Índice. Tema 6 Series de Taylor y de Laurent. Series de Taylor. Observación. Marisa Serrano Ortega José Ángel Huidobro Rojo

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1 Tema 6 y de Laurent Marisa Serrano Ortega José Ángel Huidobro Rojo Índice mlserrano@uniovi.es jahuidobro@uniovi.es 3 Observación Teorema 6.1 Sea f función analítica en D(z 0, R). Existe una única sucesión de números complejos {a n } +, tal que, z D(z 0, R) se tiene Además: con r R, 0 < r < R. f (z) = a n (z z 0 ) n (1) a n = 1 Z f (w) dw (2) 2πi C(z 0,r) (w z 0 ) n+1 La serie obtenida se denomina desarrollo en Serie de Taylor de f en torno al punto z 0 y de ella se deducen importantes consecuencias. Notemos que el radio de convergencia de la serie es el mayor número real positivo R tal que f es analítica en el disco D(z 0, R).

2 Resultados Sea A C, f : A C y z 0 o A. La función f es analítica en z 0 si, y sólo si, existe R > 0 tal que f es la suma de una serie de potencias en D(z 0, R). Sea f : A C analítica en z 0 Å, f admite en z 0 derivadas de todo orden. Además, si a n, n = 0, 1, son los coeficientes del desarrollo de Taylor en D(z 0, R), a n = f n) (z 0 ) n! (3) Desarrollo de la exponencial Algunas series Ejemplo 6.1 Obtenga el desarrollo de e z en torno al cero e indique dónde es válido. sen(z) = cos(z) = senh(z) = cosh(z) = + ( 1) n+1 (2n 1)! + ( 1) n z2n + + (2n)! z 2n 1 (2n 1)! z 2n (2n)! z 2n 1 (4) (5) (6) (7)

3 Ejemplo 6.2 Hallando las derivadas en el punto 0, obtenga el desarrollo de log 0 (1 + z) en D(0, 1). Ejemplo 6.3 Halle el desarrollo de Taylor de f (z) = 1 en torno al punto 1 e z indique dónde es válido. Ejemplo 6.4 (Descomposición en fracciones) 1. Halle el desarrollo de f (z) = z 2 en torno al origen 3z + 2 indicando el mayor disco donde es válido. Ejemplo 6.5 Derivando el desarrollo de 1 z al punto z 0 = 1. Ejemplo obtenga el desarrollo de en torno z2 Obtenga los tres primeros términos no nulos del desarrollo de f (z) = sen 2 (z) en torno al origen. Ejemplo 6.7 (Identificación de coeficientes) Obtenga el desarrollo de f (z) = cos(z) e z en torno al origen. Ejemplo 6.8 Obtenga los tres primeros términos no nulos del desarrollo de tg(z) en torno al origen. Ejercicio 6.1 Obtenga el desarrollo de f (z) = log 0 (1 + z 2 ) en potencias de z e indique dónde es válido el desarrollo y dónde es analítica la función. Definición 6.1 Sea f una función analítica en un punto z 0. Se dice que tiene en z 0 un cero de orden n si f (z 0 ) = f k) (z 0 ) = 0 para 1 < k < n y f n) (z 0 ) 0. Ejemplo 6.9 Halle el orden de los ceros de las funciones siguientes: (a) e z 1 (b) z 3 2z 2.

4 Proposición 6.1 Sea f analítica en z 0 C y f (z) = a n (z z 0 ) n su desarrollo de Taylor. Entonces, las afirmaciones siguientes son equivalentes: a) f tiene en z 0 un cero de orden p. b) a k = 0 si 0 k < p y a p 0. c) Existe una función g analítica en z 0 con g(z 0 ) 0 y tal que f (z) = (z z 0 ) p g(z). Además, la función g de la afirmación 3 verifica que g(z 0 ) = f p) (z 0 ). p! Ejemplo 6.10 Compruebe que sen(z 6 ) tiene en z = 0 un cero de orden seis. Ejemplo 6.11 Compruebe que log 0 (1 + z 2 ) tiene en z = 0 un cero de orden dos. Regla de L Hôpital Sean f y g dos funciones analíticas en z 0 y supongamos que z 0 es un cero de orden n de g y un cero de orden m n de f. Entonces Ejemplo 6.12 Halle l«ım z 0 z 2 1 cos z. l«ım z z0 f (z) g(z) = f n) (z 0 ) g n) (z 0 ) Teorema 6.2 Sean r 1 0 y r 2 > r 1 y sea f una función analítica en r 1 < z z 0 < r 2. Entonces existen unos coeficientes únicos a n, n Z, tales que, si r 1 < z z 0 < r 2, se tiene que f (z) = n= a n (z z 0 ) n = Además, si r 1 < r < r 2. a n = 1 2πi Z + a n (z z n=1 0 ) n + C(z 0,r) a n (z z 0 ) n (8) f (w) dw (9) (w z 0 ) n+1

