Conceptos Básicos Previos

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1 Concptos Báscos Prvos Clasfcacón d Sñals Comuncacons Unvrsdad d Cantabra Sñals Dtrmnstas /Alatoras Sñals Pródcas / o Pródcas Sñals Contnuas / Dscrtas ( / ( (t+ 0 ) = ( ( / [n] Sñals Dtrmnstas Rpaso d concptos d la asgnatura Sñals y Sstmas. Enrgía y Potnca v ( Potnca nstantána (Wat: p ( ( R R s normalzamos asumndo R=Ω p( (, sndo ( una sñal n tnsón o n corrnt Enrgía dspada n [-/, /] (Julos): E ( Enrgía mda fnta (Julos): E ( E Potnca mda dspada n [-/, /] (Wat: P ( Potnca mda fnta (Wat: P lm ( S P < Sñal d potnca mda fnta: por jmplo las sñals pródcas y los procsos stocástcos S E < Sñal d nrgía mda fnta: por jmplo las sñals dtrmnstas no pródcas Otras dfncons d ntrés son: Valor mdo (nvl d contnua o componnt DC): Valor rms (o valor fcaz): DC rms lm P ( Comuncacons Concptos Báscos Prvos

2 . Caractrzacón frcuncal Las sñals d nrgía fnta posn ransformada d Fourr (F): ( f ) orma d Parsval: ( j f t j f t ( ( f ) E ( ( f ) df, sndo ( f ) la Dnsdad Espctral d Enrgía (Julos/Hz). Las sñals d potnca mda fnta dtrmnstas son las sñals pródcas. Dado su prodo 0 =/f 0, su potnca s calcula como: P 0 0 ( Estas sñals no posn F, sno Dsarrollo n Sr d Fourr (DSF): jf 0nt jf 0nt ( cn cn ( orma d Parsval: n P ( n 0 n ( cn n sndo S f ) c ( f nf ) la Dnsdad Espctral d Potnca (Watt/Hz)., df Ejrcco ) Dbujar las sgunts sñals y calcular analítcamnt y dbujar su F (o la DEP n l caso dl apartado c). a) t ( solucón: ( f ) snc( f ) b) ( Wsnc(W f solucón: ( f ) W c) ( ) cos( 0 ) solucón: A A S ( ) ( ) 4 4 ( ) f f f0 f f0 S pud dcr qu posn F formada por dltas d Drac n múltplos d la frcunca fundamntal f 0., 0.5;, ; sn( ) snc( ) 0, ,. Comuncacons Concptos Báscos Prvos

3 .3 Autocorrlacón dtrmnsta Para sñals d nrgía fnta, la autocorrlacón md la smltud ntr una sñal y una vrsón rtardada d lla msma: R ( ( t ). Algunas propdads d la autocorrlacón son: F R ( f ) R R R R 0 E S s consdran sñals pródcas, d prodo 0 =/f 0, la autocorrlacón sgu la prsón y pos las sgunts propdads: F R S ( f ) R R R R 0 P Ejrcco ) 0 R ( ( t ), 0 0 Calcular y dbujar la autocorrlacón d las sgunts sñals. t a) solucón: R ( ) b) ( t ) A cos( f t 0 ) solucón: A R ( ) cos( ) 0 con ω 0 =πf 0.4 Fltrado d sñals dtrmnstas La sñal d salda d un sstma lnal nvarant n l tmpo (LI) s obtn convoluconando la sñal d ntrada con la rspusta al mpulso dl sstma. ( L..I. h( y( = (h( En l domno d la frcunca, s posbl calcular la F d la salda como l producto d la F d la sñal d ntrada con la rspusta frcuncal dl sstma. En l caso d sñals pródcas, la DEP d la sñal d salda s S y ( f ) S ( f ) H( f ). Comuncacons Concptos Báscos Prvos 3

4 3 Sñals Alatoras En sta sccón s ralza un rpaso d los concptos báscos d la toría d la probabldad, las varabls alatoras y los procsos stocástcos tratados n las asgnaturas d Métodos Matmátcos para lcomuncacón y ratamnto d Sñals. 3. oría d la Probabldad y Varabl Alatora En st apartado s consdra, a modo d jmplo, l studo d un canal d comuncacons bnaro smétrco. Funt 0, 0, Canal Rcptor Es posbl dfnr dos varabls alatoras dscrtas,, qu rprsntan, rspctvamnt, l bt transmtdo y l bt rcbdo. El rango d valors d dchas v.a. s s Ω = Ω = {0,}. Cualqur v.a. dscrta quda compltamnt dfnda y caractrzada por las probabldads d ocurrnca d los valors dl rango (n l jmplo, P(=0)=0.6 y P(=)=0.4). A partr d dchas probabldads s posbl construr la funcón dnsdad d probabldad, f (), y la funcón d dstrbucón d probabldad, F (). f ( ) P( ) ( ) F ( ) P( ) u( ) Otros stadístcos d ntrés son: f () F () Mda: E[ ] P( ) 0P( 0) P( ) 0. 4 Varanza: Var[ ] E - ( ) P( ) 0. 4 A contnuacón s dtallan algunas prsons rlatvas a la probabldad d sucsos: Probabldad condconada: P(A B) = P(A B)/P(B) Probabldad conjunta: P(A B) = P(A B)P(B) = P(B A)P(A) Probabldad d la unón: P(AB) = P(A) + P(B) P(A B) Probabldad otal: P(B) P(B A )P(A ) dond A, A Aj P(B A)P(A) orma d Bays: P(A B) P(B) Indpndnca: P(A B) = P(A)P(B) P(A B) = P(A) P(B A) = P(B) Comuncacons Concptos Báscos Prvos 4

