sobre su frontera B: f(z)dz = 0. B Ejemplo 3.4 Calcular la integral B dz z 4 + 9z 2, donde B es la frontera de la región R = {z C/ 1 < z < 2}, orientada positivamente.

44 3. Integración en el campo complejo Primitivas e independencia del camino Sea f continua en un dominio D tal que existe una función F analítica en D verificando F (z) = f(z), z D. Entonces se dice que F es una primitiva de f en D. Observación 3.3 Si se cambia el dominio D, la primitiva de f puede variar. Teorema 3.6 Sea f una función continua en un dominio D con una primitiva F en ese dominio. Entonces, si C es un contorno en D de extremos z 1 y z 2 se verifica: f(z)dz = F (z 2 ) F (z 1 ). C Observación Por tanto, la integral sólo depende de los puntos inicial y final, es decir, es independiente del camino. 2. Si z 1 = z 2, es decir, el camino es cerrado, entonces: f(z)dz = 0. C

45 3. Integración en el campo complejo 45 Recíprocamente: Teorema 3.7 Sea f una función continua en un dominio D y tal que las integrales de f sobre contornos contenidos en D son independientes del camino. Entonces f tiene primitiva F en D. Teorema 3.8 Sean D un dominio y f una función continua en D. Entonces dos primitivas de f en D difieren en una constante. Observación 3.5 Por el teorema de Cauchy-Goursat, una función f analítica en un dominio D simplemente conexo verifica que cualquier integral sobre un contorno C de D uniendo dos puntos z 1 y z 2 es independiente del camino. Por tanto, por el teorema anterior, f tiene primitiva F en D. Así pues: f(z)dz = F (z 2 ) F (z 1 ). C

46 Tema 4 Fórmula integral de Cauchy 4.1 Fórmula integral de Cauchy Teorema Sea f una función analítica sobre un contorno C simple cerrado orientado positivamente y en su interior. Sea z 0 cualquier punto interior a C. Entonces: C f(z) z z 0 dz = 2πi f(z 0 ). Es decir, la fórmula integral de Cauchy indica que los valores que toma una función analítica en el interior de un contorno dependen únicamente de los valores que toma dicha función sobre el contorno. Ejemplo 4.1 Dado C = {z C/ z = 2}, calcular la integral C z (9 z 2 )(z + i) dz. 46

47 4. Fórmula integral de Cauchy Derivadas de funciones analíticas El objetivo fundamental es probar que, tal como habíamos avanzado, una función analítica en un punto tiene derivadas de cualquier orden en ese punto. Teorema 4.2 Sea f una función analítica sobre un contorno C simple cerrado orientado positivamente y en su interior. Sea z 0 cualquier punto interior a C. Entonces: C f(z) (z z 0 ) 2dz = 2πi f (z 0 ). En general, se puede demostrar la fórmula integral de Cauchy para las derivadas: f n) (z 0 ) = n! 2πi C f(z) (z z 0 ) n+1dz. Teorema 4.3 Si f es una función analítica en z 0, entonces f tiene derivadas de todos los órdenes en z 0 y son analíticas en z 0.

48 4. Fórmula integral de Cauchy Teoremas importantes de analiticidad Teorema 4.4 Teorema de Morera Sea f una función continua en un dominio D. Si para todo contorno C cerrado en D se verifica: f(z)dz = 0, C entonces f es analítica en D. Observación 4.1 Para funciones continuas el Teorema de Morera representa el recíproco al Teorema de Cauchy-Goursat. Observación 4.2 Si se conoce la analiticidad de una función f en un dominio D excepto en un punto z 0 y se sabe que f es continua en D, entonces se puede concluir que f es analítica en D. Ejemplo 4.2 La función f(z) = sen(z) z si z 0 1 si z = 0 es analítica en todo C.

49 4. Fórmula integral de Cauchy 49 Teorema 4.5 Teorema del módulo máximo Sea f una función analítica y no constante en un dominio D. Entonces f(z) no alcanza un valor máximo en ese dominio. (Así, si f H(D), no constante y continua sobre su frontera, entonces f(z) alcanza el máximo sobre la frontera y no en el interior de D). Teorema 4.6 Teorema del módulo mínimo Sea f una función continua en una región acotada y cerrada D y analítica y no constante en el interior de D. Si f(z) 0, z D, entonces f(z) alcanza el mínimo en la frontera de D y no en su interior. Observación 4.3 La condición f(z) 0, z D es necesaria para obtener el resultado anterior. Considerar, por ejemplo, la función f(z) = z. Teorema 4.7 Teorema de Liouville Toda función entera y acotada es constante. Teorema 4.8 Teorema fundamental del Álgebra Todo polinomio P (z) = a 0 + a 1 z + + a n z n con a i C, i = 0,..., n; a n 0, tiene n ceros.

50 Tema 5 Series 5.1 Series de números complejos Una sucesión de números complejos es una aplicación: z : n N z(n) = z n C, que suele representarse como {z n } n N ó {z n}. Una sucesión {z n } converge a z 0 y se denota {z n } z 0, si y sólo si: ε > 0, M N / n > M, z n z 0 < ε. Sea F el espacio de funciones complejas de A C en C. Una sucesión de funciones complejas es una aplicación: f : n N f(n) = f n F, que suele representarse como {f n }. 50