VARIABLE COMPLEJA Y ANÁLISIS FUNCIONAL

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Vanesa Flores Cuenca
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1 VARIABLE COMPLEJA Y ANÁLISIS FUNCIONAL (Curso HOJA 4 Ejercicio. Halla el orden del cero z 0 = 0 para la siguiente función: (e z e z2 log( z; Definción Sea f : G C holomorfa. Se dice que f(z tiene un cero de orden m en z 0 G si existe g : G C holomorfa tal que g(z 0 0 y f(z = (z z 0 m g(z. Equivalentemente si f(z 0 = f (z 0 =... = f m (z 0 = 0 y f m (z 0 0 Entonces, para calcular el orden de esta función vamos a calcular las derivadas en z = 0 hasta que sea distinta de cero. ( f (z = (e z 2ze z2 log( z + (e z e z2 ; z f (0 = 0; f (z = (e z 2e z2 4z 2 e z2 log( z 2(e z 2ze z2 ( z + ( +(e z 2ze z2 + (e z e z2 z ( z 2 f (0 = 2 0 El orden de z = 0 para la función f es 2.

2 Ejercicio ( 2. Sea D = D(0; ( 2. Existe alguna función holomorfa en D que i verifique f = n+ y f =, n = 5, 6, 7...? n n 2 n n Para resolver este problema es necesario el Principio de Identidad, enunciado a continuación. Principio de Identidad: Sean f,g : G C holomorfas. f = g {z G/f(z = g(z} tiene un punto de acumulación en G. Supongamos ( que( existe una función f holomorfa en D tal que verifique i f = n+ y f =, n = 5, 6, 7... n n 2 n n Las sucesiones { i } y { n+ } tienen un punto de acumulación dentro del disco n n D, que es 0 y, respectivamente. Considerando la función holomorfa g(z = z 2, se ve que: ( i ( i g = f = n n n. 2 Aplicando el Principio de Identidad se tiene: { i } tiene un punto de acumulación en D f = g n Considerando la función holomorfa h(z = z, se ve que: ( n + ( n + h = f = n n n Aplicando el Principio de Identidad se tiene: n+ n tiene un punto de acumulación en D f = h De lo anterior se deduce que las funciones h y g son iguales, que es absurdo. Esta contradicción viene ( de suponer( que existe una función f holomorfa en i D tal que verifique f = n+ y f =, n = 5, 6, 7... n n 2 n n Por tanto, no existe dicha función. 2

3 Ejercicio 3. Clasifica las singularidades de la siguiente función: f(z = z senz Las singularidades de la función f son: z = kπ, k Z Se distinguen dos casos: Si z = 0: lím f(z = lím z 0 z 0 cosz = Entonces z = 0 es una singularidad evitable. Si z = kπ, k Z {0}: (z kπz lím z kπ senz = Luego, son polos de orden. = lím z kπ 2z kπ cosz { kπ 0 si k impar kπ 0 si k par = Ejercicio 4. Desarrolla en serie de Laurent: Desarrollo en < z < 2 f(z =, en < z < 2 y en 0 < z < z(z (z 2 3

4 La función f se puede escribir de la siguiente forma: f(z = 2 z z + 2 z 2 El desarrollo en serie de Laurent de z z = z = z z ya que < z < 2, y por tanto, 2 < z <. El desarrollo en serie de Laurent de z 2 z 2 = 2 z 2 ya que < z < 2, y por tanto, z 2 <. ( n z = 2 El desarrollo en serie de Laurent de f es: f(z = 2 z z ( z n 2 ( n z 4 ( z n = 2 = 2 z ( n ( 2 z 2 n+2 zn = z n + 2 z + n= n= Desarrollo en 0 < z < f(z = 2 z z + 2 z 2 2 n+2 zn El desarrollo en serie de Laurent de z z = ( z = ( z n = ya que z = z <. El desarrollo en serie de Laurent de z 2 z 2 = ( z = ( n (z n (z = (z n 4

5 ya que z <. El desarrollo en serie de Laurent de f es: f(z = 2 = z + El resultado final es entonces: ( n (z n z 2 ( 2 ( n 2 (z n = (z n = z (z 2n+ z(z (z 2 = z (z 2n+ Ejercicio 5. Calcula el residuo de la función siguiente en el punto indicado: f(z = z2 z 4, en z 0 = e i π 2 Expresando la singularidad z 0 de la siguiente forma: y la función f: f(z = z 0 = e i π 2 = i; z2 z 4 = z 2 (z (z + (z i(z + i Observamos que es un polo de orden. Sea g(z = (z if(z. Entonces: Res(f, e i π 2 = g(e i π 2 = g(i = 4i 5

6 Ejercicio 6. Calcula: z = 2 e z ( z 3 dz En este ejercicio se aplica el Teorema del Residuo, enunciado a continuación. Teorema del Residuo: Sea f : G {a,...a m } C función holomorfa; a,...a m singularidades aisladas de f. Sea γ de clase a trozos, cerrada, Imγ G, tal que γ no pasa por ningún a i y γ 0 (en G. Entonces: γ f(zdz = 2πi m Ind(γ, a k Res(f, a k. k= Como la función tiene un polo de orden 3 en z =, sabemos que: siendo g(z = e z. Como, g (z = e z, entonces g ( = e. Res(f, = 2! g (, Aplicando el Teorema del Residuo a nuestro problema y considerando el camino γ {z/ z = } orientado positivamente se obtiene: 2 f(zdz = πie γ Ejercicio 7. Determina el número de raíces de la ecuación siguiente en los recintos indicados: f(z = z 4 5z + = 0; 6

7 en el círculo z < y en el anillo < z < 2. En este ejercicio se utiliza el Teorema de Rouché que se enuncia a continuación, para determinar el número de ceros del polinomio f(z tanto en el interior del círculo unidad como en el interior del anillo < z < 2: TEOREMA DE ROUCHE (Para funciones holomorfas Sean f, g : G C holomorfas. D(a, R G, γ {z/ z a = R}. Supongamos que f y g no tienen ceros en Imγ. Si f(z + g(z < f(z + g(z en z a = R Entonces f y g tienen el mismo número de ceros contando su multiplicidad en D(a, R. Para z < : Para resolver este caso usaremos la función auxiliar: g(z = 5z Si z = : f(z + g(z = z 4 = < 5z = g(z f y g son funciones holomorfas. Como es claro que g tiene un único cero en D(0,, que es z =, por el Teorema de Rouche f tiene también exactamente 5 un cero en D(0,. Para < z < 2: En este caso usaremos la función auxiliar: Si z = 2: g(z = z 4 f(z + g(z = 5z < 6 = z 4 = g(z f y g son funciones holomorfas. Por el Teorema de Rouche, f y g tienen el mismo número de ceros en D(0, 2, y f tiene cuatro ceros en D(0, 2 contados con su multiplicidad. Por tanto, en el anillo < z < 2 la función f tiene exactamente tres ceros. 7

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