5 El sgunt squma rprsnta las probabldads a pror y las vrosmltuds dl jmplo dl canal bnaro smétrco: P(=0 =0)=0.8 P(=0)=0.6 P(=0)=? P(=0 =)=0. P(= =0)=0. P(=)=0.4 P(=)=? P(= =)=0.8 Ejrcco 3) En l jmplo dl canal bnaro smétrco y hacndo uso d las prsons d probabldad antrors, calcul: a) La probabldad d rcbr un bt 0 y la probabldad d rcbr un bt. Solucón: 0.56 y 0.44 b) La probabldad d qu lo nvado haya sdo 0 cuando s ha rcbdo 0. Solucón : c) La probabldad d rror dl nlac. Solucón: P(rror) = P(=0 =)P(=)+P(= =0)P(=0) = 0. Otro tpo d varabl alatora son las v.a. s contnuas, cuyo rango stá formado por un ntrvalo (o ntrvalos) d valors. Las varabls alatoras contnuas qudan totalmnt caractrzadas bn por la funcón d dstrbucón d probabldad, F ( ) P( ) f ( ) d, o bn por la funcón dnsdad d probabldad, f ( ) df ( ) d. / Algunos jmplos son v.a. unform: v.a. Gaussana: ( ) ct ) f n, ( f u o Funcón d dstrbucón complmntara: Q ( ) du Los stadístcos más mportants son: Mda: E[ ] f ( ) d Varanza: Var ] E - f ( ) d E [ Es mportant rcordar qu la ndpndnca d dos v.a. s s produc s y solo s f (, y) f ( ) f ( y) f ( y) f ( ) f ( y ) f ( y) Comuncacons Concptos Báscos Prvos 5

6 3. Procsos Estocástcos Funt d nformacón bnara 0000 Codfcador Fltro h( +A 0 -A 0 t ( bts símbolos sñal t t Una vz ralzado l prmnto alatoro (consstnt n gnrar una scunca bnara, convrtr los bts n símbolos +A y A y darls forma rctangular) s obtn una sñal ( dtrmnsta (una ralzacón). El conjunto d todas las sñals ( d st jmplo forman l procso stocástco (. En un nstant concrto t 0, (t 0 ) s una v.a.. S pud dcr qu un procso stocástco s una v.a. qu camba con l tmpo. Estadístcos d un procso stocástco (n gnral dpndn dl tmpo): Mda: E[ ( ] ( f ( ; d Autocorrlacón: R t t E ( t ) f (, ; t, t ) d, Potnca: Pot () t E () t R t, t Un p.. s dc qu s staconaro n sntdo amplo s y sólo s ( ct y R t, t R t t R. Para st tpo d procsos stocástcos, s dfn la Dnsdad Espctral d Potnca como la transformada d Fourr d la autocorrlacón: S f F ( ) R La sgunt fgura mustra los stadístcos d la salda d un fltro cuya ntrada s un procso stocástco staconaro n sntdo amplo: ( L..I. h( ( ( ( H (0) R ( ) R S ( f ) S ( ) h( ) h( ) R ( f ) H ( f ) ( ) R hh ( ) Un procso stocástco, (, s dc qu s rudo blanco gaussano (AWG) s: a) 0 F 0 Es blanco: S( f) Watt/Hz R( ) ( ) b) Su fdp s Gaussana 3 : n f ( n) 3 El AWG pos potnca nfnta, por lo qu, strctamnt hablando, pos una fdp dgnrada (σ=); s bn s crto qu, s s fltra un procso AWG, l procso rsultant smpr s gaussano (y con potnca fnta) Comuncacons Concptos Báscos Prvos 6

7 Ejrcco 4) Consdr AWG con dnsdad spctral d potnca 0 / Watt/Hz a la ntrada d un fltro paso bajo dal d ancho d banda W Hz. Calcul los sgunts stadístcos dl procso stocástco d salda: 0 f a) La dnsdad spctral d potnca. (solucón: ) W b) La autocorrlacón. (solucón: 0Wsnc(W ) ) c) La potnca mda. (solucón: 0 W) 4 Undads Logarítmcas Dcblo (db) s una mdda rlatva d potncas: P V rms R 0log 0 0log0 0log0 P Vrms R Rlacón Sñal-Rudo (Sgnal to os Rato): Psñal SR 0 log 0 Prudo Undads d Potnca: dbw: dcblos rspcto a Watt Pot (dbw) = 0log 0 (Pot(Wat) dbm: dcblos rspcto a mwatt Pot (dbm) = 0log 0 (Pot(mWat) =30 + Pot(dBW) Comuncacons Concptos Báscos Prvos 7