5 Observaciones 1 La convergencia dada en el teorema anterior es uniforme en cualquier corona circular R 1 z z 0 R 2 con r 1 < R 1 < R 2 < r 2. 2 Si f es analítica en z 0 el desarrollo de Laurent coincide con el de Taylor. Ejemplo 6.13 Halle el desarrollo en serie de Laurent de f (z) = 1 1 z Ejemplo 6.14 en z > 1. 1 Halle el desarrollo en serie de Laurent de f (z) = z 2 3z + 2 en potencias de z 1 e indique dónde es válido el desarrollo. Ejercicios Ejercicio 6.2 Halle el desarrollo en serie de Laurent de f (z) = ez en z > 0. z2 Ejercicio 6.3 Halle el desarrollo en serie de Laurent de f (z) = 0 < z < 1, (b) z > 1. Ejercicio z 2 (1 z) en: (a) Halle el desarrollo en serie de Laurent de f (z) = 1 z 2 en: (a) < z i < 2, (b) z i > 2. Definición 6.2 Sea {x k } k=0 una sucesión de números complejos tal que la serie de x k Laurent converge en una región del tipo z > r 0. Se zk k=0 x k llama transformada z de la sucesión a la función X (z) = z k. k=0 La función está definida para z > r y habitualmente se denota X (z) = Z {x k }

6 Ejemplo Propiedades de la transformada Ejemplo 6.15 Determine la transformada z de la sucesión constante {x k = 1}, k = 0,,. Ejemplo 6.16 Dado un número complejo a halle la transformada z de la sucesión a k k=0. Ejemplo 6.17 Halle la transformada z de la sucesión {k} k=0. (Puede obtenerse z derivando en el ejemplo 15 y se obtiene (z 1) 2 ). Proposición 6.2 (Linealidad) Si {x k } e {y k } son sucesiones que tienen transformada z, y α, β C entonces: Z {αx k + βy k } = αz {x k } + βz {y k } en el dominio común de definición. Sucesión retardada Ejemplo 6.18 La función tiempo continuo f (t) = sen(ωt) con t 0, con ω constante es muestreada en pasos de tiempo T para generar la sucesión {sen(kωt )}. Determine la transformada z de la sucesión. Ejemplo 6.19 Dada una sucesión {x k } k=0 se considera la sucesión y 0 = 0, y 1 = 0, y k = x k 2 para k 2. Halle la relación entre las transformadas de {x k } k=0 y de {y k} k=0. Sea {x k } k=0 una sucesión en C. Dado k 0 N, llamaremos sucesión retardada de {x k } con retraso k 0 N a la sucesión {y k } k=0 definida como sigue: y k = 0 k < k0 x k k0 k k 0 En el retraso consideramos que los términos anteriores a x 0, que tendrían subíndice negativo, son nulos.

7 Propiedad del retraso Sea {x k } k=0 una sucesión en C, y sea {y k} la sucesión retardada con retraso k 0, entonces, la transformada z de esta sucesión es Z {y k } = 1 z k 0 Z {x k} Ejemplo k Dada la sucesión x k = 2Š con k 0, determine la transformada z de la sucesión retardada con retraso de k 0 = 2. Ejemplo 6.21 Dada una sucesión {x k } k=0 se considera la sucesión y 0 = x 2, y 1 = x 3, y k = x k+2 para k 2. Halle la relación entre las transformadas de {x k } k=0 y de {y k} k=0. Propiedad del adelanto inversa Sea {x k } k=0 una sucesión en C. Llamaremos sucesión adelantada de {x k } con avance k 0 N a la sucesión y k = x k+k0 para k 0. Proposición 6.3 Sea {x k } k=0 una sucesión en C y sea {y k} k=0 su adelantada con avance de k 0, entonces: X k 0 1 Z {y k } = z k 0 Z {x k } x k z k 0 k k=0 Definición 6.3 Sea X (z) una función analítica en una región del tipo z > r con r 0. Llamaremos transformada z inversa a una sucesión {x k } tal que Z {x k } = X (z). Habitualmente se denota a la transformada z inversa por: Z 1 [X (z)] Por el teorema del desarrollo en serie de Laurent sabemos que la transformada inversa de la función X (z) existe.

8 Ejemplo 6.22 z Dada la función X (z) =, halle en qué dominio (z 2)(z 1) admite transformada z inversa y halle su término general. Ejemplo 6.23 z Dada la función X (z) = z 2, determine el dominio en que z + 1 admite transformada z inversa y halle su término general. Ejemplo 6.24 Halle el término general de la sucesión que verifica 8y k+2 6y k+1 + y k = 9 sabiendo que y 0 = 1 y que y 1 = 3 2